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北京市西城区2021—2022学年度第二学期期末试卷
高二数学答案及评分参考 2022.7
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）A （2）D （3）B （4）B （5）C
（6）B （7）B （8）A （9）D （10）C
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12）
（13） （14）或
（15）②④
注：（12）、（13）题第一空3分，第二空2分；（14）、（15）题少解给3分，有错解不给分。
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）因为，所以． ………2分
令，得． ………3分
，的变化情况如下：
↘ 极小值 ↗
所以的单调递增区间为，单调递减区间为． ………6分
从而的极小值为；无极大值． ………8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又，， ………11分
所以在区间上的最大值为，最小值为． ………13分
（17）（共13分）
解：（Ⅰ）设等差数列的公差为．
由题设，得 ………2分
解得． ………4分
所以． ………6分
（Ⅱ）因为是公比为的等比数列，且，
所以． ………8分
所以． ………9分
所以 ………10分
………12分
． ………13分
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）由表格数据，个工作日中，甲选择个餐厅用餐的天数为，
所以一天中甲选择个餐厅用餐的概率估计值为． ………2分（Ⅱ）一天中甲选择个餐厅用餐的概率估计值为；
一天中乙选择个餐厅用餐的概率估计值为；
一天中乙选择个餐厅用餐的概率估计值为． ………5分
由题设，的可取值为． ………6分
且；
；
． ………9分
所以的分布列为：
的数学期望． ………11分
（Ⅲ）记“甲早餐选择餐厅用餐”为事件，“乙早餐选择餐厅用餐”为事件；
甲午餐时选择餐厅用餐”为事件，“乙午餐时选择餐厅用餐”为事件，则； ．
因为，
所以两人在早餐选择餐厅用餐的条件下，乙更有可能午餐选择餐厅用餐．
………14分
（19）（共15分）
解：（Ⅰ）设商品的利润为（万元）．
由题设，得
………5分
（Ⅱ）当时， ．
所以 ． ………7分
令，解得，舍去． ………9分
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以当时，取得最大值． ………12分
当时，． ………14分
综上，当时，取得最大值（万元）．
因此，当生产量确定为千件时，商品的利润取得最大值． ………15分
（20）（共15分）
解：（Ⅰ）在区间上单调递减．证明如下： ………1分
因为，所以．
所以在区间上单调递减． ………4分
（Ⅱ）当时，．
又，所以． ………6分
由题设及（Ⅰ）可得． ………8分
取对数得，所以． ………9分
设，
则． ………10分
令，得． ………11分
当时，，单调递增；
当时，，单调递减． ………13分
所以．
所以的最小值为． ………15分
（21）（共15分）
解：（Ⅰ）数列具有性质，数列不具有性质． ………4分
（Ⅱ）设数列的公差为．
由数列具有性质，所以存在，使得．
同理，存在，使得． ………6分
两式相减，得，即．
因为，所以． ………8分
所以的各项均为整数． ………9分
（Ⅲ）因为的各项均为整数，所以为整数．
首先证明为正整数．
否则假设为负整数，则为递减数列，所以中各项的最大值为．
由题设，中存在某项，且，
所以．
从而对任意正整数，，这与具有性质矛盾！ ………11分
其次证明为的约数．
由得，．
所以．
所以为整数，即为的约数． ………13分
由为正整数，所以为的正约数．
因为，所以的正约数共有个．
对于首项为，的正约数为公差的等差数列，易知其满足性质．
所以具有性质的数列共有个． ………15分
北京市西城区2021—2022学年度第二学期期末试卷 高二数学答案及评分参考 第1页（共5页）北京市西城区2021—2022学年度第二学期期末试卷
高二数学 2022.7
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若成等差数列，则
（A） （B）
（C） （D）
（2）函数在处的瞬时变化率为
（A） （B）
（C） （D）
（3）将一枚均匀硬币随机抛掷次，恰好出现次正面向上的概率为
（A） （B）
（C） （D）
（4）已知函数，为的导函数，则
（A） （B）
（C） （D）
（5）在等比数列中，，则
（A） （B）
（C） （D）
（6）若等差数列满足，，则当的前项和最大时，
（A） （B）
（C） （D）
（7）设函数的极小值为，其导函数的图象过点，如图所示，则（A）（B）（C）（D）
（8）在等比数列中，，．记，则数列（A）有最大项，有最小项（B）有最大项，无最小项（C）无最大项，有最小项（D）无最大项，无最小项
（9）数列的通项公式为．若为递增数列，则的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
（10）设为曲线上一点，为曲线上一点，则的最小值为
（A） （B）
（C） （D）
第二部分（非选择题 共110 分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）设函数，则___．
（12）已知随机变量的分布列如下：
则___；___．
（13）若曲线在处的切线方程为，则___；___．
（14）已知是公比为的等比数列，其前项和为．若，则___．
（15）已知正方形的边长为．取正方形各边的中点，作第个正
方形；然后再取正方形各边的中点，作第个正方形
；…，依此方法一直继续下去．给出下列四个结论：
① 从正方形开始，所有这些正方形的周长依次成等差数列；
② 从正方形开始，所有这些正方形的面积依次成等比数列；
③ 从正方形开始，所有这些正方形周长之和趋近于；
④ 从正方形开始，所有这些正方形面积之和趋近于．
其中所有正确结论的序号是___．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
已知函数．
（Ⅰ）求的极值；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．
（17）（本小题13分）
在等差数列中，，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若是公比为的等比数列，，求数列的前项和．
（18）（本小题14分）
某单位有，两家餐厅提供早餐与午餐服务，甲、乙两人每个工作日早餐和午餐都在单位用餐，近个工作日选择餐厅用餐情况统计如下（单位：天）：
选择餐厅（早餐，午餐） （，） （，） （，) （，）
甲
乙
假设用频率估计概率，且甲、乙选择餐厅用餐相互独立．
（Ⅰ）估计一天中甲选择个餐厅用餐的概率；
（Ⅱ）记为一天中甲用餐选择的餐厅的个数与乙用餐选择的餐厅的个数之和，求的分
布列和数学期望；
（Ⅲ）判断甲、乙两人在早餐选择餐厅用餐的条件下，哪位更有可能在午餐选择餐厅
用餐？说明理由．
（19）（本小题15分）
设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本（单位：万元）与生产量（单位：百件）间的函数关系是；销售收入（单位：万元）与生产量间的函数关系是
（Ⅰ）把商品的利润表示为生产量的函数；
（Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？
（20）（本小题15分）
已知函数．
（Ⅰ）判断在区间上的单调性，并加以证明；
（Ⅱ）设，若对恒成立，求的最小值．
（21）（本小题15分）
已知是公差不为的无穷等差数列．若对于中任意两项，在中都存在一项，使得，则称数列具有性质．
（Ⅰ）已知，判断数列是否具有性质；
（Ⅱ）若数列具有性质，证明：的各项均为整数；
（Ⅲ）若，求具有性质的数列的个数．
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