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第4讲 平行线
知识点1 平行公理及推论
1. 在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行.
直线a与直线b不相交时，直线a与b互相平行，记作a∥b.
2. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
【典例】
1.如图，已知OA∥CD，OB∥CD，那么∠AOB是平角，为什么？
2.如图，AD∥BC，E为AB上任一点，过E点作EF∥AD交DC于F．问EF与BC的位置关系怎样，为什么？
【方法总结】
结论：已知直线CD，若OA∥CD，OB∥CD，则O，A，B三点共线.
常用方法：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.平行公理的推论是判定两直线平行的一种常用方法，要牢固掌握.
【随堂练习】
1．（2018春 静安区期中）已知在同一平面内有三条不同的直线a，b，c，下列说法错误的是（　　）
A．如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c B．如果b∥a，c∥a，那么b∥c
C．如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c D．如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c
2．（2018春 宁晋县期中）平面内有三条直线a、b、c，下列说法：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c，其中正确的是（　　）
A．只有① B．只有② C．①②都正确 D．①②都不正确
知识点2 平行线的判定
1. 平行线的判定方法：
判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行.
如图1，∵∠4=∠2，∴a∥b.
判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
如图2，∵∠4=∠5，∴a∥b.
判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简单说成：同旁内角互补，两直线平行.
如图3，∵∠4+∠1=180°，∴a∥b.
2. 重要结论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
注意：条件“同一平面”不能缺少，否则结论不成立.
【典例】
1.AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3．BE与DF平行吗？为什么？
解：BE∥DF．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=____°，
即∠3+∠4=____°．
又∵∠1+∠2=90°，
且∠2=∠3，
∴____=____．
理由是：_________．
∴BE∥DF．
理由是：_____________．
【方法总结】
思路回顾：由AB垂直于BC，利用垂直的定义得到∠ABC为直角，进而得到∠3与∠4互余，再由∠1与∠2互余，2=∠3，利用等角的余角相等得到∠1=∠4，利用同位角相等两直线平行即可说明BE平行于DF．
此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
【随堂练习】
1．（2018春 玄武区期末）如图，AD是△ABC的角平分线，点E在BC上．点G在CA的延长线上，EG交AB于点F，∠AFG=∠G，求证：GE∥AD．
2．（2018春 三台县期中）如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BC∥EF．
3．（2018春 思南县期末）如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D，试说明BD∥CE．
4．（2018春 江夏区期中）完成下面的证明，括号内填根据．
如图，直线a、b、c被直线l所截，量得∠1=65°，∠2=115°，∠3=65°．求证：a∥b
证明：：∠1=65°，∠3=65°
∴_______
∴___________________
∵∠2=115°，∠3=65°
∴____________
∴___________________
∴a∥b
知识点3 平行线的性质
平行线的性质：
性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
如图1，∵a∥b，∴∠4=∠2.
性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简单说成：两直线平行，内错角相等.
如图2，∵a∥b，∴∠4=∠5.
性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单说成：同旁内角互补，两直线平行.
如图3，∵a∥b，∴∠4+∠1=180°.
【典例】
1.如图，∠ACB=90°，BD平分∠ABE，CD∥AB交BD于点D，若∠1=20°，求∠2的度数．
【方法总结】
思路回顾：根据BD平分∠ABE，∠1=20°，可得∠ABC的度数.根据CD∥AB，可得∠DCE=∠ABC，进而可得∠DCE的度数.依据∠ACB=90°，得出∠2=90°﹣∠DCE，从而求得∠2的度数.
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
【随堂练习】
1．（2018秋 连城县期中）已知：如图所示，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A+∠1=70°，求：∠D的度数．
2．（2018秋 沙坪坝区校级月考）如图，MN∥PQ，点A在MN上，点B在PQ上，连接AB，过点A作AC⊥AB交PQ于点C．过点B作BD平分∠ABC交AC于点D，若∠NAC=32°，求∠ADB的度数．
3．（2018春 长白县期中）如图所示，已知直线DE∥BC，GF⊥AB于点F，∠1=∠2，判断CD与AB的位置关系．并说明理由．
知识点4 平行线的判定与性质的综合运用
两直线平行同位角相等.
两直线平行内错角相等.
两直线平行同旁内角互补.
“” 叫做“等价于”，即由左边能推出右边，由右边也能推出左边.
【典例】
1.把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．
如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，连接DE，DF，DE∥AB，∠BFD=∠CED，连接BE交DF于点G，试说明：∠EGF+∠AEG=180°．
理由：∵DE∥AB（已知），
∴∠A=∠CED（___________________________），
又∵∠BFD=∠CED（已知），
∴∠A=∠BFD（___________________），
∴DF∥AE（___________________________）
∴∠EGF+∠AEG=180°（___________________________）.
2.已知：如图∠1=∠2，∠C=∠D，试说明：∠A=∠F．
【方法总结】
平行线的判定是由角的关系得到两直线平行，平形线的性质是由两直线平行得到角之间的关系，他们都可以作为说理的依据.其他常见的说理依据有：已知、等量代换、对顶角相等、等角的余角相等、等角的补角相等、平行于同一条直线的两条直线互相平行、三角形的内角和等于180°等.
【随堂练习】
1．（2018春 容县期中）如图，已知∠ABC=180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于F．求证：∠1=∠2．
2．（2018春 开福区校级月考）已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1=∠2．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠D=∠3+50°，∠CBD=80°，求∠C的度数．
3．（2018春 仓山区期中）如图，∠1+∠2=180°，∠3=∠B，求证：EF∥BC，请你补充完成下面的推导过程．
证明：∵∠1+∠2=180°（已知）
∠2=∠4（_______）
∴∠___+∠4=180°（等量代换）
∴DF∥AB（______________）
∴∠B=∠FDH（_____________）
∵∠3=∠B（____）
∴∠3=∠_____（______）
∴EF∥BC（_____________）
4．（2018春 大田县期中）如图，已知∠B+∠BCD=180°，∠B=∠D．求证：AD∥BE．
证明：∵∠B+∠BCD=180°（已如）．
∴AB∥CD（______________）
∴∠B=______（_____________）
又∠B=∠D（已知）
∴∠_____=∠___（等量代换）
∴AD∥BE（_____________）
知识点5 命题、定理、证明
1. 命题：判断一件事情的语句叫做命题.
数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.
2. 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题.
假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.
3. 定理：经过推理证实的真命题叫做定理.
判断一个命题正确性的推理过程叫做证明.
4. 判断一个命题是真命题，需要进行证明；判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.
【典例】
1.如图，已知：点A、B、C在一条直线上．
（1）请从三个论断①AD∥BE；②∠1=∠2；③∠A=∠E中，选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题：
条件：__________________________．
结论：___________________________．
（2）证明你所构建的是真命题．
【方法总结】
此类题属于开放性题目，只要找出的条件和结论能组成真命题即可，答案不唯一.证明时推理要严谨，每一步都要有理论依据.
拓展：
证明文字叙述题的规范证明步骤：①写出已知，求证，画出图形；②证明.
【随堂练习】
1．（2017秋 迁安市期末）下列命题中的逆命题一定成立的有（　　）
①对顶角相等；
②同位角相等，两直线平行；
③若a=b，则|a|=|b|；
④若a＞b，则a2＞b2．
A．①②③④ B．①④ C．②④ D．②
2．（2018春 兰陵县期中）下列命题中，真命题有（　　）
①同位角相等；
②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
③对顶角相等；
④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
⑤已知直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c．
⑥相等的角是对顶角；
⑦如果x2＞0，那么x＞0
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
综合运用
1．（2018春 杭州期中）下列说法：①两点之间的距离是两点间的线段的长度；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两点之间的所有连线中，线段最短；④若a⊥b，c⊥b，则a与b的关系是平行；⑤只有一个公共点的两条直线叫做相交直线；其中正确的是______．
2．（2018春 定陶区期中）下列结论正确的是（　　）
A．同位角相等
B．同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
3．（2018春 建安区期末）已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6．求证：ED∥FB．
4．（2018 广元）如图，∠A=22°，∠E=30°，AC∥EF，则∠1的度数为_____．
5．（2018春 桥西区校级期中）如图，已知∠ABC+∠ECB=180°，∠P=∠Q．求证：∠1=∠2．
6．（2018春 防城港期中）如图，∠DAB+∠D=180°，AC平分∠DAB，且∠CAD=25°，求∠C的度数．
13第4讲 平行线
知识点1 平行公理及推论
1. 在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行.
直线a与直线b不相交时，直线a与b互相平行，记作a∥b.
2. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
【典例】
1.如图，已知OA∥CD，OB∥CD，那么∠AOB是平角，为什么？
解：∵OA∥CD，OB∥CD且OA、OB交于点O，
根据过直线CD外一点O有且只有一条直线与已知直线CD平行，
∴OA，OB共线，
∴A、O、B共线，
∴∠AOB是平角．
2.如图，AD∥BC，E为AB上任一点，过E点作EF∥AD交DC于F．问EF与BC的位置关系怎样，为什么？
解：∵AD∥BC，EF∥AD，
∴EF∥BC．
【方法总结】
结论：已知直线CD，若OA∥CD，OB∥CD，则O，A，B三点共线.
常用方法：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.平行公理的推论是判定两直线平行的一种常用方法，要牢固掌握.
【随堂练习】
1．（2018春 静安区期中）已知在同一平面内有三条不同的直线a，b，c，下列说法错误的是（　　）
A．如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c B．如果b∥a，c∥a，那么b∥c
C．如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c D．如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c
【解答】解：A、如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c，说法正确；
B、如果b∥a，c∥a，那么b∥c，说法正确；
C、如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c，说法错误；
D、如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，说法正确；
故选：C．
2．（2018春 宁晋县期中）平面内有三条直线a、b、c，下列说法：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c，其中正确的是（　　）
A．只有① B．只有② C．①②都正确 D．①②都不正确
【解答】解：①若a∥b，b∥c，则a∥c，说法正确；
②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c，说法错误，应为同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
故选：A．
知识点2 平行线的判定
1. 平行线的判定方法：
判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行.
如图1，∵∠4=∠2，∴a∥b.
判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
如图2，∵∠4=∠5，∴a∥b.
判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简单说成：同旁内角互补，两直线平行.
如图3，∵∠4+∠1=180°，∴a∥b.
2. 重要结论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
注意：条件“同一平面”不能缺少，否则结论不成立.
【典例】
1.AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3．BE与DF平行吗？为什么？
解：BE∥DF．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=____°，
即∠3+∠4=____°．
又∵∠1+∠2=90°，
且∠2=∠3，
∴____=____．
理由是：_________．
∴BE∥DF．
理由是：_____________．
【答案】90 90 ∠1 ∠4 等角的余角相等 同位角相等，两直线平行
解：BE∥DF，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
即∠3+∠4=90°．
又∵∠1+∠2=90°，
且∠2=∠3，
∴∠1=∠4，
理由是：等角的余角相等，
∴BE∥DF．
理由是：同位角相等，两直线平行．
故答案为：90；90；∠1，∠4；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行．
【方法总结】
思路回顾：由AB垂直于BC，利用垂直的定义得到∠ABC为直角，进而得到∠3与∠4互余，再由∠1与∠2互余，2=∠3，利用等角的余角相等得到∠1=∠4，利用同位角相等两直线平行即可说明BE平行于DF．
此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
【随堂练习】
1．（2018春 玄武区期末）如图，AD是△ABC的角平分线，点E在BC上．点G在CA的延长线上，EG交AB于点F，∠AFG=∠G，求证：GE∥AD．
【解答】证明：∵AD是∠CAB的平分线，
∴∠BAC=2∠DAC，
∵∠G+∠GFA=∠BAC，∠AFG=∠G．
∴∠BAC=2∠G，
∴∠DAC=∠G，
∴AD∥GE．
2．（2018春 三台县期中）如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BC∥EF．
【解答】证明：∵∠1=∠2，
∴AC∥DF，
∴∠3=∠5，
∵∠3=∠4，
∴∠4=∠5，
∴BC∥EF．
3．（2018春 思南县期末）如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D，试说明BD∥CE．
【解答】解：∵∠A=∠F（已知）
∴AC∥DF（ 内错角相等，两直线平行 ）
∴∠D=∠CEF（ 两直线平行，内错角相等）
∵∠C=∠D（已知）
∴∠D=∠CEF（等量代换）
∴BD∥CE（ 同位角相等，两直线平行）
4．（2018春 江夏区期中）完成下面的证明，括号内填根据．
如图，直线a、b、c被直线l所截，量得∠1=65°，∠2=115°，∠3=65°．求证：a∥b
证明：：∠1=65°，∠3=65°
∴_______
∴___________________
∵∠2=115°，∠3=65°
∴____________
∴___________________
∴a∥b
【解答】证明：∵∠1=65°，∠3=65°
∴∠1=∠3，
∴a∥c （同位角相等，两直线平行），
∵∠2=115°，∠3=65°
∴∠2+∠3=180°，
∴b∥c （同旁内角相等，两直线平行）
∴a∥b（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
故答案为：∠1=∠3；a∥c （同位角相等，两直线平行）；∠2+∠3=180°；b∥c （同旁内角相等，两直线平行）．
知识点3 平行线的性质
平行线的性质：
性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
如图1，∵a∥b，∴∠4=∠2.
性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简单说成：两直线平行，内错角相等.
如图2，∵a∥b，∴∠4=∠5.
性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单说成：同旁内角互补，两直线平行.
如图3，∵a∥b，∴∠4+∠1=180°.
【典例】
1.如图，∠ACB=90°，BD平分∠ABE，CD∥AB交BD于点D，若∠1=20°，求∠2的度数．
【答案】解：∵BD平分∠ABE，∠1=20°，
∴∠ABC=2∠1=40°.
∵CD∥AB，
∴∠DCE=∠ABC=40°.
∵∠ACB=90°，
∴∠2=90°﹣40°=50°．
【方法总结】
思路回顾：根据BD平分∠ABE，∠1=20°，可得∠ABC的度数.根据CD∥AB，可得∠DCE=∠ABC，进而可得∠DCE的度数.依据∠ACB=90°，得出∠2=90°﹣∠DCE，从而求得∠2的度数.
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
【随堂练习】
1．（2018秋 连城县期中）已知：如图所示，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A+∠1=70°，求：∠D的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A=∠1，
∵∠A+∠1=70°，
∴∠1=∠A=35°，
∴∠ECD=∠1=35°，
∵DE⊥AE，
∴∠DEC=90°，
∴∠D=180°﹣∠DEC﹣∠ECD=55°．
2．（2018秋 沙坪坝区校级月考）如图，MN∥PQ，点A在MN上，点B在PQ上，连接AB，过点A作AC⊥AB交PQ于点C．过点B作BD平分∠ABC交AC于点D，若∠NAC=32°，求∠ADB的度数．
【解答】解：∵MN∥PQ，
∴∠ACB=∠NAC=32°，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90°，
∴∠ABC=58°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠ABC=29°，
∴∠ADB=90°﹣29°=61°．
3．（2018春 长白县期中）如图所示，已知直线DE∥BC，GF⊥AB于点F，∠1=∠2，判断CD与AB的位置关系．并说明理由．
【解答】解：CD⊥AB，理由为：
证明：∵DE∥BC，
∴∠2=∠DCB，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠DCB，
∴FG∥CD，
∵GF⊥AB，
∴CD⊥AB．
知识点4 平行线的判定与性质的综合运用
两直线平行同位角相等.
两直线平行内错角相等.
两直线平行同旁内角互补.
“” 叫做“等价于”，即由左边能推出右边，由右边也能推出左边.
【典例】
1.把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．
如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，连接DE，DF，DE∥AB，∠BFD=∠CED，连接BE交DF于点G，试说明：∠EGF+∠AEG=180°．
理由：∵DE∥AB（已知），
∴∠A=∠CED（___________________________），
又∵∠BFD=∠CED（已知），
∴∠A=∠BFD（___________________），
∴DF∥AE（___________________________）
∴∠EGF+∠AEG=180°（___________________________）.
【答案】两直线平行，同位角相等 等量代换 同位角相等，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补．
解：理由：∵DE∥AB（已知），
∴∠A=∠CED（两直线平行，同位角相等），
又∵∠BFD=∠CED（已知），
∴∠A=∠BFD（等量代换），
∴DF∥AE（同位角相等，两直线平行）
∴∠EGF+∠AEG=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
2.已知：如图∠1=∠2，∠C=∠D，试说明：∠A=∠F．
【答案】证明：∵∠1=∠2（已知），1=∠DGH（对顶角相等），
∴∠2=∠DGH（等量代换）．
∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行）．
∴∠ABD=∠C（两直线平行，同位角相等）.
∵∠C=∠D（已知），
∴∠ABD=∠D（等量代换），
∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行）.
∴∠A=∠F（两直线平行，内错角相等）．
【方法总结】
平行线的判定是由角的关系得到两直线平行，平形线的性质是由两直线平行得到角之间的关系，他们都可以作为说理的依据.其他常见的说理依据有：已知、等量代换、对顶角相等、等角的余角相等、等角的补角相等、平行于同一条直线的两条直线互相平行、三角形的内角和等于180°等.
【随堂练习】
1．（2018春 容县期中）如图，已知∠ABC=180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于F．求证：∠1=∠2．
【解答】证明：∵∠ABC=180°﹣∠A，
∴∠ABC+∠A=180°，
∴AD∥BC，
∴∠3=∠1，
∵BD⊥CD，EF⊥CD，
∴BD∥EF，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2．
2．（2018春 开福区校级月考）已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1=∠2．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠D=∠3+50°，∠CBD=80°，求∠C的度数．
【解答】（1）证明：∵∠1=∠2，
∴AB∥CD（内错角相等两直线平行）．
（2）解：设∠C=x°．
∵AB∥CD，
∴∠C=∠3=x°，
∴∠D=（x+50）°，
在△BDC中，x+x+50+80=180，
∴x=25，
∴∠C=25°．
3．（2018春 仓山区期中）如图，∠1+∠2=180°，∠3=∠B，求证：EF∥BC，请你补充完成下面的推导过程．
证明：∵∠1+∠2=180°（已知）
∠2=∠4（_______）
∴∠___+∠4=180°（等量代换）
∴DF∥AB（______________）
∴∠B=∠FDH（_____________）
∵∠3=∠B（____）
∴∠3=∠_____（______）
∴EF∥BC（_____________）
【解答】证明：∵∠1+∠2=180°（已知）
∠2=∠4（对顶角相等）
∴∠1+∠4=180°（等量代换）
∴DF∥AB（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠B=∠FDH（两直线平行，同位角相等）
∵∠3=∠B（已知）
∴∠3=∠FDH（等量代换）
∴EF∥BC（内错角相等，两直线平行）
故答案为：对顶角相等，1，同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；已知，FDH，等量代换，内错角相等，两直线平行．
4．（2018春 大田县期中）如图，已知∠B+∠BCD=180°，∠B=∠D．求证：AD∥BE．
证明：∵∠B+∠BCD=180°（已如）．
∴AB∥CD（______________）
∴∠B=______（_____________）
又∠B=∠D（已知）
∴∠_____=∠___（等量代换）
∴AD∥BE（_____________）
【解答】证明：∵∠B+∠BCD=180°（已如），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠DEC=∠B（两直线平行，同位角相等），
∵∠B=∠D，
∴∠DCE=∠D，
∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行），
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；∠DCE，两直线平行，同位角相等，DCE，D，内错角相等，两直线平行．
知识点5 命题、定理、证明
1. 命题：判断一件事情的语句叫做命题.
数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.
2. 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题.
假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.
3. 定理：经过推理证实的真命题叫做定理.
判断一个命题正确性的推理过程叫做证明.
4. 判断一个命题是真命题，需要进行证明；判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.
【典例】
1.如图，已知：点A、B、C在一条直线上．
（1）请从三个论断①AD∥BE；②∠1=∠2；③∠A=∠E中，选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题：
条件：__________________________．
结论：___________________________．
（2）证明你所构建的是真命题．
【答案】解：（1）条件：①AD∥BE；②∠1=∠2；
结论：③∠A=∠E，
（2）证明：∵AD∥BE，
∴∠A=∠EBC.
∵∠1=∠2，
∴DE∥BC，
∴∠E=∠EBC，
∴∠A=∠E．
【方法总结】
此类题属于开放性题目，只要找出的条件和结论能组成真命题即可，答案不唯一.证明时推理要严谨，每一步都要有理论依据.
拓展：
证明文字叙述题的规范证明步骤：①写出已知，求证，画出图形；②证明.
【随堂练习】
1．（2017秋 迁安市期末）下列命题中的逆命题一定成立的有（　　）
①对顶角相等；
②同位角相等，两直线平行；
③若a=b，则|a|=|b|；
④若a＞b，则a2＞b2．
A．①②③④ B．①④ C．②④ D．②
【解答】解：①对顶角相等，逆命题为：相等的角为对顶角，不成立；
②同位角相等，两直线平行，逆命题为：两直线平行，同位角相等，成立；
③若a=b，则|a|=|b|，逆命题为：若|a|=|b|，则a=b，不成立；
④若a＞b，则a2＞b2，逆命题为：若a2＞b2，则a＞b，不成立．
下列命题中的逆命题一定成立的有：②
故选：D．
2．（2018春 兰陵县期中）下列命题中，真命题有（　　）
①同位角相等；
②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
③对顶角相等；
④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
⑤已知直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c．
⑥相等的角是对顶角；
⑦如果x2＞0，那么x＞0
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【解答】解：两直线平行，同位角相等，①是假命题；
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，②是假命题；
对顶角相等，③是真命题；
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，④是真命题；
已知直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c，⑤是真命题．
相等的角不一定是对顶角，⑥是假命题；
如果x2＞0，那么x≠0，⑦是假命题；
故选：A．
综合运用
1．（2018春 杭州期中）下列说法：①两点之间的距离是两点间的线段的长度；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两点之间的所有连线中，线段最短；④若a⊥b，c⊥b，则a与b的关系是平行；⑤只有一个公共点的两条直线叫做相交直线；其中正确的是______．
【解答】解：两点之间的距离是两点间的线段的长度，①正确；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，②错误；
两点之间的所有连线中，线段最短，③正确；
在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，④错误；
只有一个公共点的两条直线叫做相交直线，⑤正确；
故答案为：①③⑤．
2．（2018春 定陶区期中）下列结论正确的是（　　）
A．同位角相等
B．同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故错误；
B、同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，正确；
C、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故错误；
D、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，故错误；
故选：B．
3．（2018春 建安区期末）已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6．求证：ED∥FB．
【解答】证明：∵∠3=∠4，
∴CF∥BD，
∴∠5=∠FAB．
∵∠5=∠6，
∴∠6=∠FAB，
∴AB∥CD，
∴∠2=∠EGA．
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠EGA，
∴ED∥FB．
4．（2018 广元）如图，∠A=22°，∠E=30°，AC∥EF，则∠1的度数为_____．
【解答】解：如图，∵∠E=30°，AC∥EF，
∴∠AGH=∠E=30°，
又∵∠1是△AGH的外角，
∴∠1=∠A+∠AGH=22°+30°=52°，
故答案为：52°．
5．（2018春 桥西区校级期中）如图，已知∠ABC+∠ECB=180°，∠P=∠Q．求证：∠1=∠2．
【解答】证明：∵∠ABC+∠ECB=180°，
∴AB∥DE，
∴∠ABC=∠BCD，
∵∠P=∠Q，
∴PB∥CQ，
∴∠PBC=∠BCQ，
∵∠1=∠ABC﹣∠PBO，∠2=∠BCD﹣∠BCQ，
∴∠1=∠2．
6．（2018春 防城港期中）如图，∠DAB+∠D=180°，AC平分∠DAB，且∠CAD=25°，求∠C的度数．
【解答】解：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC=25°，
∵∠DAB+∠D=180°，
∴AB∥DC，
∴∠C=∠BAC=25°．
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