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愁密★启用前
韶关市2021-2022学年度第二学期高一期末检测
数学
说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1,答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级和准考证号用黑色宇速的钢笔或签字笔
填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”
2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息，点
涂黑；如需改动，用檬皮擦千净后，再速涂其他答案.答案不能答在沈卷上
3.非逃择题必须用黑色宇迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域
内相应位里上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔
和涂放液.不按以上要求作答无效
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的
1.已知集合A=-2,-1,0,11,B=x|x2≤11，则A∩B=(
A.-1,11
B.0,11
C.-1,1,01
D.{-2,-1,0]
2.已知角a的终边过点P(-3,4),则tan(T-a)=()
A号
B号
c.
D子
3.设a=e",b=sinT,c=lg0.5,则a,b,c的大小关系正确的是(
A.ab>c
B.a>c>b
C.b>asc
D.c>a>b
4.某社区为迎接2022农历虎年，组织了庆祝活动，已知参加活动的老年人、中年人、青
年人的人数比为12：15：13，如果采用分层抽样的方法从所有人中抽取一个80人的样本进
行调查，则应抽取的青年人的人数为()
A.20
B.22
C.24
D.26
5.若电流1(A)随着时间t()变化的函数1=Msin(@t+p)(0IA
100
A=100m,P=8
B.=100m,p=3
300
0
C.20m,p=6
D.0=200m,p=3
而
/s
-100
高一数学
第1页（共4页）
6.下列说法错误的是()
A.若。<1，则a<0或a>1
B.若a>0,6>0,且a+b=1,则。+名的最小值为4
C若ae0,号引，则y=ra+品。的最小值为2V2
D.函数yVx+V√1-x的值域为[L,V2]
7.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AB=4,∠DAB=60°，E为BC边上一点，且满
足BE=2CE,若AD·AB-4,则AE.BD=()
A.-4
B.-8
C.4
D.8
8.在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E是棱B,C的中点，则过B、E、D三点的平
面截正方体所得的截面图形的面积为()
A.5
B.V6
C.2V6
D.4V6
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，
9.已知i是虚数单位，若复数：满足z(3-)=3+i,z是复数：的共轭复数，则()
A:的虚部为？
B号好
C.=1
D,复数：在复平面上对应的点在第一象限
10.已知a,B是两个不同的平面，L,m是两条不同的直线，则下列说法正确的有()
A.若l∥a,m∥a,则l∥m
B.若lla,a∥B,ldB,则l∥B
C.若l⊥a,m⊥B,a⊥B,则1⊥m
D.若a⊥B,a∩B=m,ILm,则lLB
11.已知函数f(x)=
-2x+1,x<0
-x2+2x+1,x≥0
则()
A.f八-1)=-2
B.若f八a)=1,则a=0或a=2
C.函数f八x)在(0,1)上单调递减
D.函数f(x)在[-1,2的值城为[1,3】
12.如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=6O°，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM
翻折成△ABM,连接B,C和B,D,N为B,D的中点，则()
A,平面BMC⊥平面MCD
B.线段CN的长为定值
C.当三棱锥B,-AMD的体积最大时，三棱锥B,-AMD的外接球的表面积是12T
D.二面角B-AD-M的最大值为30°
高一数学
第2页（共4页）2021-2022学年第二学期高一期末检测
数学参考答案与评分标准
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A D A C B C
1.【解析】由题可知B = {x | 1 ≤ x ≤ 1}，故 AI B = { 1,0,1}，故选C .
4 4
2.【解析】由题可知 tan (π α ) = tanα = = ,故选 B .
3 3
3. 【解析】由题知a > 0,b = 0,c < 0，故a > b > c，选A .
13
4.【解析】由分层抽样可知，抽取青年人人数为80× = 26，故选D .
12 +15 +13
1 4 1 2π
5.【解析】由题可知 M = 100 , T = 1,T = ,ω = =100π , 代入最值点坐标
2 300 50 T
1 π
,100300
，解得 = .故选A .
6
1 1 a
6.【解析】选项 A: < 1 < 0 a(1 a) < 0，所以则a < 0或a >1，故A 正确；
a a
选项 B 1 1: + = (a + b)(
1 1
+ ) = 2 a b 1+ + ≥ 2 + 2 1 = 4 ，当且仅当 a = b = 时取
a b a b b a 2
B C y sin2 2 2 sin2 2得等号，故 正确；选项 ， = α + 2 ≥ α 2 = 2 2 ，当且sin α sin α
仅当 sin2 α = 2 时取得等号，而 sin2 α ∈ (0,1)，从而上述不等式取不到等号，最小
值 要 大 于 2 2 ， 故 C 错 误 ； 选 项 D ， 可 令 x = sin t, t ∈[0, π ] ， 则
2
y sin t cos t 2 sin(t π ) t [0, π ], t π [π , 3π ],sin(t π ) [ 2= + = + ， ∈ + ∈ + ∈ ,1] ，
4 2 4 4 4 4 2
y ∈[1, 2]，故D 正确.故选C .
uuur uuur uuur uuur uuur
7.【解析】由题可知 AD AB =| AD | | AB | cos∠DAB = 2 | AD |= 4 ，故 AD = 2 ，从而
uuur uuur uuur uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur uuur uuur uuur
易知 CD = 2 . AE = AB + BE = AB + BC = AB + AD ， BD = AD AB . 故
3 3 3
uuur uuur
AE BD 2
uuur2 uuur2
= (AD AB ) = 8,故选B .
3
另解：坐标法。
8. 【解析】设平面BED1交棱 AD 于F , 由正方体性质及平面与平面平行的性质定理得
ED1 // BF , 由勾股定理可得四边形D1FBE 所有边长的长度为 5 ，所以 D1FBE 是菱
D
形，故S = 1B FE 2 3 2 2D FBE = = 2 6. 故选 C. 1 2 2
二、多项选择题（全部选对的得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0分）.
题号 9 10 11 12
答案 ACD BC BD ABD
z 4 3 3 4 39. 【解析】原式化简得 = + i ，虚部为 ，A对； z = i，B 错；
5 5 5 5 5
z 4
2 3 2 4 3
= + =1，C对； z 在复平面上对应的点为 ， ，在第一象限，D对,
5 5 5 5
故选 ACD；
10.【解析】对于A ， l和m 可以相交，故错误；对于D ，可以 l β ，故不一定成立.故
选 BC.
11.【解析】函数 f (x) 的图像如左下图所示.
f ( 1) = 2× ( 1) +1 = 3，故A 错误;
当 a < 0 时 ， f (a) = 1 2a +1 = 1 a = 0 ， 此 时 方 程 无 解 ; 当 a ≥ 0 时 ，
f (a) =1 a2 + 2a +1 =1 a = 0 或 a = 2 ，故 B 正确；由图像可得， f (x) 在
(0,1) 上 单 调 递 增 ， 故 C 错 误 ; 由 图 像 可 知 当 x ∈[ 1, 2] 时 ，
f (x)min = min{ f (0), f (2)} =1 ， f (x)max = max{ f ( 1), f (1)} = 3 ， 故 f (x) 在
[ 1, 2]的值域为[1,3]，D 正确.故选 BD.
y
B1
3
N
2
A G E
1 D
x
–2 –1 O 1 2 3 4
–1 B
MF C
–2
12.【解析】对于A ，如右上图所示，在菱形 ABCD中， AB = 2,∠ABC = 60o ，所以易
证 ABC 为等边三角形，又M 是 BC 的中点，所以 AM ⊥ CM ，由翻折性质知，又
因为 B1M ,CM 平面 B1MC ， B1M ICM = M ，所以 AM ⊥ 平面 B1MC ，因为
AM 平面 AMCD ，所以平面 B1MC ⊥平面 AMCD ，故A 正确;对于B ，如图所
示，取 AD 中点 E ，则易知 EN // AB1, EN
1
= AB1 = 1，在菱形 ABCD 中，易证2
CE // AM ,CE = AM = 3 ，因为∠NEC和∠B1AM 的两边方向相同，则由等角定
o
理易证∠NEC = ∠B1AM = 30 ，在 NEC 中，由余弦定理可求得CN =1，即CN
长为定值，故 B 正确; 对于C ，由题意可知当平面 AB1M ⊥平面 AMD 时，三棱锥
B1 AMD 的 体 积 最 大 ， 由 A 项 已 证 知 此 时 B1M ⊥ 平 面 AMD ， 易 知
∠DAM = 90o，所以 AM ⊥ AD ，故可将三棱锥B1 AMD的顶点放置在长宽高分别
为2, 3,1的长方体的顶点处，此时三棱锥的外接球即为长方体的外接球，则长方体的
1
外接球半径 r = 22 + ( 3)2 +12 = 2 2，表面积为4π r = 8π ，故C 错误;
2
对于D ，如图所示，由选项A 可知，平面B1MC ⊥平面 AMCD，在平面B1MC 中， 过
作 B1F ⊥ MC ，垂足为 F ，在平面 AMCD 中，过 F 作 FG ⊥ AD ，垂足为 D ，因为平
面 B1MC ⊥平面 AMCD ， B1F ⊥ MC ，平面 B1MC I平面 AMCD = MC , B1F 平面
B1MC ， 所 以 B1F ⊥ 平面 AMCD ， ∠B1GF 即为二 面角 B1 AD M 的平 面
角. tan B B1F∠ 1GF = ，在菱形 ABCD中，已知 FG 为定值 3 ，由 AM ⊥平面B1MC ，FG
B1M =1知，点 B1的在以 M 为圆心的圆弧上，所以当 B1M ⊥ MC 时， B1F 取得最大值
1，此时易求得∠B o1GF = 30 ，故D 正确，故选 ABD.
三、填空题（第 13、14、16 题每小题 5分，第 15 题第一空 2 分，第二空 3 分）.
13 14 15 16
4

5 (
3 , 1 )
2 2 68 , 296 3 5
4
13.【解析】cosθ = 1 sin2 θ = .
r r r 5
a b a r
14.【解析】所求向量为 r r 3 1= a = ( , ) .
| a | | a | 2 2
x 10 60 4015.【解析】 = × + × 70 = 68
50 50
s2 10= (200 + (68 40 60)2 ) + (300 + (70 68)2 ) = 296 .
50 50
DC
16.【解析】依题意得，在 BCD中，由正弦定理可得BD = o ×sin135
o = 3 2
sin 30
在 ACD中，∠DAC = ∠DCA = 15o ，所以 AD = 3
在 ADB 中，由余弦定理得 AB2 = AD2 + BD2 2AD BD cos135o
代入数据解得 AB = 3 5 .
四、解答题（第 17 题 10 分，第 18-22 题每题 12分）.
17.（本小题满分 10分）
解：（1）在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，有 AB // C1D1 ，……………………1 分
所以∠B1EB即为直线B1E与直线C1D1所成角， ……………………………………2 分
在 B1EB中，易知BE =1, BB = 2 tan B EB
BB
1 ，所以 ∠ =
1
1 = 2 . BE
所以直线B1E与直线C1D1所成角的正切值为2 .……………………………………5 分
（2）在正方形 ABB1A1中，
S 3有 B EF = SABB A S AEF S A B F S BB E = ， …………………………………7 分 1 1 1 1 1 1 2
又DA ⊥平面 ABB1A1， .………………………………………………………………8 分
所以，V 1D B EF = × S B EF × DA = 1 1 3 1
即，三棱锥D B1EF 的体积为1. …………………………………………………10 分
18.（本小题满分 12 分）
解：（1）由 (0.005+ 0.010 + 0.015×2 + a + 0.030)×10 =1
解得a = 0.025 …………………………………………………………………………3 分
（2）10×(45×0.005+55×0.015+65×0.03+ 75×0.025+85×0.015+95×0.01) = 71
故本次知识测试成绩的平均分为71…………………………………………………7 分
（3）设受嘉奖的学生分数不低于 x 分，因为[80,90),[90,100]对应的频率分别为
0.1+ 0.15 > 0.15,0.1< 0.15，故 x ∈[80,90)……………………………………………9 分
所以 (90 x)×0.015+ 0.1 = 0.15
260
，解得 x = ≈ 86.7 .
3
故受嘉奖的学生分数不低于86.7分.……………………………………………………12 分
19. （本小题满r分 1r2 分）
（1）因为a // b，所以 cos x sin x = 0，…………………………………1 分
易知cos x ≠ 0，所以 tan x = 1. ………………………………………………………2 分
2cos2 x sin 2x (2cos2 x 2sin x cos x) ÷ cos2 x 2 2 tan x
所以 = = = 4 .……5 分
sin x cos x sin x cos x ÷ cos2 x tan x
（2） f (x) = sin x 1 cos x 1 = sin 2x 1……………………………………………6 分
2
由图像平移可知 g(x) 1= sin(2x π+ ) ………………………………………………8 分
2 3
因为 x ∈[0, π ] π π 5π，所以2x + ∈[ , ]，……………………………………………9 分
4 3 3 6
π 1
所以sin(2x + )∈[ ,1]， ……………………………………………………………11 分
3 2
g(x) [1 , 1] 1所以 ∈ ， 即 g(x) 的值域为[ , 1] .……………………………………12 分
4 2 4 2
20.（本小题满分 12 分）
解：（1）若选择①，
a b c
由正弦定理可得 = = ，………………………………………1 分
sin A sin B sin C
可将已知条件转化为sin AcosC = (2sin B sin C) cos A……………………2 分
即 sin AcosC + cos Asin C = 2sin Bcos A，
sin(A + C) = 2sin B cos A . ……………………………………………………3 分
在三角形 ABC 中，有 A+ C = π B，
故 sin(A + C) = sin(π B) = sin B ，
所以sin B = 2sin Bcos A，………………………………………………………4 分
又 B ∈ (0,π )，所以sin B ≠ 0 ，故cos A 1= ， ………………………………5 分
2
又 A∈ (0,π ) π，所以 A = .………………………………………………………6 分
3
若选择②
在 ABC 中，有 A+ B + C = π ，
所以 tan C = tan(π (B + C)) = tan(B + C) …………………………………2 分
tan A tan B + tan C即 = ，
1 tan B tan C
所以 tan A+ tan B + tan C = tan A tan B tan C . ………………………………3 分
又由已知条件得 tan A+ tan B + tan C = 3 tan B tan C ，
又 A, B,C ∈ (0,π )，所以 tan B tan C ≠ 0，所以 tan A = 3…………………5 分
π
所以 A = .…………………………………………………………………………6 分
3
uuur uuur uuur
（2）因为 AD 1= (AB + AC)， …………………………………………………7 分
2
uuur2 uuur uuur
故 AD 1= (AB + AC)2 ，
4
1
代入数据得3 = (4 + c2 + 2c)， …………………………………………………9 分
4
解得c = 2或 c = 4（舍去）， …………………………………………………10 分
所以 S 1 ABC = bcsin A
1 2 2 3= × × × = 3 ，………………………………11 分
2 2 2
即 ABC 的面积为 3 .……………………………………………………………12 分
另解一（中位线法）：取 AB 中点 E ，连接DE ,解 ADE即可。
另解二（补形法）：延长 AD 到点 F ，且 AD = DF F, 连接 BF 、CF ,则 ABFC 为平
行四边形，解 ABF即可。
21.（本小题满分 12分）
（1）证明：因为平面 SAB ⊥平面 ABCD，平面 SAB I平面 ABCD = AB，
BC 平面 ABCD， BC ⊥ AB，所以BC ⊥平面 SAB .……………………2 分 S
因为BC 平面 SBC ，所以平面 SBC ⊥平面 SAB .………………………3 分 M N
（2）证明：取棱 SC 上靠近点 S 的一个三等分点 N ，连接MN , DN ，如图所示
SBC SM SN 1 MN // BC 1在平面 中，由 = = 得 ，且MN = BC ，…5 分 B
SB SC 3 3
E
又 AD // BC, AD 1= BC ，所以MN // AD, MN = AD ，
3 A D
所以四边形 ADNM 为平行四边形，……………………………………………6 分
所以 AM // ND，又 AM 平面 SCD， ND 平面 SCD，
所以 AM //平面 SCD .……………………………………………………………7 分
（3）解：取 AB 中点E ，连接 SE, EC .
因为 SAB 为等边三角形，所以 SE ⊥ AB ……………………………………8 分
因为平面 SAB ⊥平面 ABCD，平面 SAB I平面 ABCD = AB，
SE 平面 SAB ，所以 SE ⊥平面 ABCD ……………………………………9 分
所以∠SCE 为直线 SC与平面 ABCD所成角，………………………………10 分
在 SAB中，易知 SE = SB sin 60o = 3 ，
2 2在梯形 ABCD中，易知CE = BE + BC = 10
在 SCE 中，有 SC = SE2 + EC2 = 13 ，
sin SCE SE 39 所以 ∠ = = . …………………………………………………11 分
SC 13
39
即直线 SC与平面 ABCD所成角的正弦值为 .……………………………12 分
13
22.（本小题满分 12 分）
解：（1）解：由性质③知， f (x) + g(x) = ex f ( x) + g( x) = e x，所以 ，……1 分
x
由性质②知， f ( x) = f (x), g( x) = g(x)，所以 f (x) + g(x) = e ，………2 分
x
f (x) e e
x x x
解得 = , g(x) e + e= …………………………………………………3 分
2 2
（2）证明：由（1）可得：
x x x
[ f (x)]2 [g(x)]2 (e e )2 (e + e
x e2x + e 2x)2 2 e
2x + e 2x + 2
= = = 1 .
2 2 4 4
即[ f (x)]2 [g(x)]2 为定值 1. …………………………………………………………5 分
（3）解：函数 y = 2m g(2x) 4 f (x) = m(e2x + e 2x ) 2(ex e x ) ，设 t = ex e x
ex e x 3
由性质①， f (x) = 在 R 是增函数知，当 x ∈[0, ln 2]时， t ∈[0, ]，…6 分
2 2
2 3
所以原函数即： y = mt 2t + 2m, t ∈[0, ]，
2
h(t) = mt 2设 2t + 2m, t 3∈[0, ]
2
当m = 0时，h(t)在[0, 3]上单调递减，此时 h(t)min = h(
3) = 3 . ………………8 分
2 2
当m ≠ 0 h(t) t 1时，函数 的对称轴为 = ，
m
m < 0 h(t) [0, 3当 时， 在 ]上单调递减，
2
3 17m
此时h(t)min = h( ) = 3…………………………………………………………9 分 2 4
0 1 3 m 2 1 1 3当 < < 时，即 > 时， h(t) 在 (0, ) 上单调递减，在 ( , ) 上单调递增，
m 2 3 m m 2
1 1
此时h(t)min = h( ) = 2m . ………………………………………………………10 分 m m
1 3 2 3
当 ≥ ，即0 < m ≤ 时，h(t)在[0, ]上单调递减，
m 2 3 2
此时h(t)min = h(
3) = 3 . ……………………………………………………………11 分
2
17m
3, m < 0
4

综上所述， (m) = 3, 0 ≤ m
2
≤ . ……………………………………………12 分
3

2m
1
, m 2>
m 3

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