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学习目标　1.理解命题、定理、定义的概念.2.会判断命题的真假.3.能把命题改写成“若p，则q”的形式．
导语
在我们的日常生活中，经常涉及到逻辑上的问题．无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要用逻辑用语表达自己的思想，需要用逻辑关系进行判断和推理．因此，正确使用逻辑用语和逻辑关系是现代社会公民应该具备的基本素质．
一、命题、定理、定义的概念
问题　下列语句的表述形式有什么特点？你能判断它们的真假吗？
(1)若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；
(2)2＋4＝6；
(3)若x2＝1，则x＝1；
(4)2是质数．
提示　都是陈述句，其中(1)(2)(4)为真，(3)为假．
知识梳理
1．在数学中，我们将可判断真假的陈述句叫作命题．
2．在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理．
3．定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．
注意点：
(1)命题要求能判断真假，且为陈述句．
(2)判断为真的命题是真命题，判断为假的命题是假命题，一个命题不能同时既是真命题又是假命题．
(3)命题可用小写字母表示，如p，q….
(4)定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别．
例1　下列语句：
(1)是无限循环小数；
(2)x2－3x＋2＝0；
(3)当x＝4时，2x>0；
(4)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
(5)一个数不是合数就是素数；
(6)作△ABC≌△A′B′C′；
(7)二次函数的图象太美了！
(8)4是集合{1,2,3}中的元素．
其中是命题的是______________．(填序号)
答案　(1)(3)(5)(8)
解析　(1)是命题，能判断真假；(2)不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前， 我们无法判断语句的真假；(3)是命题；(4)不是命题，不是陈述句；(5)是命题；(6)不是命题；(7)不是命题；(8)是命题．故答案为(1)(3)(5)(8)．
反思感悟　判断一个语句是否是命题的两个关键点
(1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．
(2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题．提醒：若语句中含有变量，但变量没有给出范围，则该语句不是命题．
跟踪训练1　(1)下列语句能作为命题是(　　)
A．3比5大 B．太阳和月亮
C．高二年级的学生 D．x2＋y2＝0
答案　A
解析　根据命题定义知，能判断真假的陈述句叫作命题，故A正确，B，C不是陈述句，D不能判断真假．
(2)(多选)下列语句中，是命题的有(　　)
A．3>2
B．作射线AB
C．x2－1＝0有一个根是－1
D．x<1
答案　AC
解析　B是祈使句，故不是命题，D无法判断真假，故不是命题，AC是命题．
二、命题的形式
知识梳理
数学中，许多命题可表示为“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式，其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论．
注意点：
确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．
例2　将下列命题改写成“若p，则q”的形式．
(1)6是12和18的公约数；
(2)当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；
(3)四条边相等的四边形是菱形；
(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.
解　(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数．
(2)若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根．
(3)若一个四边形的四条边相等，则这个四边形为菱形．
(4)已知x，y是非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2.
反思感悟　把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐晦，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式不唯一．
跟踪训练2　指出下列命题中的条件p和结论q.
(1)若x＋y＝0，则x，y互为相反数；
(2)如果x∈A，则x∈A∩B；
(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.
解　(1)p：x＋y＝0，q：x，y互为相反数．
(2)p：x∈A，q：x∈A∩B.
(3)p：x＝2，q：x2＋x－6＝0.
三、判断命题的真假
例3　(1)(多选)给定下列命题为真命题的有(　　)
A．若xy＝0，则|x|＋|y|＝0
B．若a>b，则a＋c>b＋c
C．菱形的对角线互相垂直
D．若a，b是无理数，则a＋b是无理数
答案　BC
解析　A项，由xy＝0得到x＝0或y＝0，
所以|x|＋|y|＝0不一定成立，是假命题；
B项，当a>b时，有a＋c>b＋c成立，所以是真命题；
C项，菱形的对角线一定互相垂直，是真命题．
D项，若a，b互为相反数，则a＋b＝0，是假命题．
(2)若“方程ax2－3x＋2＝0有两个不相等的实数根”是真命题，则a的取值范围是________．
答案　a<且a≠0
解析　由题意知
解得a<且a≠0.
反思感悟　一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可．
跟踪训练3　(1)下列命题为真命题的是(　　)
A．若＝，则x＝y
B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝
D．若x答案　A
解析　A正确；B中，由x2＝1，得x＝±1，所以B是假命题；C中，当x＝y<0时，结论不成立，所以C是假命题；D中，当x＝－1，y＝1时，结论不成立，所以D是假命题．
(2)已知不等式x＋3≥0的解集是A，若a∈A是假命题，则a的取值范围是(　　)
A．a≥－3 B．a>－3
C．a≤－3 D．a<－3
答案　D
解析　∵x＋3≥0，∴A＝{x|x≥－3}，
又∵a∈A是假命题，即a A，∴a<－3.
1．知识清单：
(1)命题、定理、定义的概念．
(2)命题“若p，则q”的结构形式．
(3)判断命题的真假．
2．方法归纳：间接法．
3．常见误区：命题的条件隐晦时，改写成命题的“若p，则q”的结构形式时容易出错．
1．下列语句为命题的是(　　)
A．x2－1＝0 B．2＋3＝8
C．你会说英语吗？ D．这是一棵大树
答案　B
解析　A中x不确定，x2－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假．
2．(多选)下列命题是真命题的为(　　)
A．{x|x3＋1＝0，x∈N}不是空集
B．若a<0，则|a|>0
C．相似三角形的对应角相等
D．若整数m是偶数，则m是合数
答案　BC
解析　A项错误，x3＋1＝0得x＝－1.B，C项正确．D项错误，2是偶数，但不是合数．
3．命题：“若x>0，则|x|≥0”为________命题．(填“真”或“假”)
答案　真
解析　若x>0，则|x|>0，满足|x|≥0，
所以命题：“若x>0，则|x|≥0”为真命题．
4．命题“有两个角互余的三角形是直角三角形”的条件是__________________，结论是____________________．
答案　三角形有两个角互余　这个三角形是直角三角形
1．下列语句是命题的是(　　)
①三角形内角和等于180°；②2>3；③一个数不是正数就是负数；④x>2；⑤2022央视春晚真精彩啊！
A．①②③ B．①③④
C．①②⑤ D．②③⑤
答案　A
解析　①②③是陈述句，且能判断真假，因此是命题，④不能判断真假，⑤是感叹句，故④⑤不是命题．
2．(多选)下列语句中，是命题的是(　　)
A．|x＋2| B．－5∈Z
C．π R D．{0}∈N
答案　BCD
解析　A不能判断对错，∴A不是命题；B能判断对错，∴B是命题，且是真命题；C能判断对错，∴C是命题，且是假命题；D能判断对错，∴D是命题，且是假命题．
3．“素数都是奇数”写成“若p，则q”的形式为(　　)
A．若一个数是素数，则一定是奇数
B．任一个素数都是奇数
C．若一个实数是奇数，则一定是素数
D．所有的奇数都是素数
答案　A
4．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是(　　)
A．这个四边形的对角线互相平分
B．这个四边形的对角线互相垂直
C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直
D．这个四边形是平行四边形
答案　C
解析　把命题改写成“若p，则q”的形式后可知C正确．
5．命题“若x>1，则x>a”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．a>1 B．a<1
C．a≥1 D．a≤1
答案　D
解析　若x>1，则x>a是真命题，
故只需a≤1即可．
6．(多选)给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是(　　)
A．4 B．1 C．0 D．－3
答案　BC
解析　由题意知，Δ＝a2－4<0，故a＝0和a＝1符合题意．
7．把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p，则q”的形式为________________________________________________________________________．
答案　若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除
8．命题“三边对应成比例的两个三角形相似”的条件是____________________，结论是__________________．
答案　两个三角形的三边对应成比例　这两个三角形相似
9．写出下列命题的条件和结论．
(1)若整数a能被2整除，则a是偶数；
(2)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直平分；
(3)平面内两条不相交的直线平行．
解　(1)条件是整数a能被2整除，结论是a是偶数．
(2)条件是四边形是菱形，结论是它的对角线互相垂直平分．
(3)条件是在同一平面内两条直线不相交，结论是这两条直线平行．
10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)实数的平方是正数；
(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；
(3)负数的立方是负数．
解　(1)若一个数是实数，则它的平方是正数．假命题．
(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形．假命题．
(3)若一个数是负数，则它的立方是负数．真命题．
11．(多选)下列四个命题中，正确的命题是(　　)
A．空集没有子集
B．空集是任何集合的一个真子集
C．空集的元素个数为0
D．任何非空集合至少有两个不同的子集
答案　CD
解析　空集的子集是它本身，故A错误；空集是任何非空集合的一个真子集，故B错误；空集的元素个数为0 ，故C正确；D正确．
12．(多选)如果命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题是真命题的是(　　)
A．M中的元素都不是P的元素
B．M中有不属于P的元素
C．M中有属于P的元素
D．M中的元素不都是P的元素
答案　BD
13．(多选)下列命题是真命题的是(　　)
A．若xy＝1，则x，y互为倒数
B．二次函数的图象与x轴有公共点
C．平行四边形是梯形
D．同一平面内四条边相等的四边形是菱形
答案　AD
解析　对于B，二次函数的图象与x轴不一定有公共点；对于C，平行四边形不是梯形．
14．若命题“关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实数解”为真命题，则实数a的取值范围为________．
答案　a<1且a≠0
解析　由题意知
解得a<1，且a≠0.
15．已知命题“若1答案　
解析　该命题为真命题，需满足
解得≤m≤1，
故m的取值范围为.
16．已知A：5x－1>a，B：x>1，请选择适当的实数a，使得利用A，B构造的命题“若p，则q”为真命题．
解　若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x>，则x>1”．
由命题为真命题可知≥1，解得a≥4；
若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x>1，则x>”．
由命题为真命题可知≤1，解得a≤4.
故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a＝1，则有真命题“若x>1，则x>”.

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