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襄阳市普通高中 2021-2022 学年度下学期期末教学质量检测统一测试·高一数学
参考答案、提示及评分细则
1.C 2.D 3.C 4.D 5.C 6.B 7.A 8.C 9.ACD 10.BC 11.BCD
12.ACD
11 6
13． 14.1 15． 16． 2 1
5 6
1
17．解：（1） sin x cosx ， x 0, ，
2 3 2
2 2
∴ sinx ， tanx 2 2 ，……………………………………………………………2 分
3
2tanx 4 2
tan2x 。………………………………………………………………5 分
2
1 tan x 7

（2） 22cos x 2 2 cos 2x 2cos x sin2x 2cos x 2sinxcosx
2
2
2cos x 2sinxcosx 2 2tanx 2 4 2
。……………………………………………10 分
2 2 2
sin x cos x 1 tan x 9
18．解：（1）因为 a 1,2 ， b 1, 1 ，
所以 2a b 3,3 ， ka b k 1,2k 1 ，……………………………………………2 分
依题意 2a b ka b 0 ，
所以3k 3 6k 3 0 ，解得 k 0 ；……………………………………………………6 分
（2）因为 2a b 3,3 ， a b 0,3 ，
2a b a b 9 2
所以 cos ，………………………………………………10 分
2a b a b 9 2 2
因为 0, ，…………………………………………………………………………11 分

所以 。……………………………………………………………………………12 分
4
19．解：（1）∵ z 1 i ， z 1 i，…………………………………………………1 分
1 1
∴ z z z 1 i cos isin cos sin i sin cos 。……………………2 分 1 2
∵ z 为实数，

∴ sin cos 0，即 2sin 0 ，………………………………………………4 分
4

∴ k k Z ，
4
0, ，……………………………………………………………………………5 分
3
∴ ；……………………………………………………………………………6 分
4
（2）方法 1： z z 1 cos sin 1 i ， 1 2
∴ 2 2z z (1 cos ) (sin 1) 3 2cos 2sin
1 2

3 2 2sin ．…………………………………………………………………9 分
4
3
∵ 0, ，∴ , ， 4 4 4
2
∴ sin ,1 ，………………………………………………………………10 分
4 2
∴ 2z z 3 2 2 , 5 ，∴
1 2 3 2 2 ( 2 1) 2 1，

∴ z z 2 1, 5 （写 3 2 2 , 5 不扣分）．…………………………………12 分
1 2
方法 2：利用模的几何意义．
z z z z ．………………………………………………………………………8 分 1 2 2 1
因为 2 2 z 所对应的点为 A 1, 1 ，复数 z 所对应的点 P 为半圆 x y 1 y 0 上的动1 2
点，…………………………………………………………………………………………10 分
所以 z z z z AP 2 1, 5 ．……………………………………………12分 1 2 2 1
20．解：（1）设产品的某项质量指标值的 70 百分位数为 x ，
60 100 160 300 200
则 x 65 0．7 ……………………………………2 分
1000 1000 1000 1000 1000 10
解得 x 69。………………………………………………………………………………3 分
所以估计产品的某项质量指标值的 70 百分位数为 69；……………………………………4 分
（2）由题，可知
x 30 0.06 40 0.1 50 0.16 60 0.3 70 0.2 80 0.1 90 0.08……………………6 分
61。…………………………………………………………………………………………8 分
2 2 2 2 2
s (30 61) 0．06 (40 61) 0．1 (50 61) 0．16 (60 61) 0．3
2 2 2
(70 61) 0.2 (80 61) 0.1 (90 61) 0.08…………………………………………10 分
241。……………………………………………………………………………………12 分
21．解：（1）由正弦定理知， 2sinBcosC 2sinA sinC ，……………………………3 分
∵ sinA sin B C sinBcosC cosBsinC ，
代入上式得 2cosBsinC sinC 0 ，……………………………………………………3 分
∵C 0, ，
1
∴ sinC 0， cosB ，………………………………………………………………4 分
2
2
∵ B 0, ，∴ B ；……………………………………………………………5 分
3
（2）若选（1）：
由 BD平分 ABC 得， S S S ，
ABC ABD BCD
1 2 1 1
∴ acsin 1 csin 1 asin ，
2 3 2 3 2 3
即 ac a c ．………………………………………………………………………………7分
2
在 ABC 中，由余弦定理得 2 2 2b a c 2accos ，
3
又 2 2b 2 3 ，∴ a c ac 12 ，…………………………………………………………9 分
ac a c,
联立 2 得 (ac) ac 12 0, ， 2 2
a c ac 12,
解得 ac 4(ac 3舍去），………………………………………………………………10 分
1 2 1 3
∴ S acsin 4 3 ．……………………………………………………12 分
ABC
2 3 2 2
若选（2）：
1 2 1 1 2 2
方法 21: BD BA BC ， BD (BA BC ) BA 2BA BC BC ，
2 4 4
1 2 2 2 2 2
1 c 2accos a ，得 a c ac 4 ，…………………………………………7 分
4 3
2
在 ABC 中，由余弦定理得 2 2 2b a c 2accos ，
3
即 2 2a c ac 12，…………………………………………………………………………9 分
2 2a c ac 4,
联立 可得 ac 4 ，…………………………………………………………10 分 2 2
a c ac 12,
1 2 1 3
∴ S acsin 4 3 ．……………………………………………………12 分
ABC
2 3 2 2
方法 2：极化恒等式，类似给分．
22．解：（1）∵ AD CD， DA DC 2 ，∴ AC 2 2 ，
又∵ EA EC 2 2 ，∴ AEC 为等边三角形，
又∵ DA DE 2，M 是 EA 的中点，
∴ AE DM ， AE MC ， DM 2 ，
又∵ DM MC M ， DM ，MC 平面MDC ，
∴ AE 平面MCD ；
平面EAB ECD l l 平面ECD

AB在平面ECD外 AB / /平面ECD
l / / AB

（2） AB 平面ECD AB / /CD
平面ABCD 平面CDE CD




………………………………………………………………………………………………7 分
方法 1：∵ AE 平面MCD ，∴ AE CD ，
又∵ AD CD， AD AE A， AD ， AE 平面 ADE ，
∴CD 平面 ADE ，又∵DM 平面 ADE ，
∴CD DM ，∵CD / / AB ，∴ AB DM ，
又∵ AE DM ， AB AE A， AB ， AE 平面 ABE ，
∴ DM 平面 ABE，…………………………………………………………………………9 分
∵CD / / AB ，
∴C 点到平面 ABE 的距离等于 D 点到平面 ABE 的距离，………………………………10 分
∴V V V ，
M BCE C BME D BME
1 1 1 1 1 1 1
又∵V S DM S DM 2 2 AB 2 ，
D BME BME ABE
3 3 2 3 2 2 3
解得 AB 1．……………………………………………………………………12 分
方法 2：因为 M 是 EA 的中点，所以 E 点到平面 BCM 的距离等于 A 点到平面 BCM 的距
离，…………………………………………………………………………………………9 分
所以V V ．
E BCM A BCM
1 1 1
又 V V V V AB 2 1，
M BCE E BCM A BCM M ABC
3 3 2
解得 AB 1．…………………………………………………………………………………12 分机密★启用前
襄阳市普通高中2021一2022学年度下学期期末教学质量检测统一测试
高一数学
本试卷共4页，22题。全卷满分150分。考试时间120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试
卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的
1.复数
A.1-2i
B.1+2i
C.1
D.-1
2.某区域有大型城市24个，中型城市18个，小型城市12个，为了解该区域城市空气质量
情况，现采用按比例分配的分层抽样的方法抽取9个城市进行调查，则应抽取的大型城
市的个数为
A.1
B.2
C.3
D.4
3.已知a,b是平面内两个不共线向量，AB=ma十2b,BC=3a一b,A,B,C三点共线，则
m=
A.-2
B.2
C.-6
D.6
4.已知a为锐角，sin
开-=、
则sina=
3
A号
B.2②
5
号
n语
5.某校为了了解高一年级200名女学生的体能情况，随机抽查A
了其中的30名女生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，并绘制
12
成如图所示的频数分布直方图，请根据图示估计，该校高一
10
年级女生仰卧起坐次数的中位数一定位于
A.[15,20
B.[20,25]
C.[25,30]
D.[30,35]
6.已知三个平面a,B,Y,其中a∩B=a,B∩Y=b,y∩a=c,且
0152}2505次数
a∩b=P,则下列结论一定成立的是
A.b,c是异面直线
B.b∩c=P
C.b∥c
D.a与c没有公共点
【高一期末教学质量检测·数学第1页（共4页）】
7.将函数f(x)=sim(受-x）-sin(臣十x)的图象向左平移g(g>0)个单位长度后，
得到函数g(x)的图象，若g(x)满足g(石-x)=g(石+x),则p的最小值为
A.开
B.
C.
D.3
8.在△ABC中，AB=3,BC=4,AC=5,PQ为△ABC内切圆的一条直径，M为△ABC
边上的动点，则MP·MQ的取值范围为
A.[0,4]
B.[1,4]
C.[0,9
D.[1,9]
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知复数z=3一4i(其中i是虚数单位)，则下列命题中正确的有
A.=5
B.:的虚部是4
C.z一3是纯虚数
D.z在复平面内对应的点位于第四象限
10.一组样本数据，x2,,xn的平均数为x(≠0)，标准差为s.另一组样本数据x+1,
x+2,…,x2m的平均数为3x,标准差为.现将两组数据合成一组新数据，x2,…,x,
x+1,x+2…,x2,新数据的平均数为，标准差为s',则
A.y>2
B.y=2
C.s>s
D.s'=s
11.如图，在正方体ABCD-A1BCD中，E是棱A1B,的中点，P是线
段A,C(不含端点)上的一个动点，那么在点P的运动过程中，下列
说法中正确的有
A.存在某一位置，使得直线PE和直线BB:相交
B.存在某一位置，使得BC∥平面AEP
C.点A1与点B到平面PBE的距离总相等
D.三棱锥C1-PBE的体积不变
12.定义：已知两个非零向量a与b的夹角为0，我们把数量a·b·sin0叫做向量a与
b的叉乘a×b的模，记作a×b,即a×b=a·|b·sin0.则下列命题中正确的有
A.若平行四边形ABCD的面积为4，则|AB×AD1=4
B.在正△ABC中，若AD=AB×AC(AB+AC,则AD]
3
C.若|a×b|=√5，a·b=1,则|a十2b|的最小值为23
D.若a×b|=1,|b×c=2,且b为单位向量，则|a×c的值可能为2+2√3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，
13.向量a=(1,2)在向量b=(3,4)方向上的投影向量的模为
14.若虚数单位i是关于x的方程x2十ax十b=0(a,b∈R)的一个根，则a一bi
15.已知三棱台ABC-A1BC1的上下底面均为正三角形，AB=1,A1B,=2,侧棱长
AA1=BB1=CC1,若AA1⊥BB1,则此棱台的高为
16.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2√2，且3 bcos A十2 acos B=
asin B,则△ABC的面积的最大值为
【高一期末教学质量检测·数学第2页（共4页）】

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