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第3讲 相交线及三线八角
知识点1 对顶角和邻补角
对顶角
1. 对顶角的模型：
∠1和∠2是对顶角，∠3和∠4是对顶角.
特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③角的两边互为反向延长线.
2. 对顶角的性质：对顶角相等.
邻补角
1. 邻补角：两个角有一条公共边，他们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角.
2. 邻补角的模型：
∠1和∠3是邻补角，∠1和∠4是邻补角，∠2和∠3是邻补角，∠2和∠4是邻补角，
特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.
3. 邻补角的性质：两个角的和为180°.
【典例】
1.如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示60°的点在直线a上，表示138°的点在直线b上，则∠1=_________°．
【答案】解：如图，
根据题意得：∠AOC=60°，∠BOC=138°，
∵∠AOB=∠BOC-∠AOC=138°﹣60°=78°，∠1和∠AOB是对顶角，
∴∠1=∠AOB=78°，
故答案为：78.
【方法总结】
由图可知直线a与量角器0刻度线之间的角度和直线b与量角器0刻度线之间的角度，两角的差即为直线a与直线b之间的角度.由对顶角相等可知∠1等于所求的直线a与直线b之间的角度，从而得解.
本题考查了角的度量、角计算、对顶角的性质，熟练掌握“对顶角相等”是解题的关键．
2.如图，直线AB、CD、EF相交于点O．
（1）写出∠BOE的对顶角和邻补角；
（2）若∠AOC：∠AOE=2：1，∠EOD=90°，求∠BOC的度数.
【答案】解：（1）∠BOE的对顶角为∠AOF，∠BOE的邻补角为∠AOE和∠BOF；
（2）∵∠EOD=90°，
∴∠COE=180°﹣∠EOD=90°.
∵∠AOC：∠AOE=2：1，
∴∠AOE=∠COE=30°，
∴∠AOD=∠AOE+∠EOD=30°+90°=120°，
∴∠BOC=∠AOD=120°．
【方法总结】
本题主要考查了对顶角、邻补角的定义，利用对顶角相等的性质和互为邻补角的两个角的和等于180°求解．
总结：两条直线相交所形成的4个角中，只要知道其中一个，就可以求出另外3个.
【随堂练习】
1．（2018春 天心区校级期末）在一个三角形中，一个外角是其相邻内角的2倍，那么这个外角是（　　）
A．150 B．120° C．100° D．90°
【解答】解：设与外角相邻的内角为x°，
∵一个三角形中，一个外角是其相邻内角的2倍，
∴这个外角为2x°
∴3x=180，
∴x=60，
即这个外角为120°，
故选：B．
2．（2018春 秦都区期中）已知∠1与∠2互为对顶角，∠2与∠3互余，若∠3=45°，则∠1的度数是（　　）
A．45° B．90° C．135° D．45°或135°
【解答】解：由题意可知：∠1=∠2，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠2=45°，
∴∠1=45°，
故选：A．
3．（2018春 怀柔区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，下列描述：
①∠1和∠2互为对顶角；②∠1和∠2互为邻补角；③∠1=∠2；④∠1=∠3
其中正确的是（　　）
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
【解答】解：∠1和∠2不是对顶角，故①错误；
∠1和∠2互为邻补角，故②正确；
∠1和∠2不一定相等，故③错误；
∠1=∠3，故④正确；
故选：B．
4．（2018春 贵阳期末）如图，下列各角中，是对顶角的一组是（　　）
A．∠1和∠2 B．∠1和∠3 C．∠2和∠4 D．）∠3和∠4
【解答】解：根据对顶角的定义可知：只有∠2和∠4的是对顶角，其它都不是．
故选：C．
　
知识点2 垂线
垂线
1. 两直线相交所形成的角中，当有一个角等于90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，他们的交点叫做垂足.
2. 垂直的模型：
说法：①直线a是直线b的垂线（或直线b是直线a的垂线），垂足为O.
②直线a垂直于直线b于点O（或直线b垂直于直线a于点O）.
结论：两垂直直线形成的四个角都是直角，均为90°.
3. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
垂线段
1. 过直线外一点作直线的垂线，以这个点和垂足为端点的线段叫做这个点到直线的垂线段.
2. 垂线段模型：
线段AB是点A到直线a的垂线段.
3. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
简单说成：垂线段最短.
4. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
注意：距离是长度，不是线段.
【典例】
1.如图，OM⊥NP，ON⊥NP，所以ON与OM重合，理由是_________________.
【答案】解：理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
故答案为：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
2.如图,直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB,垂足为O.
（1）写出图中与∠1互为余角的角；
（2）若∠AOC：∠2=3：2，求∠1的度数．
【答案】解：（1）∵EO⊥AB,
∴∠EOB=90°.
∴∠BOC与∠1互为余角.
∵∠2的对顶角为∠BOC，
∴∠2=∠BOC.
∴∠2与∠1互为余角.
∴与∠1互为余角的角是：∠BOC，∠2；
（2）∵∠AOC：∠2=3：2，
∴设∠AOC=3x，则∠2=2x，
故3x+2x=180°，
解得：x=36°，
则∠2=72°.
∵∠1和∠2互余，
∴∠1=90°-∠2 =90°-72°=18°．
【方法总结】
总结：在平面内过一点做已知直线的垂线具有存在性和唯一性，过一点作已知直线的两条垂线，这两条直线必重合.
方法：找一个角的余角时，先找与它相邻的（从垂直和90°角入手），再找与它补相邻的，做到不重不漏.
3.如图所示，AD⊥BD，BC⊥CD，AB=5cm，BC=3cm，则BD的长度的取值范围是________________.
【答案】3cm＜BD＜5cm
解：∵AD⊥BD，BC⊥CD，AB=5cm，BC=3cm，
∴BC＜BD＜AB，
即BD的长度的取值范围是大于3cm且小于5cm．
故答案为3cm＜BD＜5cm.
4.如图，BC⊥AC，CB=8cm，AC=6cm，AB=10cm，那么点B到AC的距离是________cm，点A到BC的距离是________cm，C到AB的距离是___________cm．
【答案】8 6 4.8
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，则线段CD的长即为点B到AC的距离，
∵BC⊥AC，CB=8cm，AB=10cm，AC=6cm，
由三角形的面积公式，得.
∴CD=6×8÷10=4.8（cm），
点A到BC的距离是6cm，
点B到AC的距离是8cm．
故答案为：8，6、4.8．
【方法总结】
总结：①直角三角形中，直角边的长可以看做是一个顶点到另一条直角边的距离；
②直角三角形中，若两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则斜边上的高为，即直角顶点到斜边的距离.
【随堂练习】
1．（2018春 禅城区期末）已知点P在直线MN外，点A、B、C均在直线MN上，PA=3cm，PB=3.5cm，PC=2cm，则点P到直线MN的距离（　　）
A．等于 3cm B．等于 2cm C．等于 3.5cm D．不大于 2cm
【解答】解：当PC⊥MN时，PC是点P到直线MN的距离，即点P到直线l的距离2cm，
当PC不垂直于MN时，点P到直线l的距离小于PC的长，即点P到直线MN的距离小于2cm，
综上所述：点P到直线MN的距离不大于2cm，
故选：D．
　
2．（2018春 隆尧县期末）如图，CD⊥AB，点E、F在AB上，且CE=10cm，CD=8cm，CF=12cm，则点C到AB的距离是_____．
【解答】解：∵CD⊥AB，点E、F在AB上，CD=8cm，
∴点C到AB的距离是CD=8cm，
故答案为：8cm．
知识点3 三线八角
模型：
1. 同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角分别在两直线的同一方，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．如∠1与∠8，∠2与∠5.
2. 内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两侧，则这样一对角叫做内错角．如∠1与∠6，∠4与∠5.
3. 同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同一旁，则这样一对角叫做同旁内角．如∠1与∠5，∠4与∠6.
4. 三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U” 形.
【典例】
1.如图，图中∠1与∠2是同位角的序号是___________.
【答案】①②④
【解析】解：图①中∠1和∠2是同位角，图②中∠1和∠2是同位角，图③中∠1和∠2不是同位角，图④中∠1和∠2是同位角，
故答案为①②④.
2.如图，已知直线a，b被直线c，d所截，直线a，c，d相交于点O，按要求完成下列各小题．
（1）在图中的∠1～∠9这9个角中，同位角共有多少对？请你全部写出来；
（2）∠4和∠5是什么位置关系的角？∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同吗？
【答案】解：（1）直接利用两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，进而得出答案.
如图所示：同位角共有5对：
分别是∠1和∠5，∠2和∠3，∠3和∠7，∠4和∠6，∠4和∠9；
（2）∠4和∠5是直线c，d被直线b所截形成的同旁内角.
∠6和∠8是直线a，b被直线d所截形成的同旁内角，
故∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同．
【方法总结】
判断一对角是不是同位角、内错角或同旁内角有两种方法：①按定义判断，找到截线（两个角的公共边所在的直线）与被截线，判断两个角的位置关系；②按两个角构成的形状判断，若构成“F”形，则为同位角；若构成“Z”形，则为内错角；若构成“U”形，则为同旁内角.数角的对数的时候，要认真仔细，做到不重不漏.
【随堂练习】
1．（2018春 鞍山期末）如图，下列说法错误的是（　　）
A．∠A与∠B是同旁内角 B．∠1与∠3是同位角
C．∠2与∠A是同位角 D．∠2与∠3是内错角
【解答】解：由图可知：∠1与∠3是同旁内角，故B说法错误，
故选：B．
2．（2018春 拱墅区期末）已知直线l1，l2，l3，（如图），∠5的内错角是（　　）
A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
【解答】解：A、∠1与∠5是邻补角，故本选项错误；
B、∠2是∠5的内错角，故本选项正确；
C、∠3是∠5的同位角，故本选项错误；
D、∠4是∠1的内错角，不是∠5的内错角，故本选项错误；
故选：B．
3．（2018 广州）如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（　　）
A．∠4，∠2 B．∠2，∠6 C．∠5，∠4 D．∠2，∠4
【解答】解：∠1的同位角是∠2，∠5的内错角是∠6，
故选：B．
4．（2018春 武清区期中）如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．∠1和∠2是内错角 B．∠1和∠4是内错角
C．∠1和∠5是同位角 D．∠1和∠2是同旁内角
【解答】解：A、∠1与∠2是同旁内角，故A错误；
B、∠1与∠4不是内错角，故B错误；
C、∠1与∠4是同位角，故C错误；
D、∠1与∠2是同旁内角，故D正确；
故选：D．
综合运用
1.如图是一把剪刀，其中∠1=∠2，其理由是__________．
【答案】对顶角相等
解：如图是一把剪刀，其中∠1=∠2，其理由是：对顶角相等．
故答案为：对顶角相等．
2.如图，线段AD、AE、AF分别是△ABC的高线，角平分线，中线，比较线段AC、AD、AE、AF的长短，其中最短的是_________________.
【答案】AD
解：根据垂线段最短可得AD最短，
故答案为AD.
3.如图所示，AB⊥l1，AC⊥l2，则点A到直线l1的距离是线段_________的长度．
【答案】AB
解：∵AB⊥l1，
∴点A到直线l1的距离是线段AB的长度．
故答案为：AB.
4.如图所示，直线AD与直线BD相交于点D，BE⊥AD，垂足为点E，AC与DC垂直于点C.点B到直线AD的距离是线段_______的长度，点D到直线AB的距离是线段______的长度．
【答案】BE，DC
解：∵BE⊥AD，垂足为点E，
∴点B到直线AD的距离是线段BE的长度，
∵AC与DC垂直于点C.
∴D到直线AB的距离是线段DC的长度．
故答案为BE，DC.
5.如图，直线a、b被直线c所截，互为同旁内角是______________.
【答案】∠4和∠5, ∠3和∠6
解：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
∵直线a、b被直线c所截，
∴互为同旁内角是∠4和∠5, ∠3和∠6.
故答案为∠4和∠5, ∠3和∠6.
6.如图所示，两只手的食指和拇指在同一平面内，它们构成的一对角可以看成__________.
【答案】内错角
解：两只手的食指和拇指在同一个平面内，它们构成的一对角成“Z”形，可看成是内错角．
故答案为：内错角.
7.如图，OC⊥AB于点O，∠1=∠2，则图中互余的角有____________对．
【答案】4
解：∵OC⊥AB于点O，
∴∠1+∠AOE=90°，∠2+∠COD=90°，
即∠1与∠AOE互为余角，∠2与∠COD互为余角，
又∵∠1=∠2，
则∠1与∠COD互为余角，∠2与∠AOE互为余角．
所以共有4对．
故答案为：4．
8.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=76°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数．
【答案】
解：由对顶角相等，得∠BOD=∠AOC=76°.
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=∠BOD=38°.
∵∠DOF=90°，
∴∠EOF=∠DOF﹣∠DOE=90°﹣38°=52°．
9.如图所示：
（1）与∠B是同旁内角的有哪些角？
（2）与∠C是内错角的有哪些角？
它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？
【答案】
解：（1）当直线DE与BC被AB所截时，∠EAB与∠B是同旁内角；
当直线AC与BC被AB所截时，∠BAC与∠B是同旁内角；
当直线AB与AC被BC所截时，∠C与∠B是同旁内角；
（2）当直线DE与BC被AC所截时，∠1与∠C是内错角．
17第3讲 相交线及三线八角
知识点1 对顶角和邻补角
对顶角
1. 对顶角的模型：
∠1和∠2是对顶角，∠3和∠4是对顶角.
特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③角的两边互为反向延长线.
2. 对顶角的性质：对顶角相等.
邻补角
1. 邻补角：两个角有一条公共边，他们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角.
2. 邻补角的模型：
∠1和∠3是邻补角，∠1和∠4是邻补角，∠2和∠3是邻补角，∠2和∠4是邻补角，
特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.
3. 邻补角的性质：两个角的和为180°.
【典例】
1.如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示60°的点在直线a上，表示138°的点在直线b上，则∠1=_________°．
【方法总结】
由图可知直线a与量角器0刻度线之间的角度和直线b与量角器0刻度线之间的角度，两角的差即为直线a与直线b之间的角度.由对顶角相等可知∠1等于所求的直线a与直线b之间的角度，从而得解.
本题考查了角的度量、角计算、对顶角的性质，熟练掌握“对顶角相等”是解题的关键．
2.如图，直线AB、CD、EF相交于点O．
（1）写出∠BOE的对顶角和邻补角；
（2）若∠AOC：∠AOE=2：1，∠EOD=90°，求∠BOC的度数.
【方法总结】
本题主要考查了对顶角、邻补角的定义，利用对顶角相等的性质和互为邻补角的两个角的和等于180°求解．
总结：两条直线相交所形成的4个角中，只要知道其中一个，就可以求出另外3个.
【随堂练习】
1．（2018春 天心区校级期末）在一个三角形中，一个外角是其相邻内角的2倍，那么这个外角是（　　）
A．150 B．120° C．100° D．90°
2．（2018春 秦都区期中）已知∠1与∠2互为对顶角，∠2与∠3互余，若∠3=45°，则∠1的度数是（　　）
A．45° B．90° C．135° D．45°或135°
3．（2018春 怀柔区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，下列描述：
①∠1和∠2互为对顶角；②∠1和∠2互为邻补角；③∠1=∠2；④∠1=∠3
其中正确的是（　　）
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
4．（2018春 贵阳期末）如图，下列各角中，是对顶角的一组是（　　）
A．∠1和∠2 B．∠1和∠3 C．∠2和∠4 D．）∠3和∠4
知识点2 垂线
垂线
1. 两直线相交所形成的角中，当有一个角等于90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，他们的交点叫做垂足.
2. 垂直的模型：
说法：①直线a是直线b的垂线（或直线b是直线a的垂线），垂足为O.
②直线a垂直于直线b于点O（或直线b垂直于直线a于点O）.
结论：两垂直直线形成的四个角都是直角，均为90°.
3. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
垂线段
1. 过直线外一点作直线的垂线，以这个点和垂足为端点的线段叫做这个点到直线的垂线段.
2. 垂线段模型：
线段AB是点A到直线a的垂线段.
3. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
简单说成：垂线段最短.
4. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
注意：距离是长度，不是线段.
【典例】
1.如图，OM⊥NP，ON⊥NP，所以ON与OM重合，理由是_________________.
2.如图,直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB,垂足为O.
（1）写出图中与∠1互为余角的角；
（2）若∠AOC：∠2=3：2，求∠1的度数．
【方法总结】
总结：在平面内过一点做已知直线的垂线具有存在性和唯一性，过一点作已知直线的两条垂线，这两条直线必重合.
方法：找一个角的余角时，先找与它相邻的（从垂直和90°角入手），再找与它补相邻的，做到不重不漏.
3.如图所示，AD⊥BD，BC⊥CD，AB=5cm，BC=3cm，则BD的长度的取值范围是________________.
4.如图，BC⊥AC，CB=8cm，AC=6cm，AB=10cm，那么点B到AC的距离是________cm，点A到BC的距离是________cm，C到AB的距离是___________cm．
【方法总结】
总结：①直角三角形中，直角边的长可以看做是一个顶点到另一条直角边的距离；
②直角三角形中，若两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则斜边上的高为，即直角顶点到斜边的距离.
【随堂练习】
1．（2018春 禅城区期末）已知点P在直线MN外，点A、B、C均在直线MN上，PA=3cm，PB=3.5cm，PC=2cm，则点P到直线MN的距离（　　）
A．等于 3cm B．等于 2cm C．等于 3.5cm D．不大于 2cm
　
2．（2018春 隆尧县期末）如图，CD⊥AB，点E、F在AB上，且CE=10cm，CD=8cm，CF=12cm，则点C到AB的距离是_____．
知识点3 三线八角
模型：
1. 同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角分别在两直线的同一方，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．如∠1与∠8，∠2与∠5.
2. 内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两侧，则这样一对角叫做内错角．如∠1与∠6，∠4与∠5.
3. 同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同一旁，则这样一对角叫做同旁内角．如∠1与∠5，∠4与∠6.
4. 三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U” 形.
【典例】
1.如图，图中∠1与∠2是同位角的序号是___________.
2.如图，已知直线a，b被直线c，d所截，直线a，c，d相交于点O，按要求完成下列各小题．
（1）在图中的∠1～∠9这9个角中，同位角共有多少对？请你全部写出来；
（2）∠4和∠5是什么位置关系的角？∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同吗？
【方法总结】
判断一对角是不是同位角、内错角或同旁内角有两种方法：①按定义判断，找到截线（两个角的公共边所在的直线）与被截线，判断两个角的位置关系；②按两个角构成的形状判断，若构成“F”形，则为同位角；若构成“Z”形，则为内错角；若构成“U”形，则为同旁内角.数角的对数的时候，要认真仔细，做到不重不漏.
【随堂练习】
1．（2018春 鞍山期末）如图，下列说法错误的是（　　）
A．∠A与∠B是同旁内角 B．∠1与∠3是同位角
C．∠2与∠A是同位角 D．∠2与∠3是内错角
2．（2018春 拱墅区期末）已知直线l1，l2，l3，（如图），∠5的内错角是（　　）
A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
3．（2018 广州）如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（　　）
A．∠4，∠2 B．∠2，∠6 C．∠5，∠4 D．∠2，∠4
4．（2018春 武清区期中）如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．∠1和∠2是内错角 B．∠1和∠4是内错角
C．∠1和∠5是同位角 D．∠1和∠2是同旁内角
综合运用
1.如图是一把剪刀，其中∠1=∠2，其理由是__________．
2.如图，线段AD、AE、AF分别是△ABC的高线，角平分线，中线，比较线段AC、AD、AE、AF的长短，其中最短的是_________________.
3.如图所示，AB⊥l1，AC⊥l2，则点A到直线l1的距离是线段_________的长度．
4.如图所示，直线AD与直线BD相交于点D，BE⊥AD，垂足为点E，AC与DC垂直于点C.点B到直线AD的距离是线段_______的长度，点D到直线AB的距离是线段______的长度．
5.如图，直线a、b被直线c所截，互为同旁内角是______________.
6.如图所示，两只手的食指和拇指在同一平面内，它们构成的一对角可以看成__________.
7.如图，OC⊥AB于点O，∠1=∠2，则图中互余的角有____________对．
8.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=76°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数．
9.如图所示：
（1）与∠B是同旁内角的有哪些角？
（2）与∠C是内错角的有哪些角？
它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？
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