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第3课时　力的效果分解法和力的正交分解法
[学习目标]　1.学会根据力的效果分解力.2.初步理解力的正交分解法.3.会根据不同给定条件分解力．
一、力的效果分解法
导学探究
1．如果不受限制，分解同一个力能作出多少平行四边形？有多少组解？
答案　无数个　无数组
2.已知合力F和两分力的方向(如图)，利用平行四边形定则，能作多少平行四边形？两分力有几组解？
答案　1个　1组
3．如图甲所示，小明用斜向上的力拉行李箱，其简化图如图乙所示，拉力会产生两个效果，如何分解拉力，写出两个分力的大小．
答案　如图所示，F1＝Fcos θ，F2＝Fsin θ
知识深化
1．力的分解遵循的规律：平行四边形定则．
2．分力方向的确定：根据力的作用效果确定分力的方向．
3．基本思路
例1　(2021·淮安市高中校协作体)如图所示，光滑固定斜面的倾角为θ，有两个相同的小球1、2，分别用光滑挡板A、B挡住．挡板A沿竖直方向，挡板B垂直斜面．求：
(1)分别将小球所受的重力按效果进行分解；
(2)球1对挡板和斜面的压力大小；
(3)球2对挡板和斜面的压力大小．
答案　见解析
解析　(1)球1和球2所受的重力按效果分解如图甲、乙所示．
(2)球1对挡板的压力大小F1＝Gtan θ，球1对斜面的压力大小F2＝
(3)球2对挡板的压力大小F3＝Gsin θ，球2对斜面的压力大小F4＝Gcos θ
例2　在日常生活中，力的分解有着广泛的应用，如图甲用斧子把木桩劈开，已知两个侧面之间的夹角为2θ，斧子对木桩施加一个向下的力F时，产生了大小相等的两个侧向分力F1、F2，由图乙可得下列关系正确的是(　　)
A．F1＝F2＝ B．F1＝F2＝
C．F1＝F2＝ D．F1＝F2＝
答案　A
解析　根据力的平行四边形定则，力F与它的两个分力如图所示，由几何关系知F1＝F2＝，故A正确．
二、力的正交分解法
1．力的正交分解法
把力沿着两个经选定的互相垂直的方向分解的方法叫力的正交分解法．正交分解的目的是方便求合力，尤其适用于物体受多个力的情况．
2．力的正交分解的方法和步骤
例3　如图，已知共面的三个力F1＝20 N、F2＝30 N、F3＝40 N作用于物体的同一点上，三个力之间的夹角都是120°，求合力的大小和方向．
答案　10　与F3的夹角为30°斜向右上
解析　如图所示，沿F3方向、垂直于F3方向建立直角坐标系，把F1、F2正交分解，可得
F1x＝－F1sin 30°＝－10 N
F1y＝－F1cos 30°＝－10 N
F2x＝－F2sin 30°＝－15 N
F2y＝F2cos 30°＝15 N
故沿x轴方向的合力
Fx＝F3＋F1x＋F2x＝15 N
沿y轴方向的合力Fy＝F1y＋F2y＝5 N
可得这三个力合力的大小F＝＝10 N
F的方向与x轴的夹角即F与F3的夹角，设为θ，则tan θ＝＝，故θ＝30°.
针对训练　如图所示，甲、乙、丙三个物体质量相同，与地面间的动摩擦因数均相同，受到三个大小相同的作用力F，当它们滑动时，下列说法正确的是(　　)
A．甲、乙、丙所受摩擦力相同
B．甲受到的摩擦力最大
C．乙受到的摩擦力最大
D．丙受到的摩擦力最大
答案　C
解析　将题图甲、乙中的F沿水平方向和竖直方向正交分解，则三个物体对地面的压力分别为FN甲＝mg－Fsin θ，FN乙＝mg＋Fsin θ，FN丙＝mg，因它们均相对地面滑动，由Ff＝μFN知，Ff乙>Ff丙>Ff甲，故C正确．
三、力的分解的讨论
把力按照题中给定的条件分解．若代表合力的对角线与给定的代表分力的有向线段能构成平行四边形(或三角形)，说明合力可以分解成给定的分力，即有解；若不能，则无解．常见的有以下几种情况：
已知条件 分解示意图 解的情况
已知两个分力的方向 唯一解
已知一个分力的大小和方向 唯一解
已知一个分力(F2)的大小和另一个分力(F1)的方向 ①F2＜Fsin θ 无解
②F2＝Fsin θ 唯一解且为最小值
③Fsin θ＜F2＜F 两解
④F2≥F 唯一解
例4　已知两个共点力的合力为50 N，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，分力F2的大小为30 N，则(　　)
A．F1的大小是唯一的 B．F2的方向是唯一的
C．F2有两个方向 D．F2可取任意方向
答案　C
解析　如图所示，以F的“箭头”为圆心，以F2的大小为半径画一段圆弧，与F1所在的直线有两个交点，因此F2有两个方向，F1的大小有两个值，C正确．
例5　一个成人与一个小孩分别在河的两岸拉一条船，船沿河岸前进，成人的拉力为F1＝
400 N，方向如图所示(未画出小孩的拉力方向)，要使船在河流中平行于河岸行驶．求小孩对船施加的最小力F2的大小和方向．
答案　200 N　方向垂直于河岸
解析　为使船在河流中平行于河岸行驶，必须使成人与小孩的合力平行于河岸方向，根据三角形定则，将F2的起点与F1的“箭头”相连，只要F1的起点与F2的“箭头”的连线落在平行于河岸的方向上，F1、F2的合力F的方向就与河岸平行，如图所示，当F2垂直于河岸时，F2最小，得F2min＝F1sin 30°＝400× N＝200 N.
即小孩对船施加的最小力F2的大小为200 N，方向垂直于河岸．
考点一　按效果分解力
1.如图，静止在斜面上的重物的重力可以分解为沿斜面方向向下的分力F1和垂直于斜面方向的分力F2，关于这两个分力，下列说法正确的是(　　)
A．F1作用在物体上，F2作用在斜面上
B．F2的性质是弹力
C．F2就是物体对斜面的正压力
D．F1和F2是与物体的重力等效的力，实际存在的力是重力
答案　D
解析　物体受重力、支持力与摩擦力．而F1、F2是重力的两个分力，实际不存在，物体实际受到的力是重力，作用在物体上，所以A错误，D正确；F2是使物体紧压斜面的分力，不是物体对斜面的正压力，根据平衡条件，F2与斜面对物体的支持力相等，所以B、C错误．
2．(2021·榆次一中高一期中)将物体所受重力按力的作用效果进行分解，下列图中不正确的是(　　)
答案　A
解析　A图中G的作用效果表现为对两墙壁的压力，所以G1的方向应垂直于竖直墙壁向左，故A错误；B图中G的作用效果表现为对细绳的拉力，所以G1和G2分别沿对应细绳的方向，故B正确；C图中G的作用效果表现为对斜面的压力和沿斜面方向向下的力，所以G1的方向沿斜面向下，G2的方向垂直于斜面斜向左下，故C正确；D图中G的作用效果表现为对墙壁的压力和对细绳的拉力，所以G1的方向垂直于竖直墙壁向左，G2的方向沿绳的方向，故D正确．
3．减速带是交叉路口常见的一种交通设施，车辆驶过减速带时要减速，以保障行人的安全．当汽车前轮刚爬上减速带时，减速带对车轮的弹力为F，图中弹力F画法正确且分解合理的是(　　)
答案　B
解析　减速带对车轮的弹力方向垂直于车轮与减速带的接触面，指向车轮，故A、C错误．按照力的作用效果，可以将F分解为水平方向和竖直方向的两个分力，水平方向的分力产生的效果是使汽车减速，竖直方向的分力产生的效果是使汽车向上运动，故B正确，D错误．
4.如图所示，将绳子的一端系在汽车上，另一端系在等高的树干上，两端点间绳长为10 m．用300 N的拉力把水平绳子的中点往下拉离原位置0.5 m，不考虑绳子的重力和绳子的伸长量，则绳子作用在汽车上的力的大小为(　　)
A．1 500 N B．6 000 N
C．300 N D．1 500 N
答案　A
解析　由题意可知绳子与水平方向夹角的正弦值为sin α＝＝0.1，所以绳子的作用力为F绳＝＝1 500 N，A项正确，B、C、D项错误．
考点二　力的正交分解
5.(2021·北京高一期末)滑雪圈是冬季滑雪场中常见的游乐项目之一，如图所示，人拉雪圈在水平地面上前行．雪圈质量为m，与地面之间的动摩擦因数为μ，绳子对雪圈的拉力为F，F与水平方向之间的夹角为θ，重力加速度为g.以水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系．把拉力F分解为x方向的分量Fx和y方向的分量Fy.则Fy的大小为(　　)
A．Fsin θ B．Fcos θ
C. D.
答案　A
解析　Fy的大小为Fy＝Fsin θ，故选A.
6.(2021·无锡市高一上期末)如图所示，放在水平地面上的物块，受到一个与水平方向成θ角斜向下的力F的作用．如果保持力F的大小不变，而使力F与水平方向的夹角θ变大，物块在水平地面上始终静止，那么，地面受到的压力FN和物块受到的摩擦力Ff的变化情况是(　　)
A．FN变大，Ff变小 B．FN变大，Ff变大
C．FN变小，Ff变小 D．FN变小，Ff变大
答案　A
解析　对物块受力分析，受推力、重力、支持力和静摩擦力，沿水平方向和竖直方向建立直角坐标系，把力F进行分解，如图所示：
根据共点力平衡条件，有：Ff＝Fcos θ
FN′＝G＋Fsin θ
当θ变大时，静摩擦力变小，支持力变大，根据牛顿第三定律可得地面受到的压力FN＝FN′变大，故A正确，B、C、D错误．
7.如图所示，物块m静止于一斜面上，斜面固定．若将斜面的倾角θ稍微增大一些，物块m仍静止在斜面上，则(　　)
A．斜面对物块的摩擦力变小
B．斜面对物块的摩擦力变大
C．斜面对物块的支持力变大
D．物块所受的合外力变大
答案　B
考点三　力的分解的讨论
8.如图所示，将一个已知力F分解为F1和F2，已知F＝10 N，F1与F的夹角为37°，则F2的大小不可能是(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(　　)
A．4 N B．6 N
C．10 N D．100 N
答案　A
解析　根据力的合成与分解，当F2与F1垂直时，F2最小，此时F2＝Fsin 37°＝10×0.6 N＝6 N，所以不可能是4 N，故选A.
9．在同一平面内有三个共点力，它们的大小和方向如图所示．已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则这三个力的合力大小为(　　)
A．5 N B. N
C. N D．7 N
答案　A
解析　如图所示，以三力共同作用点为原点，竖直向上为y轴，水平向右为x轴建立坐标系，
则x方向上的合力大小为
Fx＝11 N－10 N·cos 37°＝3 N
y方向上的合力大小为
Fy＝10 N－10 N·sin 37°＝4 N
这三个力的合力大小为F＝＝5 N
故选A.
10.如图所示，石拱桥的正中央有一质量为m的对称楔形石块，侧面与竖直方向的夹角为α，重力加速度为g.若接触面间的摩擦力忽略不计，则石块侧面所受弹力的大小为(　　)
A. B.
C.mgtan α D.
答案　A
解析　石块的重力产生使石块压紧两侧接触面的作用效果，把mg沿垂直于两侧面的方向分解为F1、F2，如图所示．
由几何关系可知，F1＝F2＝，则石块对接触面的压力大小等于，由于物体间的相互作用力大小相等，石块侧面所受弹力的大小等于.
11.如图所示，一个重为100 N的小球被夹在竖直的墙壁和A点之间，已知球心O与A点的连线与竖直方向成θ角，且θ＝60°，所有接触点和面的摩擦均不计．试求小球对墙面的压力F1和对A点的压力F2.
答案　见解析
解析　小球的重力产生两个作用效果：使球压紧墙壁和使球压紧A点，作出重力及它的两个分力F1′和F2′构成的平行四边形，如图所示．
小球对墙面的压力F1＝F1′＝Gtan 60°＝100 N，方向垂直墙壁向右；小球对A点的压力F2＝F2′＝＝200 N，方向沿OA方向．
12.如图所示为剪式千斤顶，当摇动把手时，螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢，从而将汽车顶起．当车轮刚被顶起时汽车对千斤顶的压力为1.0×105 N，此时千斤顶两臂间的夹角为120°，则下列判断正确的是(　　)
A．此时两臂受到的压力大小均为5.0×104 N
B．此时千斤顶对汽车的支持力为2.0×105 N
C．若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力将增大
D．若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力将减小
答案　D
解析　汽车的压力有两个效果，分别沿120°角的两臂方向挤压，所以将此压力沿120°的两臂方向分解，如图所示．F1cos ＋F2cos ＝F且F1＝F2.当θ＝120°时，F1＝F2＝F＝1.0×105 N，由牛顿第三定律知，此时千斤顶对汽车的支持力大小为1.0×105 N，选项A、B错误；继续摇动把手，将汽车顶起，θ减小，cos 增大，F1、F2均减小，选项C错误，D正确．

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