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第2讲 不等式及不等式组
知识点1 一元一次不等式的概念
像，，， ， ，，等，用不等号表示不等关系的式子叫做不等式.
不等式，，，，它们都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不等于0.像这样的不等式，叫做一元一次不等式.
【典例】
1.下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）是一元一次不等式的有_____个
【方法总结】
一元一次不等式必须满足的条件：
（1）只含有一个未知数（2）未知数最高次数是1（3）用不等号连接的式子.
2.已知（m+4）x|m|﹣3+6＞0是关于x的一元一次不等式，则m=_____．
【方法总结】
已知一个不等式是一元一次不等式，求解字母参数的值，只需令未知数的次数等于1，且未知项的系数不等于0，求出字母参数的值.
当不等式中未知数的次数高于1次时，只需令高次数项的系数等于0进行求解.
【随堂练习】
1．（2017春 南岗区校级期中）现有以下数学表达式：①﹣3＜0；②4x+3y＞0；③x=3；④x2+xy+y2；⑤x≠5；⑥x+2＞y+3．其中不等式有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．1个
　
2．（2017春 濉溪县期中）给出下面5个式子：①3＞0；②4x+3y≠0；③x=3；④x﹣1；⑤x+2≤3，其中不等式有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
知识点2 不等式的性质
不等式的基本性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.
不等式的基本性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
【典例】
1.设a＞b＞0，c为常数，给出下列不等式①a﹣b＞0；②ac＞bc；③＜；④b2＞ab，其中正确的不等式有_____个
【方法总结】
在利用不等式的基本性质2进行变形时，当不等式的两边都乘以（或除以）同一个字母，需要确定所乘（或除以）字母是正还是负，再确定不等号是否需要改变.
【随堂练习】
1．（2017春 江西月考）如果2x﹣2017＜2y﹣2017，那么2x___2y．（填“＞”“＜”或“=”）
　
2．（2018春 和平区期末）已知x﹣y=3，且x＞2，y＜1，则x+y的取值范围是_____．
　
3．（2018春 浦东新区期末）比较大小：如果a＜b，那么2﹣3a____2﹣3b．（填“＞”“＜”或“=”）
知识点3 不等式的解和解集
1.能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
2.一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.
【典例】
1下列各数中，不是不等式2（x﹣5）＜x﹣8的解的是______
A.-4 B.-5 C.-3 D.5
【方法总结】
1.判断一个数是否是一个不等式的解，只需把这个数代入这个不等式中，判断不等式是否依然成立.
2.正确区分不等式的解和解集的区别，它的解是使不等式成立的未知数的值，所有的解构成了它的解集.
3. 不等式的解集在数轴上的表示方法：
2.在数轴上表示下列不等式的解集：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【方法总结】
用数轴表示不等式的解集，关键是掌握：“＞”空心圆圈向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆圈向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
【随堂练习】
1．（2018春 宁晋县期末）如图，小雨把不等式3x+1＞2（x﹣1）的解集表示在数轴上，则阴影部分盖住的数字是____．
　
2．（2018春 樊城区期末）若不等式组没有解，则m的取值范围是____．
知识点4一元一次不等式的解法
1.解一元一次不等式的依据是：不等式的基本性质1和不等式的基本性质2；
2.解一元一次不等式的步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
【典例】
1.（1）解不等式x+＞﹣，并把解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式： ，并写出它的正整数解．
【方法总结】
1.解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程类似，但是，在不等式的两边都乘（或除以）同一个不等于0的数时，必须根据这个数是正数还是负数，正确运用不等式的基本性质2，特别注意，在不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，要改变不等号的方向.
2.求不等式的整数解时，可借助数轴，通过数轴表示的解集直接得到不等式的整数解.
【随堂练习】
1．（2018 桂林）解不等式＜x+1，并把它的解集在数轴上表示出来．
　
2．（2018 利辛县一模）解不等式并把解集在数轴上表示出来
＜x﹣
知识点5 一元一次不等式组
求不等式组解集的过程叫做解不等式组.
【典例】
1.解下列一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
（1）；（2）
【方法总结】
1.解不等式组的方法：先分别求出两个不等式的解集，再把它们的解集都表示在数轴上，并找到解集的公共部分作为不等式的解集.
2.取不等式组的解集时还可以采用非数轴法，即“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了”.
解集情况表示如下（假定）：
2.解不等式组，将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的最小整数解．
【随堂练习】
1．（2018 南开区三模）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得____；
（Ⅱ）解不等式②，得____；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为______．
　
2．是否存在整数k，使方程组的解中，x大于1，y不大于1，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．
综合运用
1.不等式的解集是_______
2.在式子：①﹣3＜0；②4x+3y＞0；③x=3；④x2+xy+y2；⑤x≠5中是不等式的有__________．（填序号）
3.若不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式，求m、n的取值．
4.若x＜y，比较2﹣3x与2﹣3y的大小，并说明理由．
5.根据“当x为任意正数时，都能使不等式x+3＞2成立”，能不能说“不等式x+3＞2的解集是x＞0”？为什么？
6.解不等式﹣＜1，并把解表示在数轴上．
7.求不等式的负整数解
8.解不等式组：，并在数轴上表示不等式组的解集．
9.解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
10.解不等式组：，并写出它的所有整数解．
8第2讲 不等式及不等式组
知识点1 一元一次不等式的概念
像，，， ， ，，等，用不等号表示不等关系的式子叫做不等式.
不等式，，，，它们都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不等于0.像这样的不等式，叫做一元一次不等式.
【典例】
1.下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）是一元一次不等式的有_____个
【答案】3
【解析】解：（1） ，只含一个未知数，且未知数的次数是1，是一元一次不等式；（2），含有两个未知数，不是一元一次不等式；
（3）可化简为，只含一个未知数，且未知数的次数是1，是一元一次不等式；
（4），未知数的次数是2，不是一元一次不等式；
（5），处于分母位置，次数不是1，不是一元一次不等式；
（6）x+2＜0，只含一个未知数，且未知数的次数是1，是一元一次不等式.
【方法总结】
一元一次不等式必须满足的条件：
（1）只含有一个未知数（2）未知数最高次数是1（3）用不等号连接的式子.
2.已知（m+4）x|m|﹣3+6＞0是关于x的一元一次不等式，则m=_____．
【答案】4
【解析】解：根据题意|m|﹣3=1且m+4≠0.
解得m=±4且m≠﹣4.
所以m=4.
【方法总结】
已知一个不等式是一元一次不等式，求解字母参数的值，只需令未知数的次数等于1，且未知项的系数不等于0，求出字母参数的值.
当不等式中未知数的次数高于1次时，只需令高次数项的系数等于0进行求解.
【随堂练习】
1．（2017春 南岗区校级期中）现有以下数学表达式：①﹣3＜0；②4x+3y＞0；③x=3；④x2+xy+y2；⑤x≠5；⑥x+2＞y+3．其中不等式有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．1个
【解答】解：③是等式，④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式．
不等式有①②⑤⑥，共4个．
故选：B．
　
2．（2017春 濉溪县期中）给出下面5个式子：①3＞0；②4x+3y≠0；③x=3；④x﹣1；⑤x+2≤3，其中不等式有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：①3＞0；②4x+3y≠0；⑤x+2≤3是不等式，
故选：B．
知识点2 不等式的性质
不等式的基本性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.
不等式的基本性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
【典例】
1.设a＞b＞0，c为常数，给出下列不等式①a﹣b＞0；②ac＞bc；③＜；④b2＞ab，其中正确的不等式有_____个
【答案】2
【解析】解：a＞b>0.
①根据不等式的基本性质1，在不等式的两边都减去b得，
a﹣b＞0．故①正确；
②当c<0时，根据不等式的基本性质2，在不等式两边都乘以c得，ac当c=0时，ac=bc，故②错误；
③∵a＞b＞0，
∴ab>0.
根据不等式的基本性质2，在不等式两边同时除以ab得，，即．故③正确；
④∵b>0，
根据不等式的基本性质1，在不等式两边都乘以b得，
，即b2＜ab，故④错误．
综上所述，正确的不等式是①③，共2个．
【方法总结】
在利用不等式的基本性质2进行变形时，当不等式的两边都乘以（或除以）同一个字母，需要确定所乘（或除以）字母是正还是负，再确定不等号是否需要改变.
【随堂练习】
1．（2017春 江西月考）如果2x﹣2017＜2y﹣2017，那么2x___2y．（填“＞”“＜”或“=”）
【解答】解：∵2x﹣2017＜2y﹣2017，
∴2x＜2y，
故答案为：＜．
　
2．（2018春 和平区期末）已知x﹣y=3，且x＞2，y＜1，则x+y的取值范围是_____．
【解答】解：∵x﹣y=3，
∴x=y+3，
又∵x＞2，
∴y+3＞2，
∴y＞﹣1．
又∵y＜1，
∴﹣1＜y＜1，…①
同理得：2＜x＜4，…②
由①+②得﹣1+2＜y+x＜1+4
∴x+y的取值范围是1＜x+y＜5；
故答案为：1＜x+y＜5．
　
3．（2018春 浦东新区期末）比较大小：如果a＜b，那么2﹣3a____2﹣3b．（填“＞”“＜”或“=”）
【解答】解：∵a＜b，
∴﹣3a＞﹣3b
∴2﹣3a＞2﹣3b．
故答案为：＞
知识点3 不等式的解和解集
1.能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
2.一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.
【典例】
1下列各数中，不是不等式2（x﹣5）＜x﹣8的解的是______
A.-4 B.-5 C.-3 D.5
【答案】D
【解析】解：A选项，当x=-4时，不等式的左边=2×（-4-5）=-18，右边=-4-8=-12，
左边<右边，x=-4是不等式的解；
B选项，当x=-5时，不等式的左边=2×（-5-5）=-20，右边=-5-8=-13，
左边<右边，x=-5是不等式的解；
C选项，当x=-3时，不等式的左边=2×（-3-5）=-16，右边=-3-8=-11，
左边<右边，x=-3是不等式的解；
D选项，当x=5时，不等式的左边=2×（5-5）=0，右边=5-8=-3，
左边>右边，x=5不是不等式的解.
故选：D．
【方法总结】
1.判断一个数是否是一个不等式的解，只需把这个数代入这个不等式中，判断不等式是否依然成立.
2.正确区分不等式的解和解集的区别，它的解是使不等式成立的未知数的值，所有的解构成了它的解集.
3. 不等式的解集在数轴上的表示方法：
2.在数轴上表示下列不等式的解集：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】略
【解析】解：（1）
画好数轴，找到表示-5的点，画一个实心圆点（表示包括-5这个点），则-5和它的左侧部分代表的就是.
（2）
画好数轴，找到表示0的点，画一个实心圆点（表示包括0这个点），则0和它右侧的部分代表的就是.
（3）
画好数轴，找到表示4的点，画一个空心圆圈（表示不包括4这个点），则4的左侧部分代表的就是.
（4）
画好数轴，找到表示的点，画一个空心圆圈（表示不包括这个点），则的右侧部分代表的就是.
【方法总结】
用数轴表示不等式的解集，关键是掌握：“＞”空心圆圈向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆圈向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
【随堂练习】
1．（2018春 宁晋县期末）如图，小雨把不等式3x+1＞2（x﹣1）的解集表示在数轴上，则阴影部分盖住的数字是____．
【解答】解：去括号，得
3x+1＞2x﹣2，
移项、合并同类项，得
x＞﹣3，
故答案为：﹣3．
　
2．（2018春 樊城区期末）若不等式组没有解，则m的取值范围是____．
【解答】解：∵不等式组没有解，
∴m﹣1≥1，
解得m≥2．
故答案为：m≥2．
知识点4一元一次不等式的解法
1.解一元一次不等式的依据是：不等式的基本性质1和不等式的基本性质2；
2.解一元一次不等式的步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
【典例】
1.（1）解不等式x+＞﹣，并把解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式： ，并写出它的正整数解．
【答案】略
【解析】解：（1）去分母得：14x+15＞﹣x，
移项得：14x+x＞﹣15，
合并同类项得：15x＞﹣15，
系数化为1得：x＞﹣1，
把不等式的解集在数轴上表示如下：
．
（2）解：去分母得：3（x﹣3）≥2（2x﹣5），
去括号得：3x﹣9≥4x﹣10，
移项得：3x﹣4x≥﹣10+9，
合并同类项得：﹣x≥﹣1，
系数化为1得：x≤1，
把不等式的解集在数轴上表示为：
所以不等式的正整数解为x=1．
【方法总结】
1.解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程类似，但是，在不等式的两边都乘（或除以）同一个不等于0的数时，必须根据这个数是正数还是负数，正确运用不等式的基本性质2，特别注意，在不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，要改变不等号的方向.
2.求不等式的整数解时，可借助数轴，通过数轴表示的解集直接得到不等式的整数解.
【随堂练习】
1．（2018 桂林）解不等式＜x+1，并把它的解集在数轴上表示出来．
【解答】解：去分母，得：5x﹣1＜3x+3，
移项，得：5x﹣3x＜3+1，
合并同类项，得：2x＜4，
系数化为1，得：x＜2，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
　
2．（2018 利辛县一模）解不等式并把解集在数轴上表示出来
＜x﹣
【解答】解：去分母得：2（2x﹣3）＜6x﹣3，
去括号得：4x﹣6＜6x﹣3，
移项合并得：﹣2x＜3，
解得：x＞﹣，
表示在数轴上，如图所示：
知识点5 一元一次不等式组
求不等式组解集的过程叫做解不等式组.
【典例】
1.解下列一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
（1）；（2）
【答案】略
【解析】解：（1）
解不等式①，得.
解不等式②，得.
在数轴上表示不等式①、②的解集：
∴不等式的解集为.
（2）
解不等式①，得x≥﹣3，
解不等式②，得：x＞2，
在数轴上表示不等式①、②的解集：
所以不等式组的解集为：x＞2．
【方法总结】
1.解不等式组的方法：先分别求出两个不等式的解集，再把它们的解集都表示在数轴上，并找到解集的公共部分作为不等式的解集.
2.取不等式组的解集时还可以采用非数轴法，即“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了”.
解集情况表示如下（假定）：
2.解不等式组，将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的最小整数解．
【答案】略
【解析】解：，
由①解得x≤3
由②解得x＞﹣2
不等式组的解集在数轴上表示如图所示
所以，原不等式组的解集为﹣2＜x≤3
不等式组的最小整数解为﹣1．
【随堂练习】
1．（2018 南开区三模）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得____；
（Ⅱ）解不等式②，得____；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为______．
【解答】解：解不等式①，得x≥2；
解不等式②，得 x＜4；
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
原不等式组的解集为：2≤x＜4；
故答案为：x≥2；x＜4；2≤x＜4
　
2．是否存在整数k，使方程组的解中，x大于1，y不大于1，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．
【解答】解：解方程组得
∵x大于1，y不大于1从而得不等式组
解之得2＜k≤5
又∵k为整数
∴k只能取3，4，5
答：当k为3，4，5时，方程组的解中，x大于1，y不大于1．
综合运用
1.不等式的解集是_______
【答案】x＜﹣2
【解析】解：﹣x+1＞2，
﹣x＞1，
x＜﹣2，
2.在式子：①﹣3＜0；②4x+3y＞0；③x=3；④x2+xy+y2；⑤x≠5中是不等式的有__________．（填序号）
【答案】①②⑤
【解析】解：依据不等式的定义用不等号连接表示不相等关系的式子是不等式，
分析可得这5个式子中，①②⑤是不等式，③是等式，④是代数式；
故答案为①②⑤．
3.若不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式，求m、n的取值．
【答案】略
【解析】解：化简不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3，得
-3≤mx2+(n-3)x﹣3.
∵它是关于x的一元一次不等式，
∴m=0，n﹣3≠0．
解得m=0，n≠3．
4.若x＜y，比较2﹣3x与2﹣3y的大小，并说明理由．
【答案】略
【解析】解：∵x＜y，
∴﹣x＞﹣y，
∴﹣3x＞﹣3y，
∴2﹣3x＞2﹣3y．
5.根据“当x为任意正数时，都能使不等式x+3＞2成立”，能不能说“不等式x+3＞2的解集是x＞0”？为什么？
【答案】略
【解析】解：不能说不等式x+3＞2的解集是x＞0．
因为根据不等式性质1，由x+3＞2可得x＞﹣1.
∴x＞﹣1为不等式x+3＞2的解集．
6.解不等式﹣＜1，并把解表示在数轴上．
【答案】略
【解析】解：去分母，得3（t-1）-5（2-t）<15，
去括号，得3t-3-10+5t<15，
移项，得3t+5t<15+3+10，
合并同类项，得8t<28
系数化为1，得t＜，
在数轴上表示为：
7.求不等式的负整数解
【答案】略
【解析】解：去分母，得2x≤6+3（x﹣1），
去括号，得2x≤6+3x﹣3，
移项，得2x﹣3x≤6﹣3，
合并同类项，得﹣x≤3，
系数化为1，得x≥﹣3，
∴不等式的负整数解为﹣3、﹣2、﹣1．
8.解不等式组：，并在数轴上表示不等式组的解集．
【答案】略
【解析】解：，
由①得，x≥，
由②得x≥﹣1，
把①、②的解集在数轴上表示如下：
∴该不等式组的解集为x≥．
9.解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】略
【解析】解：解不等式x﹣1≤2﹣2x，得：x≤1，
解不等式＞，得：x＞﹣3，
将解集表示在数轴上如下：
则不等式组的解集为﹣3＜x≤1．
10.解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】略
【解析】解：，
解不等式①，得x＞﹣3，
解不等式②，得x≤2，
所以不等式组的解集：﹣3＜x≤2，
它的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2．
　
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