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2022年高考数学真题分类汇编专题07：平面向量
一、单选题
1．（2022·新高考Ⅱ卷）已知 ，若 ，则 （　　）
A．-6 B．-5 C．5 D．6
2．（2022·全国乙卷）已知向量，则 （　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2022·全国甲卷）已知椭圆 的离心率为 ， 分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若 ，则C的方程为（　　）
A． B． C． D．
4．（2022·全国乙卷）已知向量 满足 ，则 （　　）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
5．（2022·北京）在 中， ， ， ． 为 所在平面内的动点，且 ，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（2022·新高考Ⅰ卷）在 中，点D在边AB上， 记 则 （　　）
A．3-2 B．-2+3 C．3+2 D．2+3
7．（2022·浙江学考）已知向量 满足 ，则 （　　）
A．2 B． C．8 D．
8．（2022·浙江学考）已知单位向量 不共线，且向量 满足 若 对任意实数λ都成立，则向量 夹角的最大值是（）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·新高考Ⅱ卷）已知O为坐标原点，过抛物线 的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点 ，若 ，则（　　）
A．直线 的斜率为 B．
C． D．
10．（2022·新高考Ⅰ卷）已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C： 上，过点 的直线交C于P，Q两点，则（　　）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
三、填空题
11．（2022·浙江）设点P在单位圆的内接正八边形 的边 上，则 的取值范围是　 　．
12．（2022·全国甲卷）设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ，则 　 　．
13．（2022·全国甲卷）已知向量 ．若 ，则 　 　．
14．（2022·浙江学考）如图，E，F分别是三棱锥V-ABC两条棱AB，VC上的动点，且满足 则 的最小值为　 　.
15．（2022·上海）在△ABC中， ， ，M为AC的中点，P在AB上，则 的最小值为　 　
16．（2022·上海）已知双曲线 ，双曲线上右支上有任意两点 ， ，满足 恒成立，则a的取值范围是　 　
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由已知条件可得 ， ，
即 ，解得 ，
故答案为：C
【分析】利用向量的坐标运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求解.
2．【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】因为 ，所以 .
故选：D
【分析】先求得 的坐标，然后根据求模公式求解 即可.
3．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量数量积坐标表示的应用；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为离心率，解得，则b2=a2 ，
记A1，A2分别为C的左右顶点，则A1（-a，0），A2（a，0），
又B为上顶点，所以B（0，b），
所以 ，
因为
所以-a2+b2=-1，将b2=a2代入，解得a2=9，b2=8，
故椭圆的方程为 .
故选：B.
【分析】根据离心率及，解得关于a2，b2的等量关系式，即可得解.
4．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
又∵
∴9 ，
∴
故选：C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
5．【答案】D
【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【解答】以C为坐标原点建立直角坐标系，
由题意易知 ，
设 ，
， .
故答案为：D
【分析】先根据已知条件建立直角坐标系，设点 ，利用坐标法即可解决问题.
6．【答案】B
【知识点】向量加减混合运算；平面向量数乘的运算；平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：由题意得， ，
故选：B
【分析】由向量的加法、减法、以及数乘运算求解即可.
7．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】∵ ，
又∵
∴ ，∴ ，∴ 。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式以及数量积的运算法则，进而求出的值。
8．【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】设向量 夹角为 ，设向量 与 的夹角为 ，
，
由 ，得
，
所以 ，
所以 ，
所以
所以 ，
所以 对任意实数λ都成立，
即 恒成立，
当 ，即 ，得 ，上式恒成立，
当 时，即 ， ，
，
所以得 ，
因为 ，所以
综上所述， ，
所以向量 夹角的最大值是 ，
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合单位向量的定义和向量共线定理，再结合数量积求向量的模的公式，再结合不等式恒成立问题求解方法，再利用函数求最值的方法和向量的夹角的取值范围，进而得出向量的夹角的取值范围，从而得出向量夹角的最大值。
9．【答案】A,C,D
【知识点】向量在几何中的应用；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】对于A：易得 ，由 可得点 在 的垂直平分线上，则 点横坐标为 ，代入抛物线可得 ，则 ，直线 的斜率为 ，A符合题意；
对于B：由斜率为 可得直线 的方程为 ，联立抛物线方程得 ，设 ，则 ，则 ，代入抛物线得 ，解得 ，则 ，
则 ，B不符合题意；
对于C：由抛物线定义知： ，C符合题意；
对于D： ，则 为钝角，
又 ，则 为钝角，
又 ，则 ，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】由 及抛物线方程求得 ，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线 的方程，联立抛物线方程求得 ，即可求出 判断B选项；由抛物线的定义求出 即可判断C选项；由 ， 求得 ， 为钝角即可判断D选项.
10．【答案】B,C,D
【知识点】导数的几何意义；平面向量的数量积运算；直线的两点式方程；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：1=2p， 所以抛物线C： x2=y，故C的准线为，故A错误；
由y'=2x得曲线C在点A(1，1)处的切线斜率为2，所以切线方程为y=2x-1，又直线AB为：，即y=2x-1，故直线AB与C相切，故B正确；
过点B(0，-1)的直线设为y=kx-1，交C于P，Q两点的坐标分别设为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立直线与C方程可得x2-kx+1=0，
则x1+x2=k，x1x2=1，且，
即k2>4，则y1+y2=k2-2，y1y2=1，
此时
，又|OA|2=2，则 ，故C正确；
，
又|BA|2=5，则 ，故D正确.
故选：BCD
【分析】由抛物线的定义与几何性质可判断A，根据导数的几何意义，结合直线的两点式方程可判断B，根据直线与抛物线的位置，结合弦长公式可判断C，根据向量的数量积运算可判断D.
11．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】以圆心为原点，建立如图所示平面直角坐标系，
则
设，
则，
∵，∴，
∴，
∴，
即 的取值范围是，
故答案为：
【分析】以圆心为原点，建立如图所示平面直角坐标系，求出正八边形各个顶点坐标，设，进而得到，根据点P的位置可求出的范围，从而得到的取值范围．
12．【答案】11
【知识点】平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意得
所以 ．
故答案为：11 ．
【分析】先根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得答案．
13．【答案】 或-0.75
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由题意知： ，解得 .
故答案为： .
【分析】由向量垂直的坐标表示求解即可.
14．【答案】
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；平面向量的共线定理；共面向量定理
【解析】【解答】因为 ，
所以 共面，
作 交 于点 ，连接 ，则 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，则 ，
又 ，所以 ，所以 ，
则 ， ，
故 ，
所以当 时， 取得最小值为 。
故答案为： 。
【分析】利用 结合向量共面的判断方法，所以 共面，作 交 于点 ，连接 ，则 ，再利用三角形法则得出 ，所以 ，再利用 结合两直线平行对应边成比例 ，所以 ，再利用 结合两直线平行对应边成比例，所以 ，再利用 ，所以 ，则 ， ，再利用代入法结合二次函数的图象求最值的方法，进而得出 的最小值 。
15．【答案】
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由题意知，可以C为原点，CB为x轴，CA为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(0，2)，B(2，0)，C(0，0)，M(0，1)，
由题意可设P(x，2-x)，
则，
则
则当时， 取得最小值为
故答案为：
【分析】根据平面向量的坐标运算，以及向量的数量积的坐标表示，结合二次函数的最值求解即可.
16．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：如图所示，取点P1关于x轴对称的点P3，则P3(x2，-y2)，分别在渐近线上取点M，N
则由 恒成立，得恒成立，
则∠P1OP3恒为锐角，
即∠MON≤90°，
则其中一条渐近线的斜率，
则
故答案为：
【分析】根据双曲线的几何性质，结合向量的数量积求解即可.
1 / 12022年高考数学真题分类汇编专题07：平面向量
一、单选题
1．（2022·新高考Ⅱ卷）已知 ，若 ，则 （　　）
A．-6 B．-5 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由已知条件可得 ， ，
即 ，解得 ，
故答案为：C
【分析】利用向量的坐标运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求解.
2．（2022·全国乙卷）已知向量，则 （　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】因为 ，所以 .
故选：D
【分析】先求得 的坐标，然后根据求模公式求解 即可.
3．（2022·全国甲卷）已知椭圆 的离心率为 ， 分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若 ，则C的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量数量积坐标表示的应用；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为离心率，解得，则b2=a2 ，
记A1，A2分别为C的左右顶点，则A1（-a，0），A2（a，0），
又B为上顶点，所以B（0，b），
所以 ，
因为
所以-a2+b2=-1，将b2=a2代入，解得a2=9，b2=8，
故椭圆的方程为 .
故选：B.
【分析】根据离心率及，解得关于a2，b2的等量关系式，即可得解.
4．（2022·全国乙卷）已知向量 满足 ，则 （　　）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
又∵
∴9 ，
∴
故选：C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
5．（2022·北京）在 中， ， ， ． 为 所在平面内的动点，且 ，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【解答】以C为坐标原点建立直角坐标系，
由题意易知 ，
设 ，
， .
故答案为：D
【分析】先根据已知条件建立直角坐标系，设点 ，利用坐标法即可解决问题.
6．（2022·新高考Ⅰ卷）在 中，点D在边AB上， 记 则 （　　）
A．3-2 B．-2+3 C．3+2 D．2+3
【答案】B
【知识点】向量加减混合运算；平面向量数乘的运算；平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：由题意得， ，
故选：B
【分析】由向量的加法、减法、以及数乘运算求解即可.
7．（2022·浙江学考）已知向量 满足 ，则 （　　）
A．2 B． C．8 D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】∵ ，
又∵
∴ ，∴ ，∴ 。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式以及数量积的运算法则，进而求出的值。
8．（2022·浙江学考）已知单位向量 不共线，且向量 满足 若 对任意实数λ都成立，则向量 夹角的最大值是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】设向量 夹角为 ，设向量 与 的夹角为 ，
，
由 ，得
，
所以 ，
所以 ，
所以
所以 ，
所以 对任意实数λ都成立，
即 恒成立，
当 ，即 ，得 ，上式恒成立，
当 时，即 ， ，
，
所以得 ，
因为 ，所以
综上所述， ，
所以向量 夹角的最大值是 ，
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合单位向量的定义和向量共线定理，再结合数量积求向量的模的公式，再结合不等式恒成立问题求解方法，再利用函数求最值的方法和向量的夹角的取值范围，进而得出向量的夹角的取值范围，从而得出向量夹角的最大值。
二、多选题
9．（2022·新高考Ⅱ卷）已知O为坐标原点，过抛物线 的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点 ，若 ，则（　　）
A．直线 的斜率为 B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】向量在几何中的应用；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】对于A：易得 ，由 可得点 在 的垂直平分线上，则 点横坐标为 ，代入抛物线可得 ，则 ，直线 的斜率为 ，A符合题意；
对于B：由斜率为 可得直线 的方程为 ，联立抛物线方程得 ，设 ，则 ，则 ，代入抛物线得 ，解得 ，则 ，
则 ，B不符合题意；
对于C：由抛物线定义知： ，C符合题意；
对于D： ，则 为钝角，
又 ，则 为钝角，
又 ，则 ，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】由 及抛物线方程求得 ，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线 的方程，联立抛物线方程求得 ，即可求出 判断B选项；由抛物线的定义求出 即可判断C选项；由 ， 求得 ， 为钝角即可判断D选项.
10．（2022·新高考Ⅰ卷）已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C： 上，过点 的直线交C于P，Q两点，则（　　）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】导数的几何意义；平面向量的数量积运算；直线的两点式方程；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：1=2p， 所以抛物线C： x2=y，故C的准线为，故A错误；
由y'=2x得曲线C在点A(1，1)处的切线斜率为2，所以切线方程为y=2x-1，又直线AB为：，即y=2x-1，故直线AB与C相切，故B正确；
过点B(0，-1)的直线设为y=kx-1，交C于P，Q两点的坐标分别设为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立直线与C方程可得x2-kx+1=0，
则x1+x2=k，x1x2=1，且，
即k2>4，则y1+y2=k2-2，y1y2=1，
此时
，又|OA|2=2，则 ，故C正确；
，
又|BA|2=5，则 ，故D正确.
故选：BCD
【分析】由抛物线的定义与几何性质可判断A，根据导数的几何意义，结合直线的两点式方程可判断B，根据直线与抛物线的位置，结合弦长公式可判断C，根据向量的数量积运算可判断D.
三、填空题
11．（2022·浙江）设点P在单位圆的内接正八边形 的边 上，则 的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】以圆心为原点，建立如图所示平面直角坐标系，
则
设，
则，
∵，∴，
∴，
∴，
即 的取值范围是，
故答案为：
【分析】以圆心为原点，建立如图所示平面直角坐标系，求出正八边形各个顶点坐标，设，进而得到，根据点P的位置可求出的范围，从而得到的取值范围．
12．（2022·全国甲卷）设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ，则 　 　．
【答案】11
【知识点】平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意得
所以 ．
故答案为：11 ．
【分析】先根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得答案．
13．（2022·全国甲卷）已知向量 ．若 ，则 　 　．
【答案】 或-0.75
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由题意知： ，解得 .
故答案为： .
【分析】由向量垂直的坐标表示求解即可.
14．（2022·浙江学考）如图，E，F分别是三棱锥V-ABC两条棱AB，VC上的动点，且满足 则 的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；平面向量的共线定理；共面向量定理
【解析】【解答】因为 ，
所以 共面，
作 交 于点 ，连接 ，则 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，则 ，
又 ，所以 ，所以 ，
则 ， ，
故 ，
所以当 时， 取得最小值为 。
故答案为： 。
【分析】利用 结合向量共面的判断方法，所以 共面，作 交 于点 ，连接 ，则 ，再利用三角形法则得出 ，所以 ，再利用 结合两直线平行对应边成比例 ，所以 ，再利用 结合两直线平行对应边成比例，所以 ，再利用 ，所以 ，则 ， ，再利用代入法结合二次函数的图象求最值的方法，进而得出 的最小值 。
15．（2022·上海）在△ABC中， ， ，M为AC的中点，P在AB上，则 的最小值为　 　
【答案】
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由题意知，可以C为原点，CB为x轴，CA为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(0，2)，B(2，0)，C(0，0)，M(0，1)，
由题意可设P(x，2-x)，
则，
则
则当时， 取得最小值为
故答案为：
【分析】根据平面向量的坐标运算，以及向量的数量积的坐标表示，结合二次函数的最值求解即可.
16．（2022·上海）已知双曲线 ，双曲线上右支上有任意两点 ， ，满足 恒成立，则a的取值范围是　 　
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：如图所示，取点P1关于x轴对称的点P3，则P3(x2，-y2)，分别在渐近线上取点M，N
则由 恒成立，得恒成立，
则∠P1OP3恒为锐角，
即∠MON≤90°，
则其中一条渐近线的斜率，
则
故答案为：
【分析】根据双曲线的几何性质，结合向量的数量积求解即可.
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