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2.3.1　全称量词命题与存在量词命题
学习目标　1.理解全称量词、全称量词命题的定义.2.理解存在量词、存在量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．
导语
同学们，生活中，我们经常听到“全体起立，所有人到操场集合”，也有“南使孤帆远，东风任意吹”这种体现出任意的句子的诗情画意；我们还经常听到“有的同学考上了清华大学，有的同学没有交作业”，还有“我该如何存在”这种拷问心灵的歌词．而这里出现了一些在我们数学中非常重要的量词，“全体、所有的、任意的、有的、存在”等，今天我们就对含有这些量词的命题展开讨论．
一、全称量词命题与存在量词命题的识别
问题　下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？
(1)x>3；
(2)2x＋1＝3；
(3)对所有的x∈R，x>3；
(4)存在一个x∈R，使2x＋1＝3.
提示　语句(1)(2)中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“存在一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题．
知识梳理
全称量词命题 存在量词命题
量词 所有、任意、每一个 存在、有的、有一个
符号
命题 含有全称量词的命题称为全称量词命题 含有存在量词的命题称为存在量词命题
一般形式 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
注意点：
(1)从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题；存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题．
(2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来．
例1　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用量词符号“ ”或“ ”表述下列命题．
(1)对任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立；
(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
(3)有些整数既能被2整除，又能被3整除；
(4)某个四边形不是平行四边形．
解　(1)全称量词命题，表示为 x∈{x|x>－1},3x＋4>0.
(2)全称量词命题，表示为 a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．
(3)存在量词命题，表示为 x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除．
(4)存在量词命题，表示为 x∈{y|y是四边形}，x不是平行四边形．
反思感悟　判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的方法
判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词．由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题．
跟踪训练1　判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)矩形的对角线不相等；
(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
(4)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；
(5)方程3x－2y＝10有整数解．
解　(1)可以改为所有的凸多边形的外角和都等于360°，
故为全称量词命题．
(2)可以改为所有矩形的对角线都不相等，
故为全称量词命题．
(3)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，
故为全称量词命题．
(4)含存在量词“有些”，故为存在量词命题．
(5)可改写为存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立，故为存在量词命题．
二、含量词命题的真假判断
例2　判断下列命题的真假．
(1) x∈Z，x3<1；
(2)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(3) x∈N，x2>0.
解　(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，
所以“ x∈Z，x3<1”是真命题．
(2)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．
(3)因为0∈N,02＝0，所以命题“ x∈N，x2>0”是假命题．
反思感悟　判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言：
(1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素，使命题为真即可；否则命题为假．
(2)要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合中的每一个元素，命题都为真；但要判定一个全称量词命题为假，只要在给定的集合中找到一个元素，使命题为假．
跟踪训练2　试判断下列命题的真假：
(1) x∈R，x2＋1≥2；
(2)直角坐标系内任何一条直线都与x轴有交点；
(3)存在一对整数x，y，使得2x＋4y＝6.
解　(1)取x＝0，则x2＋1＝1<2，
所以“ x∈R，x2＋1≥2”是假命题．
(2)与x轴平行的直线与x轴无交点，
所以该命题为假命题．
(3)取x＝3，y＝0，则2x＋4y＝6，故为真命题．
三、由含量词命题的真假求参数的范围
例3　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠ ，若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围．
解　由于命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，
所以B A，B≠ ，所以
解得2≤m≤3.
延伸探究
1．把本例中命题p改为“ x∈A，x∈B”，求m的取值范围．
解　p为真，则A∩B≠ ，
因为B≠ ，所以m≥2.
所以或
解得2≤m≤4.
2．把本例中的命题p改为“ x∈A，x∈B”，是否存在实数m，使命题p是真命题？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．
解　由于命题p：“ x∈A，x∈B”是真命题，
所以A B，B≠ ，所以
解得m∈ ，
所以不存在实数m，使命题p是真命题．
反思感悟　依据含量词命题的真假求参数取值范围问题的求解方法
(1)首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意．
(2)其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围．
跟踪训练3　若命题“ x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题，求实数a的取值范围．
解　∵命题“ x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题，∴方程x2－4x＋a＝0存在实数根，
则Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4.
1．知识清单：
(1)全称量词命题、存在量词命题的概念．
(2)含量词的命题的真假判断．
(3)依据含量词的命题的真假求参数的取值范围．
2．常见误区：有些命题省略了量词；全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分”．
1．下列命题中是存在量词命题的是(　　)
A．任何一个实数乘以0都等于0
B．任意一个负数都比零小
C．每一个正方形都是矩形
D．存在没有最大值的二次函数
答案　D
解析　D选项是存在量词命题．
2．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　)
A．每个二次函数的图象都开口向上
B．存在一条直线与已知直线不平行
C．对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤b
D．存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立
答案　C
解析　B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象开口向下，也应排除，故应选C.
3．命题“有些负数满足不等式1＋x>0”用“ ”写成存在量词命题为__________________．
答案　 x<0,1＋x>0
解析　存在量词命题“存在集合M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为“ x∈M，p(x)”．
4．若一次函数y＝kx＋2(x∈R)的图象恒过第三象限，则实数k的取值范围为________．
答案　{k|k>0}
解析　一次函数y＝kx＋2的图象过点(0,2)，若恒过第三象限，则k>0.
1．下列命题是“ x∈R，x2>3”的另一种表述方式的是(　　)
A．有一个x∈R，使得x2>3
B．对有些x∈R，使得x2>3
C．任选一个x∈R，使得x2>3
D．至少有一个x∈R，使得x2>3
答案　C
解析　“ ”表示“任意的”．
2．(多选)下列命题是全称量词命题的是(　　)
A．任意一个自然数都是正整数
B．有的菱形是正方形
C．梯形有两边平行
D． x∈R，x2＋1＝0
答案　AC
解析　选项A中的命题含有全称量词“任意”，是全称量词命题，选项C中，“梯形有两边平行”是全称量词命题．
3．(多选)下列命题中是存在量词命题的是(　　)
A．有些自然数是偶数
B．正方形是菱形
C．能被6整除的数也能被3整除
D．存在x∈R，使得|x|≤0
答案　AD
解析　选项A是存在量词命题；选项B可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；选项C可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而选项D是存在量词命题．
4．下列命题中是假命题的是(　　)
A． x∈R，|x|＝0 B． x∈R,2x－10＝1
C． x∈R，x3>0 D． x∈R，x2＋1>0
答案　C
解析　当x＝0时，x3＝0，故选项C为假命题．
5．下列命题中既是全称量词命题又是真命题的是(　　)
A． x∈R,2x＋1>0
B．若2x为偶数，则x∈N
C．菱形的四条边都相等
D．π是无理数
答案　C
解析　A项，是全称量词命题，但不是真命题，
故A不正确；
B项，是假命题，也不是全称量词命题，
故B不正确；
C项，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；
D项，是真命题，但不是全称量词命题，
故D不正确．
6．已知命题p： x∈R，x2＋2x－a>0.若p为真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．a>－1 B．a<－1
C．a≥－1 D．a≤－1
答案　B
解析　依题意不等式x2＋2x－a>0对x∈R恒成立，
所以必有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.
7．下列命题，是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是________．(填序号)
①正方形的四条边相等；
②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
答案　①②③　④
解析　①②③是全称量词命题，④是存在量词命题．
8．若“ x∈[1,2]，x－a≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
答案　(－∞，1)
解析　由题意得命题“ x∈[1,2]，x－a≤0”为真命题，即(x－a)min≤0，
∴1－a≤0，∴a≥1.
9．判断下列命题的真假．
(1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；
(2)存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立．
解　(1)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为， 就不能用正有理数表示．
(2)假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．
10．判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性．
(1)对所有的正实数t，为正且 (2)存在实数x，使得x2－3x－4＝0；
(3)存在实数对(x，y)，使得3x－4y－5>0；
(4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
解　(1)为全称量词命题，且为假命题，
如取t＝1，则(2)为存在量词命题，且为真命题，
因为判别式Δ＝b2－4ac＝25>0.
(3)为存在量词命题，且为真命题，如取实数对(2,0)，则3x－4y－5>0成立．
(4)为全称量词命题，且为真命题．
11．(多选)下列命题中正确的是(　　)
A． x∈R，x≤0
B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数
C． x∈{x|x是无理数}，x＋5是无理数
D．存在x∈R，使得x2＋1<2x
答案　ABC
解析　A中， x∈R，x≤0，正确；
B中，至少有一个整数，它既不是合数也不是质数，正确，例如数1满足条件；
C中， x∈{x|x是无理数}，x＋5是无理数，正确，例如x＝π；
D中，x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，错误．
12．已知命题p： x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．04
C．a<0 D．a≥4
答案　B
解析　∵p是假命题，∴方程x2＋4x＋a＝0没有实数根，即Δ＝16－4a<0，即a>4.
13．能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab”是真命题的一组有序数对(a，b)为________．
答案　(答案不唯一)
解析　存在两个不相等的正数a，b，如a＝，b＝，此时a－b＝ab是真命题．
14．已知命题p：“ x∈R，(a－3)x＋1＝0”是真命题，则实数a的取值集合是________．
答案　{a|a≠3，a∈R}
解析　因为“ x∈R，(a－3)x＋1＝0”是真命题，所以关于x的方程(a－3)x＋1＝0有实数解，所以a－3≠0，即a≠3，所求实数a的取值集合是{a|a≠3，a∈R}．
15．已知A＝{x|1≤x≤2}，命题“ x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
答案　C
解析　当该命题是真命题时，
只需a≥(x2)max，x∈A＝{x|1≤x≤2}．
又y＝x2在1≤x≤2上的最大值是4，
所以a≥4.
因为a≥4 a≥5，a≥5 a≥4.
所以命题“ x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是a≥5.
16．若 x∈R，函数y＝x2＋mx－1－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．
解　因为函数y＝x2＋mx－1－a的图象和x轴恒有公共点，
所以Δ＝m2＋4(1＋a)≥0恒成立，即m2＋4a＋4≥0恒成立．
设y1＝x2＋4a＋4，则可转化为此二次函数的图象恒在x轴上方(或图象顶点在x轴上)的充要条件是Δ1＝02－4(4a＋4)≤0，可得a≥－1.
综上所述，实数a的取值范围是{a|a≥－1}.

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