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5　共点力的平衡
第1课时　共点力平衡的条件　三力平衡问题
[学习目标]　1.理解共点力平衡的条件.2.利用合成法或分解法解决三力平衡问题．
一、共点力
几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于一点，这几个力叫作共点力．
二、共点力平衡的条件
1．平衡状态：
物体受到几个力作用时，保持静止或匀速直线运动的状态．
2．在共点力作用下物体平衡的条件是合力为0.
即F合＝0或，其中Fx合和Fy合分别是将力进行正交分解后，在x轴和y轴上所受的合力．
1．判断下列说法的正误．
(1)只有静止的物体才受力平衡．(　×　)
(2)物体处于平衡状态，一定是受到共点力的作用．(　×　)
(3)某时刻物体的速度不为零时也可能处于平衡状态．(　√　)
(4)物体处于平衡状态时加速度一定为零．(　√　)
(5)如果一个物体受到三个力作用而保持静止状态，则其中任意两力的合力与第三力等大、反向．(　√　)
2.如图所示，静止于倾角为30°的斜面上的物体，重力为10 N，则它受到的支持力为______ N，受到的摩擦力为_______ N.
答案　5　5
　　　　　　　　　　　　　　　　
一、共点力平衡的条件
导学探究
1．什么是平衡状态？
答案　物体受到几个力作用时，保持静止或匀速直线运动的状态．
2．一个物体在某一时刻速度v＝0，那么物体在这一时刻一定受力平衡吗？
答案　不一定．例如，竖直上抛的物体运动到最高点时，这一瞬间速度为零，但此时加速度不为0，因而竖直上抛物体在最高点时不能称为受力平衡，即速度为零不等同于受力平衡．
知识深化
1．平衡状态
(1)物体处于静止或匀速直线运动的状态．
(2)对“平衡状态”的理解
不管是静止还是匀速直线运动，速度保持不变，所以Δv＝0，a＝＝0.
注意：速度为零时，a不一定为零，例如汽车刚启动瞬间或竖直上抛运动的最高点．
2．共点力平衡的条件
(1)共点力平衡的条件是合力为0.
(2)表示为：F合＝0；或将各力分解到x轴和y轴上，满足Fx合＝0，且Fy合＝0.
①二力平衡：若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向、共线．
②三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意两个力的合力与第三个力等大、反向、共线．
③多力平衡：若物体在多个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意一个力与其余所有力的合力等大、反向、共线．
(3)当物体受三个力平衡，将表示这三个力的有向线段依次首尾相连，则会构成一个矢量三角形，表示合力为0.
例1　物体在五个共点力的作用下保持平衡，如图所示，其中F1大小为10 N，方向水平向右，求：
(1)若撤去力F1，而保持其余四个力不变，其余四个力的合力的大小和方向；
(2)若将F1转过90°，物体所受的合力大小．
答案　(1)10 N　方向水平向左　(2)10 N
解析　(1)五个共点力平衡时合力为零，则其余四个力的合力与F1等大、反向，故其余四个力的合力大小为10 N，方向水平向左．
(2)若将F1转过90°得到F1′，则F1′与其余四个力的合力F垂直，F合＝＝ N＝10 N.
二、三力平衡问题
1．合成法：物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等、方向相反，据此画出这两个力合成的平行四边形，利用几何知识求解．
2．正交分解法：物体受到三个或三个以上力的作用而平衡，将物体所受的力分解到相互垂直的x、y轴上，则x轴与y轴上各分力的合力均为零．
例2　用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中，如图所示．已知ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°，重力加速度为g，则ac绳和bc绳中的拉力大小分别为(　　)
A.mg，mg B.mg，mg
C.mg，mg D.mg，mg
答案　A
解析　对结点c受力分析如图所示，设ac绳上的拉力为F1、bc绳上的拉力为F2，根据平衡条件知F1、F2的合力F与重力mg等大、反向，由几何知识得F1＝Fcos 30°＝mg，F2＝Fsin 30°＝mg.选项A正确．
例3　在科学研究中，可以用风力仪直接测量风力的大小，其原理如图所示．仪器中一根轻质金属丝悬挂着一个金属球．无风时，金属丝竖直下垂；当受到沿水平方向吹来的风时，金属丝偏离竖直方向一个角度．风力越大，偏角越大．通过传感器，就可以根据偏角的大小指示出风力．那么风力大小F跟金属球的质量m、偏角θ之间有什么样的关系呢？(重力加速度为g)
答案　见解析
解析　选取金属球为研究对象，它受到三个力的作用，金属球处于平衡状态，这三个力的合力为零．
法一　力的合成法
如图甲所示，风力F和拉力FT的合力与重力等大反向，由平行四边形定则可得F＝mgtan θ.
法二　正交分解法
以金属球为坐标原点，取水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立坐标系，如图乙所示．则水平方向的合力Fx合和竖直方向的合力Fy合分别等于零，即Fx合＝FTsin θ－F＝0，
Fy合＝FTcos θ－mg＝0
解得F＝mgtan θ.
分析平衡问题的基本思路
1．明确平衡状态(合力为零)．
2．巧选研究对象．
3．受力分析(画出规范的受力分析图)．
4．列平衡方程(灵活运用力的合成法、效果分解法、正交分解法)．
5．求解或讨论(解的结果及物理意义)．
针对训练　如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心．一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点．设滑块所受支持力为FN，OP与水平方向的夹角为θ，重力加速度为g，下列关系正确的是(　　)
A．F＝ B．F＝mgtan θ
C．FN＝ D．FN＝mgtan θ
答案　A
解析　对小滑块进行受力分析，如图所示，将FN沿水平方向和竖直方向进行分解，根据平衡条件列方程．水平方向有：FNcos θ＝F，竖直方向有：FNsin θ＝mg，联立解得F＝，FN＝，故A正确．
例4　如图甲所示，细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的轻质光滑定滑轮悬挂一质量为M1的物体，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙壁上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向的夹角为30°，在轻杆的G点用细绳GF悬挂一质量为M2的物体(两物体都处于静止状态)，重力加速度为g，求：
(1)细绳AC段的张力FTAC与细绳EG的张力FTEG之比；
(2)轻杆BC对C端的支持力；
(3)轻杆HG对G端的支持力．
答案　(1)　(2)M1g，方向与水平方向成30°角指向右上方　(3)M2g，方向水平向右
解析　题图甲和乙中的两个物体都处于平衡状态，分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析如图a和图b所示．
(1)由题知，图a中，细绳AC段的拉力FTAC＝FTCD＝M1g，
图b中由平衡条件得FTEGsin 30°＝M2g，
得FTEG＝2M2g，所以＝.
(2)图a中，FTAC、FNC、M1g三个力之间的夹角都为120°.
根据平衡条件有FNC＝FTAC＝M1g，FNC的方向与水平方向成30°角，指向右上方．
(3)图b中，根据平衡条件有FTEGsin 30°＝M2g，FTEGcos 30°＝FNG，
所以FNG＝＝M2g，方向水平向右．
1．“活结”与“死结”模型
(1)“活结”一般是由轻绳跨过光滑滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的．绳虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳上弹力的大小一定相等，两段绳合力的方向一定沿这两段绳夹角的平分线．
(2)“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳上的弹力不一定相等．
2．“活杆”与“死杆”模型
(1)“活杆”：即杆用转轴或铰链连接，当杆处于平衡状态时，杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则会引起杆的转动．如图甲所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向．
(2)“死杆”：若轻杆被固定不发生转动，则杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向．如图乙所示，水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端B装有一个小滑轮，绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂重物m.滑轮对绳的作用力应为图丙中两段绳中拉力F1和F2的合力F的反作用力，即AB杆弹力的方向不沿杆的方向．
考点一　平衡状态与平衡条件
1．下列关于共点力的平衡与平衡条件的说法正确的是(　　)
A．如果物体的运动速度为零，则必处于平衡状态
B．如果物体的运动速度大小不变，则必处于平衡状态
C．如果物体处于平衡状态，则物体沿任意方向的合力都必为零
D．如果物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相同
答案　C
解析　物体运动速度为零时不一定处于平衡状态，A选项错误；物体运动速度大小不变、方向变化时，物体不做匀速直线运动，一定不处于平衡状态，B选项错误；物体处于平衡状态时，合力为零，物体沿任意方向的合力都必为零，C选项正确；物体受到三个共点力作用而处于平衡状态时，合力为零，则任意两个力的合力与第三个力等大反向，D选项错误．
2.(2021·江苏高二学业考试)如图所示，两个小孩分别用力F1、F2共同提着一桶水，水桶静止．若水桶的重力为20 N，则(　　)
A．水桶所受的合力为0
B．水桶所受的合力大小为20 N
C．F1、F2的大小可以均为3 N
D．F1、F2的大小可以均为8 N
答案　A
解析　水桶静止，处于平衡状态，因此水桶受到的合力为零，故A正确，B错误；若F1、F2的大小均为3 N，当这两力方向相同时，合力的最大值为6 N，而水桶重力为20 N，水桶不可能静止，故C错误；若F1、F2的大小均为8 N，当这两力方向相同时，合力的最大值为16 N，而水桶重力为20 N，水桶不可能静止，故D错误．
3.(2022·江苏高邮开学考试)如图所示，一只气球在空中处于静止状态，绳中张力为FT，则空气对气球作用力F的方向可能是(　　)
A．① B．②
C．③ D．④
答案　C
解析　气球受到竖直向下的重力，沿着绳的拉力，由于处于静止状态，即三力平衡．因此空气对气球作用力F的方向与重力和拉力的合力等大反向，如图，故C正确．
4.(2021·扬州市高一上期末)如图所示，一只松鼠站立在倾斜的树枝上．关于松鼠所受树枝作用力的方向，下列说法正确的是(　　)
A．竖直向下
B．竖直向上
C．沿树枝向上
D．沿树枝向下
答案　B
5.如图所示，某个物体在F1、F2、F3、F4四个力的作用下处于静止状态．若保持F4大小不变、方向改变180°，其余三个力的大小和方向均不变，则此时物体所受到的合力大小为(　　)
A.F4 B．2F4 C．F4 D.F4
答案　B
考点二　三力平衡问题
6.(2021·江苏南京高二学业考试)如图所示，在光滑墙壁上用轻质网兜把足球挂在A点，足球与墙壁的接触点为B.足球的重力为G，悬绳与墙壁的夹角为α.则悬绳对球的拉力F大小为(　　)
A．F＝Gtan α B．F＝Gsin α
C．F＝ D．F＝
答案　C
解析　对足球在竖直方向根据平衡条件有Fcos α＝G，解得F＝，故选C.
7.如图所示，两根完全相同的轻弹簧a、b上端固定在竖直墙壁上，下端连接在小球上．小球静止时，弹簧a、b与竖直方向的夹角分别为53°和37°(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，则a、b两弹簧的伸长量之比为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　对小球受力分析，受到重力和两个弹簧的弹力，如图所示，
则有：＝＝
而Fa＝kxa，Fb＝kxb
解得＝，
故A正确，B、C、D错误．
8．(2019·全国卷Ⅲ)用卡车运输质量为m的匀质圆筒状工件，为使工件保持固定，将其置于两光滑斜面之间，如图所示．两斜面Ⅰ、Ⅱ固定在车上，倾角分别为30°和60°.重力加速度为g.当卡车沿平直公路匀速行驶时，圆筒对斜面Ⅰ、Ⅱ压力的大小分别为F1、F2，则(　　)
A．F1＝mg，F2＝mg
B．F1＝mg，F2＝mg
C．F1＝mg，F2＝mg
D．F1＝mg，F2＝mg
答案　D
解析　分析可知工件受力平衡，对工件受到的重力按照压紧斜面Ⅰ和Ⅱ的效果进行分解，如图所示，结合几何关系可知工件对斜面Ⅰ的压力大小为F1＝mgcos 30°＝mg，对斜面Ⅱ的压力大小为F2＝mgsin 30°＝mg，选项D正确，A、B、C错误．
9.如图所示，两根等长的轻绳将日光灯悬挂在天花板上，两绳与竖直方向的夹角均为45°，日光灯保持水平，所受重力为G.则(　　)
A．两绳对日光灯拉力的合力大小等于G
B．两绳的拉力和重力不是共点力
C．两绳的拉力大小均为G
D．两绳的拉力大小均为
答案　C
解析　对日光灯受力分析如图，两绳拉力的作用线与重力作用线的延长线交于一点，这三个力是共点力，B选项错误；由于日光灯在两绳拉力和重力作用下处于静止状态，所以两绳的拉力的合力与重力G等大反向，A选项错误；由于两个拉力的夹角为直角，且都与竖直方向成45°角，则由力的平行四边形定则可知G＝，且F1＝F2，故F1＝F2＝G，C选项正确，D选项错误．
10．(2021·常州市联盟高一期中)一物体静止于水平桌面上，两者之间的最大静摩擦力为5 N，现将水平面内三个力同时作用于物体的同一点，三个力的大小分别为2 N、2 N、3 N．下列关于物体的受力情况和运动情况判断正确的是(　　)
A．物体所受静摩擦力不可能为2 N
B．物体所受静摩擦力不可能为4 N
C．物体可能仍保持静止
D．物体一定被拉动
答案　C
解析　2 N和2 N的力的合力范围为0≤F合≤4 N,3 N在此范围内，故当两个2 N的力的合力为3 N，且与第三个力大小相等方向相反时，三个力的合力为0，故2 N、2 N、3 N三个力的合力范围为0≤F合′≤7 N．2 N在三个力的合力范围内，故当三个力的合力为2 N时，物体所受静摩擦力为2 N，故A错误；4 N在三个力的合力范围内，故当三个力的合力为4 N时，物体所受静摩擦力为4 N，故B错误；当三个力的合力小于或等于最大静摩擦力5 N时，物体仍保持静止状态，故C正确，D错误．
11.(2021·江苏省五校联考)如图所示，原长L0＝10 cm、劲度系数k＝500 N/m的轻弹簧下端悬挂小球，轻绳一端系小球，另一端固定在拉力传感器上．小球静止时，轻绳水平，传感器读数F＝3 N，弹簧的轴线与竖直方向的夹角θ＝37°.sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2.求：
(1)小球的质量m；
(2)此时弹簧的长度L.
答案　(1)0.4 kg　(2)11 cm
解析　(1)对小球受力分析如图所示：
根据平衡条件得：tan θ＝
代入数据解得小球的质量m为：m＝0.4 kg
(2)对小球，由平衡条件得：
F1＝
由胡克定律得：F1＝kx
联立解得：x＝0.01 m
解得此时弹簧长度：L＝L0＋x＝0.10 m＋0.01 m＝0.11 m＝11 cm.
12.如图所示，质量为m1的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与站在水平面上的质量为m2的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角θ＝37°，物体甲及人均处于静止状态．已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.重力加速度为g.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．求：
(1)轻绳OA、OB中的张力分别是多大？
(2)人受到的摩擦力是多大？方向如何？
(3)若人的质量m2＝60 kg，人与水平面之间的动摩擦因数为μ＝0.3，欲使人在水平面上不滑动，则物体甲的质量m1最大不能超过多少？
答案　(1)m1g　m1g　(2)m1g　方向水平向左　(3)24 kg
解析　(1)以结点O为研究对象，受力分析如图，
根据共点力的平衡条件：
FOA与FOB的合力与重力等大反向，由几何关系得：
FOA＝＝m1g
FOB＝m1gtan θ＝m1g
(2)人在水平方向仅受绳BO的拉力FBO和地面的摩擦力Ff作用，根据平衡条件有
Ff＝FBO＝m1g，方向水平向左．
(3)人在竖直方向上受重力m2g和地面的支持力FN作用，因此有
FN＝m2g
要使人不滑动，需满足Ff≤Fmax＝μFN
联立以上各式解得m1≤24 kg.
13.(2021·连云港市高一上期末)如图所示，竖直平面内有半径为R的光滑半圆弧形轻杆，圆心为O，其直径AB位于水平桌面上，原长为R的轻弹簧一端固定在A点，另一端连接着质量为m的小球，小球套在弧形杆上的C点处于静止状态．已知OC与水平面间的夹角为θ＝60°，重力加速度为g.
(1)画出小球的受力示意图；
(2)求小球对弧形杆的弹力大小；
(3)求弹簧的劲度系数．
答案　见解析
解析　(1)小球的受力示意图如图所示
(2)由图可知，
FN＝2mgcos 30°
解得FN＝mg
由牛顿第三定律得FN′＝FN＝mg
(3)AC长为L＝2Rcos 30°＝R
F弹＝k(L－R)＝mg
解得k＝.

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