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第2讲 乘法公式
知识点1平方差公式
平方差公式
平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如
（3）指数变化：如
（4）符号变化：如
（5）增项变化：如
（6）增因式变化：如
1．（2017秋 武清区期末）若（2a+3b）（　　）=4a2﹣9b2，则括号内应填的代数式是（　　）
A．﹣2a﹣3b B．2a+3b C．2a﹣3b D．3b﹣2a
　
2．（2017秋 鞍山期末）（﹣5a2+4b2）（　　）=25a4﹣16b4，括号内应填（　　）
A．5a2+4b2 B．5a2﹣4b2 C．﹣5a2﹣4b2 D．﹣5a2+4b2
　
3．（2017秋 前郭县期末）下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（　　）
A．（﹣a+b）（a﹣b） B．（x+2）（2+x） C．（+y）（y﹣） D．（x﹣2）（x+1）
　　
4．（2017秋 潮安区期末）下列运用平方差公式计算，错误的是（　　）
A．（b+a） （a﹣b）=a2﹣b2 B．（m2+n2）（m2﹣n2）=m4﹣n4
C．（2﹣3x） （﹣3x﹣2）=9x2﹣4 D．（2x+1）（2x﹣1）=2x2﹣1
　
5．（2018春 陈仓区期中）下列各式中能用平方差公式计算的是（　　）
A．（﹣3x﹣2y）（3x﹣2y） B．（﹣2a﹣b）（2a+b） C．（x+2y）（2x﹣y） D．（m﹣n）（n﹣m）
6．（2017秋 利川市期末）计算（a﹣3b）（a+3b）﹣（﹣a﹣2b）（a﹣2b）
　　
7．（2017秋 自贡期末）计算：
（1）（x+2y）（2x﹣y）
（2）（2a﹣3b）（﹣2a﹣3b）
　
8．（2018春 兴化市期中）计算：
（1）（2a+1）（﹣a﹣2）；
（2）（x+y﹣3）（x﹣y+3）．
　
9．（2018春 灌阳县期中）运用乘法公式计算
（1）103×97
（2）1022
知识点2完全平方公式
完全平方公式：
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
1．（2018 白云区二模）运用乘法公式计算（a﹣3）2的结果是（　　）
A．a2﹣6a+9 B．a2﹣3a+9 C．a2﹣9 D．a2﹣6a﹣9
2．（2017秋 乐陵市期末）若（a+b）2=（a﹣b）2+A，则A为（　　）
A．2ab B．﹣2ab C．4ab D．﹣4ab
3．（2018春 天心区校级期末）运算结果是x4y2﹣2x2y+1的是（　　）
A．（﹣1+x2y2）2 B．（1+x2y2）2 C．（﹣1+x2y）2 D．（﹣1﹣x2y）2
4．（2017秋 长春期末）若a+b=3，ab=2，则a2+b2的值是（　　）
A．2.5 B．5 C．10 D．15
5．（2018春 天心区校级期末）下列关于962的计算方法正确的是（　　）
A．962=（100﹣4）2=1002﹣42=9984
B．962=（95+1）（95﹣1）=952﹣1=9024
C．962=（90+6）2=902+62=8136
D．962=（100﹣4）2=1002﹣2×4×100+42=9216
6．（2018春 金牛区期中）计算（﹣2m﹣1）2等于（　　）
A．﹣4m2﹣4m+1 B．4m2﹣4m+1 C．4m2+4m+1 D．﹣（4m2﹣4m﹣1）
7．（2017秋 和平区期末）运用完全平方公式计算：992．
8．（2018春 合浦县期中）已知：a+b=﹣3，ab=2，求a2+b2的值．
9．（2016秋 罗平县期末）将4个数a b c d排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成，定义=ad﹣bc．
上述记号叫做2阶行列式，若=8．求x的值．
知识点3完全平方式
完全平方公式：
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
1．（2018 曲靖一模）x2﹣4x+m2是一个完全平方式，则m的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．+2和﹣2 D．4
2．（2017秋 浦东新区期末）如果二次三项式x2﹣8x+m能配成完全平方式，那么m的值是______．
3．（2017秋 武昌区期末）若代数式x2﹣8x+m为完全平方式，则m=____．
4．（2018春 灵石县期中）一个正方形的面积是（a2+8a+16）cm2，则此正方形的边长是______cm．
5．（2017春 临泽县校级期末）如果9x2+kx+25是一个完全平方式，那么k的值是_____．
1第2讲 乘法公式
知识点1平方差公式
平方差公式
平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如
（3）指数变化：如
（4）符号变化：如
（5）增项变化：如
（6）增因式变化：如
1．（2017秋 武清区期末）若（2a+3b）（　　）=4a2﹣9b2，则括号内应填的代数式是（　　）
A．﹣2a﹣3b B．2a+3b C．2a﹣3b D．3b﹣2a
【解答】解：∵4a2﹣9b2=（2a+3b）（2a﹣3b），
∴（2a+3b）（2a﹣3b）=4a2﹣9b2，
故选：C．
　
2．（2017秋 鞍山期末）（﹣5a2+4b2）（　　）=25a4﹣16b4，括号内应填（　　）
A．5a2+4b2 B．5a2﹣4b2 C．﹣5a2﹣4b2 D．﹣5a2+4b2
【解答】解：∵（﹣5a2+4b2）（﹣5a2﹣4b2）=25a4﹣16b4，
∴应填：﹣5a2﹣4b2．
故选：C．
　
3．（2017秋 前郭县期末）下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（　　）
A．（﹣a+b）（a﹣b） B．（x+2）（2+x） C．（+y）（y﹣） D．（x﹣2）（x+1）
【解答】解：（A）原式=﹣（a﹣b）（a﹣b）=﹣（a﹣b）2，故A不能用平方差公式；
（B）原式=（x+2）2，故B不能用平方差公式；
（D）原式=x2﹣x+1，故D不能用平方差公式；
故选：C．
　　
4．（2017秋 潮安区期末）下列运用平方差公式计算，错误的是（　　）
A．（b+a） （a﹣b）=a2﹣b2 B．（m2+n2）（m2﹣n2）=m4﹣n4
C．（2﹣3x） （﹣3x﹣2）=9x2﹣4 D．（2x+1）（2x﹣1）=2x2﹣1
【解答】解：A．（b+a）（a﹣b）=a2﹣b2，计算正确，故本选项不符合题意；
B．（m2+n2）（m2﹣n2）=m4﹣n4，计算正确，故本选项不符合题意；
C．（2﹣3x）（﹣3x﹣2）=9x2﹣4，计算正确，故本选项不符合题意；
D．（2x+1）（2x﹣1）=4x2﹣1，故本选项错误；
故选：D．
　
5．（2018春 陈仓区期中）下列各式中能用平方差公式计算的是（　　）
A．（﹣3x﹣2y）（3x﹣2y） B．（﹣2a﹣b）（2a+b） C．（x+2y）（2x﹣y） D．（m﹣n）（n﹣m）
【解答】解：A、能用平方差公式计算，故此选项正确；
B、不能用平方差公式计算，故此选项错误；
C、不能用平方差公式计算，故此选项错误；
D、不能用平方差公式计算，故此选项错误；
故选：A．
6．（2017秋 利川市期末）计算（a﹣3b）（a+3b）﹣（﹣a﹣2b）（a﹣2b）
【解答】解：原式=a2﹣9b2﹣（4b2﹣a2）
=2a2﹣13b2．
　　
7．（2017秋 自贡期末）计算：
（1）（x+2y）（2x﹣y）
（2）（2a﹣3b）（﹣2a﹣3b）
【解答】解：（1）（x+2y）（2x﹣y）=2x2+3xy﹣2y2；
（2）（2a﹣3b）（﹣2a﹣3b）=（﹣3b）2﹣（2a）2=9b2﹣4a2．
　
8．（2018春 兴化市期中）计算：
（1）（2a+1）（﹣a﹣2）；
（2）（x+y﹣3）（x﹣y+3）．
【解答】解：（1）原式=﹣2a2﹣4a﹣a﹣2=﹣2a2﹣5a﹣2；
（2）原式=[x+（y﹣3）][x﹣（y﹣3）]
=x2﹣（y﹣3）2
=x2﹣（y2﹣6y+9）
=x2﹣y2+6y﹣9．
　
9．（2018春 灌阳县期中）运用乘法公式计算
（1）103×97
（2）1022
【解答】解：（1）103×97
=（100+3）×（100﹣3）
=1002﹣32
=9991；
（2）1022=（100+2）2
=1002+2×100×2+22
=10404．
知识点2完全平方公式
完全平方公式：
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
1．（2018 白云区二模）运用乘法公式计算（a﹣3）2的结果是（　　）
A．a2﹣6a+9 B．a2﹣3a+9 C．a2﹣9 D．a2﹣6a﹣9
【解答】解：（a﹣3）2=a2﹣6a+9．
故选：A．
2．（2017秋 乐陵市期末）若（a+b）2=（a﹣b）2+A，则A为（　　）
A．2ab B．﹣2ab C．4ab D．﹣4ab
【解答】解：∵（a+b）2=a2+2ab+b2，（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，
∴A=（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab．
故选：C．
3．（2018春 天心区校级期末）运算结果是x4y2﹣2x2y+1的是（　　）
A．（﹣1+x2y2）2 B．（1+x2y2）2 C．（﹣1+x2y）2 D．（﹣1﹣x2y）2
【解答】解：x4y2﹣2x2y+1=（﹣1+x2y）2．
故选：C．
4．（2017秋 长春期末）若a+b=3，ab=2，则a2+b2的值是（　　）
A．2.5 B．5 C．10 D．15
【解答】解：a2+b2=（a+b）2﹣2ab=32﹣2×2=5．
故选：B．
5．（2018春 天心区校级期末）下列关于962的计算方法正确的是（　　）
A．962=（100﹣4）2=1002﹣42=9984
B．962=（95+1）（95﹣1）=952﹣1=9024
C．962=（90+6）2=902+62=8136
D．962=（100﹣4）2=1002﹣2×4×100+42=9216
【解答】解：A、962=（100﹣4）2=1002﹣2×100×4+42=9216，故选项错误；
B、962=（95+1）（95+1）=952+2×95×1+1=9216，故选项错误；
C、962=（90+6）2=902+2×90×6+62=9216，故选项错误；
D、962=（100﹣4）2=1002﹣2×100×4+42=9216，故选项正确．
故选：D．
6．（2018春 金牛区期中）计算（﹣2m﹣1）2等于（　　）
A．﹣4m2﹣4m+1 B．4m2﹣4m+1 C．4m2+4m+1 D．﹣（4m2﹣4m﹣1）
【解答】解：（﹣2m﹣1）2=4m2+4m+1．
故选：C．
7．（2017秋 和平区期末）运用完全平方公式计算：992．
【解答】解：992=（100﹣1）2
=1002﹣2×100×1+12
=9801．
8．（2018春 合浦县期中）已知：a+b=﹣3，ab=2，求a2+b2的值．
【解答】解：∵a+b=﹣3，ab=2，
∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab
=（﹣3）2﹣2×2
=9﹣4
=5．
9．（2016秋 罗平县期末）将4个数a b c d排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成，定义=ad﹣bc．
上述记号叫做2阶行列式，若=8．求x的值．
【解答】解：根据题意化简=8，
得：（x+1）2﹣（1﹣x）2=8，
整理得：x2+2x+1﹣（1﹣2x+x2）﹣8=0，即4x=8，
解得：x=2．
知识点3完全平方式
完全平方公式：
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
1．（2018 曲靖一模）x2﹣4x+m2是一个完全平方式，则m的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．+2和﹣2 D．4
【解答】解：∵x2﹣4x+m2=x2﹣2×2×x+m2，
∴m2=22，
解得m=2或﹣2．
故选：C．
2．（2017秋 浦东新区期末）如果二次三项式x2﹣8x+m能配成完全平方式，那么m的值是______．
【解答】解：∵二次三项式x2﹣8x+m能配成完全平方式，
∴x2﹣8x+m=（x﹣4）2，
则m=16．
故答案为：16．
3．（2017秋 武昌区期末）若代数式x2﹣8x+m为完全平方式，则m=____．
【解答】解：∵x2﹣8x+m=x2﹣2×4x+42，
∴m=42=16．　
4．（2018春 灵石县期中）一个正方形的面积是（a2+8a+16）cm2，则此正方形的边长是______cm．
【解答】解：∵一个正方形的面积是（a2+8a+16）=（a+4）2cm2，
∴此正方形的边长是：a+4．
故答案为：a+4．
5．（2017春 临泽县校级期末）如果9x2+kx+25是一个完全平方式，那么k的值是_____．
【解答】解：∵（3x±5）2=9x2±30x+25，
∴在9x2+kx+25中，k=±30．
故答案是：±30．
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