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第6讲 分式
知识点1 分式的基本概念
定义 示例剖析
分式的定义：一般地，如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，其中叫分子，叫分母且． 例如
分式有意义（或分式存在）的条件：分式的分母不等于零即． 使有意义的条件是
分式的值为零的条件：分式的值为零是指分式在有意义的前提下分式的分子为零． 即当且时，． 使值为0的x值为1
1．（2017秋 无为县期末）在式子中，分式的个数有（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
　
2．（2018春 兴化市期中）下列代数式中，不是分式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2017秋 常熟市期末）无论x取什么值，下列分式总有意义的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2018 凉州区）若分式的值为0，则x的值是（　　）
A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．0
5．（2018 昆明模拟）当式子的值为零时，x的值是（　　）
A．5 B．﹣5 C．1或5 D．﹣5或5
6．（2017秋 卢龙县期末）如果=0，则x等于（　　）
A．±2 B．﹣2 C．2 D．3
7．（2017秋 临洮县期末）若，则x的值为（　　）
A．2 B．1 C．1或2 D．0
8．是否存在x，使得当y=5时，分式的值为0？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
知识点2分式的基本性质
定义 示例剖析
分式的基本性质：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 即
约分：利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，但不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.分子分母中没有公因式的分式叫做最简分式.
通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同时乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个分式变成分母相同的分式.为了通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.
1．（2017秋 泰兴市期末）不改变分式的值，使式子分子中的系数不含有分数，下列四个选项中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
　　
2．（2017秋 肇源县期末）如果把分式中的正数x，y，z都扩大2倍，则分式的值（　　）
A．不变 B．扩大为原来的两倍
C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
　
3．（2017秋 黄山期末）若=，则a的取值范围是（　　）
A．a＞0且a≠1 B．a≤0 C．a≠0且a≠1 D．a＜0
4．（2017春 海州区校级期中）如果把分式（x＞0，y＜0）中的x变为原来的2倍，y变为原来的一半，则分式的值（　　）
A．变大 B．变小 C．不变 D．不确定
5．（2017秋 莘县期末）若==，则分式=____．
6．（2017秋 楚雄州期末）已知：（x、y、z均不为零），则=____．
　
7．（2017秋 单县校级期中）若，则的值是_____　．
知识点3分式的基本运算
分式的乘法
分式的除法
分式的乘方
同分母分式相加减
异分母分式相加减
0指数幂
负整数指数幂 （，为正整数）
分式的乘除
注意分式的乘除法应用关键是理解其法则.
⑴先把除法变为乘法；
⑵接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；
⑶再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；
⑷最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式．
分式的加减
⑴同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。
⑵异分母分式加减法则：
运算步骤：①先确定最简公分母；②对每项通分,化为相同分母； ③按同分母分式运算法则进行；④注意结果可否化简，化为最简分式．
分式的混合运算
注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算.
1．（2018 孝感）已知x+y=4，x﹣y=，则式子（x﹣y+）（x+y﹣）的值是（　　）
A．48 B．12 C．16 D．12
　
2．（2018 薛城区校级自主招生）已知a++2b≠0，则的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
3．（2018 镇江模拟）已知x2﹣3x+1=0，则的值是（　　）
A． B．2 C． D．3
4．（2018 北碚区校级模拟）已知a2+3a﹣3=0，则代数式a2+的值是（　　）
A．3 B． C．15 D．9
5．（2018 洪雅县模拟）已知a+=3，则（a﹣）2=（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
6．（2018 长沙模拟）已知x﹣=8，则x2+﹣6的值是（　　）
A．60 B．64 C．66 D．72
6第6讲 分式
知识点1 分式的基本概念
定义 示例剖析
分式的定义：一般地，如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，其中叫分子，叫分母且． 例如
分式有意义（或分式存在）的条件：分式的分母不等于零即． 使有意义的条件是
分式的值为零的条件：分式的值为零是指分式在有意义的前提下分式的分子为零． 即当且时，． 使值为0的x值为1
1．（2017秋 无为县期末）在式子中，分式的个数有（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：分式有：，，9x+工3个．
故选：B．
　
2．（2018春 兴化市期中）下列代数式中，不是分式的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：，﹣，的分母中含有字母，因此是分式．的分母中不含有字母，因此它是整式，而不是分式．
故选：C．
3．（2017秋 常熟市期末）无论x取什么值，下列分式总有意义的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、，x≠0，故此选项错误；
B、中，x2+1始终不等于0，故此选项正确；
C、中，x﹣1≠0，则x≠1时，符合题意，故此选项错误；
D、，x≠0，故此选项错误；
故选：B．
4．（2018 凉州区）若分式的值为0，则x的值是（　　）
A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．0
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x2﹣4=0，
解得：x=2或﹣2．
故选：A．
5．（2018 昆明模拟）当式子的值为零时，x的值是（　　）
A．5 B．﹣5 C．1或5 D．﹣5或5
【解答】解：由题意，得：|x|﹣5=0，且x2﹣4x﹣5≠0；
由|x|﹣5=0，得：x=±5；
由x2﹣4x﹣5≠0，得：x≠5，x≠﹣1；
综上得：x=﹣5，故选B．
6．（2017秋 卢龙县期末）如果=0，则x等于（　　）
A．±2 B．﹣2 C．2 D．3
【解答】解：由题意可得|x|﹣2=0且x2﹣x﹣6≠0，
解得x=2．
故选：C．
7．（2017秋 临洮县期末）若，则x的值为（　　）
A．2 B．1 C．1或2 D．0
【解答】解：∵，
∴x2﹣3x+2=0，x﹣2≠0，
解得：x=1．
故选：B．
8．是否存在x，使得当y=5时，分式的值为0？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：不存在，理由如下：
把y=5代入，得
==．
当=0，即=0时，
x+5=0且（x+5）（x﹣5）≠0，
则x无解．即这样的x的值不存在．
知识点2分式的基本性质
定义 示例剖析
分式的基本性质：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 即
约分：利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，但不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.分子分母中没有公因式的分式叫做最简分式.
通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同时乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个分式变成分母相同的分式.为了通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.
1．（2017秋 泰兴市期末）不改变分式的值，使式子分子中的系数不含有分数，下列四个选项中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：=．
故选：C．
　　
2．（2017秋 肇源县期末）如果把分式中的正数x，y，z都扩大2倍，则分式的值（　　）
A．不变 B．扩大为原来的两倍
C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
【解答】解：分别用2x、2y，2z去代换原分式中的x、y和z，得
==×，即新分式缩小为原来的．
故选：C．
　
3．（2017秋 黄山期末）若=，则a的取值范围是（　　）
A．a＞0且a≠1 B．a≤0 C．a≠0且a≠1 D．a＜0
【解答】解：∵=，
∴==，
∴a＜0，
故选：D．
4．（2017春 海州区校级期中）如果把分式（x＞0，y＜0）中的x变为原来的2倍，y变为原来的一半，则分式的值（　　）
A．变大 B．变小 C．不变 D．不确定
【解答】解：=，
∴﹣=
∵x＞0，y＜0，
∴﹣2x+y＜0，xy＜0，
∴，
故选：B．
5．（2017秋 莘县期末）若==，则分式=____．
【解答】解：设===，则a=3k，b=4k，c=5k，
则分式=．
故答案为．
6．（2017秋 楚雄州期末）已知：（x、y、z均不为零），则=____．
【解答】解：设x=6k，y=4k，z=3k，将其代入分式中得：==3．
故答案为3．
　
7．（2017秋 单县校级期中）若，则的值是_____　．
【解答】解：由，可以得到：a﹣b=﹣4ab，
∴=．
故的值是6．
知识点3分式的基本运算
分式的乘法
分式的除法
分式的乘方
同分母分式相加减
异分母分式相加减
0指数幂
负整数指数幂 （，为正整数）
分式的乘除
注意分式的乘除法应用关键是理解其法则.
⑴先把除法变为乘法；
⑵接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；
⑶再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；
⑷最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式．
分式的加减
⑴同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。
⑵异分母分式加减法则：
运算步骤：①先确定最简公分母；②对每项通分,化为相同分母； ③按同分母分式运算法则进行；④注意结果可否化简，化为最简分式．
分式的混合运算
注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算.
1．（2018 孝感）已知x+y=4，x﹣y=，则式子（x﹣y+）（x+y﹣）的值是（　　）
A．48 B．12 C．16 D．12
【解答】解：（x﹣y+）（x+y﹣）
=
=
=（x+y）（x﹣y），
当x+y=4，x﹣y=时，原式=4=12，
故选：D．
　
2．（2018 薛城区校级自主招生）已知a++2b≠0，则的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【解答】解：a++2b≠0，
a2b+a=2b+2ab2，
ab（a﹣2b）+（a﹣2b）=0，
（a﹣2b）（ab+1）=0，
∵a+≠0，
∴ab+1≠0，
∴a﹣2b=0，
∴a=2b，
∴==2，
故选：D．
3．（2018 镇江模拟）已知x2﹣3x+1=0，则的值是（　　）
A． B．2 C． D．3
【解答】解：∵x2﹣3x+1=0，
∴x2=3x﹣1，
∴原式==．
故选：A．
4．（2018 北碚区校级模拟）已知a2+3a﹣3=0，则代数式a2+的值是（　　）
A．3 B． C．15 D．9
【解答】解：由于a2+3a=3，
显然a≠0，
∴a﹣=﹣3
∴（a﹣）2=a2﹣6+
∴9=a2﹣6+
∴a2+=15
故选：C．
5．（2018 洪雅县模拟）已知a+=3，则（a﹣）2=（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
【解答】解：由于a+=3，
∴（a﹣）2
=a2﹣2+
=（a+）2﹣4
=9﹣4
=5
故选：B．
6．（2018 长沙模拟）已知x﹣=8，则x2+﹣6的值是（　　）
A．60 B．64 C．66 D．72
【解答】解：当x﹣=8时，
原式=x2+﹣2﹣4
=（x﹣）2﹣4
=82﹣4
=64﹣4
=60，
故选：A．
9

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