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3　牛顿第二定律
[学习目标]　1.知道牛顿第二定律的内容、表达式的确切含义.2.知道国际单位制中力的单位.
3.会应用牛顿第二定律解决简单的动力学问题．
一、牛顿第二定律的表达式
1．内容：物体加速度的大小跟它受到的作用力成正比，跟它的质量成反比，加速度的方向跟作用力的方向相同．
2．表达式F＝kma，其中力F指的是物体所受的合力．
二、力的单位
1．力的国际单位：牛顿，简称牛，符号为N.
2．“牛顿”的定义：当k＝1时，使质量为1 kg的物体产生1 m/s2的加速度的力叫作1 N，即1 N＝1 kg·m/s2.
3．在质量的单位取kg，加速度的单位取m/s2，力的单位取N时，F＝kma中的k＝1，此时牛顿第二定律可表述为F＝ma.
1．判断下列说法的正误．
(1)公式F＝kma中，各量的单位都为国际单位时，k＝1.(　√　)
(2)任何情况下，物体的加速度的方向始终与它所受的合力方向一致．(　√　)
(3)物体的运动方向一定与它所受合力的方向一致．(　×　)
(4)使质量是1 kg的物体产生1 m/s2的加速度的力叫作1 N．(　√　)
2．光滑水平桌面上有A、B两个相距较远的物体，已知mA＝2mB.当用F＝10 N的水平力作用在A上时，能使A产生5 m/s2的加速度，当用2F的水平力作用在B上时，能使B产生的加速度为 m/s2.
答案　20
一、对牛顿第二定律的理解
1．对表达式F＝ma的理解
(1)F的含义：
①F是合力时，加速度a指的是合加速度，即物体的加速度；
②F是某个分力时，加速度a是该分力产生的加速度．
(2)单位统一：表达式中F、m、a三个物理量的单位必须都用国际制单位．
2．牛顿第二定律的四个性质
(1)因果性：力是产生加速度的原因，只要物体所受的合力不为0，物体就具有加速度．
(2)矢量性：F＝ma是一个矢量式．物体的加速度方向由它所受的合力方向决定，且总与合力的方向相同．
(3)瞬时性：加速度与合力是瞬时对应关系，同时产生，同时变化，同时消失．
(4)独立性：作用在物体上的每一个力都产生加速度，物体的实际加速度是这些加速度的矢量和．
3．a＝与a＝的区别
(1)a＝是加速度的定义式，不能决定a的大小，a与v、Δv、Δt均无关．
(2)a＝是加速度的决定式，加速度由物体受到的合力和质量共同决定．
例1　下列对牛顿第二定律的表达式F＝ma及其变形公式的理解，正确的是(　　)
A．由F＝ma可知，物体所受的合外力与物体的质量和加速度成正比
B．由m＝可知，物体的质量与其所受的合外力成正比，与其运动的加速度成反比
C．由a＝可知，物体的加速度与其所受的合外力成正比，与其质量成反比
D．牛顿第二定律说明当物体有加速度时，物体才受到外力的作用
答案　C
解析　牛顿第二定律的表达式F＝ma表明了各物理量之间的数量关系，即已知两个量，可求第三个量，作用在物体上的合外力，可由物体的质量和加速度计算，并不由它们决定，A错误；质量是物体本身的属性，由物体本身决定，与物体是否受力无关，B错误；由牛顿第二定律知物体的加速度与其所受的合外力成正比，与其质量成反比，故C正确；力是加速度产生的原因，故D错误．
二、牛顿第二定律的简单应用
1．应用牛顿第二定律解题的一般步骤
(1)确定研究对象．
(2)进行受力分析和运动状态分析，画出受力分析图，明确运动性质和运动过程．
(3)求出合力或加速度．
(4)根据牛顿第二定律列方程求解．
2．应用牛顿第二定律解题的方法
(1)矢量合成法：若物体只受两个力作用，应用平行四边形定则求这两个力的合力，物体所受合力的方向即加速度的方向．
(2)正交分解法：当物体受多个力作用时，常用正交分解法求物体所受的合力．
①建立直角坐标系时，通常选取加速度的方向作为某一坐标轴的正方向(也就是不分解加速度)，将物体所受的力正交分解后，列出方程Fx＝ma，Fy＝0(或Fx＝0，Fy＝ma)．
②特殊情况下，若物体的受力都在两个互相垂直的方向上，也可将坐标轴建立在力的方向上，正交分解加速度a.根据牛顿第二定律列方程求解．
例2　高铁已成为中国的名片，某人为了测量高铁启动过程的加速度，将一支笔(可视为质点)用细线系于高铁车厢内的顶壁上，高铁启动过程中，发现系笔的细线偏离竖直线的夹角为θ＝37°(如图所示)，此时笔和车厢相对静止，设笔的质量为0.1 kg(取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)．求：
(1)车厢运动的加速度大小；
(2)细线对笔的拉力大小．
答案　(1)7.5 m/s2　(2)1.25 N
解析　法一　合成法
(1)由于车厢沿水平方向运动，笔与车厢的加速度相同，所以笔有水平方向的加速度，所受合力F沿水平方向，选笔为研究对象，受力分析如图所示．
由几何关系可得F＝mgtan θ
笔的加速度大小a＝＝gtan θ＝7.5 m/s2，即车厢运动的加速度大小为7.5 m/s2
(2)细线对笔的拉力大小为FT＝＝1.25 N.
法二　正交分解法
以水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系，并将细线对笔的拉力FT正交分解，如图所示
则沿水平方向有FTsin θ＝ma
竖直方向有FTcos θ＝mg
联立解得a＝7.5 m/s2，FT＝1.25 N.
例3　如图所示，质量为4 kg的物体静止于水平面上．现用大小为40 N、与水平方向夹角为37°斜向上的力F拉物体，使物体沿水平面做匀加速直线运动(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)．求：
(1)若水平面光滑，物体加速度的大小．
(2)若物体与水平面间的动摩擦因数为0.5，物体加速度的大小．
答案　(1)8 m/s2　(2)6 m/s2
解析　(1)水平面光滑时，物体的受力情况如图甲所示
由牛顿第二定律得：Fcos 37°＝ma1
解得a1＝8 m/s2
(2)水平面不光滑时，物体的受力情况如图乙所示
Fcos 37°－Ff＝ma2，FN′＋Fsin 37°＝mg，Ff＝μFN′
联立解得a2＝6 m/s2.
例4　如图，一个质量为20 kg的物体，从固定斜面的顶端由静止匀加速滑下，物体与斜面间的动摩擦因数为0.2，斜面与水平面间的夹角为37°(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)．
(1)求物体沿斜面下滑过程中的加速度；
(2)若给物体一个初速度，使之沿斜面上滑，求上滑的加速度．
答案　(1)4.4 m/s2，方向沿斜面向下
(2)7.6 m/s2，方向沿斜面向下
解析　(1)沿斜面下滑时，摩擦力沿斜面向上，对物体受力分析如图甲：
由牛顿第二定律得：
mgsin 37°－Ff＝ma1①
FN＝mgcos 37°②
Ff＝μFN③
联立①②③得
a1＝gsin 37°－μgcos 37°＝4.4 m/s2，方向沿斜面向下．
(2)物体沿斜面上滑时，摩擦力沿斜面向下，对物体受力分析如图乙：
由牛顿第二定律得：
mgsin 37°＋Ff′＝ma2④
Ff′＝μFN′⑤
FN′＝mgcos 37°⑥
联立④⑤⑥得
a2＝gsin 37°＋μgcos 37°＝7.6 m/s2，方向沿斜面向下．
考点一　对牛顿第二定律的理解
1．(2021·海安高级中学月考)关于牛顿第二定律，以下说法正确的是(　　)
A．由牛顿第二定律可知，加速度大的物体所受的合力一定大
B．牛顿第二定律说明了质量大的物体的加速度一定小
C．由F＝ma可知，物体所受到的合力与物体的质量成正比
D．对同一物体而言，物体的加速度与物体所受到的合力成正比，而且在任何情况下，加速度的方向始终与物体所受的合力方向一致
答案　D
2．对静止在光滑水平面上的物体施加一水平拉力，当力刚开始作用的瞬间(　　)
A．物体立即获得速度
B．物体立即获得加速度
C．物体同时获得速度和加速度
D．由于物体没来得及运动，所以速度和加速度都为零
答案　B
解析　根据牛顿第二定律F＝ma可知，加速度与合力是瞬时对应的关系，合力变化，加速度同时随之变化，当力刚开始作用的瞬间，物体所受的合力立即增大，则立即获得了加速度，而物体由于具有惯性，速度还没有改变，B正确．
考点二　牛顿第二定律的简单应用
3.如图所示，质量为10 kg的物体在水平面上向左运动，物体与水平面间的动摩擦因数为μ＝0.2，与此同时，物体还受到一个水平向右的推力F＝20 N，则物体产生的加速度是(g取
10 m/s2)(　　)
A．0 B．4 m/s2，水平向右
C．2 m/s2，水平向左 D．2 m/s2，水平向右
答案　B
4．(2021·江苏东台创新高级中学高一阶段练习)2020年9月15日，长征十一号运载火箭成功完成海上发射．质量为m的火箭离开平台后向上加速运动，不计空气阻力，重力加速度为g，当受到竖直向上的推力大小为F时，火箭的加速度大小为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
5．(2021·江苏阜宁实验高中高二学业考试)质量为0.5 kg的篮球在竖直方向上加速下落，若某时刻加速度为8 m/s2，则篮球在该时刻所受空气阻力大小为(取g＝10 m/s2)(　　)
A．0.2 N B．0.5 N
C．1 N D．1.5 N
答案　C
6．(2021·泰兴中学、南菁高中高一上联考)如图所示，一辆装满石块的货车，在平直道路上以加速度a向前加速运动，货箱中石块B的质量为m，则：石块B周围与它接触的物体对石块B作用力的合力大小为(重力加速度为g)(　　)
A．ma B．mg＋ma
C．m D．m
答案　D
7.如图所示，在与水平方向成θ角、大小为F的力作用下，质量为m的物块沿竖直墙壁加速下滑，已知物块与墙壁间的动摩擦因数为μ.则下滑过程中物块的加速度大小为(重力加速度为g)(　　)
A．a＝g－μg
B．a＝g－
C．a＝g－
D．a＝g－
答案　D
解析　将F分解可得，物体在垂直于墙壁方向上受到的压力为FN＝Fcos θ，则物体对墙壁的压力为FN′＝FN＝Fcos θ；物体受到的滑动摩擦力为Ff＝μFN′＝μFcos θ，根据牛顿第二定律可得
mg－Ff－Fsin θ＝ma，
解得a＝g－，D正确．
8．三个完全相同的物块1、2、3放在水平桌面上，它们与桌面间的动摩擦因数均相同．现用大小相同的外力F沿图所示方向分别作用在1和2上，用F的外力沿水平方向作用在3上，使三者都做加速运动，分别用a1、a2、a3表示物块1、2、3的加速度，则(　　)
A．a1＝a2＝a3 B．a1＝a2，a2>a3
C．a1>a2，a2a2，a2>a3
答案　C
解析　对物块1，由牛顿第二定律得
Fcos 60°－Ff＝ma1，
即－μ(mg－Fsin 60°)＝ma1
对物块2，由牛顿第二定律得
Fcos 60°－Ff′＝ma2，
即－μ(mg＋Fsin 60°)＝ma2
对物块3，由牛顿第二定律得
F－Ff″＝ma3，即－μmg＝ma3
比较得a1>a3>a2，所以C正确．
9.如图所示，一个物体从固定斜面的顶端由静止开始下滑，斜面倾角θ＝30°，重力加速度g取10 m/s2.求：
(1)若斜面光滑，则物体下滑过程中加速度的大小；
(2)若斜面不光滑，物体与斜面间的动摩擦因数μ＝，则物体下滑过程中加速度的大小．
答案　(1)5 m/s2　(2)2.5 m/s2
解析　(1)若斜面光滑，物体只受重力和斜面的支持力，重力沿斜面向下的分力为物体受到的合力．
根据牛顿第二定律得：mgsin θ＝ma1
所以a1＝gsin θ＝10× m/s2＝5 m/s2；
(2)若斜面不光滑，物体受重力、支持力和摩擦力，重力沿斜面向下的分力和摩擦力的合力为物体受到的合力，根据牛顿第二定律得mgsin θ－Ff＝ma2
FN＝mgcos θ,Ff＝μFN
联立解得：a2＝gsin θ－μgcos θ＝2.5 m/s2.
10.(2022·常州市高一期末)如图所示，质量m＝6.0 kg的木块置于粗糙的水平面上，在大小F1＝20 N、方向与水平面成θ＝37°夹角斜向上的拉力作用下，做匀速直线运动．取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2.
(1)求木块与水平面间的动摩擦因数μ；
(2)拉力方向不变，当木块对地面压力为零时，求拉力F2的大小及此时木块加速度的大小．
答案　(1)　(2)100 N　 m/s2
解析　(1)对木块受力分析如图所示
木块做匀速直线运动处于平衡状态，
水平方向F1cos 37°－Ff＝0
竖直方向FN＋F1sin 37°－mg＝0
解得FN＝48 N，Ff＝16 N
代入Ff＝μFN，
解得μ＝
(2)拉力方向不变，当木块对地面压力为零时，则有
F2sin 37°＝mg
解得F2＝＝ N＝100 N
由牛顿第二定律得F2cos 37°＝ma
解得a＝ m/s2.
11.如图，质量为m＝5 kg的小球穿在斜杆上，斜杆与水平方向的夹角为θ＝37°，球恰好能在杆上匀速向下滑动．若球受一大小为F＝200 N的水平推力作用，可使小球沿杆向上加速滑动，求：(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1)小球与斜杆间的动摩擦因数μ；
(2)小球沿杆向上加速滑动时的加速度大小．
答案　(1)0.75　(2)2 m/s2
解析　(1)小球匀速向下滑动时，受力分析如图甲，由平衡条件得，
平行于杆方向：mgsin θ＝Ff1
垂直于杆方向：FN1＝mgcos θ，
又Ff1＝μFN1
联立解得：μ＝0.75
(2)水平推力作用后，对小球受力分析，如图乙，
平行于杆方向：Fcos θ－mgsin θ－Ff2＝ma
垂直于杆方向：FN2＝Fsin θ＋mgcos θ
又Ff2＝μFN2，
联立解得a＝2 m/s2.
12.如图所示，电梯与水平面夹角为30°，当电梯加速向上运动时，人对梯面的压力是其重力的倍，已知重力加速度为g，则人与梯面间的摩擦力是其重力的多少倍？
答案　
解析　对人进行受力分析：受重力mg、支持力FN、摩擦力Ff(摩擦力的方向一定与接触面平行，由加速度的方向可推知Ff水平向右)建立直角坐标系：取水平向右(即Ff方向)为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，此时只需分解加速度，其中ax＝acos 30°，ay＝asin 30°(如图所示)
由牛顿第二定律得
x方向：Ff＝macos 30°
y方向：FN－mg＝masin 30°
由牛顿第三定律知FN＝mg
联立解得＝.

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