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整体法和隔离法在受力分析及平衡问题中的应用
[学习目标]　1.会用整体法和隔离法分析多个物体的受力.2.灵活运用整体法和隔离法处理多个物体的平衡问题．
一、整体法和隔离法在受力分析中的应用
1．分析物体受力的方法
(1)条件法：根据各性质力的产生条件进行判断．
注意：①有质量的物体在地面附近一定受到重力的作用．
②弹力的产生条件是相互接触且发生弹性形变．
③摩擦力的产生条件是两物体相互接触、接触面粗糙、相互挤压、有相对运动或相对运动的趋势，以上几个条件缺一不可．
(2)假设法：假设法是判断弹力和摩擦力有无的常用方法．
(3)状态法：由物体所处的状态分析，若物体静止或做匀速直线运动，可根据平衡条件判断弹力、摩擦力存在与否．
(4)相互作用法：若甲物体对乙物体有弹力或摩擦力的作用，则乙物体对甲物体一定有弹力或摩擦力的作用．
2．整体法、隔离法的比较
项目 整体法 隔离法
概念 将运动状态相同的几个物体作为一个整体来分析的方法 将研究对象与周围物体分隔开的方法
选用原则 研究系统外的物体对系统整体的作用力 研究系统内物体之间的相互作用力
注意问题 受力分析时不要再考虑系统内物体间的相互作用 一般隔离受力较少的物体
例1　如图所示，直角三棱柱A放在水平地面上，光滑球B放在三棱柱和竖直墙壁之间，A和B都处于静止状态．
(1)试分别画出A、B及A、B作为一个整体的受力示意图；
(2)求A对地面的压力的大小与A、B重力大小之间的关系．
答案　见解析
解析　(1)隔离A为研究对象，它受到重力GA、B对它的压力FBA、地面支持力和地面对它的摩擦力，如图甲所示．
隔离B为研究对象，它受到重力GB、三棱柱对它的支持力FAB、墙壁对它的弹力FN1的作用，如图乙所示．
以A、B整体作为研究对象，整体受到重力GA＋GB，墙壁对其弹力FN1，地面支持力和地面对其摩擦力，如图丙所示．
(2)以A、B整体为研究对象，FN＝GA＋GB
由牛顿第三定律，A对地面的压力FN′等于FN，
则FN′＝GA＋GB
故A对地面的压力的大小等于A、B重力大小之和．
例2　如图所示，物体A靠在竖直墙面上，在向上的推力F作用下，A、B保持静止．物体B的受力个数为(　　)
A．2 B．4
C．2或4 D．3
答案　B
解析　以B为研究对象，知A对B有压力和摩擦力，B还受到重力和推力F，所以B受四个力作用，故选项B正确，A、C、D错误．
变式训练　例2中物体A的受力个数为________个．
答案　3
解析　以A、B整体为研究对象，受竖直向下的重力及推力F，则墙对A无作用力，则A受自身重力、B对A的摩擦力和B对A的弹力，共计3个力作用．
二、整体法和隔离法在平衡问题中的应用
当系统处于平衡状态时，组成系统的每个物体都处于平衡状态，选取研究对象时要注意整体法和隔离法的结合．一般地，当求系统内部间的相互作用力时，用隔离法；求系统受到的外力时，用整体法，具体应用中，应将这两种方法结合起来灵活运用．
例3　如图所示，用完全相同的轻弹簧A、B、C将两个相同的小球连接并悬挂，小球处于静止状态，弹簧A与竖直方向的夹角为30°，弹簧C水平，则弹簧A、C的伸长量之比为(　　)
A.∶4 B．4∶
C．1∶2 D．2∶1
答案　D
解析　将两小球及弹簧B视为整体进行受力分析，如图所示，有：FC＝FAsin 30°，FC＝kxC，FA＝kxA，＝＝2∶1，则＝2∶1，故D正确，A、B、C错误.
例4　(2021·山西大学附属中学高一上月考)如图所示，粗糙水平地面上放置一个截面为半圆的柱状物体A，A与竖直墙壁之间再放一光滑圆球B，整个装置处于静止状态．已知A、B的质量分别为M和m，圆球B和半圆的柱状物体A的半径均为r，已知A的圆心到墙角的距离为2r，重力加速度为g.求：
(1)物体A受到地面的支持力大小；
(2)物体A受到地面的摩擦力．
答案　(1)(M＋m)g　(2) mg，方向水平向左
解析　(1)对A、B整体受力分析，如图甲所示，由平衡条件得FNA＝(M＋m)g.
(2)对B受力分析，如图乙所示，
由几何关系得sin θ＝＝，θ＝30°，
由平衡条件得FNABcos θ－mg＝0，
FNABsin θ－FNB＝0，
联立解得FNB＝mgtan θ＝mg，
由整体法可得物体A受到地面的摩擦力Ff＝FNB＝mg，方向水平向左．
针对训练　如图所示，质量为m＝0.5 kg的光滑小球被细线系住，放在倾角为α＝45°的斜面体上．已知线与竖直方向的夹角β＝45°，斜面体质量为M＝3 kg，整个装置静置于粗糙水平地面上．(g取10 m/s2)求：
(1)细线对小球拉力的大小；
(2)地面对斜面体的摩擦力的大小和方向．
答案　(1) N　(2)2.5 N　方向水平向左
解析　(1)以小球为研究对象，受力分析如图甲所示．
根据平衡条件得，FT与FN的合力大小等于mg
FT＝mgcos 45°＝mg＝ N
(2)以小球和斜面体整体为研究对象，受力分析如图乙所示，由于系统静止，合力为零，则有：
Ff＝FTcos 45°＝× N＝2.5 N，方向水平向左．
1.如图所示，在水平桌面上放置一斜面体P，两长方体物块a和b叠放在P的斜面上，整个系统处于静止状态．若将a与b、b与P、P与桌面之间摩擦力的大小分别用Ff1、Ff2和Ff3表示．则(　　)
A．Ff1＝0，Ff2≠0，Ff3≠0
B．Ff1≠0，Ff2＝0，Ff3＝0
C．Ff1≠0，Ff2≠0，Ff3＝0
D．Ff1≠0，Ff2≠0，Ff3≠0
答案　C
解析　对a、b、P整体受力分析可知，整体相对桌面没有相对运动趋势，故Ff3＝0；将a和b看成一个整体，ab整体有相对斜面向下运动的趋势，故b与P之间有摩擦力，即Ff2≠0；对a进行受力分析，a相对于b有向下运动的趋势，故a和b之间存在摩擦力作用，即Ff1≠0，故选项C正确．
2.(2021·北京市第一六六中学高一期中)倾角为α、质量为M的斜面体静止在水平桌面上，质量为m的木块静止在斜面体上，下列结论正确的是(重力加速度为g)(　　)
A．木块受到的摩擦力大小是mgcos α
B．木块对斜面体的压力大小是mgsin α
C．桌面对斜面体的摩擦力大小是mgsin αcos α
D．桌面对斜面体的支持力大小是(M＋m)g
答案　D
解析　先对木块m受力分析，如图所示，受重力mg、支持力FN和静摩擦力Ff，根据平衡条件，有：Ff＝mgsin α，FN＝mgcos α，由牛顿第三定律知，木块对斜面体的压力大小为mgcos α，故A、B错误；对M和m整体受力分析，受重力和支持力，二力平衡，故桌面对斜面体的支持力为FN＝(M＋m)g，摩擦力为零，故C错误，D正确．
3.物体b在水平推力F作用下，将物体a压在竖直墙壁上，a、b均处于静止状态，如图所示．关于a、b两物体的受力情况，下列说法正确的是(　　)
A．a受到两个摩擦力的作用
B．a共受到四个力的作用
C．b共受到三个力的作用
D．a受到墙壁摩擦力的大小随F的增大而增大
答案　A
解析　以a、b整体为研究对象，整体受到重力、水平推力F、墙壁对整体水平向右的弹力和墙壁对整体向上的摩擦力作用，由于整体处于平衡状态，所以墙壁对a的摩擦力不随F的增大而增大，选项D错误；隔离b为研究对象，b受到重力、水平推力、a对b水平向右的弹力、a对b向上的摩擦力四个力作用，选项C错误；再隔离a，a受到b对a向下的摩擦力、墙壁对a向上的摩擦力、重力及水平方向上的两个弹力作用，选项A正确，B错误．
4.如图所示，物体m通过光滑定滑轮牵引粗糙水平面上的物体，物体m沿斜面匀速下滑，此过程中斜面体始终静止，斜面体质量为M，重力加速度为g，则水平地面对斜面体(　　)
A．支持力为(M＋m)g
B．没有摩擦力
C．支持力大于(M＋m)g
D．有水平向右的摩擦力
答案　D
解析　设绳子上的拉力为FT，选M和m组成的整体为研究对象，受力分析如图所示，由平衡条件可以判断，M必受到沿水平地面向右的摩擦力；假设斜面的倾角为θ，则：FN＋FTsin θ＝(M＋m)g，所以FN小于(M＋m)g，故D正确，A、B、C错误．
5.(2022·南京市高一期末)如图所示，水平地面上有一质量M＝5 kg，倾角θ＝37°的斜面体，质量m＝2 kg的物体静止在斜面上，若用劲度系数k＝1.24×103 N/m的弹簧沿斜面向上拉着物体匀速运动，弹簧的伸长量x＝2 cm，斜面体始终保持静止，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2.求：
(1)物体在斜面上静止时受到的摩擦力大小；
(2)物体与斜面间的动摩擦因数；
(3)物体向上匀速运动时，地面对斜面体的支持力和摩擦力．
答案　(1)12 N　(2)0.8　(3)地面对斜面体支持力为55.12 N，竖直向上；摩擦力为19.84 N，水平向左
解析　(1)物体在斜面上静止时，受力分析如图所示
将mg分解到沿斜面方向和垂直斜面方向，
根据平衡条件可得摩擦力大小为
Ff0＝mgsin 37°
代入数据可得Ff0＝12 N
(2)物体受沿斜面向上的弹簧弹力F时，受力分析如图
由平衡条件知F－Ff－mgsin θ＝0
FN＝mgcos θ，Ff＝μFN
其中弹簧弹力F＝kx＝24.8 N
联立解得μ＝0.8
(3)把物体和斜面体看成一个整体，受力分析如图：
由平衡条件得Ff′＝Fcos θ
FN′＝G′－Fsin θ
G′＝(M＋m)g
解得地面对斜面体的支持力FN′＝55.12 N，竖直向上；摩擦力Ff′＝19.84 N，水平向左．
6.(2021·广州外国语学校高一上段考)用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来，如图所示．对小球a持续施加一个水平向左的恒力，并对小球b持续施加一个水平向右的同样大小的恒力，最后达到平衡状态．下列选项中表示此平衡状态的图可能是(　　)
答案　A
解析　将两球和两球之间的细线看成一个整体，对整体受力分析如图所示，整体达到平衡状态．根据平衡条件可知整体受到a球上方的细线的拉力F线的大小等于a、b的重力大小之和，方向沿竖直方向，故此细线必定沿竖直方向，故A正确．
7.如图所示，截面为三角形的木块a上放置一铁块b，三角形木块竖直边靠在竖直且粗糙的墙面上，现用竖直向上的作用力F推动木块与铁块一起向上匀速运动，运动过程中铁块与木块始终保持相对静止，则下列说法正确的是(　　)
A．木块a与铁块b间一定存在摩擦力
B．木块与竖直墙面间一定存在水平弹力
C．木块与竖直墙面间一定存在摩擦力
D．竖直向上的作用力F大小一定大于铁块与木块的重力之和
答案　A
解析　铁块b匀速运动，故铁块b受重力，斜面对它的垂直斜面向上的支持力和沿斜面向上的静摩擦力，选项A正确；将a、b看作一个整体，竖直方向：F＝Ga＋Gb，选项D错误；整体水平方向不受力，故木块与竖直墙面间不存在水平弹力，没有弹力也就没有摩擦力，选项B、C错误．
8.一个截面是直角三角形的木块放在水平地面上，在斜面上放一个光滑球，球的一侧靠在竖直墙上，木块处于静止状态，如图所示．若在光滑球的最高点再施加一个竖直向下的力F，木块仍处于静止状态，则木块对地面的压力FN和摩擦力Ff的变化情况是(　　)
A．FN增大，Ff不变 B．FN增大，Ff增大
C．FN不变，Ff增大 D．FN不变，Ff不变
答案　B
解析　以球为研究对象，分析受力，作出受力图如图甲所示：
小球受到重力G球、力F、墙的弹力F1、三角形木块的支持力F2，根据平衡条件分析可以知道，当施加一个竖直向下的力F时，墙的弹力F1增大．再以三角形木块和球整体作为研究对象，分析受力，作出受力图如图乙所示：整体受到重力G总、力F、墙的弹力F1、地面的支持力FN和摩擦力Ff.根据平衡条件分析可以知道，Ff＝F1，FN＝G总＋F，可见，当施加一个竖直向下的力F时，墙的弹力F1增大，则摩擦力Ff增大，地面的支持力FN增大．所以B选项正确．
9．(2022·江苏徐州高一期末)某班级在布置元旦晚会的舞台时，将12个质量均为m的彩球用轻绳依次连接，两端用轻绳固定在天花板上．如图所示为场景示意图，图中各段轻绳的长度均相等，连接天花板的轻绳与水平方向夹角为37°.已知重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，图中最下面的两个彩球之间轻绳的拉力大小为(　　)
A．6mg B．8mg
C．10mg D．12mg
答案　B
解析　以右侧6个彩球为研究对象
受力分析如图
根据平衡条件得F＝＝8mg，故选B.
10.(2021·常州一中高一上期末)如图所示，水平地面上，质量为100 kg、倾角θ＝37°的斜面体B上放置质量20 kg的物体A，物体A在水平推力F＝200 N的作用下，沿斜面匀速向上滑动，斜面体B始终保持静止，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2，求：
(1)斜面体B对物体A的支持力大小；
(2)物体A与斜面体B间的摩擦力大小；
(3)地面对斜面体B的支持力大小．
答案　(1)280 N　(2)40 N　(3)1 200 N
解析　(1)对物体A受力分析，在垂直斜面方向上，由平衡条件得：
FNA＝Fsin θ＋mAgcos θ
代入数据解得斜面体B对物体A的支持力大小为：FNA＝280 N
(2)在沿斜面方向上，由平衡条件得：
Fcos θ－mAgsin θ－Ff＝0
解得物体A与斜面体B间的摩擦力大小为：Ff＝40 N
(3)对A、B整体受力分析，由平衡条件得：
FNB＝mBg＋mAg
代入数据解得地面对斜面体B的支持力大小为：FNB＝1 200 N.
11.如图所示，在水平粗糙横杆上，小圆环A用一细线悬吊一个质量为m的球B.现用一水平拉力拉起球B，使细线与竖直方向成45°角，此时小圆环和球一起向右匀速运动．小圆环与横杆间的动摩擦因数为0.5，重力加速度为g，求：
(1)水平拉力F的大小；
(2)小圆环的质量．
答案　(1)mg　(2)m
解析　(1)以小球为研究对象进行受力分析，由平衡条件得F＝mgtan 45°
解得F＝mg
(2)设小圆环的质量为M，
以A、B组成的系统为研究对象，FN＝(M＋m)g
Ff＝F
Ff＝μFN
联立解得：M＝m.
12.如图所示，B、C两个小球重力均为G，用细线悬挂在竖直墙上的A、D两点．细线与竖直墙壁之间的夹角分别为30°和60°，两个小球处于静止状态．则：
(1)AB和CD两根细线的拉力FAB和FCD 分别为多大？
(2)细线BC与竖直方向的夹角θ是多少？
答案　(1)G　G　(2)60°
解析　(1)对两个小球组成的整体受力分析如图甲所示．
在x、y轴方向正交分解，根据平衡条件可知
FABsin 30°＝FCDsin 60°
FABcos 30°＋FCDcos 60°＝2G
联立可得：FAB＝G，
FCD＝G.
(2)对C球受力分析如图乙所示．
在x、y轴方向正交分解，根据平衡条件：
FBCsin θ＝FCDsin 60°,
FBCcos θ＋FCDcos 60°＝G
联立解得θ＝60°.

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