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第5讲 因式分解
知识点1 提公因式法
一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.
二、公因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.
三、提公因式法
把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，
即 .
　　（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
　　（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.
　　（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.
1．（2018 崇安区一模）分解因式x3+4x的结果是（　　）
A．x（x2+4） B．x（x+2）（x﹣2） C．x（x+2）2 D．x（x﹣2）2
【解答】解：x3+4x=x（x2+4）．
故选：A．
　
2．（2017秋 孝感期末）下面运算正确的是（　　）
A．3ab+3ac=6abc B．4a2b﹣4b2a=0 C．2x2+7x2=9x4 D．3y2﹣2y2=y2
【解答】解：A、3ab+3ac无法合并，故此选项错误；
B、4a2b﹣4b2a，无法合并，故此选项错误；
C、2x2+7x2=9x2，故此选项错误；
D、3y2﹣2y2=y2，故此选项正确；
故选：D．
3．（2017秋 苍溪县期末）将﹣a2b﹣ab2提公因式后，另一个因式是（　　）
A．a+2b B．﹣a+2b C．﹣a﹣b D．a﹣2b
【解答】解：﹣a2b﹣ab2=﹣ab（a+2b），
﹣a2b﹣ab2提公因式后，另一个因式是a+2b，
故选：A．
4．（2017秋 江夏区期末）把8m2n﹣2mn分解因式（　　）
A．2mn（4m+1） B．2m（4m﹣1） C．mn（8m﹣2） D．2mn（4m﹣1）
【解答】解：8m2n﹣2mn=2mn（4m﹣1）．
故选：D．
5．（2018 潍坊）因式分解：（x+2）x﹣x﹣2=________．
【解答】解：原式=（x+2）（x﹣1）．
故答案是：（x+2）（x﹣1）．
　
6．（2018 杭州）因式分解：（a﹣b）2﹣（b﹣a）=______．
【解答】解：原式=（a﹣b）2+（a﹣b）=（a﹣b）（a﹣b+1），
故答案为：（a﹣b）（a+b+1）
　
7．（2018 繁昌县二模）因式分解：（2a+b）2﹣2b（2a+b）=_______．
【解答】解：（2a+b）2﹣2b（2a+b）
=（2a+b）（2a+b﹣2b）
=（2a+b）（2a﹣b）．
故答案为：（2a+b）（2a﹣b）．
8．（2018 连山区一模）分解因式：2a2﹣8a=_______．
【解答】解：原式=2a（a﹣4），
故答案为：2a（a﹣4）
9．（2018 长春模拟）分解因式：2xy﹣6y=______．
【解答】解：原式=2y（x﹣3）．
故答案为：2y（x﹣3）．
知识点2公式法
一、公式法——平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.
（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
二、公式法——完全平方公式
两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．
即，.
形如，的式子叫做完全平方式.
要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.
（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.
（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
1．（2018 太原一模）将（x+3）2﹣（x﹣1）2分解因式的结果是（　　）
A．4（2x+2） B．8x+8 C．8（x+1） D．4（x+1）
【解答】解：（x+3）2﹣（x﹣1）2
=[（x+3）+（x﹣1）][（x+3）﹣（x﹣1）]
=4（2x+2）
=8（x+1）．
故选：C．
　
2．（2018 十堰模拟）下列各式能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．﹣x2+y2 D．x2﹣y3
【解答】解：A、两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式；
B、两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式；
C、能用平方差公式分解因式；
D、y的次数为3，不能用平方差公式分解因式．
故选：C．
　
3．（2018 钦州三模）对多项式x2﹣2x+1因式分解，结果正确的是（　　）
A．（x+1）2 B．（x+1）（x﹣1） C．（x﹣1）2 D．（x+1）（x﹣2）
【解答】解：原式=（x﹣1）2，
故选：C．
　
4．（2017秋 利川市期末）分解因式x4﹣1的结果是（　　）
A．（x+1）（x﹣1） B．（x2+1）（x2﹣1） C．（x2+1）（x+1）（x﹣1） D．（x+1）2（x﹣1）2
【解答】解：x4﹣1=（x2）2﹣12
=（x2+1）（x2﹣1）
=（x2+1）（x+1）（x﹣1），
故选：C．
5．（2018春 苏州期中）下列各多项式中，能用公式法分解因式的是（　　）
A．a2﹣b2+2ab B．a2+b2+ab C．25n2+15n+9 D．4a2+12a+9
【解答】解：A、a2﹣b2+2ab，无法运用公式法分解因式，故此选项错误；
B、a2+b2+ab，无法运用公式法分解因式，故此选项错误；
C、25n2+15n+9，无法运用公式法分解因式，故此选项错误；
D、4a2+12a+9=（2a+3）2，正确．
故选：D．
6．（2018春 金华期中）下列各式中，不能完全用平方公式分解的个数为（　　）
①x2﹣10x+25；②4a2+4a﹣1；③x2﹣2x﹣1；④m2﹣m+；⑤4x4﹣x2+．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①x2﹣10x+25=（x﹣5）2，不合题意；
②4a2+4a﹣1无法用平方公式分解，符合题意；
③x2﹣2x﹣1无法用平方公式分解，符合题意；
④m2﹣m+=（m﹣）2，不合题意；
⑤4x4﹣x2+无法用平方公式分解，符合题意；
故选：C．
　
7．（2018 株洲）因式分解：a2（a﹣b）﹣4（a﹣b）=______．
【解答】解：a2（a﹣b）﹣4（a﹣b）
=（a﹣b）（a2﹣4）
=（a﹣b）（a﹣2）（a+2），
故答案为：（a﹣b）（a﹣2）（a+2）．
　　
8．（2018 南海区校级二模）已知a与b互为相反数，则代数式a2+2ab+b2﹣2018的值为　______．
【解答】解：∵a与b互为相反数，
∴a+b=0，
则原式=a2+2ab+b2﹣2018
=（a+b）2﹣2018
=0﹣2018
=﹣2018．
故答案为：﹣2018．
　
9．（2018 井研县模拟）分解因式：（y+2x）2﹣（x+2y）2=______．
【解答】解：原式=（y+2x+x+2y）（y+2x﹣x﹣2y）=3（x+y）（x﹣y），
故答案为：3（x+y）（x﹣y）
　
10．（2018春 宿豫区期中）把下列各式因式分解：
（1）a4﹣1
（2）（x+2）（x+4）+x2﹣4
【解答】解：（1）a4﹣1=（a2+1）（a2﹣1）
=（a2+1）（a+1）（a﹣1）；
（2）（x+2）（x+4）+x2﹣4
=（x+2）（x+4）+（x+2）（x﹣2）
=（x+2）（2x+2）
=2（x+2）（x+1）．
　
11．（2018春 天心区校级期中）因式分解：
（1）x2+2xy2+2y4；
（2）4b2c2﹣（b2+c2）2；
（3）a（a2﹣1）﹣a2+1；
（4）（a+1）（a﹣1）﹣8．
【解答】解：（1）原式=（x2+4xy2+y4）=（x+2y2）2；
（2）原式=（2bc+b2+c2）（2bc﹣b2﹣c2）
=﹣（b+c）2（b﹣c）2；
（3）原式=a（a2﹣1）﹣（a2﹣1）
=a（a+1）（a﹣1）﹣（a+1）（a﹣1）
=（a+1）（a﹣1）2；
（4）原式=a2﹣1﹣8
=a2﹣9
=（a+3）（a﹣3）．
　　
12．（2017春 天宁区校级月考）x4﹣18x2y2+81y4．
【解答】解：x4﹣18x2y2+81y4，
=（x2﹣9y2）2，
=（x+3y）2（x﹣3y）2．
知识点3分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.
要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：
方法 分类 分组方法 特点
分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组
③符合公式的两项分组
三项、一项 先完全平方公式后平方差公式
五项 三项、二项 各组之间有公因式
六项 三项、三项
二项、二项、二项 各组之间有公因式
三项、二项、一项 可化为二次三项式
1．（2018 甘肃模拟）分解因式：b2﹣ab+a﹣b=________．
【解答】解：原式=b（b﹣a）﹣（b﹣a）
=（b﹣a）（b﹣1），
故答案为（b﹣a）（b﹣1）．
　
2．（2018春 郯城县期中）分解因式：a2+2ab+b2﹣4=　_________．
【解答】解：原式=（a+b）2﹣22
=（a+b+2）（a+b﹣2），
故答案为：（a+b+2）（a+b﹣2）．
　
3．（2017 江阴市自主招生）分解因式：9﹣6y﹣x2+y2=_______．
【解答】解：9﹣6y+y2﹣x2
=（3﹣y）2﹣x2
=（3﹣y+x）（3﹣y﹣x）．
故答案为：（3﹣y+x）（3﹣y﹣x）．
4．（2017 西城区校级自主招生）多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为_______
【解答】解：6x3﹣11x2+x+4，
=6x3﹣6x2﹣5x2+x+4，
=6x2（x﹣1）﹣（5x2﹣x﹣4），
=6x2（x﹣1）﹣（x﹣1）（5x+4），
=（x﹣1）（6x2﹣5x﹣4），
=（x﹣1）（3x﹣4）（2x+1）．
　
5．（2017 渠县二模）分解因：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2=_______．
【解答】解：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2
=（x2﹣4xy+4y2）﹣（x﹣2y）
=（x﹣2y）2﹣（x﹣2y）
=（x﹣2y）（x﹣2y﹣1）．
故答案为：（x﹣2y）（x﹣2y﹣1）．
　　
6．（2017春 肥城市期末）分解因式
（1）x3﹣9x；
（2）﹣x3y+2y2x2﹣xy3；
（3）1﹣a2+2ab﹣b2．
【解答】解：（1）原式=x（x2﹣9）=x（x﹣3）（x+3）
（2）原式=﹣xy（x2﹣2xy+y2）=﹣xy（x﹣y）2
（3）原式=1﹣（a2﹣2ab+b2）
=1﹣（a﹣b）2
=（1﹣a+b）（1+a﹣b）
　　
7．（2017秋 内乡县期中）观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的因式分解：
甲：x2﹣xy+4x﹣4y
=（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）
=x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式）
=（x﹣y）（x+4）．
乙：a2﹣b2﹣c2+2bc
=a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
=a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
=（a+b﹣c）（a﹣b+c）（再用平方差公式）
请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：
（1）m3﹣2m2﹣4m+8．
（2）x2﹣2xy+y2﹣9．
【解答】解：（1）原式=m2（m﹣2）﹣4（m﹣2）=（m﹣2）2（m+2）；
（2）原式=（x﹣y）2﹣9=（x﹣y+3）（x﹣y﹣3）．
知识点4十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
对于二次三项式，若存在 ，则
要点诠释：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号
（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.
1．（2018 东莞市校级一模）下列因式分解正确的是（　　）
A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4） B．x2+x+1=（x+1）2
C．x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4 D．2x+4=2（x+2）
【解答】解：A、x2﹣4=（x+2）（x﹣2），故此选项错误；
B、x2+2x+1=（x+1）2，故此选项错误；
C、等式的右边不是乘积形式，不是因式分解，故此选项错误；
D、2x+4=2（x+2），故此选项正确；
故选：D．
　
2．（2017秋 榆树市期末）把x2﹣4x+c分解因式得：x2﹣4x+c=（x﹣1）（x﹣3），则c的值为（　　）
A．3 B．4 C．﹣3 D．﹣4
【解答】解：（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3
∴c=3
故选：A．
3．（2018 周村区一模）分解因式：x2+4x﹣12=________．
【解答】解：x2+4x﹣12=（x+6）（x﹣2）．
故答案为：（x+6）（x﹣2）．
　　
4．（2018 阳信县模拟）因式分解：x2﹣3x+（x﹣3）=_______．
【解答】解：方法一：原式=x（x﹣3）+x﹣3
=x2﹣3x+x﹣3
=x2﹣2x﹣3
=（x﹣3）（x+1）；
方法二：原式=x（x﹣3）+（x﹣3）
=（x﹣3）（x+1）；
故答案为：（x﹣3）（x+1）．
　
5．（2017秋 普陀区期末）分解因式：x2﹣3xy﹣4y2=________．
【解答】解：x2﹣3xy﹣4y2=（x﹣4y）（x+y），
故答案为：（x﹣4y）（x+y）．
　
6．（2018春 相城区期中）若x2+mx﹣15=（x+3）（x+n），则m﹣n的值为_____．
【解答】解：∵（x+3）（x+n）=x2+nx+3x+3n=x2+（n+3）x+3n，
∴，
解得：m=﹣2，n=﹣5，
则m﹣n=﹣2+5=3，
故答案为：3．
　
7．（2018春 沙坪坝区校级月考）分解因式：x3+3x2﹣4=_______．
【解答】解：原式=x3﹣1+3x2﹣3
=（x﹣1）（x2+x+1）+3（x+1）（x﹣1）
=（x﹣1）（x2+x+1+3x+3）
=（x﹣1）（x2+4x+4）
=（x﹣1）（x+2）2．
故答案为（x﹣1）（x+2）2．
8．（2017秋 枣阳市期末）分解因式：
（1）（m+n）2﹣4m（m+n）+4m2
（2）a3b﹣ab；
（3）x2+2x﹣3
【解答】解：（1）原式=[（m+n）﹣2m]2
=（n﹣m）2
（2）原式=ab（a2﹣1）
=ab（a+1）（a﹣1）．
（3）原式=（x+3）（x﹣1）．
　
9．（2018春 宁波期中）因式分解
（1）2x3﹣8x
（2）x2﹣2x﹣3
（3）4a2+4ab+b2﹣1
【解答】解：（1）2x3﹣8x
=2x（x2﹣4）
=2x（x+2）（x﹣2）；
（2）x2﹣2x﹣3
=（x﹣3）（x+1）；
（3）4a2+4ab+b2﹣1
=（2a+b）2﹣1
=（2a+b﹣1）（2a+b+1）．
知识点5因式分解的应用
1．（2018 周口二模）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x﹣y，a﹣b，2，x2﹣y2，a，x+y，分别对应下列六个字：南、爱、我、美、游、济，现将2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）
A．我爱美 B．济南游 C．我爱济南 D．美我济南
【解答】解：原式=2（x+y）（x﹣y）（a﹣b），
则呈现的密码信息可能是我爱济南，
故选：C．
　
2．（2017秋 高阳县期末）已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式（a﹣b）2﹣c2的值（　　）
A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定
【解答】解：∵（a﹣b）2﹣c2=（a﹣b+c）（a﹣b﹣c），a，b，c是三角形的三边，
∴a+c﹣b＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴（a﹣b）2﹣c2的值是负数．
故选：B．
　
3．（2017秋 五莲县期末）如果259+517能被n整除，则n的值可能是（　　）
A．20 B．30 C．35 D．40
【解答】解：259+517=518+517=517×（5+1）=517×6=516×30．
∴259+517能被n整除，则n的值可能是30．
故选：B．
　
4．（2018春 桂平市期中）已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则此三角形是（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【解答】解：已知等式整理得：2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ca，
即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2=0，
可得a=b=c，
则此三角形是等边三角形，
故选：D．
　
5．（2017秋 高阳县期末）如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=　0　．
【解答】解：∵1+a+a2+a3=0，
∴a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8，
=a（1+a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3），
=0+0，
=0．
故答案是：0．
　
6．（2017秋 洛阳期末）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）
（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为_______
（2）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．
【解答】解：（1）2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）；
故答案为：（m+2n）（2m+n）；
（2）依题意得，2m2+2n2=58，mn=10，
∴m2+n2=29，
∵（m+n）2=m2+2mn+n2，
∴（m+n）2=29+20=49，
∵m+n＞0，
∴m+n=7，
∴．图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为42cm．
　
7.（2017秋 泉州期末）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释a2+2ab+b2=（a+b）2，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．
（1）图B可以解释的代数恒等式是_______；
（2）现有足够多的正方形和矩形卡片（如图C），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为2a2+3ab+b2，并利用你所画的图形面积对2a2+3ab+b2进行因式分解．
【解答】解：（1）2a2+2ab=2a（a+b），故答案为：2a2+2ab=2a（a+b），
（2）如图所示：
2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）．
15第5讲 因式分解
知识点1 提公因式法
一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.
二、公因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.
三、提公因式法
把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，
即 .
　　（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
　　（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.
　　（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.
1．（2018 崇安区一模）分解因式x3+4x的结果是（　　）
A．x（x2+4） B．x（x+2）（x﹣2） C．x（x+2）2 D．x（x﹣2）2
　
2．（2017秋 孝感期末）下面运算正确的是（　　）
A．3ab+3ac=6abc B．4a2b﹣4b2a=0 C．2x2+7x2=9x4 D．3y2﹣2y2=y2
3．（2017秋 苍溪县期末）将﹣a2b﹣ab2提公因式后，另一个因式是（　　）
A．a+2b B．﹣a+2b C．﹣a﹣b D．a﹣2b
4．（2017秋 江夏区期末）把8m2n﹣2mn分解因式（　　）
A．2mn（4m+1） B．2m（4m﹣1） C．mn（8m﹣2） D．2mn（4m﹣1）
5．（2018 潍坊）因式分解：（x+2）x﹣x﹣2=________．
　
6．（2018 杭州）因式分解：（a﹣b）2﹣（b﹣a）=______．
　
7．（2018 繁昌县二模）因式分解：（2a+b）2﹣2b（2a+b）=_______．
8．（2018 连山区一模）分解因式：2a2﹣8a=_______．
9．（2018 长春模拟）分解因式：2xy﹣6y=______．
知识点2公式法
一、公式法——平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.
（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
二、公式法——完全平方公式
两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．
即，.
形如，的式子叫做完全平方式.
要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.
（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.
（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
1．（2018 太原一模）将（x+3）2﹣（x﹣1）2分解因式的结果是（　　）
A．4（2x+2） B．8x+8 C．8（x+1） D．4（x+1）
　
2．（2018 十堰模拟）下列各式能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．﹣x2+y2 D．x2﹣y3
　
3．（2018 钦州三模）对多项式x2﹣2x+1因式分解，结果正确的是（　　）
A．（x+1）2 B．（x+1）（x﹣1） C．（x﹣1）2 D．（x+1）（x﹣2）
　
4．（2017秋 利川市期末）分解因式x4﹣1的结果是（　　）
A．（x+1）（x﹣1） B．（x2+1）（x2﹣1） C．（x2+1）（x+1）（x﹣1） D．（x+1）2（x﹣1）2
5．（2018春 苏州期中）下列各多项式中，能用公式法分解因式的是（　　）
A．a2﹣b2+2ab B．a2+b2+ab C．25n2+15n+9 D．4a2+12a+9
6．（2018春 金华期中）下列各式中，不能完全用平方公式分解的个数为（　　）
①x2﹣10x+25；②4a2+4a﹣1；③x2﹣2x﹣1；④m2﹣m+；⑤4x4﹣x2+．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
　
7．（2018 株洲）因式分解：a2（a﹣b）﹣4（a﹣b）=______．
　　
8．（2018 南海区校级二模）已知a与b互为相反数，则代数式a2+2ab+b2﹣2018的值为　______．
　
9．（2018 井研县模拟）分解因式：（y+2x）2﹣（x+2y）2=______．
　
10．（2018春 宿豫区期中）把下列各式因式分解：
（1）a4﹣1
（2）（x+2）（x+4）+x2﹣4
　
11．（2018春 天心区校级期中）因式分解：
（1）x2+2xy2+2y4；
（2）4b2c2﹣（b2+c2）2；
（3）a（a2﹣1）﹣a2+1；
（4）（a+1）（a﹣1）﹣8．
　　
12．（2017春 天宁区校级月考）x4﹣18x2y2+81y4．
知识点3分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.
要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：
方法 分类 分组方法 特点
分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组
③符合公式的两项分组
三项、一项 先完全平方公式后平方差公式
五项 三项、二项 各组之间有公因式
六项 三项、三项
二项、二项、二项 各组之间有公因式
三项、二项、一项 可化为二次三项式
1．（2018 甘肃模拟）分解因式：b2﹣ab+a﹣b=________．
　
2．（2018春 郯城县期中）分解因式：a2+2ab+b2﹣4=　_________．
　
3．（2017 江阴市自主招生）分解因式：9﹣6y﹣x2+y2=_______．
4．（2017 西城区校级自主招生）多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为_______
　
5．（2017 渠县二模）分解因：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2=_______．
　　
6．（2017春 肥城市期末）分解因式
（1）x3﹣9x；
（2）﹣x3y+2y2x2﹣xy3；
（3）1﹣a2+2ab﹣b2．
　　
7．（2017秋 内乡县期中）观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的因式分解：
甲：x2﹣xy+4x﹣4y
=（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）
=x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式）
=（x﹣y）（x+4）．
乙：a2﹣b2﹣c2+2bc
=a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
=a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
=（a+b﹣c）（a﹣b+c）（再用平方差公式）
请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：
（1）m3﹣2m2﹣4m+8．
（2）x2﹣2xy+y2﹣9．
知识点4十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
对于二次三项式，若存在 ，则
要点诠释：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号
（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.
1．（2018 东莞市校级一模）下列因式分解正确的是（　　）
A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4） B．x2+x+1=（x+1）2
C．x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4 D．2x+4=2（x+2）
　
2．（2017秋 榆树市期末）把x2﹣4x+c分解因式得：x2﹣4x+c=（x﹣1）（x﹣3），则c的值为（　　）
A．3 B．4 C．﹣3 D．﹣4
3．（2018 周村区一模）分解因式：x2+4x﹣12=________．
　　
4．（2018 阳信县模拟）因式分解：x2﹣3x+（x﹣3）=_______．
　
5．（2017秋 普陀区期末）分解因式：x2﹣3xy﹣4y2=________．
　
6．（2018春 相城区期中）若x2+mx﹣15=（x+3）（x+n），则m﹣n的值为_____．
　
7．（2018春 沙坪坝区校级月考）分解因式：x3+3x2﹣4=_______．
8．（2017秋 枣阳市期末）分解因式：
（1）（m+n）2﹣4m（m+n）+4m2
（2）a3b﹣ab；
（3）x2+2x﹣3
　
9．（2018春 宁波期中）因式分解
（1）2x3﹣8x
（2）x2﹣2x﹣3
（3）4a2+4ab+b2﹣1
知识点5因式分解的应用
1．（2018 周口二模）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x﹣y，a﹣b，2，x2﹣y2，a，x+y，分别对应下列六个字：南、爱、我、美、游、济，现将2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）
A．我爱美 B．济南游 C．我爱济南 D．美我济南
　
2．（2017秋 高阳县期末）已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式（a﹣b）2﹣c2的值（　　）
A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定
　
3．（2017秋 五莲县期末）如果259+517能被n整除，则n的值可能是（　　）
A．20 B．30 C．35 D．40
　
4．（2018春 桂平市期中）已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则此三角形是（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
　
5．（2017秋 高阳县期末）如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=　0　．
　
6．（2017秋 洛阳期末）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）
（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为_______
（2）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．
　
7.（2017秋 泉州期末）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释a2+2ab+b2=（a+b）2，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．
（1）图B可以解释的代数恒等式是_______；
（2）现有足够多的正方形和矩形卡片（如图C），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为2a2+3ab+b2，并利用你所画的图形面积对2a2+3ab+b2进行因式分解．
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