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第1讲 整式的乘方
知识点1同底数幂的乘法
(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即（都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.
　
1．（2018春 太仓市期中）已知n是大于1的自然数，则（﹣c）n﹣1 （﹣c）n+1等于（　　）
A． B．﹣2nc C．﹣c2n D．c2n
2.（2018 河东区一模）（﹣p）2 （﹣p）3=_____．
　
3．（2018春 苏州期中）规定a*b=2a×2b，求：
（1）求2*3；
（2）若2*（x+1）=16，求x的值．
　
4．（2018春 开福区校级期中）阅读材料：n个相同的因数a相乘，可记为an，如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28=3）．一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab=n）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．
根据以上材料，解决下列问题：
（1）计算以下各对数的值：log24=____，log216=____，log264=____；
（2）根据（1）中的计算结果，写出log24，log216，log264满足的关系式；
（3）根据（2）中的关系式及4，16，64满足的关系式猜想一般性结论：
logaM+logaN=_____（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）；
（4）根据幂的运算法则说明（3）中一般性结论的正确性．
知识点2幂的乘方与积的乘方
幂的乘方法则
(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
要点诠释：（1）公式的推广： (，均为正整数)
（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.
积的乘方法则
(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
要点诠释：（1）公式的推广： (为正整数).
（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：
1．（2018 长安区一模）图中是小明完成的一道作业题，请你参考小明答方法解答下面的问题：
（1）计算：①82008×（﹣0.125）2008；
②（）11×（﹣）13×（）12．
（2）若2 4n 16n=219，求n的值．
　
2．（2017秋 梁园区期末）若am=an（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m=n．
你能利用上面的结论解决下面的2个问题吗？试试看，相信你一定行！
①如果2×8x×16x=222，求x的值；
②如果（27﹣x）2=38，求x的值．
3．（2018春 秦都区期中）计算：x4 x5 （﹣x）7+5（x4）4﹣（x8）2．
　
4．（2018春 新区期中）已知常数a、b满足3a×32b=27，且（5a）2×（52b）2÷（53a）b=1，求a2+4b2的值．
　
5．（2017春 惠山区期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac=b，那么（a，b）=c．
例如：因为23=8，所以（2，8）=3．
（1）根据上述规定，填空：
（3，27）=____，（5，1）=____，（2，）=_____　．
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）=（3，4），小明给出了如下的证明：
设（3n，4n）=x，则（3n）x=4n，即（3x）n=4n
所以3x=4，即（3，4）=x，
所以（3n，4n）=（3，4）．
请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，4）+（3，5）=（3，20）
知识点3单项式乘以单项式
单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
1．（2017秋 重庆期中）若（am+1bn+2）（a2n﹣1b2n）=a5b3，则求m+n的值．
2．（2017秋 顺庆区校级期中）计算
（1）a3 a4 a+（a2）4+（﹣2a4）2
（2）（﹣3x2y）2 （﹣xyz） xz2．
3．（2017秋 耒阳市校级月考）已知x3m=2，y2m=3，求（x2m）3+（ym）6﹣（x2y）3m ym的值．
　　
4．（2017春 滦南县校级月考）（1）计算：2x3（x3）2﹣（3x3）3+5x2 x7
（2）用简便算法计算：（﹣9）3×（﹣）3×（）3．
知识点4单项式乘以多项式
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
即.
要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.
（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.
（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
1．（2017秋 路北区期中）计算：x（x﹣1）+2x（x+1）﹣3x（2x﹣5）
2．（2017秋 黄浦区期中）计算：．
　
3．（2017秋 顺庆区校级期中）若ab2=﹣1，求﹣ab（a2b5﹣ab3﹣2b）的值．
　
4．（2017秋 黄浦区期中）解方程：2x（x+1）﹣（3x﹣2）x=1﹣x2．
知识点5多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.
1．（2017秋 庆云县期末）探究应用：
（1）计算：（x+1）（x2﹣x+1）=_____；（2x+y）（4x2﹣2xy+y2）=______．
（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含a、b的字母表示该公式为：__________．
（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是_____．
A．（m+2）（m2+2m+4）B．（m+2n）（m2﹣2mn+2n2）
C．（3+n）（9﹣3n+n2） D．（m+n）（m2﹣2mn+n2）
2．（2018春 滦南县期中）已知代数式（ax﹣3）（2x+4）﹣x2﹣b化简后，不含x2项和常数项．求a，b的值
　
3．（2018春 成都期中）已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+1）展开后的结果中不含x3、x2项．求m+n的值．
　
4．（2018春 太原期中）根据几何图形的面积关系可以形象直观地表示多项式的乘法．例如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2可以用图（1）表示
（1）根据图（2），写出一个多项式乘以多项式的等式；
（2）从A，B两题中任选一题作答：
A．请画出一个几何图形，表示（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq，并仿照上图标明相应的字母；
B．请画出一个几何图形，表示（x﹣p）（x﹣q）=x2﹣（p+q）x+pq，并仿照上图标明相应的字母．
1第1讲 整式的乘方
知识点1同底数幂的乘法
(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即（都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.
　
1．（2018春 太仓市期中）已知n是大于1的自然数，则（﹣c）n﹣1 （﹣c）n+1等于（　　）
A． B．﹣2nc C．﹣c2n D．c2n
【解答】解：（﹣c）n﹣1 （﹣c）n+1，
=（﹣c）n﹣1+n+1，
=（﹣c）2n，
=c2n；
故选：D．
2.（2018 河东区一模）（﹣p）2 （﹣p）3=_____．
【解答】解：（﹣p）2 （﹣p）3=（﹣p）2+3=（﹣p）5=﹣p5；
故答案是：﹣p5．
　
3．（2018春 苏州期中）规定a*b=2a×2b，求：
（1）求2*3；
（2）若2*（x+1）=16，求x的值．
【解答】解：（1）∵a*b=2a×2b，
∴2*3=22×23=4×8=32；
（2）∵2*（x+1）=16，
∴22×2x+1=24，
则2+x+1=4，
解得：x=1．
　
4．（2018春 开福区校级期中）阅读材料：n个相同的因数a相乘，可记为an，如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28=3）．一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab=n）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．
根据以上材料，解决下列问题：
（1）计算以下各对数的值：log24=____，log216=____，log264=____；
（2）根据（1）中的计算结果，写出log24，log216，log264满足的关系式；
（3）根据（2）中的关系式及4，16，64满足的关系式猜想一般性结论：
logaM+logaN=_____（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）；
（4）根据幂的运算法则说明（3）中一般性结论的正确性．
【解答】解：（1）log24=2，log216=4，log264=6；
故答案为：2，4，6；
（2）由（1）得：log2 4+log2 16=log2 64；
（3）由（2）得：logaM+logaN=loga MN；
故答案为：loga MN；
（4）记loga M=m，loga N=n，
则M=am，N=an，
所以MN=am an=am+n，
所以loga MN=loga am+n=m+n，
所以loga M+loga N=loga MN．
知识点2幂的乘方与积的乘方
幂的乘方法则
(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
要点诠释：（1）公式的推广： (，均为正整数)
（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.
积的乘方法则
(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
要点诠释：（1）公式的推广： (为正整数).
（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：
1．（2018 长安区一模）图中是小明完成的一道作业题，请你参考小明答方法解答下面的问题：
（1）计算：①82008×（﹣0.125）2008；
②（）11×（﹣）13×（）12．
（2）若2 4n 16n=219，求n的值．
【解答】解：（1）①82008×（﹣0.125）2008
=（﹣8×0.125）2018
=（﹣1）2018
=1；
②原式=（﹣××）11××（﹣）2
=﹣×
=﹣；
（2）由已知得，2 4n 16n=219，
则2 22n 24n=219，
故1+2n+4n=19，
解得：n=3．
　
2．（2017秋 梁园区期末）若am=an（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m=n．
你能利用上面的结论解决下面的2个问题吗？试试看，相信你一定行！
①如果2×8x×16x=222，求x的值；
②如果（27﹣x）2=38，求x的值．
【解答】解：（1）∵2×8x×16x=21+3x+4x=222，
∴1+3x+4x=22，
解得，x=3；
故答案为：3．
（2）∵（27﹣x）2=3﹣6x=38，
∴﹣6x=8，
解得x=﹣；
故答案为：﹣．
3．（2018春 秦都区期中）计算：x4 x5 （﹣x）7+5（x4）4﹣（x8）2．
【解答】解：x4 x5 （﹣x）7+5（x4）4﹣（x8）2=x9 （﹣x7）+5x16﹣x16=﹣x16+5x16﹣x16=3x16；
　
4．（2018春 新区期中）已知常数a、b满足3a×32b=27，且（5a）2×（52b）2÷（53a）b=1，求a2+4b2的值．
【解答】解：∵3a×32b=27，
∴3a+2b=33，
故a+2b=3，
∵（5a）2×（52b）2÷（53a）b=1，
∴52a+4b÷53ab=1，
∴2a+4b﹣3ab=0，
∵a+2b=3，
∴6﹣3ab=0，
则ab=2，
∴a2+4b2=（a+2b）2﹣4ab
=32﹣4×2
=1．
　
5．（2017春 惠山区期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac=b，那么（a，b）=c．
例如：因为23=8，所以（2，8）=3．
（1）根据上述规定，填空：
（3，27）=____，（5，1）=____，（2，）=_____　．
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）=（3，4），小明给出了如下的证明：
设（3n，4n）=x，则（3n）x=4n，即（3x）n=4n
所以3x=4，即（3，4）=x，
所以（3n，4n）=（3，4）．
请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，4）+（3，5）=（3，20）
【解答】解：（1）∵33=27，
∴（3，27）=3；
∵50=1，
∴（5，1）=0；
∵2﹣2=，
∴（2，）=﹣2；
（2）设（3，4）=x，（3，5）=y，
则3x=4，3y=5，
∴3x+y=3x 3y=20，
∴（3，20）=x+y，
∴（3，4）+（3，5）=（3，20）．
故答案为：3，0，﹣2．　
知识点3单项式乘以单项式
单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
1．（2017秋 重庆期中）若（am+1bn+2）（a2n﹣1b2n）=a5b3，则求m+n的值．
【解答】解：∵（am+1bn+2）（a2n﹣1b2n）=a5b3，
∴，
解得：，
则m+n=4．　
2．（2017秋 顺庆区校级期中）计算
（1）a3 a4 a+（a2）4+（﹣2a4）2
（2）（﹣3x2y）2 （﹣xyz） xz2．
【解答】解：（1）原式=ɑ8+ɑ8+ɑ8
=6ɑ8；
（2）原式=9x4y2 （﹣xyz） xz2
=﹣x6y3z3．
3．（2017秋 耒阳市校级月考）已知x3m=2，y2m=3，求（x2m）3+（ym）6﹣（x2y）3m ym的值．
【解答】解：∵x3m=2，y2m=3，
∴（x2m）3+（ym）6﹣（x2y）3m ym
=（x3m）2+（y2m）3﹣（x6my3m×ym）
=（x3m）2+（y2m）3﹣（x3my2m）2
=22+33﹣（2×3）2
=﹣5．
　　
4．（2017春 滦南县校级月考）（1）计算：2x3（x3）2﹣（3x3）3+5x2 x7
（2）用简便算法计算：（﹣9）3×（﹣）3×（）3．
【解答】解：（1）原式=2x9﹣27x9+5x9=﹣20x9；
（2）原式=[（﹣9）×（﹣）×]3=23=8．
知识点4单项式乘以多项式
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
即.
要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.
（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.
（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
1．（2017秋 路北区期中）计算：x（x﹣1）+2x（x+1）﹣3x（2x﹣5）
【解答】解：原式=x2﹣x+2x2+2x﹣6x2+15x=﹣3x2+16x．
2．（2017秋 黄浦区期中）计算：．
【解答】解：原式=4x2y4（y2﹣x2﹣xy）
=x2y6﹣2x4y4﹣6x3y5．
　
3．（2017秋 顺庆区校级期中）若ab2=﹣1，求﹣ab（a2b5﹣ab3﹣2b）的值．
【解答】解：原式=﹣a3b6+a2b4+2ab2
=﹣（ab2）3+（ab2）2+2（ab2）
∵ɑb2=﹣1
∴原式=1+1﹣2=0．
　
4．（2017秋 黄浦区期中）解方程：2x（x+1）﹣（3x﹣2）x=1﹣x2．
【解答】解：2x（x+1）﹣（3x﹣2）x=1﹣x2，
去括号得：2x2+2x﹣3x2+2x=1﹣x2，
整理得：4x=1，
解得：x=．
知识点5多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.
1．（2017秋 庆云县期末）探究应用：
（1）计算：（x+1）（x2﹣x+1）=_____；（2x+y）（4x2﹣2xy+y2）=______．
（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含a、b的字母表示该公式为：__________．
（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是_____．
A．（m+2）（m2+2m+4）B．（m+2n）（m2﹣2mn+2n2）
C．（3+n）（9﹣3n+n2） D．（m+n）（m2﹣2mn+n2）
【解答】解：（1）（x+1）（x2﹣x+1）=x3﹣x2+x+x2﹣x+1=x3+1，
（2x+y）（4x2﹣2xy+y2）=8x3﹣4x2y+2xy2+4x2y﹣2xy2+y3=8x3+y3，
（2）（a+b）（a2﹣ab+b2）=a3+b3；
（3）由（2）可知选（C）；
故答案为：（1）x3+1；8x3+y3；（2）（a+b）（a2﹣ab+b2）=a3+b3；（3）（C）
2．（2018春 滦南县期中）已知代数式（ax﹣3）（2x+4）﹣x2﹣b化简后，不含x2项和常数项．求a，b的值
【解答】解：原式=2ax2+4ax﹣6x﹣12﹣x2﹣b
=（2a﹣1）x2+（4a﹣6）x+（﹣12﹣b），
∵不含x2项和常数项，
∴2a﹣1=0，﹣12﹣b=0，
∴a=，b=﹣12．
　
3．（2018春 成都期中）已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+1）展开后的结果中不含x3、x2项．求m+n的值．
【解答】解：（x3+mx+n）（x2﹣3x+1）
=x5﹣3x4+x3+mx3﹣3mx2+mx+nx2﹣3nx+n
=x5﹣3x4+（1+m）x3+（﹣3m+n）x2+（m﹣3n）x+n
因为展开后的结果中不含x3、x2项
所以1+m=0﹣3m+n=0
所以m=﹣1 n=﹣3 m+n=﹣1+（﹣3 ）=﹣4．
　
4．（2018春 太原期中）根据几何图形的面积关系可以形象直观地表示多项式的乘法．例如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2可以用图（1）表示
（1）根据图（2），写出一个多项式乘以多项式的等式；
（2）从A，B两题中任选一题作答：
A．请画出一个几何图形，表示（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq，并仿照上图标明相应的字母；
B．请画出一个几何图形，表示（x﹣p）（x﹣q）=x2﹣（p+q）x+pq，并仿照上图标明相应的字母．
【解答】解：（1）由图2可得等式：（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2；
（1）A、画出的图形如下：
B、
2

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