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第1讲 整式的乘方
知识点1同底数幂的乘法
(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即（都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.
　
1．（2017秋 潮安区期末）如果32×27=3n，则n的值为（　　）
A．6 B．1 C．5 D．8
2．（2017秋 莒县期末）若x+2y﹣4=0，则22y 2x﹣2的值等于（　　）
A．4 B．6 C．﹣4 D．8
3．（2017秋 宁阳县期中）计算：0.1253×（﹣8）3的结果是（　　）
A．﹣8 B．8 C．1 D．﹣1
　
4．（2018春 合浦县期中）（﹣b）2 （﹣b）3 （﹣b）5=_____．
　
5．（2017秋 上杭县期中）阅读理解：
乘方的定义可知：an=a×a×a×…×a（n个a相乘）．观察下列算式回答问题：
32×35=（3×3）×（3×3×3×3×3）=3×3×…×3=37（7个3相乘）
42×45=（4×4）×（4×4×4×4×4）=4×4×…×4=47（7个4相乘）
52×55=（5×5）×（5×5×5×5×5）=5×5×…×5=57（7个5相乘）
（1）20172×20175=_____；
（2）m2×m5=_____；
（3）计算：（﹣2）2016×（﹣2）2017．
知识点2幂的乘方与积的乘方
幂的乘方法则
(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
要点诠释：（1）公式的推广： (，均为正整数)
（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.
积的乘方法则
(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
要点诠释：（1）公式的推广： (为正整数).
（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：
1．（2017秋 新罗区校级期中）计算：
（1）（﹣x）3 （﹣x）4 （﹣x）5
（2）（﹣a2） （﹣a）3 （﹣a）4 a2．
　
2．（2018春 高新区校级期中）（1）计算：（）2013×1.52012×（﹣1）2014
（2）若x=2m+1，y=3+4m． 请用含x的代数式表示y； 如果x=4，求此时y的值．
3．（2018春 滨海县期中）（1）已知2x=3，2y=5，求2x+y的值；
（2）x﹣2y+1=0，求：2x÷4y×8的值．
4．（2018春 东莞市校级月考）（1）解方程：3x2﹣27=0
（2）已知22x+1+4x=48，求x的值．
5．（2017春 肃州区校级期末）计算0.1259×（﹣8）10+（）11×（2）12．
知识点3单项式乘以单项式
单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
1．（2018春 金牛区校级月考）计算：
（1）
（2）（﹣2x）5﹣（﹣x）3 （﹣2x）2
2．（2017秋 康巴什校级期中）计算题
（1）（﹣x）3（﹣x）2
（2）（﹣）2016×161008
（3）7x4 x5 （﹣x）7+5（x4）4﹣（﹣5x8）2．
　
3.（2017秋 道外区校级月考）计算：2（x2）3 x3﹣（3x3）3+（5x）2 x7．
4.（2017秋 南昌月考）计算：．
知识点4单项式乘以多项式
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
即.
要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.
（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.
（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
1．（2018春 东台市期中）计算：
　
2．（2017秋 普陀区校级期中）计算：2ab2 （3a2b﹣2ab﹣1）
3．（2017秋 启东市校级期中）计算：
（1）3a （a﹣4）
（2）3a3b （﹣2ab）+（﹣3a2b）2．
　　
4．（2017秋 思明区校级期中）计算：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a﹣4）．
知识点5多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.
1．（2018 石家庄一模）已知：a+b=4
（1）求代数式（a+1）（b+1）﹣ab值；
（2）若代数式a2﹣2ab+b2+2a+2b的值等于17，求a﹣b的值．
　
2．（2018春 慈利县期中）已知：（x﹣1）（x+3）=ax2+bx+c，求代数式9a﹣3b+c的值．
3．（2018春 开福区校级期中）小明与小乐两人共同计算（2x+a）（3x+b），小明抄错为（2x﹣a）（3x+b），得到的结果为6x2﹣13x+6；小乐抄错为（2x+a）（x+b），得到的结果为2x2﹣x﹣6．
（1）式子中的a，b的值各是多少？
（2）请计算出原题的答案．
　
4．（2016秋 双台子区期末）计算：x（x2+x﹣1）﹣（2x2﹣1）（x﹣4）．
　　
5．（2017春 吉州区期末）已知ax2+bx+1与2x2﹣3x+1的积不含x3项，也不含x项，求a与b的值．
2第1讲 整式的乘方
知识点1同底数幂的乘法
(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即（都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.
　
1．（2017秋 潮安区期末）如果32×27=3n，则n的值为（　　）
A．6 B．1 C．5 D．8
【解答】解：32×27=32×33=32+3=35=3n，
∴n=5．
故选：C．
2．（2017秋 莒县期末）若x+2y﹣4=0，则22y 2x﹣2的值等于（　　）
A．4 B．6 C．﹣4 D．8
【解答】解：∵x+2y﹣4=0，
∴x+2y=4，
∴22y 2x﹣2=22y+x﹣2=24﹣2=22=4，
故选：A．
3．（2017秋 宁阳县期中）计算：0.1253×（﹣8）3的结果是（　　）
A．﹣8 B．8 C．1 D．﹣1
【解答】解：原式=（）3×（﹣8）3=[×（﹣8）]3=﹣1，
故选：D．
　
4．（2018春 合浦县期中）（﹣b）2 （﹣b）3 （﹣b）5=_____．
【解答】解：原式=（﹣b）2+3+5
=（﹣b）10
=b10．
故答案为：b10．
　
5．（2017秋 上杭县期中）阅读理解：
乘方的定义可知：an=a×a×a×…×a（n个a相乘）．观察下列算式回答问题：
32×35=（3×3）×（3×3×3×3×3）=3×3×…×3=37（7个3相乘）
42×45=（4×4）×（4×4×4×4×4）=4×4×…×4=47（7个4相乘）
52×55=（5×5）×（5×5×5×5×5）=5×5×…×5=57（7个5相乘）
（1）20172×20175=_____；
（2）m2×m5=_____；
（3）计算：（﹣2）2016×（﹣2）2017．
【解答】解：（1）20172×20175=20177，
故答案为：20177；
（2）m2×m5=m7，
故答案为：m7；
（3）（﹣2）2016×（﹣2）2017
=（﹣2）2016+2017
=（﹣2）4033
=﹣24033．
知识点2幂的乘方与积的乘方
幂的乘方法则
(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
要点诠释：（1）公式的推广： (，均为正整数)
（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.
积的乘方法则
(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
要点诠释：（1）公式的推广： (为正整数).
（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：
1．（2017秋 新罗区校级期中）计算：
（1）（﹣x）3 （﹣x）4 （﹣x）5
（2）（﹣a2） （﹣a）3 （﹣a）4 a2．
【解答】解：（1）原式=（﹣x）12=x12
（2）原式=（﹣a2） （﹣a3） a4 a2
=a11
　
2．（2018春 高新区校级期中）（1）计算：（）2013×1.52012×（﹣1）2014
（2）若x=2m+1，y=3+4m． 请用含x的代数式表示y； 如果x=4，求此时y的值．
【解答】解：（1）原式=×（）2012×（）2012×（﹣1）2014=××（×）2012×1=×1×1=．
（2）∵4m=22m=（2m）2，x=2m+1，
∴2m=x﹣1，
∵y=4m+3，
∴y=（x﹣1）2+3，即y=x2﹣2x+4．
当x=4时，y=x2﹣2x+4=12．
3．（2018春 滨海县期中）（1）已知2x=3，2y=5，求2x+y的值；
（2）x﹣2y+1=0，求：2x÷4y×8的值．
【解答】解：（1）∵2x=3，2y=5，
∴2x+y=2x×2y=3×5=15；
（2）∵x﹣2y+1=0，
∴x﹣2y=﹣1，
∴2x÷4y×8
=2x﹣2y+3
=22
=4．
4．（2018春 东莞市校级月考）（1）解方程：3x2﹣27=0
（2）已知22x+1+4x=48，求x的值．
【解答】解：（1）移项得：3x2=27，
系数化为1得：x2=9，
开平方得：x=±3；
（2）∵22x+1+4x=2×22x+22x=3×22x=48，
∴22x=16，
∴2x=4，
解得：x=2．
5．（2017春 肃州区校级期末）计算0.1259×（﹣8）10+（）11×（2）12．
【解答】解：0.1259×（﹣8）10+（）11×（2）12
=（﹣0.125×8）9×（﹣8）+（×2）11×2
=8+2
=10．
知识点3单项式乘以单项式
单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
1．（2018春 金牛区校级月考）计算：
（1）
（2）（﹣2x）5﹣（﹣x）3 （﹣2x）2
【解答】解：（1）原式=[﹣16+1×（﹣8）]××，
=（﹣24）××，
=﹣．
（2）原式=﹣32x5+x3 4x2=﹣32x5+4x5=﹣28x5．
2．（2017秋 康巴什校级期中）计算题
（1）（﹣x）3（﹣x）2
（2）（﹣）2016×161008
（3）7x4 x5 （﹣x）7+5（x4）4﹣（﹣5x8）2．
【解答】解：（1）（﹣x）3（﹣x）2=﹣x5；
（2）（﹣）2016×161008
=（﹣）2016×42016
=（﹣×4）2016
=1；
（3）7x4 x5 （﹣x）7+5（x4）4﹣（﹣5x8）2．
=﹣7x16+5x16﹣25x16
=﹣27x16．
　
3.（2017秋 道外区校级月考）计算：2（x2）3 x3﹣（3x3）3+（5x）2 x7．
【解答】解：原式=2x6x3﹣27x9+25x2 x7
=2x9﹣27x9+25x9
=0
4.（2017秋 南昌月考）计算：．
【解答】解：
=
=．
知识点4单项式乘以多项式
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
即.
要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.
（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.
（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
1．（2018春 东台市期中）计算：
【解答】解：原式=a2b2（﹣a2b﹣12ab+b2）
=﹣8a4b3﹣a3b3+a2b4．
　
2．（2017秋 普陀区校级期中）计算：2ab2 （3a2b﹣2ab﹣1）
【解答】解：2ab2 （3a2b﹣2ab﹣1）
=6a3b3﹣4a2b3﹣2ab2．
3．（2017秋 启东市校级期中）计算：
（1）3a （a﹣4）
（2）3a3b （﹣2ab）+（﹣3a2b）2．
【解答】解：（1）原式=3a2﹣12a
（2）原式=﹣6a4b2+9a4b2
=3a4b2
　　
4．（2017秋 思明区校级期中）计算：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a﹣4）．
【解答】解：原式=6a3﹣12a2+9a﹣6a3+8a2
=﹣4a2+9a．
知识点5多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.
1．（2018 石家庄一模）已知：a+b=4
（1）求代数式（a+1）（b+1）﹣ab值；
（2）若代数式a2﹣2ab+b2+2a+2b的值等于17，求a﹣b的值．
【解答】解：（1）原式=ab+a+b+1﹣ab=a+b+1，
当a+b=4时，原式=4+1=5；
（2）∵a2﹣2ab+b2+2a+2b=（a﹣b）2+2（a+b），
∴（a﹣b）2+2×4=17，
∴（a﹣b）2=9，
则a﹣b=3或﹣3．
　
2．（2018春 慈利县期中）已知：（x﹣1）（x+3）=ax2+bx+c，求代数式9a﹣3b+c的值．
【解答】解：∵（x﹣1）（x+3）=x2+3x﹣x﹣3=x2+2x﹣3，
∴a=1、b=2、c=﹣3，
则原式=9×1﹣3×2﹣3
=9﹣6﹣3
=0．
3．（2018春 开福区校级期中）小明与小乐两人共同计算（2x+a）（3x+b），小明抄错为（2x﹣a）（3x+b），得到的结果为6x2﹣13x+6；小乐抄错为（2x+a）（x+b），得到的结果为2x2﹣x﹣6．
（1）式子中的a，b的值各是多少？
（2）请计算出原题的答案．
【解答】解：（1）∵（2x﹣a）（3x+b）=6x2+（2b﹣3a）x﹣ab=6x2﹣13x+6，
∴2b﹣3a=﹣13①，
∵（2x+a）（x+b）=2x2+（2b+a）x+ab=2x2﹣x﹣6，
∴2b+a=﹣1②，
联立方程①②，
可得，
解得：；
（2）（2x+a）（3x+b）=（2x+3）（3x﹣2）=6x2+5x﹣6．
　
4．（2016秋 双台子区期末）计算：x（x2+x﹣1）﹣（2x2﹣1）（x﹣4）．
【解答】解：原式=x3+x2﹣x﹣（2x3﹣8x2﹣x+4）．
=x3+x2﹣x﹣2x3+8x2+x﹣4
=﹣x3+9x2﹣4
　　
5．（2017春 吉州区期末）已知ax2+bx+1与2x2﹣3x+1的积不含x3项，也不含x项，求a与b的值．
【解答】解：根据题意列得：（ax2+bx+1）（2x2﹣3x+1）=2ax4+（2b﹣3a）x3+（a+2﹣3b）x2+（b﹣3）x+1，
∵不含x3的项，也不含x的项，
∴2b﹣3a=0，b﹣3=0，
解得a=2，b=3．
2

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