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1.4　充分条件与必要条件
1.4.1　充分条件与必要条件
1.4.2　充要条件
学 习 目 标 核 心 素 养
1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点) 1.通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养．2．借助充要条件的应用，培养数学运算素养.
1．充分条件与必要条件
命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题
推出关系 p q pq
条件关系 p是q的充分条件q是p的必要条件 p不是q的充分条件q不是p的必要条件
思考1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？
(2)以下五种表述形式：①p q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？
提示：(1)相同，都是p q.(2)等价．
2．充要条件
(1)一般地，如果既有p q，又有q p，就记作p q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
概括地说，如果p q，那么p与q互为充要条件．
(2)若p q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．
(3)若q p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．
(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．
思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
提示：(1)正确．若p是q的充要条件，则p q，即p等价于q.
(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
1．下列语句是命题的是(　　 )
A．梯形是四边形　　 B．作直线AB
C．x是整数 D．今天会下雪吗
A　[D不是陈述句，B、C不能判断真假．]
2．“同位角相等”是“两直线平行”的(　　 )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　C
3．使x>3成立的一个充分条件是(　　 )
A．x>4 B．x>0
C．x>2 D．x<2
A　[只有x>4 x>3，其他选项均不可推出x>3.]
4．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
A　[因为x≥2且y≥2 x2＋y2≥4, x2＋y2≥4x≥2且y≥2，如x＝－2，y＝1，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件．]
充分条件、必要条件的判断
【例1】　指出下列各题中p是q的什么条件．
(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0.
(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等．
(3)p：a＞b，q：ac＞bc.
[解]　(1)x－3＝0 (x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．
(2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等 两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．
(3)a＞bac＞bc，且ac＞bca＞b，
故p是q的既不充分也不必要条件．
定义法判断充分条件、必要条件
1 确定谁是条件，谁是结论
2 尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件
3 尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.
1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件．
(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．
(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.
[解]　(1)因为四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，
所以p是q的既不充分也不必要条件．
(2)因为(x－1)2＋(y－2)2＝0 x＝1且y＝2 (x－1)(y－2)＝0，而(x－1)(y－2)＝0(x－1)2＋(y－2)2＝0，所以p是q的充分不必要条件．
充分条件、必要条件、充要条件的应用
[探究问题]
1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A，B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？
提示：若p是q的充分不必要条件，则AB，若p是q的必要不充分条件，则BA.
2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M N，则p是q的什么条件？若N M，M＝N呢？
提示：若M N，则p是q的充分条件，若N M，则p是q的必要条件，若M＝N，则p是q的充要条件．
【例2】　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．
[思路点拨]　→→
{m|m≥9}　[因为p是q的充分不必要条件，所以p q且qp.
即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，所以或解得m≥9.
所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．]
1．本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．
[解]　因为p是q的必要不充分条件，所以q p，且pq.
则{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}{x|－2≤x≤10}，
所以，解得0即m的取值范围是{m|0＜m≤3}．
2．若本例题改为：已知P＝{x|a－4[解]　因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q P.
所以解得－1≤a≤5，
即a的取值范围是{a|－1≤a≤5}．
利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围
1 化简p，q两命题；
2 根据p与q的关系 充分、必要、充要条件 转化为集合间的关系；
3 利用集合间的关系建立不等式；
4 求解参数范围.
充要条件的探求与证明
【例3】　试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
[思路点拨]　从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．
[证明]　①必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0.
②充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
充要条件的证明策略
1 要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真.
2 在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.
提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向.
2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
[证明]　假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，
q：a＋b＋c＝0.
①证明p q，即证明必要性．
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·12＋b·1＋c＝0，
即a＋b＋c＝0.
②证明q p，即证明充分性．
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.
∵ax2＋bx＋c＝0，
∴ax2＋bx－a－b＝0，
即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
∴x＝1是方程的一个根．
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断．
(2)等价法：“p q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．
(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A B，则p是q的充分条件；若A B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充分必要条件．
1．思考辨析
(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　)
(2)q不是p的必要条件时，“pq”成立．(　　)
(3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立．(　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×
2．“x>0”是“x≠0”的(　　 )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A　[由“x>0” “x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件．]
3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．
m＝－2　[函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，则f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称．]
4．已知p：实数x满足3a[解]　由p：3aq：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为p q，所以A B，
所以即－≤a<0，
所以a的取值范围是.
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