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动力学中的板块问题
[学习目标]　1.建立板块模型的分析方法.2.能运用牛顿运动定律处理板块问题．
1．模型概述：一个物体在另一个物体上，两者之间有相对运动．问题涉及两个物体、多个过程，两物体的运动速度、位移间有一定的关系．
2．解题方法
(1)明确各物体对地的运动和物体间的相对运动情况，确定物体间的摩擦力方向．
(2)分别隔离两物体进行受力分析，准确求出各物体在各个运动过程中的加速度(注意两过程的连接处加速度可能突变)．
(3)物体之间的位移(路程)关系或速度关系是解题的突破口．求解中应注意联系两个过程的纽带，即每一个过程的末速度是下一个过程的初速度．
3．常见的两种位移关系
滑块从木板的一端运动到另一端的过程中，若滑块和木板同向运动，则滑离木板的过程中滑块的位移与木板的位移之差等于木板的长度；若滑块和木板相向运动，滑离木板时滑块的位移和木板的位移大小之和等于木板的长度．
特别注意：运动学公式中的位移都是对地位移．
4．注意摩擦力的突变
当滑块与木板速度相同时，二者之间的摩擦力通常会发生突变，由滑动摩擦力变为静摩擦力或者消失，或者摩擦力方向发生变化，速度相同是摩擦力突变的一个临界条件．
一、地面光滑的板块问题
例1　如图所示，在光滑的水平地面上有一个长为0.64 m、质量为4 kg的木板A，在木板的左端有一个大小不计、质量为2 kg的小物体B，A、B之间的动摩擦因数为μ＝0.2，当对B施加水平向右的力F＝10 N时，求：(g取10 m/s2)
(1)A、B的加速度各为多大？
(2)经过多长时间可将B从木板A的左端拉到右端？
答案　(1)1 m/s2　3 m/s2　(2)0.8 s
解析　(1)A、B间的摩擦力Ff＝μmBg＝4 N
以B为研究对象，根据牛顿第二定律得：
F－Ff＝mBaB，
则aB＝＝3 m/s2
以A为研究对象，根据牛顿第二定律得：
Ff′＝mAaA，
由牛顿第三定律得Ff′＝Ff
解得aA＝1 m/s2.
(2)设将B从木板的左端拉到右端所用时间为t，A、B在这段时间内发生的位移分别为xA和xB，其关系如图所示
则有xA＝aAt2
xB＝aBt2,
xB－xA＝L
联立解得t＝0.8 s.
例2　(2021·湘潭市高一期末)如图所示，物块A、木板B的质量分别为mA＝5 kg，mB＝10 kg，不计A的大小，木板B长L＝4 m．开始时A、B均静止．现使A以水平初速度v0从B的最左端开始运动．已知A与B之间的动摩擦因数为0.3，水平地面光滑，g取10 m/s2.
(1)求物块A和木板B发生相对运动过程的加速度的大小；
(2)若A刚好没有从B上滑下来，求A的初速度v0的大小．
答案　(1)3 m/s2　1.5 m/s2　(2)6 m/s
解析　(1)由题意可知，A在B上向右做匀减速运动，设其加速度大小为a1，则有a1＝＝3 m/s2，
木板B向右做匀加速运动，设其加速度大小为a2，则有a2＝＝1.5 m/s2.
(2)由题意可知，A刚好没有从B上滑下来，则A滑到B最右端时的速度和B的速度相同，设为v，则有v＝v0－a1t
v＝a2t
位移关系：L＝t－t，
解得v0＝6 m/s.
二、地面不光滑的板块问题
例3　如图所示，物块A、木板B的质量均为m＝10 kg，不计A的大小，木板B长L＝3 m．开始时A、B均静止．现使A以水平初速度v0从B的最左端开始运动．已知A与B、B与水平面之间的动摩擦因数分别为μ1＝0.3和μ2＝0.1，g取10 m/s2.
(1)发生相对滑动时，A、B的加速度各是多大？
(2)若A刚好没有从B上滑下来，则A的初速度v0为多大？
答案　(1)3 m/s2　1 m/s2　(2)2 m/s
解析　(1)A在B上向右做匀减速运动，设其加速度大小为a1，则有
a1＝＝3 m/s2
木板B向右做匀加速运动，设其加速度大小为a2，则有a2＝＝1 m/s2
(2)由题意可知，A刚好没有从B上滑下来，则A滑到B最右端时的速度和B的速度相同，设为v，则有：
时间关系：t＝＝
位移关系：L＝t－t
解得v0＝2 m/s.
例4　如图所示，质量M＝1 kg、长L＝4 m的木板静止在粗糙的水平地面上，木板与地面间的动摩擦因数μ1＝0.1，在木板的左端放置一个质量m＝1 kg、大小可以忽略的铁块，铁块与木板上表面间的动摩擦因数μ2＝0.4，某时刻起在铁块上加一个水平向右的恒力F＝8 N，g取10 m/s2，求：
(1)加上恒力F后铁块和木板的加速度大小；
(2)铁块经多长时间到达木板的最右端，此时木板的速度多大？
(3)当铁块运动到木板最右端时，把铁块拿走，木板还能继续滑行的距离．
答案　(1)4 m/s2　2 m/s2　(2)2 s　4 m/s　(3)8 m
解析　(1)以铁块为研究对象，根据牛顿第二定律得F－μ2mg＝ma1，
以木板为研究对象，根据牛顿第二定律得
μ2mg－μ1(M＋m)g＝Ma2
代入数据解得铁块的加速度大小a1＝4 m/s2
木板的加速度大小a2＝2 m/s2
(2)设铁块运动到木板的最右端所用时间为t，
则此过程铁块的位移为x1＝a1t2
木板的位移为x2＝a2t2
两者的位移关系为L＝x1－x2，
即L＝a1t2－a2t2
代入数据解得t＝2 s或t＝－2 s(舍去)
此时木板的速度v＝a2t＝4 m/s.
(3)拿走铁块后木板做匀减速运动的加速度大小为a3＝μ1g＝0.1×10 m/s2＝1 m/s2，
则木板还能继续滑行的距离
x3＝＝ m＝8 m.
训练1　地面光滑的板块问题
1.(2021·哈尔滨八中高一期末)如图所示，质量为m1的足够长木板静止在光滑水平地面上，其上放一质量为m2的木块．t＝0时刻起，给木块施加一水平恒力F.分别用a1、a2和v1、v2表示木板、木块的加速度和速度大小，下列图中可能符合运动情况的是(　　)
答案　C
解析　当恒力F较小时，木块和木板保持相对静止，一起做匀加速直线运动，此时a1＝a2，v1＝v2；当恒力F较大时，木块相对于木板向前滑动，木块的加速度a2大于木板的加速度a1，且木块比木板运动得快，由于两者受力恒定，所以分别做匀加速直线运动，此时a12．如图甲所示，上表面粗糙的平板小车静止于光滑水平面上．t＝0时，小车以初速度v0向右运动，将小滑块无初速度地放置于小车的右端，最终小滑块恰好没有滑出小车．如图乙所示为小滑块与小车运动的v－t图像，图中t1、v0、v1均为已知量，重力加速度大小为g.由此不能求出的物理量是(　　)
A．小车的长度
B．小滑块的质量
C．小车在匀减速运动过程中的加速度
D．小滑块与小车之间的动摩擦因数
答案　B
解析　最终小滑块恰好没有滑出小车，由图像可求出小车的长度L＝t1－t1＝t1；根据v－t图像可知小车做匀减速直线运动的加速度大小a1＝，小滑块做匀加速直线运动的加速度大小a2＝，再由牛顿第二定律得a2＝＝＝μg，联立解得小滑块与小车之间的动摩擦因数μ＝，但小滑块的质量无法求出，故选B.
3.如图所示，一质量M＝0.2 kg的长木板静止在光滑的水平地面上，另一质量m＝0.2 kg的小滑块以v0＝1.2 m/s的速度从长木板的左端滑上长木板，已知小滑块与长木板间的动摩擦因数μ＝0.4，g取10 m/s2，滑块始终没有滑离长木板，求：
(1)经过多长时间，小滑块与长木板速度相等；
(2)从小滑块滑上长木板到小滑块与长木板相对静止，小滑块运动的距离为多少．
答案　(1)0.15 s　(2)0.135 m
解析　(1)对小滑块根据牛顿第二定律得μmg＝ma1
对长木板根据牛顿第二定律得μmg＝Ma2
解得a1＝4 m/s2，a2＝4 m/s2
小滑块做匀减速运动，而木板做匀加速运动，
根据题意及运动学公式有v0－a1t＝a2t
解得t＝0.15 s.
(2)小滑块与长木板速度相等时相对静止，从小滑块滑上长木板到两者相对静止，经历的时间为t＝0.15 s，这段时间内小滑块做匀减速运动，由x＝v0t－a1t2，解得x＝0.135 m.
4．如图甲所示，长木板A静止在光滑水平面上，另一物体B(可看作质点)以水平速度v0＝3 m/s滑上长木板A的上表面．由于A、B间存在摩擦，之后的运动过程中A、B的速度随时间变化情况如图乙所示．g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A．长木板A、物体B所受的摩擦力均与运动方向相反
B．A、B之间的动摩擦因数μ＝0.5
C．长木板A的长度可能为L＝0.8 m
D．长木板A的质量是物体B的质量的两倍
答案　D
解析　由题意可得，长木板A所受摩擦力方向与运动方向相同，物体B所受的摩擦力方向与运动方向相反，故A错误；对B，由牛顿第二定律有：μmBg＝mBaB，由v－t图像得aB＝||
＝ m/s2＝2 m/s2，解得：μ＝0.2，故B错误；物体B未滑出长木板A，临界条件为当A、B具有共同速度时，B恰好滑到A的右端，速度—时间图线与坐标轴围成的“面积”表示位移，则：Lmin＝xB－xA＝ m＝1.5 m，故C错误；对A由牛顿第二定律有：μmBg＝mAaA，由v－t图像得aA＝＝ m/s2＝1 m/s2，联立解得：＝2，故D正确．
5．(2021·重庆市高一期末)如图甲所示，长木板B固定在光滑水平面上，可视为质点的物体A静止叠放在B的最左端．现用F＝6 N的水平力向右拉A，经过5 s A运动到B的最右端，且其v－t图像如图乙所示．已知A、B的质量分别为1 kg、4 kg，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2.下列说法不正确的是(　　)
A．A的加速度大小为0.5 m/s2
B．A、B间的动摩擦因数为0.4
C．若B不固定，B的加速度大小为1 m/s2
D．若B不固定，A运动到B的最右端所用的时间为5 s
答案　A
解析　根据v－t图像可知，物体A的加速度大小为aA＝＝ m/s2＝2 m/s2，故A错误；
以A为研究对象，根据牛顿第二定律可得：
F－μmAg＝mAaA
代入数据得：μ＝0.4，故B正确；
若B不固定，B的加速度大小为
aB＝＝ m/s2＝1 m/s2，故C正确；
由题图乙知，木板B的长度为
l＝×5×10 m＝25 m；
若B不固定，设A运动到B的最右端所用的时间为t，根据题意可得：
aAt2－aBt2＝l
代入数据解得：t＝5 s
故D正确．
6.(2021·重庆市主城区七校高一上联考)如图所示，有一块木板A静置在光滑且足够大的水平地面上，木板质量M＝4 kg，长L＝2 m，木板右端放一小滑块B并处于静止状态，小滑块质量m＝1 kg，其尺寸远小于L.小滑块与木板之间的动摩擦因数为μ＝0.4.(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2)
(1)现用恒力F始终作用在木板A上，为了让小滑块B不从木板A上滑落，求恒力F大小的范围；
(2)其他条件不变，若恒力F大小为24 N，且始终作用在木板A上，求小滑块B滑离木板A时的速度大小．
答案　(1)F≤20 N　(2)8 m/s
解析　(1)为了使小滑块B不从木板A上滑落，设A、B相对静止时的最大加速度为am，对B有：μmg＝mam
对A、B整体有：Fm＝(M＋m)am
解得：Fm＝20 N
即当F≤20 N时小滑块B不从木板A上滑落．
(2)当F＝24 N时，A、B发生相对滑动
此时，对B：μmg＝maB
对A：F－μmg＝MaA
设B在A上滑行的时间为t，有：
L＝aAt2－aBt2
B滑离木板A时的速度v＝aBt
联立解得：v＝8 m/s.
7.质量M＝3 kg的长木板放在光滑的水平面上，在水平拉力F＝11 N的作用下由静止开始向右运动．如图所示，当木板速度达到1 m/s时，将质量m＝4 kg的物块轻轻放到木板的右端．已知物块与木板间的动摩擦因数μ＝0.2，物块可视为质点．求：(g取10 m/s2)
(1)物块刚放在木板上时，物块和木板的加速度大小；
(2)木板至少多长，物块才能与木板最终保持相对静止；
(3)物块与木板相对静止后，物块受到的摩擦力的大小．
答案　(1)2 m/s2　1 m/s2　(2)0.5 m　(3) N
解析　(1)放上物块后，物块的加速度a1＝＝μg＝2 m/s2，
木板的加速度a2＝＝1 m/s2.
(2)木板和物块达到共同速度后保持相对静止，
故a1t＝v0＋a2t，
解得t＝1 s，
1 s内物块位移x1＝a1t2＝1 m，
木板位移x2＝v0t＋a2t2＝1.5 m，
所以木板长度至少为L＝x2－x1＝0.5 m.
(3)物块与木板相对静止后，对整体，
有F＝(M＋m)a，
对物块，有Ff＝ma，
故Ff＝＝ N.
训练2　地面不光滑的板块问题(选练)
1．质量为m0＝20 kg、长为L＝5 m的木板放在水平地面上，木板与水平地面间的动摩擦因数为μ1＝0.15.质量为m＝10 kg的小铁块(可视为质点)，以v0＝4 m/s的速度从木板的左端水平冲上木板(如图所示)，小铁块与木板间的动摩擦因数为μ2＝0.4(最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g＝10 m/s2)．则下列判断正确的是(　　)
A．木板一定静止不动，小铁块不能滑出木板
B．木板一定静止不动，小铁块能滑出木板
C．木板一定向右滑动，小铁块不能滑出木板
D．木板一定向右滑动，小铁块能滑出木板
答案　A
解析　木板与地面间的最大静摩擦力为Ff1＝μ1(m0＋m)g＝45 N，小铁块与木板之间的最大静摩擦力为Ff2＝μ2mg＝40 N，Ff1>Ff2，所以木板一定静止不动，选项C、D错误；假设小铁块未滑出木板，在木板上滑行的距离为x，则v02＝2μ2gx，解得x＝2 m2．质量为2 kg的木板B静止在水平面上，可视为质点的物块A从木板的左侧以初速度v0沿木板上表面水平冲上木板，如图甲所示．A和B经过1 s达到同一速度，之后共同减速直至静止，A和B的v－t图像如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)A与B上表面之间的动摩擦因数μ1；
(2)B与水平面间的动摩擦因数μ2；
(3)A的质量．
答案　(1)0.2　(2)0.1　(3)6 kg
解析　(1)由题图乙可知，A在0～1 s内的加速度a1＝＝－2 m/s2，对A由牛顿第二定律得，
－μ1mg＝ma1，
解得μ1＝0.2.
(2)由题图乙知，A、B整体在1～3 s内的加速度
a3＝＝－1 m/s2，
对A、B整体由牛顿第二定律得，
－μ2(M＋m)g＝(M＋m)a3
解得μ2＝0.1.
(3)由题图乙可知B在0～1 s内的加速度
a2＝＝2 m/s2.
对B由牛顿第二定律得，
μ1mg－μ2(M＋m)g＝Ma2，
代入数据解得m＝6 kg.
3．如图所示，厚度不计的薄板A长l＝5 m，质量M＝5 kg，放在水平地面上．在A上距右端x＝3 m处放一物体B(大小不计)，其质量m＝2 kg，已知A、B间的动摩擦因数 μ1＝0.1，A与地面间的动摩擦因数μ2＝0.2，原来系统静止．现在板的右端施加一大小恒定的水平向右的力F＝26 N，将A从B下抽出．g＝10 m/s2，求：
(1)A从B下抽出前A、B的加速度各是多大；
(2)B运动多长时间离开A；
(3)B离开A时的速度的大小．
答案　(1)2 m/s2　1 m/s2　(2)2 s　(3)2 m/s
解析　(1)对B，由牛顿第二定律可得：
μ1mg＝maB
解得aB＝1 m/s2
对A，由牛顿第二定律可得：
F－μ1mg－μ2(m＋M)g＝MaA
解得aA＝2 m/s2.
(2)设经时间t，A从B下抽出，则xA＝aAt2
xB＝aBt2
Δx＝xA－xB＝l－x
解得t＝2 s.
(3)由速度公式得vB＝aBt＝2 m/s.
4．(2022·扬州高一期末)如图甲所示，长L＝2.0 m、质量M＝3 kg的木板A放在水平地面上，质量为m＝1 kg的小物块B放在木板的左端，开始时两者静止．现用一水平向左的力F作用在木板A上，通过传感器测得两物体的加速度a与力F的变化关系如图乙所示．最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g＝10 m/s2.求：
(1)A与地面间及A、B间的动摩擦因数μ1和μ2；
(2)图中F0的数值；
(3)若水平恒力F＝27 N，且始终作用在木板A上，小物块B从木板上滑落的时间t.
答案　(1)0.2　0.4　(2)24 N　(3)2 s
解析　(1)由题图乙知，当外力F1＝8 N时，对整体有F1＝Ff1
又Ff1＝μ1(M＋m)g得μ1＝0.2
当F>F0时，物块B与木板A有相对滑动，
对物块B由牛顿第二定律有μ2mg＝ma1
由题图乙知物块B的加速度为a1＝4 m/s2，
解得μ2＝0.4
(2)当F＝F0时，
对整体有F0－Ff1＝(M＋m)a1
得F0＝24 N
(3)当水平恒力F＝27 N>F0，
木板A的加速度为a2＝＝5 m/s2
由(1)知物块B的加速度为a1＝4 m/s2，
则a2t2－a1t2＝L
解得t＝2 s.

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