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匀变速直线运动的位移差公式　逐差法求加速度
[学习目标]　1.理解位移差公式并能解决相关问题.2.会用逐差法求加速度．
一、位移差公式Δx＝aT2
1．内容：做匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时间T内的位移差是个常量，即Δx＝aT2.
2.推导：如图，x1＝v0T＋aT2，x2＝v1T＋aT2，所以Δx＝x2－x1＝(v1－v0)T＝aT2.
同理，xm－xn＝(m－n)aT2，其中m>n.
3．应用
(1)判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动．
(2)求加速度
利用Δx＝aT2，可求得a＝.
例1　一质点做匀加速直线运动，第3 s内的位移是2 m，第4 s内的位移是2.5 m，求：
(1)第2 s内的位移大小；
(2)第3 s末的速度大小；
(3)质点的加速度大小．
答案　(1)1.5 m　(2)2.25 m/s　(3)0.5 m/s2
解析　(1)由x3－x2＝x4－x3，
所以第2 s内的位移大小x2＝1.5 m.
(2)第3 s末的瞬时速度等于2～4 s内的平均速度，
所以v3＝＝2.25 m/s.
(3)由Δx＝aT2，
得a＝＝0.5 m/s2.
例2　从斜面上某一位置每隔0.1 s静止释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个小球后，对在斜面上滚动的小球拍下如图所示的照片，测得xAB＝15 cm，xBC＝20 cm.求：
(1)小球的加速度的大小；
(2)拍摄时小球在B点时的速度的大小；
(3)拍摄时C、D间的距离xCD；
(4)A点的上方滚动的小球还有几个．
答案　(1)5 m/s2　(2)1.75 m/s　(3)0.25 m　(4)2个
解析　(1)由推论Δx＝aT2可知，小球加速度为
a＝＝＝ m/s2＝5 m/s2.
(2)由题意知B点对应AC段的中间时刻，
所以B点的速度等于AC段的平均速度，即
vB＝＝ m/s＝1.75 m/s.
(3)由于连续相等时间内位移差恒定，
所以xCD－xBC＝xBC－xAB，
得xCD＝2xBC－xAB
＝2×20×10－2 m－15×10－2 m＝0.25 m.
(4)设A点处小球的速度为vA，
由于vA＝vB－aT＝1.25 m/s，
所以A点处小球的运动时间为
tA＝＝0.25 s，
所以在A点的上方滚动的小球还有2个．
二、逐差法求加速度
1．纸带上提供的数据为偶数段．
(1)若已知连续相等时间内的两段位移．
由x2－x1＝aT2，得a＝
(2)若已知连续相等时间内的四段位移．
可以简化成两大段AC、CE研究
xⅠ＝x1＋x2
xⅡ＝x3＋x4
tAC＝tCE＝2T
a＝＝
(3)若已知连续相等时间内的六段位移
可以简化成两大段AD、DG研究
xⅠ＝x1＋x2＋x3
xⅡ＝x4＋x5＋x6
a＝＝.
2．纸带上提供的数据为奇数段
若第一段位移较小，读数误差较大，可以舍去第一段；也可以先舍去中间的一段的数据，选取偶数段数据再利用上述方法求解，例如已知连续相等时间段的五段位移．
xⅠ＝x1＋x2，xⅡ＝x4＋x5
a＝＝.
例3　在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，打点计时器打出的一条纸带如图所示，A、B、C、D、E是在纸带上所选的计数点，相邻两计数点间的时间间隔为0.1 s，各计数点与A计数点间的距离在图中已标出．则在打B点时，小车的速度为________ m/s，并可求得小车的加速度大小为________ m/s2.
答案　0.26　0.4
解析　由纸带数据经计算可知小车在做匀变速直线运动，根据匀变速直线运动某段时间中间时刻的瞬时速度等于该段时间内的平均速度，
可知vB＝＝ m/s＝0.26 m/s，
根据匀变速直线运动的推论Δx＝aT2，
可知加速度a＝＝×10－3 m/s2＝0.4 m/s2.
例4　研究小车匀变速直线运动的实验装置如图所示．其中斜面倾角θ可调，打点计时器的工作频率为50 Hz，纸带上相邻两计数点间的距离如图所示，其中每两个相邻计数点之间还有四个点未画出．
(1)部分实验步骤如下：
A．测量完毕，关闭电源，取出纸带
B．接通电源，待打点计时器工作稳定后放开小车
C．将小车停靠在打点计时器附近，小车尾部与纸带相连
D．把打点计时器固定在斜面上，让纸带穿过限位孔
上述实验步骤的正确顺序是________．(用步骤前的字母填写)
(2)图中标出的相邻两计数点间的时间间隔T＝________ s.
(3)打计数点5时小车的瞬时速度大小的计算式为v5＝________.
(4)为了充分利用纸带上的测量数据，减小误差，小车加速度大小的计算式应为a＝________.
答案　(1)DCBA　(2)0.1　(3) 　(4)
解析　(1)实验步骤：先固定打点计时器，再放置小车，然后接通电源，释放小车，最后关闭电源，取出纸带，所以实验步骤的正确顺序是DCBA.
(2)每两个相邻计数点之间还有四个点没有画出，所以相邻两计数点间的时间间隔T＝0.02 s×5＝0.1 s.
(3)根据匀变速直线运动某段时间中间时刻的瞬时速度等于该段时间的平均速度，有v5＝.
(4)根据逐差法计算加速度，有a＝.
例5　如图所示为“测定小车做匀加速直线运动加速度”的实验中得到的一条纸带，舍去开始比较密集的点，按时间顺序标注0、1、2、3、4、5共六个计数点，相邻两计数点间有四个点没有画出，相邻两计数点间的距离已在图中标出．已知交变电源的频率为50 Hz.
(1)图中纸带________(选填“左”或“右”)端与小车相连；
(2)相邻两计数点间的时间间隔为________ s；
(3)由图给数据可以计算出小车运动的加速度a＝________ m/s2(保留2位有效数字)；
(4)打下计数点2时小车的速度v2＝________ m/s(保留2位有效数字)；
(5)若继续取计数点6、7，则计数点6、7之间的距离应为________ cm.
答案　(1)左　(2)0.1　(3)2.0　(4)0.80　(5)17.00
解析　(1)根据纸带数据可知纸带左端与小车相连．
(2)相邻两计数点间的时间间隔T＝0.02 s×5＝0.1 s.
(3)小车的加速度a＝＝×10－2 m/s2＝2.0 m/s2.
(4)根据某段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，再结合速度公式v＝v0＋at，可得v2＝＋a×T＝×10－2 m/s＋2.0××0.1 m/s＝0.80 m/s.
(5)由题图和逐差法可知x67－x34＝x34－x01，
解得x67＝2x34－x01＝(2×11.00－5.00) cm＝17.00 cm.
处理纸带数据的方法
处理纸带数据时，通常对位移、速度、加速度逐一处理：
(1)可用“位移差”法判断物体的运动情况；
(2)可利用匀变速直线运动中一段时间内的平均速度等于该段时间内中间时刻的瞬时速度求打纸带上某点时物体的瞬时速度；
(3)可用逐差法求加速度，以便充分利用测量数据，减小误差．
考点一　位移差公式的应用
1.(2022·山西大学附中月考)如图，一质点从A点开始做匀加速直线运动，随后依次经过B、C、D三点．已知AB段、CD段距离分别为5 m、13 m，质点经过AB段、BC段、CD段时间相等，均为1 s，则(　　)
A．质点的加速度大小为4 m/s2
B．质点的加速度大小为2 m/s2
C．质点在C点的速度大小为9 m/s
D．质点在B点的速度大小为6 m/s
答案　A
解析　质点经过AB、BC、CD段时间相等，均为T＝1 s
由x3－x1＝2aT2得
a＝＝ m/s2＝4 m/s2
由x2－x1＝x3－x2得BC段长度x2＝9 m
过B点时刻对应AC段的中间时刻，
vB＝AC＝＝ m/s＝7 m/s
过C点时刻对应BD段的中间时刻，
vC＝BD＝＝ m/s＝11 m/s，故A正确．
2．(2021·江苏响水中学高一阶段练习)为了测定某轿车在平直路上启动阶段的加速度(轿车启动时的运动可近似看成是匀加速直线运动)，某人拍摄了一张在同一底片上多次曝光的照片，如图所示，如果拍摄时每隔2 s曝光一次，轿车车身总长为4.5 m，那么这辆轿车的加速度为(　　)
A．1 m/s2 B．2.25 m/s2
C．3 m/s2 D．4.25 m/s2
答案　B
解析　轿车车身总长为4.5 m，则题图中每一小格为1.5 m，由此可算出两段距离分别为x1＝12 m和x2＝21 m，又T＝2 s，则a＝＝ m/s2＝2.25 m/s2，故选B.
3．一物体从静止开始做匀加速直线运动，已知第3 s内与第2 s内的位移之差是6 m，则可知(　　)
A．物体运动的加速度大小为3 m/s2
B．第2 s末的速度大小为12 m/s
C．第1 s内的位移大小为1 m
D．物体在前4 s内的平均速度大小为15 m/s
答案　B
解析　根据Δx＝aT2可得物体运动的加速度a＝＝ m/s2＝6 m/s2，A错误；第2 s末的速度v2＝at2＝6×2 m/s＝12 m/s，B正确；第1 s内的位移x1＝at12＝×6×12 m＝3 m，C错误；物体在前4 s内的位移x4＝at42＝×6×42 m＝48 m，则物体在前4 s内的平均速度＝＝ m/s＝12 m/s，D错误．
4．(2021·镇江市丹徒高级中学月考)如图所示，物体从O点由静止开始做匀加速直线运动，途经A、B、C三点，其中|AB|＝2 m，|BC|＝3 m．若物体通过AB和BC这两段位移的时间相等，则O、A两点之间的距离等于(　　)
A. m B. m
C. m D. m
答案　A
考点二　逐差法求加速度
5．(1)电火花计时器使用________电源(选填“直流”或“交流”)，工作电压为________ V.
(2)在某次用打点计时器(工作频率为50 Hz)测定已知做匀变速直线运动物体的加速度实验中，所获得的纸带如图所示．选好0点后，每5个间隔点取一个计数点(中间的4个点图中未画出)，依次取得1、2、3、4点，测得的数据如图所示．
则纸带的加速度大小为________ m/s2，“1”这一点的速度大小为________ m/s.(结果均保留三位有效数字)
答案　(1)交流　220　(2)0.800　0.461
解析　(1)电火花计时器使用交流电源，工作电压为220 V；
(2)每5个间隔点取一个计数点，所以相邻的计数点间的时间间隔T＝0.1 s，由逐差法得：
a＝＝×10－2 m/s2＝0.800 m/s2，根据匀变速直线运动时间中点的速度等于该过程中的平均速度，可以求出打纸带上1点时的速度大小：v1＝＝ m/s≈0.461 m/s.
6．在“研究小车做匀变速直线运动”的实验中，电源频率为50 Hz，如图为一次记录小车运动情况的纸带，图中A、B、C、D、E、F、G为相邻的计数点，在相邻计数点之间还有4个点未画出．
(1)根据纸带可知，相邻计数点之间的时间间隔为______ s，打C点时小车的瞬时速度为vC＝________ m/s，小车运动的加速度a＝________ m/s2.(后两空结果保留两位有效数字)
(2)若交流电的频率变为51 Hz而未被发觉，则测得的小车的速度值与真实值比较将偏_____(选填“大”或“小”)．(已知打点周期T与交流电的频率关系为T＝)
答案　(1)0.1　0.20　0.50　(2)小
解析　(1)电源频率为50 Hz，则相邻计时点之间的时间间隔为0.02 s，由于相邻计数点之间还有4个计时点未画出，所以相邻计数点之间的时间间隔为T＝0.1 s；利用中间时刻的速度等于这段时间内的平均速度即可求得
vC＝＝ m/s≈0.20 m/s；
根据Δx＝aT2可得加速度为：
a＝，
代入数据可得：a＝0.50 m/s2.
(2)当交流电的频率变为51 Hz时，打点的时间间隔减小，所以相邻计数点之间的时间间隔T减小，而此时还是以50 Hz对应的打点周期去计算，根据v＝可知测得的小车的速度值与真实值比较将偏小．
7．(2021·江苏常州市第一中学高一期中)如图所示是某同学测量匀变速直线运动的加速度时，选取的一条纸带的一部分，他每隔4个点取一个计数点，图中注明了他对各计数点间距离的测量结果．所接电源是频率为50 Hz的交变电源．
(1)为了验证小车的运动是匀变速运动，请进行计算，并将数据填入下表内．(单位：cm)
x2－x1 x3－x2 x4－x3 x5－x4 x6－x5
1.58 1.57 ____ ____ ____
由此可以得出结论：小车的运动是________．
(2)两个相邻计数点间的时间间隔Δt＝______ s.
(3)小车的加速度的表达式a＝________(用题中的字母表示)，加速度a＝________ m/s2(结果保留三位有效数字)；
(4)打计数点B时小车的速度vB＝________ m/s.(结果保留三位有效数字)；
(5)实验时，由于电源的频率略小于50 Hz，那么a的测量值将________．(填“偏大”“偏小”或“不变”)
答案　(1)1.57　1.58　1.58　匀变速直线运动　(2)0.1　(3)　1.57　(4)0.517　(5)偏大
解析　(1)由纸带计数点的数据可知
x4－x3＝7.52 cm－5.95 cm＝1.57 cm
x5－x4＝9.10 cm－7.52 cm＝1.58 cm
x6－x5＝10.68 cm－9.10 cm＝1.58 cm
由此可以得出结论：在误差允许范围内，相邻相等时间内的位移差Δx相等，小车的运动是匀变速直线运动．
(2)每隔4个点取一个计数点，电源频率为50 Hz，所以两个相邻计数点间的时间间隔
Δt＝0.02 s×5＝0.1 s
(3)小车的加速度的表达式
a＝
代入题中数据可得a≈1.57 m/s2
(4)由中间时刻的瞬时速度等于平均速度可得，打计数点B时小车的速度
vB＝＝×10－2 m/s
≈0.517 m/s
(5)实验时，由于电源的频率略小于50 Hz，由T＝可知，f变小，T变大，打点时间Δt变大，由以上计算可知，那么a的测量值将“偏大”．

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