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第4讲 平行线
知识点1 平行公理及推论
1. 在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行.
直线a与直线b不相交时，直线a与b互相平行，记作a∥b.
2. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
【典例】
1.如图，已知OA∥CD，OB∥CD，那么∠AOB是平角，为什么？
解：∵OA∥CD，OB∥CD且OA、OB交于点O，
根据过直线CD外一点O有且只有一条直线与已知直线CD平行，
∴OA，OB共线，
∴A、O、B共线，
∴∠AOB是平角．
2.如图，AD∥BC，E为AB上任一点，过E点作EF∥AD交DC于F．问EF与BC的位置关系怎样，为什么？
解：∵AD∥BC，EF∥AD，
∴EF∥BC．
【方法总结】
结论：已知直线CD，若OA∥CD，OB∥CD，则O，A，B三点共线.
常用方法：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.平行公理的推论是判定两直线平行的一种常用方法，要牢固掌握.
【随堂练习】
1．（2017秋 盐山县期末）下列说法正确的是（　　）
A．经过已知一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．两个相等的角是对顶角
C．互补的两个角一定是邻补角
D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
【解答】解：A、应为在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；
B、对顶角相等，但相等的两个角不一定是对顶角，故本选项错误；
C、邻补角互补，但互补的两个角不一定是邻补角，故本选项错误；
D、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故本选项正确．
故选：D．
2．（2018春 金牛区校级期中）下列说法中不正确的有（　　）
①两条不相交的直线叫做平行线；
②经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直；
③经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
④一个角的两边与另一个角两边互相垂直，那么这两个角相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①两条不相交的直线叫做平行线是在同一平面内才可以成立的，故错误．
②经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确；
③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故错误；
④一个角的两边与另一个角两边互相垂直，那么这两个角相等或互补，故错误．
故选：C．
知识点2 平行线的判定
1. 平行线的判定方法：
判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行.
如图1，∵∠4=∠2，∴a∥b.
判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
如图2，∵∠4=∠5，∴a∥b.
判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简单说成：同旁内角互补，两直线平行.
如图3，∵∠4+∠1=180°，∴a∥b.
2. 重要结论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
注意：条件“同一平面”不能缺少，否则结论不成立.
【典例】
1.AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3．BE与DF平行吗？为什么？
解：BE∥DF．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=____°，
即∠3+∠4=____°．
又∵∠1+∠2=90°，
且∠2=∠3，
∴____=____．
理由是：_________．
∴BE∥DF．
理由是：_____________．
【答案】90 90 ∠1 ∠4 等角的余角相等 同位角相等，两直线平行
解：BE∥DF，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
即∠3+∠4=90°．
又∵∠1+∠2=90°，
且∠2=∠3，
∴∠1=∠4，
理由是：等角的余角相等，
∴BE∥DF．
理由是：同位角相等，两直线平行．
故答案为：90；90；∠1，∠4；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行．
【方法总结】
思路回顾：由AB垂直于BC，利用垂直的定义得到∠ABC为直角，进而得到∠3与∠4互余，再由∠1与∠2互余，2=∠3，利用等角的余角相等得到∠1=∠4，利用同位角相等两直线平行即可说明BE平行于DF．
此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
【随堂练习】
1．（2018春 建安区期末）如图，条件_____（填写所有正确的序号）一定能判定AB∥CD．
①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5；
【解答】解：∵∠B+∠BCD=180°，∴AB∥CD；
∵∠3=∠4，∴AB∥CD；
∵∠B=∠5，∴AB∥CD；
故答案为：①③④
2．（2018春 岳阳期末）如图，点E在AC的延长线上，给出四个条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4：③∠A=∠DCE；④∠D+∠ABD=180°．其中能判断AB∥CD的有_____．（填写所有满足条件的序号）
【解答】解：①∵∠1=∠2，∴AB∥BC，根据内错角相等，两直线平行即可证得AB∥BC；
②∠3=∠4，根据内错角相等，两直线平行即可证得BD∥AC，不能证AB∥CD；
③∠A=∠DCE，根据同位角相等，两直线平行即可证得AB∥CD；
④∠D+∠ABD=180°，根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得AB∥CD．
故答案为：①③④．
3．（2018春 拱墅区期末）如图，有下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠B=∠5；④∠B+∠BAD=180°．其中能得到AB∥CD的是____（填写编号）．
【解答】解：①∵∠1=∠2，
∴AD∥BC；
②∵∠3=∠4，
∴AB∥CD；
③∵∠B=∠5，
∴AB∥DC；
④∵∠B+∠BAD=180°，
∴AD∥BC，
∴能够得到AB∥CD的条件是②③，
故答案为：②③．
知识点3 平行线的性质
平行线的性质：
性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
如图1，∵a∥b，∴∠4=∠2.
性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简单说成：两直线平行，内错角相等.
如图2，∵a∥b，∴∠4=∠5.
性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单说成：同旁内角互补，两直线平行.
如图3，∵a∥b，∴∠4+∠1=180°.
【典例】
1.如图，∠ACB=90°，BD平分∠ABE，CD∥AB交BD于点D，若∠1=20°，求∠2的度数．
【答案】解：∵BD平分∠ABE，∠1=20°，
∴∠ABC=2∠1=40°.
∵CD∥AB，
∴∠DCE=∠ABC=40°.
∵∠ACB=90°，
∴∠2=90°﹣40°=50°．
【方法总结】
思路回顾：根据BD平分∠ABE，∠1=20°，可得∠ABC的度数.根据CD∥AB，可得∠DCE=∠ABC，进而可得∠DCE的度数.依据∠ACB=90°，得出∠2=90°﹣∠DCE，从而求得∠2的度数.
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
【随堂练习】
1.（2018春 江岸区校级月考）如图，AB∥CD，则∠A、∠C、∠E、∠F满足的数量关系是（　　）
A．∠A=∠C+∠E+∠F B．∠A+∠E﹣∠C﹣∠F=180°
C．∠A﹣∠E+∠C+∠F=90° D．∠A+∠E+∠C+∠F=360°
【解答】解：如图，过E作EG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠GEF=∠DHF=∠C+∠F，
∠A+∠AEG=180°，
∴∠A+∠AEF﹣∠GEF=180°，
即∠A+∠AEF﹣∠C﹣∠F=180°，
故选：B．
2．（2018秋 綦江区校级月考）如图，已知AB∥DE，∠ABC=50°，∠CDE=150°，则∠BCD的值为（　　）
A．20° B．50° C．40° D．30°
【解答】解：反向延长DE交BC于M，
∵AB∥DE，
∴∠BMD=∠ABC=50°，
∴∠CMD=180°﹣∠BMD=130°；
又∵∠CDE=∠CMD+∠BCD，
∴∠BCD=∠CDE﹣∠CMD=150°﹣130°=20°．
故选：A．
3．（2018春 渝中区校级期中）如图，已知直线AB∥CD，若∠C=118，∠A=26°，则∠E的度数为（　　）
A．70° B．82° C．92° D．102°
【解答】解：∵直线AB∥CD，∠C=100°，
∴∠EFB=∠C=118°，
∵∠A=26°，
∴∠E=∠EFB﹣∠A=118°﹣26°=92°．
故选：C．
知识点4 平行线的判定与性质的综合运用
两直线平行同位角相等.
两直线平行内错角相等.
两直线平行同旁内角互补.
“” 叫做“等价于”，即由左边能推出右边，由右边也能推出左边.
【典例】
1.把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．
如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，连接DE，DF，DE∥AB，∠BFD=∠CED，连接BE交DF于点G，试说明：∠EGF+∠AEG=180°．
理由：∵DE∥AB（已知），
∴∠A=∠CED（___________________________），
又∵∠BFD=∠CED（已知），
∴∠A=∠BFD（___________________），
∴DF∥AE（___________________________）
∴∠EGF+∠AEG=180°（___________________________）.
【答案】两直线平行，同位角相等 等量代换 同位角相等，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补．
解：理由：∵DE∥AB（已知），
∴∠A=∠CED（两直线平行，同位角相等），
又∵∠BFD=∠CED（已知），
∴∠A=∠BFD（等量代换），
∴DF∥AE（同位角相等，两直线平行）
∴∠EGF+∠AEG=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
2.已知：如图∠1=∠2，∠C=∠D，试说明：∠A=∠F．
【答案】证明：∵∠1=∠2（已知），1=∠DGH（对顶角相等），
∴∠2=∠DGH（等量代换）．
∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行）．
∴∠ABD=∠C（两直线平行，同位角相等）.
∵∠C=∠D（已知），
∴∠ABD=∠D（等量代换），
∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行）.
∴∠A=∠F（两直线平行，内错角相等）．
【方法总结】
平行线的判定是由角的关系得到两直线平行，平形线的性质是由两直线平行得到角之间的关系，他们都可以作为说理的依据.其他常见的说理依据有：已知、等量代换、对顶角相等、等角的余角相等、等角的补角相等、平行于同一条直线的两条直线互相平行、三角形的内角和等于180°等.
【随堂练习】
1．（2018春 蜀山区期末）已知：如图，点E、F分别在直线AB、CD上，点G、H在两直线之间，线段EF与GH相交于点O，且有∠AEF+∠CFE=180°，∠AEF﹣∠1=∠2，则在图中相等的角共有（　　）
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
【解答】解：∵∠AEF+∠CFE=180°，
∴AB∥CD，
∴∠AEF=∠DFE，∠CFE=∠BEF，
∵∠AEF﹣∠1=∠2，∠AEF﹣∠1=∠AEG，
∴∠AEG=∠2，
∴∠1=∠EFH，
∴GE∥FH，
∴∠G=∠H，
又∵∠EOG=∠FOH，∠EOH=∠GOF，
∴图中相等的角共有7对，
故选：C．
2．（2018春 全椒县期末）如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB，下列说法：①EF∥CD；②∠B+∠BDG=180°；③若∠1=∠2，则∠1=∠BEF；④若∠ADG=∠B，则∠DGC+∠ACB=180°，其中说法正确的是（　　）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①③④
【解答】解：∵EF⊥AB，CD⊥AB，
∴∠EFB=∠CDB，
∴DC∥EF，故①正确；
无法得出DG∥BC，所以无法得出∠B+∠BDG=180°，故②错误；
∴∠FEB=∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BEF，故③正确；
∵∠ADG=∠B，
∴DF∥BC，
∴∠DGC+∠ACB=180°，故④正确；
故选：D．
　
3．（2018 高邮市一模）如图，已知∠A+∠C=180°，∠APM=118°，则∠CQN=___°．
【解答】解：∵∠A+∠C=180°，
∴AB∥CD，
∴∠APM=∠CQM=118°，
∴∠CQN=180°﹣∠CQM=62°，
故答案为：62．
4．（2018春 曲阜市期中）填写理由：如图所示
∵DF∥AC（已知），
∴∠D+∠DBC=180°．（______________）
∵∠C=∠D（已知），
∴∠C+______=180°．（______）
∴DB∥EC（______________）
∴∠D=∠CEF．（_____________）
【解答】解：∵DF∥AC（已知），∴∠D+∠DBC=180°．（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠C=∠D（已知），
∴∠C+∠DBC=180°．（等量代换）
∴DB∥EC（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠D=∠CEF．（两直线平行，同位角相等）
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；∠DBC，等量代换；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
知识点5 命题、定理、证明
1. 命题：判断一件事情的语句叫做命题.
数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.
2. 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题.
假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.
3. 定理：经过推理证实的真命题叫做定理.
判断一个命题正确性的推理过程叫做证明.
4. 判断一个命题是真命题，需要进行证明；判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.
【典例】
1.如图，已知：点A、B、C在一条直线上．
（1）请从三个论断①AD∥BE；②∠1=∠2；③∠A=∠E中，选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题：
条件：__________________________．
结论：___________________________．
（2）证明你所构建的是真命题．
【答案】解：（1）条件：①AD∥BE；②∠1=∠2；
结论：③∠A=∠E，
（2）证明：∵AD∥BE，
∴∠A=∠EBC.
∵∠1=∠2，
∴DE∥BC，
∴∠E=∠EBC，
∴∠A=∠E．
【方法总结】
此类题属于开放性题目，只要找出的条件和结论能组成真命题即可，答案不唯一.证明时推理要严谨，每一步都要有理论依据.
拓展：
证明文字叙述题的规范证明步骤：①写出已知，求证，画出图形；②证明.
【随堂练习】
1．（2018秋 宜宾县期中）下列命题中，为真命题的是（　　）
A．同位角相等 B．若a＞b，则﹣2a＞﹣2b
C．若a2=b2，则a=b D．对顶角相等
【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故为假命题；
B、若a＞b，则﹣2a＜﹣2b，故为假命题；
C、a2=b2，则a=±b，故为假命题；
D、对顶角相等为真命题；
故选：D．
2．（2017秋 安丘市期末）命题：①一个三角形中至少有两个锐角；②垂直于同一条直线的两条直线垂直；③如果两个有理数的积小于0，那么这两个数的和也小于0．其中为真命题的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：①一个三角形中至少有两个锐角，是真命题；
②垂直于同一条直线的两条直线平行，是假命题；
③如果两个有理数的积小于0，但这两个数的和不一定小于0，是假命题；
故选：B．
3．（2018春 开福区校级月考）下列命题中，正确的是（　　）
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若，则x＞﹣2
C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若3x＞﹣6，则x＜﹣2
【解答】解：若a＞b，c≠0，则ac2＞bc2，A错误；
若，则x＜﹣2，B错误；
若ac2＞bc2，则a＞b，C正确；
若3x＞﹣6，则x＞﹣2，D错误；
故选：C．
综合运用
1．（2018春 杭州期中）下列说法：①两点之间的距离是两点间的线段的长度；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两点之间的所有连线中，线段最短；④若a⊥b，c⊥b，则a与b的关系是平行；⑤只有一个公共点的两条直线叫做相交直线；其中正确的是______．
【解答】解：两点之间的距离是两点间的线段的长度，①正确；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，②错误；
两点之间的所有连线中，线段最短，③正确；
在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，④错误；
只有一个公共点的两条直线叫做相交直线，⑤正确；
故答案为：①③⑤．
2．（2018春 定陶区期中）下列结论正确的是（　　）
A．同位角相等
B．同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故错误；
B、同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，正确；
C、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故错误；
D、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，故错误；
故选：B．
3．（2018春 建安区期末）已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6．求证：ED∥FB．
【解答】证明：∵∠3=∠4，
∴CF∥BD，
∴∠5=∠FAB．
∵∠5=∠6，
∴∠6=∠FAB，
∴AB∥CD，
∴∠2=∠EGA．
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠EGA，
∴ED∥FB．
4．（2018 广元）如图，∠A=22°，∠E=30°，AC∥EF，则∠1的度数为_____．
【解答】解：如图，∵∠E=30°，AC∥EF，
∴∠AGH=∠E=30°，
又∵∠1是△AGH的外角，
∴∠1=∠A+∠AGH=22°+30°=52°，
故答案为：52°．
5．（2018春 桥西区校级期中）如图，已知∠ABC+∠ECB=180°，∠P=∠Q．求证：∠1=∠2．
【解答】证明：∵∠ABC+∠ECB=180°，
∴AB∥DE，
∴∠ABC=∠BCD，
∵∠P=∠Q，
∴PB∥CQ，
∴∠PBC=∠BCQ，
∵∠1=∠ABC﹣∠PBO，∠2=∠BCD﹣∠BCQ，
∴∠1=∠2．
6．（2018春 防城港期中）如图，∠DAB+∠D=180°，AC平分∠DAB，且∠CAD=25°，求∠C的度数．
【解答】解：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC=25°，
∵∠DAB+∠D=180°，
∴AB∥DC，
∴∠C=∠BAC=25°．
1第4讲 平行线
知识点1 平行公理及推论
1. 在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行.
直线a与直线b不相交时，直线a与b互相平行，记作a∥b.
2. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
【典例】
1.如图，已知OA∥CD，OB∥CD，那么∠AOB是平角，为什么？
2.如图，AD∥BC，E为AB上任一点，过E点作EF∥AD交DC于F．问EF与BC的位置关系怎样，为什么？
【方法总结】
结论：已知直线CD，若OA∥CD，OB∥CD，则O，A，B三点共线.
常用方法：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.平行公理的推论是判定两直线平行的一种常用方法，要牢固掌握.
【随堂练习】
1．（2017秋 盐山县期末）下列说法正确的是（　　）
A．经过已知一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．两个相等的角是对顶角
C．互补的两个角一定是邻补角
D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
2．（2018春 金牛区校级期中）下列说法中不正确的有（　　）
①两条不相交的直线叫做平行线；
②经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直；
③经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
④一个角的两边与另一个角两边互相垂直，那么这两个角相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点2 平行线的判定
1. 平行线的判定方法：
判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行.
如图1，∵∠4=∠2，∴a∥b.
判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
如图2，∵∠4=∠5，∴a∥b.
判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简单说成：同旁内角互补，两直线平行.
如图3，∵∠4+∠1=180°，∴a∥b.
2. 重要结论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
注意：条件“同一平面”不能缺少，否则结论不成立.
【典例】
1.AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3．BE与DF平行吗？为什么？
解：BE∥DF．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=____°，
即∠3+∠4=____°．
又∵∠1+∠2=90°，
且∠2=∠3，
∴____=____．
理由是：_________．
∴BE∥DF．
理由是：_____________．
【方法总结】
思路回顾：由AB垂直于BC，利用垂直的定义得到∠ABC为直角，进而得到∠3与∠4互余，再由∠1与∠2互余，2=∠3，利用等角的余角相等得到∠1=∠4，利用同位角相等两直线平行即可说明BE平行于DF．
此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
【随堂练习】
1．（2018春 建安区期末）如图，条件_____（填写所有正确的序号）一定能判定AB∥CD．
①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5；
2．（2018春 岳阳期末）如图，点E在AC的延长线上，给出四个条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4：③∠A=∠DCE；④∠D+∠ABD=180°．其中能判断AB∥CD的有_____．（填写所有满足条件的序号）
3．（2018春 拱墅区期末）如图，有下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠B=∠5；④∠B+∠BAD=180°．其中能得到AB∥CD的是____（填写编号）．
知识点3 平行线的性质
平行线的性质：
性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
如图1，∵a∥b，∴∠4=∠2.
性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简单说成：两直线平行，内错角相等.
如图2，∵a∥b，∴∠4=∠5.
性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单说成：同旁内角互补，两直线平行.
如图3，∵a∥b，∴∠4+∠1=180°.
【典例】
1.如图，∠ACB=90°，BD平分∠ABE，CD∥AB交BD于点D，若∠1=20°，求∠2的度数．
【方法总结】
思路回顾：根据BD平分∠ABE，∠1=20°，可得∠ABC的度数.根据CD∥AB，可得∠DCE=∠ABC，进而可得∠DCE的度数.依据∠ACB=90°，得出∠2=90°﹣∠DCE，从而求得∠2的度数.
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
【随堂练习】
1.（2018春 江岸区校级月考）如图，AB∥CD，则∠A、∠C、∠E、∠F满足的数量关系是（　　）
A．∠A=∠C+∠E+∠F B．∠A+∠E﹣∠C﹣∠F=180°
C．∠A﹣∠E+∠C+∠F=90° D．∠A+∠E+∠C+∠F=360°
2．（2018秋 綦江区校级月考）如图，已知AB∥DE，∠ABC=50°，∠CDE=150°，则∠BCD的值为（　　）
A．20° B．50° C．40° D．30°
3．（2018春 渝中区校级期中）如图，已知直线AB∥CD，若∠C=118，∠A=26°，则∠E的度数为（　　）
A．70° B．82° C．92° D．102°
知识点4 平行线的判定与性质的综合运用
两直线平行同位角相等.
两直线平行内错角相等.
两直线平行同旁内角互补.
“” 叫做“等价于”，即由左边能推出右边，由右边也能推出左边.
【典例】
1.把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．
如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，连接DE，DF，DE∥AB，∠BFD=∠CED，连接BE交DF于点G，试说明：∠EGF+∠AEG=180°．
理由：∵DE∥AB（已知），
∴∠A=∠CED（___________________________），
又∵∠BFD=∠CED（已知），
∴∠A=∠BFD（___________________），
∴DF∥AE（___________________________）
∴∠EGF+∠AEG=180°（___________________________）.
2.已知：如图∠1=∠2，∠C=∠D，试说明：∠A=∠F．
【方法总结】
平行线的判定是由角的关系得到两直线平行，平形线的性质是由两直线平行得到角之间的关系，他们都可以作为说理的依据.其他常见的说理依据有：已知、等量代换、对顶角相等、等角的余角相等、等角的补角相等、平行于同一条直线的两条直线互相平行、三角形的内角和等于180°等.
【随堂练习】
1．（2018春 蜀山区期末）已知：如图，点E、F分别在直线AB、CD上，点G、H在两直线之间，线段EF与GH相交于点O，且有∠AEF+∠CFE=180°，∠AEF﹣∠1=∠2，则在图中相等的角共有（　　）
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
2．（2018春 全椒县期末）如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB，下列说法：①EF∥CD；②∠B+∠BDG=180°；③若∠1=∠2，则∠1=∠BEF；④若∠ADG=∠B，则∠DGC+∠ACB=180°，其中说法正确的是（　　）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①③④
　
3．（2018 高邮市一模）如图，已知∠A+∠C=180°，∠APM=118°，则∠CQN=___°．
4．（2018春 曲阜市期中）填写理由：如图所示
∵DF∥AC（已知），
∴∠D+∠DBC=180°．（______________）
∵∠C=∠D（已知），
∴∠C+______=180°．（______）
∴DB∥EC（______________）
∴∠D=∠CEF．（_____________）
知识点5 命题、定理、证明
1. 命题：判断一件事情的语句叫做命题.
数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.
2. 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题.
假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.
3. 定理：经过推理证实的真命题叫做定理.
判断一个命题正确性的推理过程叫做证明.
4. 判断一个命题是真命题，需要进行证明；判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.
【典例】
1.如图，已知：点A、B、C在一条直线上．
（1）请从三个论断①AD∥BE；②∠1=∠2；③∠A=∠E中，选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题：
条件：__________________________．
结论：___________________________．
（2）证明你所构建的是真命题．
【方法总结】
此类题属于开放性题目，只要找出的条件和结论能组成真命题即可，答案不唯一.证明时推理要严谨，每一步都要有理论依据.
拓展：
证明文字叙述题的规范证明步骤：①写出已知，求证，画出图形；②证明.
【随堂练习】
1．（2018秋 宜宾县期中）下列命题中，为真命题的是（　　）
A．同位角相等 B．若a＞b，则﹣2a＞﹣2b
C．若a2=b2，则a=b D．对顶角相等
2．（2017秋 安丘市期末）命题：①一个三角形中至少有两个锐角；②垂直于同一条直线的两条直线垂直；③如果两个有理数的积小于0，那么这两个数的和也小于0．其中为真命题的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（2018春 开福区校级月考）下列命题中，正确的是（　　）
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若，则x＞﹣2
C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若3x＞﹣6，则x＜﹣2
综合运用
1．（2018春 杭州期中）下列说法：①两点之间的距离是两点间的线段的长度；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两点之间的所有连线中，线段最短；④若a⊥b，c⊥b，则a与b的关系是平行；⑤只有一个公共点的两条直线叫做相交直线；其中正确的是______．
2．（2018春 定陶区期中）下列结论正确的是（　　）
A．同位角相等
B．同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
3．（2018春 建安区期末）已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6．求证：ED∥FB．
4．（2018 广元）如图，∠A=22°，∠E=30°，AC∥EF，则∠1的度数为_____．
5．（2018春 桥西区校级期中）如图，已知∠ABC+∠ECB=180°，∠P=∠Q．求证：∠1=∠2．
6．（2018春 防城港期中）如图，∠DAB+∠D=180°，AC平分∠DAB，且∠CAD=25°，求∠C的度数．
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