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第3讲 平移
知识点1 平移的性质
1.平移：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种移动，叫做平移．
平移不改变图形的形状和大小，也不会改变图形的方向，但改变图形的位置；
图形平移的三要素：原位置、平移方向、平移距离．
2.平移的性质：
（1）对应点的连线平行（或共线）且相等；
（2）对应线段平行（或共线）且相等；
（3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致．
【典例】
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，将△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF，若AE=8cm，DB=2cm．
（1）求△ABC向右平移的距离AD的长；
（2）求四边形AEFC的周长．
2.如图，△ABC中，∠B=90°，把△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，若AB=4，BE=3，PE=2，求图中阴影部分的面积．
【方法总结】
两个图形平移后对应线段共线且有重叠部分，则重叠线段以外的线段长度相等；
一个图形平移后如果与原图有重叠部分，则重叠部分以外的两部分面积相等．
【随堂练习】
1．（2018春 泉州期末）如图，将△ABC沿着由点B到点C的方向平移到△DEF，已知AB=7，BC=6，EC=4，那么平移的距离为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．6
2．（2018春 绿园区期末）如图，若△DEF是由△ABC平移后得到的，已知点A、D之间的距离为1，CE=2，则BC=（　　）
A．3 B．1 C．2 D．不确定
3．（2018春 召陵区期末）如图，将直线11沿着AB的方向平移得到直线l2，若∠1=55°，则∠2的度数是（　　）
A．125° B．55° C．90° D．50°
知识点2 平移作图
1.平移作图的方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法
2.平移作图的步骤：
（1）找关键点；
（2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点；
（3）连接对应点，将各个对应点按照原图的顺序相连，即得到平移后的图形．
【典例】
1.如图，在每个小正方形边长为1的网格纸中，将格点△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．
（1）补全△A′B′C′；
（2）线段AA′与BB′的数量关系是_______，位置关系是_______．
（3）△A′B′C′的面积为_______．
2.如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）：
（1）画出△A′B′C′；
（2）画出△ABC的高BD；
（3）连接AA′、CC′，那么AA′与CC′的关系是________，线段AC扫过的图形的面积为________．
【方法总结】
作图将某个图形平移时，可以先根据要求或者已知点的运动轨迹来找出图形的移动法则，再按照移动法则将图形的各个顶点移动找出对应点相连；
第2题计算线段平移后扫过的面积可以利用割补法计算，先求出已知边长的矩形面积，再减去4个三角形的面积．
【随堂练习】
1．（2018春 昌平区期末）数学课上，老师要求同学们利用三角板画两条平行线．老师说苗苗和小华两位同学画法都是正确的，两位同学的画法如下：
苗苗的画法：
①将含30°角的三角尺的最长边与直线a重合，另一块三角尺最长边与含30°角的三角尺的最短边紧贴；
②将含30°角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线b，则b∥a．
小华的画法：
①将含30°角三角尺的最长边与直线a重合，用虚线做出一条最短边所在直线；
②再次将含30°角三角尺的最短边与虚线重合，画出最长边所在直线b，则b∥a．
请在苗苗和小华两位同学画平行线的方法中选出你喜欢的一种，并写出这种画图的依据．
答：我喜欢____同学的画法，画图的依据是________________
_______________．
知识点3 平移的运用
【典例】
1.某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（含台阶的最上层），已知这种地毯的批发价为每平方米40元，升旗台的台阶宽为3米，其侧面如图所示请你帮助测算一下，买地毯至少需要多少元？
2.如图，某居民小区有一长方形地，居民想在长方形地内修筑同样宽的两条小路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为多少平方米？
【方法总结】
当矩形被切割成台阶形状或被若干与边平行或垂直的线或小矩形分割后，通常通过平移将剩余部分转化成新的矩形，并用原矩形的长和宽来表示新矩形的长和宽，进而求出周长、面积．　
【随堂练习】
1．（2018春 卫辉市期末）如图，在多边形ABCDEFGH中，AB=5cm，BC=8cm，则该多边形的周长为（　　）
A．13cm B．26cm C．13cm或26cm D．无法确定
2．（2018春 雨花区校级期末）小明和小华在手工制作课上用铁丝制作楼梯模型，如图，那么他们两个人用的铁丝（　　）
A．小华用的多 B．小明用的多
C．两人用的一样多 D．不能确定谁用的多
3．（2018春 宿松县期末）如图所示，共有3个方格块，现在要把上面的方格块与下面的两个方格块合成一个长方形的整体，则应将上面的方格块（　　）
A．向右平移1格，向下3格 B．向右平移1格，向下4格
C．向右平移2格，向下4格 D．向右平移2格，向下3格
综合运用
1．（2018春 荔湾区期末）如图，△ABC沿直线BD向右平移，得到△ECD，若BD=10cm，则A、E两点的距离为（　　）
A．10cm B．5cm C．cm D．不能确定
2．（2017秋 临泉县期末）如图，将△ABC先向左平移3个单位得到△A1B1C1，再将△A1B1C1向下平移4个单位得到△A2B2C2．
①请你在图上画出△A1B1C1和△A2B2C2．
3．（2018春 岐山县期末）如图，有一块长32米，宽24米的草坪，其中有两条宽2米的直道把草坪分为四块，则草坪的面积是_____平方米．第3讲 平移
知识点1 平移的性质
1.平移：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种移动，叫做平移．
平移不改变图形的形状和大小，也不会改变图形的方向，但改变图形的位置；
图形平移的三要素：原位置、平移方向、平移距离．
2.平移的性质：
（1）对应点的连线平行（或共线）且相等；
（2）对应线段平行（或共线）且相等；
（3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致．
【典例】
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，将△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF，若AE=8cm，DB=2cm．
（1）求△ABC向右平移的距离AD的长；
（2）求四边形AEFC的周长．
【答案】解：（1）∵△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF，
∴AD=BE=CF，BC=EF=3cm，
∵AE=8cm，DB=2cm，
∴AD=BE=CF==3cm；
（2）四边形AEFC的周长=AE+EF+CF+AC=8+3+3+4=18cm．
2.如图，△ABC中，∠B=90°，把△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，若AB=4，BE=3，PE=2，求图中阴影部分的面积．
【答案】解：∵△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置
∴S△ABC=S△DEF，
∴S阴影部分+S△PEC=S梯形ABEP+S△PEC，
∴S阴影部分=S梯形ABEP=×（AB+PE）×BE=×（4+2）×3=9．
【方法总结】
两个图形平移后对应线段共线且有重叠部分，则重叠线段以外的线段长度相等；
一个图形平移后如果与原图有重叠部分，则重叠部分以外的两部分面积相等．
【随堂练习】
1．（2018春 泉州期末）如图，将△ABC沿着由点B到点C的方向平移到△DEF，已知AB=7，BC=6，EC=4，那么平移的距离为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．6
【解答】解：根据平移的性质，
易得平移的距离=BE=6﹣4=2，
故选：B．
2．（2018春 绿园区期末）如图，若△DEF是由△ABC平移后得到的，已知点A、D之间的距离为1，CE=2，则BC=（　　）
A．3 B．1 C．2 D．不确定
【解答】解：观察图形可知：△DEF是由△ABC沿BC向右移动BE的长度后得到的，根据对应点所连的线段平行且相等，得BE=AD=1．
所以BC=BE+CE=1+2=3，
故选：A．
3．（2018春 召陵区期末）如图，将直线11沿着AB的方向平移得到直线l2，若∠1=55°，则∠2的度数是（　　）
A．125° B．55° C．90° D．50°
【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠2=∠1，
∵∠1=55°，
∴∠2=55°，
故选：B．
知识点2 平移作图
1.平移作图的方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法
2.平移作图的步骤：
（1）找关键点；
（2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点；
（3）连接对应点，将各个对应点按照原图的顺序相连，即得到平移后的图形．
【典例】
1.如图，在每个小正方形边长为1的网格纸中，将格点△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．
（1）补全△A′B′C′；
（2）线段AA′与BB′的数量关系是_______，位置关系是_______．
（3）△A′B′C′的面积为_______．
【答案】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；
（2）线段AA′与BB′的数量关系是相等，位置关系是平行，
故答案为：相等，平行；
（3）△A′B′C′的面积为×4×4=8，
故答案为：8．
2.如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）：
（1）画出△A′B′C′；
（2）画出△ABC的高BD；
（3）连接AA′、CC′，那么AA′与CC′的关系是________，线段AC扫过的图形的面积为________．
【答案】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；
（2）如图所示，BD即为所求；
（3）如图所示，AA′与CC′的关系是平行且相等，
线段AC扫过的图形的面积为10×2﹣2××4×1﹣2××6×1=10，
故答案为：平行且相等，10．
【方法总结】
作图将某个图形平移时，可以先根据要求或者已知点的运动轨迹来找出图形的移动法则，再按照移动法则将图形的各个顶点移动找出对应点相连；
第2题计算线段平移后扫过的面积可以利用割补法计算，先求出已知边长的矩形面积，再减去4个三角形的面积．
【随堂练习】
1．（2018春 昌平区期末）数学课上，老师要求同学们利用三角板画两条平行线．老师说苗苗和小华两位同学画法都是正确的，两位同学的画法如下：
苗苗的画法：
①将含30°角的三角尺的最长边与直线a重合，另一块三角尺最长边与含30°角的三角尺的最短边紧贴；
②将含30°角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线b，则b∥a．
小华的画法：
①将含30°角三角尺的最长边与直线a重合，用虚线做出一条最短边所在直线；
②再次将含30°角三角尺的最短边与虚线重合，画出最长边所在直线b，则b∥a．
请在苗苗和小华两位同学画平行线的方法中选出你喜欢的一种，并写出这种画图的依据．
答：我喜欢____同学的画法，画图的依据是________________
_______________．
【解答】解：我喜欢苗苗同学的画法，画图的依据是：苗苗，同位角相等，两直线平行．
小华，内错角相等，两直线平行．
故答案为：苗苗，苗苗，同位角相等，两直线平行．
小华，内错角相等，两直线平行．
知识点3 平移的运用
【典例】
1.某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（含台阶的最上层），已知这种地毯的批发价为每平方米40元，升旗台的台阶宽为3米，其侧面如图所示请你帮助测算一下，买地毯至少需要多少元？
【答案】解：如图：
利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为6.4米，3.8米，
∴地毯的长度为6.4+3.8+3.8=14米，
地毯的面积为14×3=42平方米，
∴买地毯至少需要42×40=1680元．
答：买地毯需要1680元．
2.如图，某居民小区有一长方形地，居民想在长方形地内修筑同样宽的两条小路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为多少平方米？
【答案】解：平移后得绿化部分宽为（20﹣2）米，长为（32﹣2）米，
面积为（20﹣2）×（32﹣2）=18×30=540（平方米）．
答：则绿化的面积为540平方米．
【方法总结】
当矩形被切割成台阶形状或被若干与边平行或垂直的线或小矩形分割后，通常通过平移将剩余部分转化成新的矩形，并用原矩形的长和宽来表示新矩形的长和宽，进而求出周长、面积．　
【随堂练习】
1．（2018春 卫辉市期末）如图，在多边形ABCDEFGH中，AB=5cm，BC=8cm，则该多边形的周长为（　　）
A．13cm B．26cm C．13cm或26cm D．无法确定
【解答】解：由题意得，AH+GF+ED=BC=8cm，
HG+FE+DC=AB=5cm，
∴该多边形的周长=AB+BC+（AH+GF+ED）+（HG+FE+DC）=26cm，
故选：B．
2．（2018春 雨花区校级期末）小明和小华在手工制作课上用铁丝制作楼梯模型，如图，那么他们两个人用的铁丝（　　）
A．小华用的多 B．小明用的多
C．两人用的一样多 D．不能确定谁用的多
【解答】解：因为经过平移两个图形可变为两个边长相等长方形，所以两人用的一样多．
故选：C．
3．（2018春 宿松县期末）如图所示，共有3个方格块，现在要把上面的方格块与下面的两个方格块合成一个长方形的整体，则应将上面的方格块（　　）
A．向右平移1格，向下3格 B．向右平移1格，向下4格
C．向右平移2格，向下4格 D．向右平移2格，向下3格
【解答】解：上面的图案的最右边需向右平移2格才能与下面图案的最右边在一条直线上，最下边需向下平移4格才能与下面图案的最下面重合，故选C．
综合运用
1．（2018春 荔湾区期末）如图，△ABC沿直线BD向右平移，得到△ECD，若BD=10cm，则A、E两点的距离为（　　）
A．10cm B．5cm C．cm D．不能确定
【解答】解：由平移可得：BC=CD，AE=BC，
∵BD=10cm，
∴BC=AE=5cm，
故选：B．
2．（2017秋 临泉县期末）如图，将△ABC先向左平移3个单位得到△A1B1C1，再将△A1B1C1向下平移4个单位得到△A2B2C2．
①请你在图上画出△A1B1C1和△A2B2C2．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1和△A2B2C2即为所求；
3．（2018春 岐山县期末）如图，有一块长32米，宽24米的草坪，其中有两条宽2米的直道把草坪分为四块，则草坪的面积是_____平方米．
【解答】解：S=32×24﹣2×24﹣2×32+2×2=660（m2）．
故答案为：660．

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