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第2讲 乘法公式
知识点1 平方差公式
平方差公式
平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如
（3）指数变化：如
（4）符号变化：如
（5）增项变化：如
（6）增因式变化：如
1.（2017秋 蓬溪县期末）若a2﹣b2=，a+b=，则a﹣b的值为（　　）
A．﹣ B． C．1 D．2
　　
2．（2018春 宜兴市期中）3（22+1）（24+1）…（232+1）+1计算结果的个位数字是（　　）
A．4 B．6 C．2 D．8
3．（2018春 宁远县期中）化简（m2+1）（m+1）（m﹣1）﹣（m4+1）的值是（　　）
A．﹣2m2 B．0 C．﹣2 D．﹣1
4．（2017秋 化德县校级期末）计算下列各题：
（1）（a﹣2b）2﹣（2a+b）（b﹣2a）﹣4a（a﹣b）
（2）（2x+3y）2﹣（4x﹣9y）（4x+9y）+（3x﹣2y）2．
知识点2完全平方公式
完全平方公式：
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
1．（2017秋 尚志市期末）已知x+y=5，xy=6，则x2+y2的值是（　　）
A．1 B．13 C．17 D．25
　　
2．（2017秋 罗平县期末）已知a+b=﹣5，ab=﹣4，则a2﹣ab+b2=（　　）
A．29 B．37 C．21 D．33
3．（2017秋 蓬溪县期末）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式乘方（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a+b）64的展开式中第三项的系数为（　　）
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
　　
4．（2018春 太仓市期中）若x，y满足x2+y2=，xy=﹣，求下列各式的值．
（1）（x+y）2
（2）x4+y4
（3）x3+y3
　
5．（2018春 成都期中）已知x+y=6，xy=5，求下列各式的值：
（1）
（2）（x﹣y）2
（3）x2+y2．
　
知识点3完全平方式
完全平方公式：
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
1．（2017秋 宜城市期末）已知a﹣=5，则a2+的值是_____．
　
2．（2017秋 卫辉市期末）当4x2+2（k﹣3）x+25是一个完全平方式，则k的值是_______．
3．（2017秋 綦江区期末）若4次3项式m4+4m2+A是一个完全平方式，则A=　________．
4．（2017 湖州模拟）已知4x2+8（n+1）x+16n是一个关于x的完全平方式，则常数n的值为_____．
　
5．（2016秋 西青区校级期末）若二次三项式x2+（2m﹣1）x+4是一个完全平方式，则m=________．
2第2讲 乘法公式
知识点1 平方差公式
平方差公式
平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如
（3）指数变化：如
（4）符号变化：如
（5）增项变化：如
（6）增因式变化：如
1.（2017秋 蓬溪县期末）若a2﹣b2=，a+b=，则a﹣b的值为（　　）
A．﹣ B． C．1 D．2
【解答】解：∵a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=，a+b=，
∴a﹣b=÷=，
故选：B．
　　
2．（2018春 宜兴市期中）3（22+1）（24+1）…（232+1）+1计算结果的个位数字是（　　）
A．4 B．6 C．2 D．8
【解答】解：原式=（22﹣1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1
=（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=264﹣1+1
=264；
∵21=2，22=4，23=8，24=16，个位数按照2，4，8，6依次循环，
而64=16×4，
∴原式的个位数为6．
故选：B．
3．（2018春 宁远县期中）化简（m2+1）（m+1）（m﹣1）﹣（m4+1）的值是（　　）
A．﹣2m2 B．0 C．﹣2 D．﹣1
【解答】解：（m2+1）（m+1）（m﹣1）﹣（m4+1）
=（m2+1）（m2﹣1）﹣（m4+1）
=m4﹣1﹣m4﹣1
=﹣2，
故选：C．
　
4．（2017秋 化德县校级期末）计算下列各题：
（1）（a﹣2b）2﹣（2a+b）（b﹣2a）﹣4a（a﹣b）
（2）（2x+3y）2﹣（4x﹣9y）（4x+9y）+（3x﹣2y）2．
【解答】解：（1）原式=a2﹣4ab+4b2﹣b2+4a2﹣4a2+4ab
=a2+3b2；
（2）原式=4x2+9y2+12xy﹣16x2+81y2+9x2+4y2﹣12xy
=﹣3x2+94y2．
知识点2完全平方公式
完全平方公式：
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
1．（2017秋 尚志市期末）已知x+y=5，xy=6，则x2+y2的值是（　　）
A．1 B．13 C．17 D．25
【解答】解：将x+y=5两边平方得：（x+y）2=x2+2xy+y2=25，
将xy=6代入得：x2+12+y2=25，
则x2+y2=13．
故选：B．
　　
2．（2017秋 罗平县期末）已知a+b=﹣5，ab=﹣4，则a2﹣ab+b2=（　　）
A．29 B．37 C．21 D．33
【解答】解：把a+b=5两边平方得：（a+b）2=a2+b2+2ab=25，
将ab=﹣4代入得：a2+b2=33，
则a2﹣ab+b2=33﹣（﹣4）=37．
故选：B．
3．（2017秋 蓬溪县期末）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式乘方（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a+b）64的展开式中第三项的系数为（　　）
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
【解答】解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3=1+2；
（a+b）4的第三项系数为6=1+2+3；
（a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4；
不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），
∴（a+b）64第三项系数为1+2+3+…+63=2016，
故选：A．
　　
4．（2018春 太仓市期中）若x，y满足x2+y2=，xy=﹣，求下列各式的值．
（1）（x+y）2
（2）x4+y4
（3）x3+y3
【解答】解：（1）原式=x2+2xy+y2=﹣1=
（2）∵（x2+y2）2=x4+2x2y2+y4，
∴=x4+y4+
∴x4+y4=
（3）由（1）可知：x+y=±，
∵原式=（x+y）（x2﹣xy+y2）
当x+y=时，
∴原式=×（+）
=
当x+y=时，
原式=×（+）
=
　
5．（2018春 成都期中）已知x+y=6，xy=5，求下列各式的值：
（1）
（2）（x﹣y）2
（3）x2+y2．
【解答】解：∵x+y=6，xy=5，
（1）；
（2）（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=62﹣4×5=16．
（3）x2+y2=（x+y）2﹣2xy=62﹣2×5=26．
　
知识点3完全平方式
完全平方公式：
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
1．（2017秋 宜城市期末）已知a﹣=5，则a2+的值是_____．
【解答】解：∵a﹣=5，
∴（a﹣）2=25，
即a2﹣2+=25，
整理得a2+=27．
故答案为：27．
　
2．（2017秋 卫辉市期末）当4x2+2（k﹣3）x+25是一个完全平方式，则k的值是_______．
【解答】解：由于（2x±5）2=4x2±20x+25=4x2+2（k﹣3）x+，
则2（k﹣3）=±20，
k=13或﹣7．
故答案为：13或﹣7．
3．（2017秋 綦江区期末）若4次3项式m4+4m2+A是一个完全平方式，则A=　________．
【解答】解：∵4次3项式m4+4m2+A是一个完全平方式，
∴当A=4时，m4+4m2+4是完全平方式；当A=±4m3时，m4±4m3+4m2是完全平方式，
故答案为：4，4m3，﹣4m3．
4．（2017 湖州模拟）已知4x2+8（n+1）x+16n是一个关于x的完全平方式，则常数n的值为_____．
【解答】解：∵4x2+8（n+1）x+16n是一个关于x的完全平方式，
∴n+1=±2，
解得：n=1，
故答案为：1
　
5．（2016秋 西青区校级期末）若二次三项式x2+（2m﹣1）x+4是一个完全平方式，则m=________．
【解答】解：∵二次三项式x2+（2m﹣1）x+4是一个完全平方式，
∴（2m﹣1）x=±2 x 2，
解得：m=或﹣，
故答案为：或﹣．
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