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第4讲 旋转
知识点1 旋转
旋转的概念
把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.
要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.
旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；　　
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；　
　(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△).
要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.
　
1．（2018 金华）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是（　　）
A．55° B．60° C．65° D．70°
2．（2018 宁河县一模）如图，点P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕着B沿顺时针方向旋转到与△CBP′重合，若PB=3，则PP′的长为（　　）
A．2 B．3 C．3 D．无法确定
　　
3．（2018 南浔区一模）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，若旋转角为20°，则∠1为（　　）
A．110° B．120° C．150° D．160°
4．（2018 丰台区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，1），如果将线段OA绕点O逆时针方向旋转90°，那么点A的对应点的坐标为（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣2，1） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1）
　　
5．（2018 河北模拟）将Rt△AOB 如图放置在直角坐标系中，并绕O点顺时针旋转90°至△COD的位置，已知A（﹣2，0），∠ABO=30°．则△AOB旋转过程中所扫过的图形的面积为（　　）
A． B． C． D．
　
6．（2018 临沂）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．
（1）如图，当点E在BD上时．求证：FD=CD；
（2）当α为何值时，GC=GB？画出图形，并说明理由．
　
　
7．（2018 乐陵市二模）如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AE（AB＜AE）在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α．在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重合，连接BE、DG．
（1）当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG；
（2）如图3，如果α=45°，AB=2，AE=4，求点G到BE的距离．
知识点2中心对称图形
1.中心对称：　把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
　　这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；
（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .
2.中心对称图形：　把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；
（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.
　
1．（2018 石家庄一模）把图中阴影部分的小正方形移动一个，使它与其余四个阴影部分的正方形组成一个既是轴对称又是中心对称的新图形，这样的移法，正确的是（　　）
A．6→3 B．7→16 C．7→8 D．6→15
　
2．（2017 河北）图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
3．（2017秋 常熟市期末）已知点P（2m﹣1，﹣m+3）关于原点的对称点在第三象限，则m的取值范围是　______．
　　
4．（2018春 灌阳县期中）如图，矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称，
（1）四边形BDEG是菱形吗？请说明理由．
（2）若矩形ABCD面积为8，求四边形BDEG的面积．
　
知识点3图案设计
在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
要点诠释：　
作图的步骤：
(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
　　(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
　　(4)连接所得到的各对应点.
1．（2018 利辛县模拟）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点的坐标分别为A（6，3），B（0，5）．
（1）画出△OAB绕原点O逆时针方向旋转90°后得到的△OA1B1；
（2）画出△OAB关于原点O的中心对称图形△OA2B2；
（3）猜想：∠OAB的度数为多少？并说明理由．
　
2．（2018 黑龙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C，平移ABC，若A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；
（2）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
3．（2018 合肥模拟）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣4，2）、B（0，4）、C（0，2），
（1）画出△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C；平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；
（2）△A1B1C和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为_______．
　
4．（2018 利辛县一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A（﹣3，4），B（﹣4，2），C（﹣2，1），△ABC绕原点顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，△A1B1C1向左平移2个单位，再向下平移5个单位得到△A2B2C2．
（1）画出△A1B1C1和△A2B2C2；
（2）写出点A的对应点A1的坐标_____，A2的坐标______．
（3）P（a，b）是△ABC的AC边上一点，△ABC经旋转、平移后点P的对应点分别为P1、P2，请写出点P2的坐标．
　
5．（2018 朝阳区模拟）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点分别为A（1，1），B（2，4），C（4，2）．
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）点 C关于x轴的对称点C2的坐标为_______；
（3）点C2向左平移m个单位后，落在△A1B1C1内部，写出一个满足条件的m的值：_____．
　
6．（2018 合肥模拟）如图，根据要求画图．
（1）把△ABC向右平移5个方格，画出平移的图形．
（2）以点B为旋转中心，把△ABC顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形．
　
9第4讲 旋转
知识点1 旋转
旋转的概念
把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.
要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.
旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；　　
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；　
　(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△).
要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.
　
1．（2018 金华）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是（　　）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．
∴∠DCE=∠ACB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，AC=CE，
∴∠ACD=90°﹣20°=70°，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠ADC+∠EDC=180°，
∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°，
∴∠ADC=∠E+20°，
∵∠ACE=90°，AC=CE
∴∠DAC+∠E=90°，∠E=∠DAC=45°
在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°，
即45°+70°+∠ADC=180°，
解得：∠ADC=65°，
故选：C．
　　
2．（2018 宁河县一模）如图，点P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕着B沿顺时针方向旋转到与△CBP′重合，若PB=3，则PP′的长为（　　）
A．2 B．3 C．3 D．无法确定
【解答】解：由旋转的性质，得
BP′=BP=3，∠PBP′=∠ABC=90°．
在Rt△PBP′中，由勾股定理，得
PP′===3，
故选：B．
　　
3．（2018 南浔区一模）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，若旋转角为20°，则∠1为（　　）
A．110° B．120° C．150° D．160°
【解答】解：设C′D′与BC交于点E，如图所示．
∵旋转角为20°，
∴∠DAD′=20°，
∴∠BAD′=90°﹣∠DAD′=70°．
∵∠BAD′+∠B+∠BED′+∠D′=360°，
∴∠BED′=360°﹣70°﹣90°﹣90°=110°，
∴∠1=∠BED′=110°．
4．（2018 丰台区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，1），如果将线段OA绕点O逆时针方向旋转90°，那么点A的对应点的坐标为（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣2，1） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1）
【解答】解：如图作AF⊥x轴于F，BE⊥x轴于E．
∵∠OEB=∠AOB=∠AFO=90°，
∴∠BOE+∠AOF=90°，∠AOF+∠OAF=90°，
∴∠BOE=∠OAF，∵OB=OA，
∴△BOE≌△OAE，
∴OE=AF=1，BE=OF=2，
∴B（﹣1，2）
故选：A．
　　
5．（2018 河北模拟）将Rt△AOB 如图放置在直角坐标系中，并绕O点顺时针旋转90°至△COD的位置，已知A（﹣2，0），∠ABO=30°．则△AOB旋转过程中所扫过的图形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵A（﹣2，0），
∴OA=2，
∵∠ABO=30°，
∴OB=2，∠BAO=60°，
∴△AOB旋转过程中所扫过的图形的面积=S△BC′O+S扇形AOC′+S扇形BOD=1×2++=π+，
故选：D．
　
6．（2018 临沂）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．
（1）如图，当点E在BD上时．求证：FD=CD；
（2）当α为何值时，GC=GB？画出图形，并说明理由．
【解答】解：（1）由旋转可得，AE=AB，∠AEF=∠ABC=∠DAB=90°，EF=BC=AD，
∴∠AEB=∠ABE，
又∵∠ABE+∠GDE=90°=∠AEB+∠DEG，
∴∠EDG=∠DEG，
∴DG=EG，
∴FG=AG，
又∵∠DGF=∠EGA，
∴△AEG≌Rt△FDG（SAS），
∴DF=AE，
又∵AE=AB=CD，
∴CD=DF；
（2）如图，当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，
分两种情况讨论：
①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，
∵GC=GB，
∴GH⊥BC，
∴四边形ABHM是矩形，
∴AM=BH=AD=AG，
∴GM垂直平分AD，
∴GD=GA=DA，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠DAG=60°，
∴旋转角α=60°；
②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，
∴∠DAG=60°，
∴旋转角α=360°﹣60°=300°．
　
　
7．（2018 乐陵市二模）如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AE（AB＜AE）在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α．在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重合，连接BE、DG．
（1）当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG；
（2）如图3，如果α=45°，AB=2，AE=4，求点G到BE的距离．
【解答】解：（1）由旋转的性质可知：∠BAE=∠DAG，由正方形的性质可知：AB=AD，AE=AG．
∵在△ABE和△ADG中，，
∴△ABE≌△ADG．
∴BE=DG．
（2）连接GE、BG，延长AD交GE与H．
当α=45°时，则∠BAD=45°．
∵∠BAD=∠EAG=90°．
∴∠EAH=∠GAH=45°．
又∵AE=AG，
∴AH⊥GE．
又∵AH⊥AB，∠EAH=45°，
∴△AHE为等腰直角三角形．
∴EH=AH=AE=4．
∴EG=2EH=8．
∴S△BEG=EG AH=×8×4=16．
设点G到BE的距离为h．BE==2
S△BEG=EB h=16，即×2 h=16，解得h=．
∴点G到BE的距离为．
知识点2中心对称图形
1.中心对称：　把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
　　这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；
（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .
2.中心对称图形：　把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；
（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.
　
1．（2018 石家庄一模）把图中阴影部分的小正方形移动一个，使它与其余四个阴影部分的正方形组成一个既是轴对称又是中心对称的新图形，这样的移法，正确的是（　　）
A．6→3 B．7→16 C．7→8 D．6→15
【解答】解：阴影部分的小正方形6→15，能使它与其余四个阴影部分的正方形组成一个既是轴对称又是中心对称的新图形．
故选：D．
　
2．（2017 河北）图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【解答】解：当正方形放在③的位置，即是中心对称图形．
故选：C．
3．（2017秋 常熟市期末）已知点P（2m﹣1，﹣m+3）关于原点的对称点在第三象限，则m的取值范围是　______．
【解答】解：∵点P（2m﹣1，﹣m+3）关于原点的对称点在第三象限，
∴点P（2m﹣1，﹣m+3）在第一象限，
∴，
解得：＜m＜3，
故答案为：＜m＜3．
　　
4．（2018春 灌阳县期中）如图，矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称，
（1）四边形BDEG是菱形吗？请说明理由．
（2）若矩形ABCD面积为8，求四边形BDEG的面积．
【解答】解：（1）四边形BDEG是菱形．
∵矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称，
∴AB=AE，AD=AG，BE⊥DG，
∴根据勾股定理得：BD2=DE2=EG2=GB2=AB2+AD2，
∴四边形BDEG是菱形．
（2）若矩形ABCD面积为8，则S△ABD=SABCD=4，
∴根据菱形性质：
四边形BDEG的面积为SBDEG=4S△ABD=16．
　
知识点3图案设计
在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
要点诠释：　
作图的步骤：
(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
　　(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
　　(4)连接所得到的各对应点.
1．（2018 利辛县模拟）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点的坐标分别为A（6，3），B（0，5）．
（1）画出△OAB绕原点O逆时针方向旋转90°后得到的△OA1B1；
（2）画出△OAB关于原点O的中心对称图形△OA2B2；
（3）猜想：∠OAB的度数为多少？并说明理由．
【解答】解：（1）如图所示，△OA1B1即为所求；
（2）如图所示△OA2B2即为所求；
（3）∠OAB=45°，
理由：∵A1（﹣3，6），A（6，3）
∴OA=OA1=3，
又∵∠AOA1=90°，
∴△A1AO为等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°．
　
2．（2018 黑龙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C，平移ABC，若A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；
（2）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示，△A2B2C2如图所示；
（2）如图，旋转中心为（，﹣1）；
3．（2018 合肥模拟）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣4，2）、B（0，4）、C（0，2），
（1）画出△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C；平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；
（2）△A1B1C和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为_______．
【解答】解：（1）△A1B1C如图所示，
△A2B2C2如图所示；
（2）如图，对称中心为（2，﹣1）．
　
4．（2018 利辛县一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A（﹣3，4），B（﹣4，2），C（﹣2，1），△ABC绕原点顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，△A1B1C1向左平移2个单位，再向下平移5个单位得到△A2B2C2．
（1）画出△A1B1C1和△A2B2C2；
（2）写出点A的对应点A1的坐标_____，A2的坐标______．
（3）P（a，b）是△ABC的AC边上一点，△ABC经旋转、平移后点P的对应点分别为P1、P2，请写出点P2的坐标．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1和△A2B2C2即为所求；
（2）点A的对应点A1的坐标（4，3），A2的坐标（2，﹣2）；
（3）由图可得：P1 （b，﹣a），P2（b﹣2，﹣a﹣5）．
故答案为：（4，3）；（2，﹣2）
　
5．（2018 朝阳区模拟）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点分别为A（1，1），B（2，4），C（4，2）．
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）点 C关于x轴的对称点C2的坐标为_______；
（3）点C2向左平移m个单位后，落在△A1B1C1内部，写出一个满足条件的m的值：_____．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）点C2的坐标为：（4，﹣2）．
故答案为：（4，﹣2）；
（3）答案不唯一．如：6．
　
6．（2018 合肥模拟）如图，根据要求画图．
（1）把△ABC向右平移5个方格，画出平移的图形．
（2）以点B为旋转中心，把△ABC顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形．
【解答】解：如图所示，（1）△A1B1C1即为平移后的图形；
（2）△A2BC2即为旋转后的图形．
　
　
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