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自由落体运动规律的综合运用
[学习目标]　1.进一步加深对自由落体运动性质的理解.2.能够灵活运用自由落体规律解决滴水、物体过窗等复杂问题．
　　　　　　　　　　　　　　　　
一、自由落体规律的应用(多物体)
例1　在离地面7.2 m处，手提2.2 m长的绳子的上端，如图所示，在绳子的上下两端各拴一小球，放手后小球自由下落(绳子的质量不计，球的大小可忽略，g＝10 m/s2)求：
(1)两小球落地的时间差；
(2)B球落地时A球的速度大小．
答案　(1)0.2 s　(2)10 m/s
解析　(1)设B球落地所需时间为t1，A球落地所需时间为t2，
因为h1＝gt12，
所以t1＝＝ s＝1 s，
由h2＝gt22得t2＝＝ s＝1.2 s
所以两小球落地的时间差为Δt＝t2－t1＝0.2 s.
(2)当B球落地时，A球的速度与B球的速度相等．
即vA＝vB＝gt1＝10×1 m/s＝10 m/s.
二、自由落体运动中的滴水问题
例2　小敏在学过自由落体运动规律后，对自家屋檐上下落的雨滴产生了兴趣，她坐在窗前发现从屋檐每隔相等时间滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，而第
3滴与第2滴分别位于高1 m的窗子的上、下檐，小敏同学在自己的作业本上画出了如图所示的雨滴下落同自家房子的关系，其中2点和3点之间的小矩形表示小敏正对的窗子，不计空气阻力，g取10 m/s2，请问：
(1)滴水的时间间隔是多少？
(2)此屋檐离地面多高？(尝试用多种方法求解)
答案　(1)0.2 s　(2)3.2 m
解析　方法一　公式法
(1)设屋檐离地面高为h，滴水间隔为T.
由h＝gt2得
第2滴水下落的位移h2＝g(3T)2
第3滴水下落的位移h3＝g(2T)2
且h2－h3＝1 m
解得T＝0.2 s
(2)屋檐高h＝g(4T)2＝3.2 m.
方法二　比例法
(1)(2)由于初速度为零的匀加速直线运动从开始运动起，在连续相等的时间间隔内的位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n－1)，所以相邻两水滴之间的间距从上到下依次是s、3s、5s、7s，
由题意知，窗高为5s，则5s＝1 m，s＝0.2 m，
屋檐高h＝s＋3s＋5s＋7s＝16s＝3.2 m.
设滴水的时间间隔为T，
由s＝gT2得T＝＝0.2 s.
方法三　平均速度法
(1)(2)设滴水的时间间隔为T，则雨滴经过窗户过程中的平均速度为＝，其中h＝1 m.
雨滴在2.5T时的速度v2.5＝2.5gT，
由于v2.5＝，所以＝2.5gT，解得T＝0.2 s
屋檐高H＝g(4T)2＝3.2 m.
方法四　速度位移关系
(1)设滴水的时间间隔为T，则第2滴的速度
v2＝g·3T，
第3滴v3＝g·2T，h＝1 m，
由v2－v02＝2ax，得v22－v32＝2gh
解得T＝0.2 s
(2)由v12＝2gH，v1＝at得v1＝g·4T＝8 m/s
H＝＝3.2 m.
三、雨滴(杆)过窗问题
例3　如图所示，直杆长l1＝0.5 m，圆筒高l2＝3.7 m．直杆位于圆筒正上方H＝0.8 m处．直杆从静止开始做自由落体运动，并能竖直穿过圆筒(g取10 m/s2)，求：
(1)直杆下端刚到圆筒上端的时间；
(2)直杆穿越圆筒所用的时间．
答案　(1)0.4 s　(2)0.6 s
解析　(1)设直杆下端到达圆筒上端的时间为t1，根据自由落体运动规律有H＝gt12，
解得t1＝＝ s＝0.4 s.
(2)设直杆上端离开圆筒下端的时间为t2，
根据自由落体运动规律有l1＋H＋l2＝gt22，
解得t2＝＝ s＝1 s，
则直杆穿越圆筒所用的时间t＝t2－t1＝0.6 s.
四、自由落体多过程问题
例4　跳伞运动员做低空跳伞表演，他离开飞机后先做自由落体运动，当距离地面125 m时打开降落伞，伞张开后运动员就以大小为14.3 m/s2的加速度做匀减速直线运动，到达地面时的速度为5 m/s，取g＝10 m/s2.问：
(1)运动员离开飞机时距地面的高度为多少？
(2)离开飞机后，运动员经过多长时间才能到达地面？(结果保留三位有效数字)
答案　(1)305 m　(2)9.85 s
解析　(1)设运动员自由下落的高度为h1，打开伞前瞬间的速度为v1，有v12＝2gh1
打开降落伞后做匀减速运动时满足：
v22－v12＝2ah2
联立解得h1＝180 m
所以总高度为H＝h1＋h2＝(180＋125) m＝305 m
(2)设第一过程经过的时间是t1，
有h1＝gt12
第二过程经过的时间是t2＝
所以总时间为t＝t1＋t2≈9.85 s.
1．(2022·北京新学道临川学校月考)从某一高度相隔1 s释放两个相同的小球甲和乙，不计空气阻力，则在空中任一时刻(　　)
A．甲、乙两球距离越来越大，甲、乙两球速度之差越来越大
B．甲、乙两球距离始终保持不变，甲、乙两球速度之差保持不变
C．甲、乙两球距离越来越大，但甲、乙两球速度之差保持不变
D．甲、乙两球距离越来越小，甲、乙两球速度之差越来越小
答案　C
解析　根据Δx＝g(t＋1 s)2－gt2＝gt＋g知，t增大，甲、乙两球的距离越来越大，根据Δv＝g(t＋1 s)－gt＝g知，甲、乙两球的速度之差保持不变，故C正确．
2.小球从竖直砖墙某位置由静止释放，用频闪照相机在同一底片上多次曝光，得到了如图中1、2、3、4、5所示的小球在运动过程中每次曝光的位置．连续两次曝光的时间间隔均为T，每块砖的厚度均为d.根据图中的信息，下列判断不正确的是(　　)
A．位置1是小球释放的初始位置
B．小球做匀加速直线运动
C．小球下落的加速度为
D．小球在位置3的速度为
答案　A
解析　由题图可知，相邻两点间的位移差等于d，故小球做匀加速直线运动，由a＝得a＝，若小球从静止开始运动则连续相等时间内的位移之比为1∶3∶5∶7…，而题图中位移之比为2∶3∶4∶5…，故位置1不是小球释放的初始位置．选项A错误，B、C正确．小球在位置3的速度v3＝＝，选项D正确．
3．一矿井深125 m，在井口每隔一定时间自由下落一个小球，当第11个小球刚从井口下落时，第1个小球恰好到井底(g＝10 m/s2)，则(　　)
A．第1个小球落至井底时的速度为30 m/s
B．第1个小球落至井底时的速度为25 m/s
C．相邻两个小球下落的时间间隔是0.5 s
D．第9个小球和第7个小球之间的距离为25 m
答案　C
解析　第1个小球自由下落的时间t＝＝ s＝5 s，根据题意，第1个小球刚落至井底的瞬间，第11个小球刚好在井口，因此空中有9个小球在下落，并存在10个相等的时间间隔Δt，故Δt＝＝0.5 s，根据vt＝，得vt＝50 m/s，第9个小球下落的高度为h9＝×10×(0.5×2)2 m＝5 m，第7个小球下落的高度为h7＝×10×(0.5×4)2 m＝20 m，故第9个小球和第7个小球之间的距离为15 m，故选C.
4.如图所示，在一个水平桌面上方有三个金属小球a、b、c，高度分别为h1、h2、h3，且h1∶h2∶h3＝3∶2∶1.若先后由静止依次释放小球a、b、c，三小球刚好同时落到桌面上，不计空气阻力，则(　　)
A．三小球到达桌面时的速度大小之比是3∶2∶1
B．三小球运动时间之比为3∶2∶1
C．小球b与a开始下落的时间差小于小球c与b开始下落的时间差
D．小球b与a开始下落的时间差大于小球c与b开始下落的时间差
答案　C
解析　由v2＝2gh，得v＝，则三小球落到桌面时的速度大小之比v1∶v2∶v3＝∶∶1，A错误；又由h＝gt2，得t＝，则三小球运动时间之比t1∶t2∶t3＝∶∶1，B错误；设小球b与a开始下落的时间差为Δt1，小球c与b开始下落的时间差为Δt2，则由B选项的分析可得Δt1∶Δt2＝(－)∶(－1)，比值小于1，因此小球b与a开始下落的时间差小于小球c与b开始下落的时间差，C正确，D错误．
5．(2021·江苏淮安高一期中)高空抛物是一种不文明行为，会带来很大的社会危害．某天，家住8楼的小华发现有一钢球从落地窗外坠落，调看家里视频监控发现钢球通过落地窗用时
0.1 s，已知落地窗高度为2 m，每层楼高度为3 m，若钢球做自由落体运动，g＝10 m/s2，试估算钢球从几楼抛出(　　)
A．7楼 B．10楼 C．15楼 D．20楼
答案　C
解析　设钢球下落点距离小华家窗户上沿高度为h，则h＝gt2，h＋2 m＝g(t＋0.1 s)2
解得t＝1.95 s，h≈19 m
因每层楼高度为3 m，可知8楼的房顶距离抛出点为18 m．小华家住8楼，则有n＝＋1＋8＝15
可知钢球是从15楼抛出的．故选C.
6．一条悬链长8.8 m，竖直悬挂，现悬链从悬挂点处断开，自由下落，不计空气阻力，则整条悬链通过悬链下端正下方20 m处的一点所需的时间是(g取10 m/s2)(　　)
A．0.3 s B．0.4 s C．0.7 s D．1.2 s
答案　B
解析　悬链下端下落20 m时开始经过该点，且悬链下端下落28.8 m时完全通过该点，故该过程经历的时间为Δt＝－＝0.4 s，B正确．
7．(2021·潍坊市高一检测)特技跳伞要求队员在2 200 m的高度离开飞机，在不开伞自由落体的情况下完成规定表演动作．跳伞中某队员自由落体速度达到最大速度70 m/s后，调整姿势匀速下落，在距地面1 000 m时打开降落伞匀减速下落，落地速度恰好为零．g取10 m/s2，求：
(1)匀速下落的距离；
(2)匀减速过程的加速度大小；
(3)跳伞过程的总时间．
答案　(1)955 m　(2)2.45 m/s2　(3)49.2 s
解析　(1)自由落体运动过程，有v＝gt1
h1＝gt12
从刚离开飞机到落地过程中，由h＝h1＋h2＋h3
解得h2＝955 m.
(2)在匀减速直线运动过程中，由0－v2＝－2ah3
代入数据得a＝2.45 m/s2.
(3)t3＝＝ s≈28.6 s，t2＝＝ s≈13.6 s
t＝t1＋t2＋t3
解得t＝49.2 s.
8.如图所示，一滴雨滴从离地面20 m 高的楼房屋檐自由下落，下落途中用Δt＝0.2 s的时间通过一个窗口，窗口的高度为2 m，g取10 m/s2，不计空气阻力，求：
(1)雨滴落地时的速度大小；
(2)雨滴落地前最后1 s内的位移大小；
(3)屋檐离窗的上边框的距离．
答案　(1)20 m/s　(2)15 m　(3)4.05 m
解析　(1)设雨滴自由下落的时间为t，
根据h＝gt2得t＝2 s.
则雨滴落地时的速度v＝gt＝20 m/s.
(2)雨滴在第1 s内的位移为h1＝gt12＝5 m
则雨滴落地前最后1 s内的位移大小为
h2＝h－h1＝15 m.
(3)由题意知窗口的高度为h3＝2 m，设屋檐距窗的上边框为h0，雨滴从屋檐运动到窗的上边框时间为t0，则h0＝gt02.
又h0＋h3＝g(t0＋Δt)2
联立解得h0＝4.05 m.

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