资源简介

追及和相遇问题
[学习目标]　1.会分析追及相遇问题，理解两者速度相等为临界条件.2.会根据位移关系、时间关系列方程．
1．追及相遇问题
两物体在同一直线上一前一后运动，速度相同时它们之间可能出现距离最大、距离最小或者相遇(碰撞)的情况，这类问题称为追及相遇问题．
2．分析追及相遇问题的思路和方法
(1)讨论追及相遇问题的实质是分析两物体能否在同一时刻到达同一位置，注意抓住一个条件、用好两个关系．
一个条件 速度相等 这是两物体是否追上(或相撞)、距离最大、距离最小的临界点，是解题的切入点
两个关系 时间关系和位移关系 通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口
(2)常用方法
物理分析法 抓住“两物体能否同时到达同一位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，建立物体运动关系的图景，并画出运动情况示意图，找出位移关系
图像法 将两者的v－t图像画在同一坐标系中，然后利用图像分析求解
数学分析法 设从开始到相遇的时间为t，根据条件列位移关系方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论．若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相碰
例1　平直公路上有甲、乙两辆汽车，甲以0.5 m/s2的加速度由静止开始行驶，乙在甲的前方200 m处以5 m/s的速度做同方向的匀速运动，问：
(1)甲何时追上乙？甲追上乙时的速度为多大？此时甲离出发点多远？
(2)在追赶过程中，甲、乙之间何时有最大距离？这个距离为多少？
答案　(1)40 s　20 m/s　400 m　(2)10 s　225 m
解析　(1)设甲经过时间t追上乙，
则有x甲＝a甲t2，x乙＝v乙t，
根据追及条件，有a甲t2＝x0＋v乙t，
代入数据解得t＝40 s和t＝－20 s(舍去)
这时甲的速度v甲＝a甲t＝0.5×40 m/s＝20 m/s
甲离出发点的位移
x甲＝a甲t2＝×0.5×402 m＝400 m.
(2)在追赶过程中，当甲的速度小于乙的速度时，甲、乙之间的距离仍在继续增大；但当甲的速度大于乙的速度时，甲、乙之间的距离便不断减小；当v甲＝v乙，甲、乙之间的距离达到最大值．由a甲t′＝v乙，得t′＝＝ s＝10 s，
即甲在10 s末离乙的距离最大．
xmax＝x0＋v乙t′－a甲t′2＝200 m＋5×10 m－×0.5×102 m＝225 m.
例2　汽车以20 m/s的速度在平直公路上行驶时，刹车后40 s停下来．现在同一平直公路上以20 m/s的速度行驶时发现前方200 m处有一货车以6 m/s的速度同向匀速行驶，司机立即刹车，则：
(1)求汽车刹车时的加速度大小；
(2)是否发生撞车事故？若发生撞车事故，在何时发生？若没有撞车，两车最近距离为多少？
答案　(1)0.5 m/s2　(2)不会相撞　4 m
解析　(1)汽车刹车时的加速度大小
a＝＝0.5 m/s2
(2)当汽车减速到与货车共速时
t0＝＝28 s
汽车运动的位移x1＝＝364 m
此时间内货车运动的位移为x2＝vBt0＝168 m
Δx＝x1－x2＝196 m＜200 m，
所以两车不会相撞．
此时两车相距最近，最近距离
Δs＝x0－Δx＝200 m－196 m＝4 m.
例3　一辆小汽车以30 m/s的速度匀速行驶在高速公路上，突然发现正前方30 m处有一辆大卡车以10 m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，刹车过程中刹车失灵．如图所示，图线a、b分别为小汽车和大卡车的v－t图像(忽略刹车反应时间)，以下说法正确的是(　　)
A．因刹车失灵前小汽车已减速，故不会发生追尾事故
B．在t＝3 s时发生追尾事故
C．在t＝5 s时发生追尾事故
D．若紧急刹车时两车相距40 m，则不会发生追尾事故且两车最近时相距10 m
答案　B
解析　根据速度—时间图线与时间轴所围“面积”表示位移，由题图知，t＝3 s时大卡车的位移为：
xb＝vbt＝10×3 m＝30 m
小汽车的位移为：
xa＝×(30＋20)×1 m＋×(20＋15)×2 m＝60 m
则：xa－xb＝30 m
所以在t＝3 s时发生追尾事故，故B正确，A、C错误；
由v－t图线可知在t＝5 s时两车速度相等，小汽车相对于大卡车的位移：
Δx＝×(20＋10)×1 m＋×10×4 m＝35 m<40 m
则不会发生追尾事故，且两车最近时相距Δs＝x0－Δx＝5 m，故D错误．
例4　甲、乙两物体在同一条直线上同时同地沿同一方向运动，甲的初速度为6 m/s，由于摩擦做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2；乙做初速度为零，加速度为1 m/s2的匀加速直线运动．求：
(1)甲物体能运动多远？
(2)乙经多长时间追上甲？
(3)乙追上甲之前两物体的最大距离是多少？
答案　(1)9 m　(2)4.2 s　(3)6 m
解析　(1)甲做匀减速直线运动直至停止，
由v甲2＝2a甲x甲，
得x甲＝＝＝9 m.
(2)甲的运动时间为：t＝＝＝3 s
此过程中乙的位移
x乙＝a乙t2＝×1 m/s2×(3 s)2＝4.5 m<9 m
说明甲停止后，过一段时间乙才追上甲
所以乙追上甲所用时间：
t乙＝＝≈4.2 s.
(3)当甲、乙的速度相等时，二者距离最大，
即a乙t′＝v甲－a甲t′，
得：t′＝2 s
在这2 s内，甲的位移：
x甲′＝v甲t′－a甲t′2＝8 m
乙的位移：x乙′＝a乙t′2＝2 m
二者间的最大距离：Δx＝x甲′－x乙′＝6 m.
追及相遇问题的常见情况
初速度小者追初速度大者
情景图 　匀加速追匀速　匀速追匀减速 匀加速追匀减速
t＝t0以前(v2＜v1) 两物体距离增大
t＝t0时(v1＝v2) 相距最远
t＝t0以后(v2＞v1) 两物体距离减小
追及情况 只能追上一次
初速度大者追初速度小者
情景图 　匀减速追匀速　匀速追匀加速 匀减速追匀加速
t0时刻以前(v2＞v1) 两物体距离减小
t0时刻(v2＝v1) 若Δx＝x0，恰好追上
若Δx＜x0，追不上，有最小距离
若Δx＞x0，相遇两次
1.A、B两物体在同一直线上运动的v－t图像如图所示，已知在第4 s末两物体相遇，则下列说法正确的是(　　)
A．两物体从同一地点出发
B．出发时A在B前方6 m处
C．两物体运动过程中，A的加速度小于B的加速度
D．第4 s末两物体相遇之后，两物体可能再相遇
答案　C
解析　由速度－时间图像中图线与t轴所围的“面积”表示位移可知，两物体在0～4 s内的位移不相等，而在第4 s末相遇，可知出发点不同，A错误；xA＝×4×4 m＝8 m，xB＝×6×
4 m＝12 m，已知在第4 s末相遇，则出发时A在B前方4 m处，B错误；由于A图线的斜率小于B图线的斜率，可知A的加速度小于B的加速度，C正确；相遇后A的速度始终小于B的速度，所以两物体不会再相遇，D错误．
2.甲、乙两辆汽车(均可看成质点)在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标．在描述两车运动的v－t图像中(如图)，直线a、b分别描述了甲、乙两车在0～20 s内的运动情况．关于两车之间的位置关系，下列说法正确的是(　　)
A．在0～10 s内两车逐渐靠近
B．在10～20 s内两车逐渐远离
C．在5～15 s内两车的位移相等
D．在t＝10 s时两车在公路上相遇
答案　C
3．(2021·常州一中高一上期中)甲、乙两辆汽车沿同一方向做直线运动，两车在某一时刻刚好经过同一位置，此时甲的速度为5 m/s，乙的速度为10 m/s，甲车的加速度大小恒为1.2 m/s2.以此时作为计时起点，它们的速度随时间变化的关系如图所示，根据以上条件可知(　　)
A．乙车做加速度先增大后减小的变加速运动
B．在前4 s的时间内，甲车的位移为29.6 m
C．在t＝4 s时，甲车追上乙车
D．在t＝10 s时，乙车又回到起始位置
答案　B
解析　v－t图像的斜率表示物体的加速度，由题图可知，乙车的加速度先减小后增大，最后再减小，故A错误；在前4 s的时间内，甲车的位移为x＝v0t＋at2＝5×4 m＋×1.2×16 m＝29.6 m，故B正确；在t＝4 s时，两车的速度相同，但经过的位移不同，故两车没有相遇，故C错误；在10 s前，乙车速度一直为正，乙车一直沿正方向运动，故乙车没有回到起始位置，故D错误．
4.(2021·常州市高一期中)甲、乙两车在一平直公路上从同一地点沿同一方向做直线运动，它们的v－t图像如图所示．下列判断正确的是(　　)
A．乙车启动时，甲车在其前方100 m处
B．乙车加速阶段的加速度为1 m/s2
C．15 s时乙车正好追上甲车
D．运动过程中，乙车落后甲车的最大距离为75 m
答案　D
解析　根据v－t图像与时间轴包围的面积表示位移，可知乙车在t＝10 s时启动，此时甲车的位移为x1＝×10×10 m＝50 m，即乙车启动时，甲车在乙车前方50 m处，故A错误；乙车加速阶段的加速度a＝＝ m/s2＝2 m/s2，故B错误；由于两车从同一地点沿同一方向做直线运动，当位移相等时两车才相遇，由题图可知，乙车启动10 s后，甲车的位移为x2＝×10×10 m＋10×10 m＝150 m，乙车的位移为x3＝×10×20 m＝100 m，两车之间的距离为50 m，此后两车做匀速运动，再经过时间t＝＝ s＝5 s，两车相遇，即
25 s时乙车正好追上甲车，故C错误；当两车的速度相等时相距最远，最大距离为smax＝×(5＋15)×10 m－×10×5 m＝75 m．故D正确．
5．在十字路口，一辆汽车以0.5 m/s2的加速度从停车线启动做匀加速直线运动，此时恰好有一辆自行车以5 m/s的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，则：
(1)什么时候它们相距最远？最远距离是多少？
(2)在什么地方汽车追上自行车？追到时汽车的速度是多大？
答案　(1)10 s时　25 m
(2)距停车线100 m处　10 m/s
解析　(1)由题意知两车速度相等时相距最远，设所用时间为t
汽车做初速度为零的匀加速直线运动，
所以v汽＝at＝v自
代入数据得t＝10 s
最远距离x＝x自－x汽＝v自t－at2＝25 m.
(2)汽车追上自行车时，它们相对于停车线的位移相等，
设汽车追上自行车所用时间为t′
此时x自′＝x汽′，
即：v自t′＝at′2.
代入数据得t′＝20 s.
此时距停车线距离x′＝v自t′＝100 m.
此时汽车速度v汽′＝a t′＝10 m/s.
6．A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度vA＝10 m/s，B车在后，其速度vB＝30 m/s，因大雾能见度低，B车在距A车x0＝85 m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过180 m才能停止．求：
(1)B车刹车的加速度大小；
(2)若B车刹车时A车仍按原速率行驶，两车是否会相撞？若会相撞，将在B车刹车后何时相撞？若不会相撞，则两车最近距离是多少？
答案　(1)2.5 m/s2　(2)不会相撞　5 m
解析　(1)设B车刹车过程的加速度大小为aB，由运动学公式有0－vB2＝－2aBx
解得aB＝2.5 m/s2
(2)设经过时间t两车相撞，则有：
vBt－aBt2＝x0＋vAt，
即30t－×2.5t2＝85＋10t
整理得t2－16t＋68＝0
由Δ＝162－4×68＜0，可知t无实数解，
即两车不会相撞，速度相等时两车相距最近，此时
vA＝vB－aBt1，
代入数据得t1＝8 s
此过程中xB＝vBt1－aBt12＝160 m
xA＝vAt1＝80 m，
两车的最近距离Δx＝x0＋xA－xB＝5 m.
7．A、B两车沿同一直线同方向运动，A车的速度vA＝4 m/s，B车的速度vB＝10 m/s.当B车运动至A车前方7 m处时，A车的速度保持不变，B车刹车并以大小为a＝2 m/s2的加速度做匀减速运动，从该时刻开始计时，求：
(1)A车追上B车之前，两车间的最大距离；
(2)经多长时间A车追上B车．
答案　(1)16 m　(2)8 s
解析　(1)当B车速度等于A车速度时，两车间距最大．
设经时间t1两车速度相等，有：
vB′＝vB－at1，vB′＝vA
B车的位移：xB＝vBt1－at12，
A车的位移：xA＝vAt1，
则：Δxm＝xB＋7 m－xA，
解得：Δxm＝16 m.
(2)设B车停止运动所需时间为t2，
则t2＝＝5 s，
此时A车的位移xA′＝vAt2＝20 m，
B车的位移xB′＝vBt2－at22＝25 m，
A、B两车间的距离Δx＝xB′－xA′＋7 m＝12 m，
A车追上B车还需时间t3＝＝3 s，
故A车追上B车的总时间t＝t2＋t3＝8 s.
8．(2021·泰州、宜兴、梁丰、江都四校联考)在一段交通直道上，一位交警正在路边执勤，突然一辆违章车以72 km/h的速度从他的身边驶过，交警的反应时间为0.5 s，用2 s的时间启动警车，启动警车后以5 m/s2的加速度匀加速向违章车追去，当警车达到最高限速126 km/h后开始匀速，违章车始终以原速度做匀速直线运动．问：
(1)交警发动警车后，经过多长时间可追上违章车？
(2)警车追上违章车前两者的最大间距为多少？
答案　(1)11.5 s　(2)90 m
解析　违章车的速度为v0＝72 km/h＝20 m/s，
警车的最大速度为v1＝126 km/h＝35 m/s，
加速度为a＝5 m/s2.
(1)警车达到最大速度所需的时间为
t1＝＝ s＝7 s
此时警车的位移为x1＝t1＝×7 m＝122.5 m
此时违章车的位移为x0＝v0(t1＋0.5 s＋2 s)＝20×(7＋0.5＋2) m＝190 m
由于x0>x1，所以警车是在匀速阶段追上违章车，
此时二车的间距Δx＝x0－x1＝67.5 m
警车追上违章车还需要的时间，
t2＝＝ s＝4.5 s
故交警发动警车后，追上违章车需要时间为
t＝t1＋t2＝7 s＋4.5 s＝11.5 s.
(2)两车间距最大时，两车速度相等，有v0＝at′，
解得：t′＝＝ s＝4 s，
此时违章车的位移为x′＝v0(t′＋0.5 s＋2 s)＝20×(4＋0.5＋2) m＝130 m，
此时警车的位移为x″＝at′2＝×5×42 m＝40 m
警车追上违章车前的最大间距为Δxmax＝x′－x″＝130 m－40 m＝90 m．

展开更多......

收起↑