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2021-2022学年山东省济南市历下区七年级（下）期末数学试卷
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题（本大题共12小题，共48分）
自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，博才实验中学积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是( )
A. 有症状早就医 B. 防控疫情我们在一起
C. 打喷嚏捂口鼻 D. 勤洗手勤通风
小明有两根长度为，的木棒，他想钉一个三角形木框，桌上有几根木棒供他选择，他有几种选择？( )
A. 种
B. 种
C. 种
D. 种
如图，已知，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
“梦想从学习开始，事业从实践起步”，近来，每天登录“学习强国”，学精神、增能量、看文化、长见识已经成为一种学习新风尚．下面是小颖爸爸上周“学习强国”周积分与学习天数的有关数据，则下列说法错误的是( )
学习天数天
周积分分
A. 在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量
B. 周积分随学习天数的增加而增加
C. 周积分与学习天数的关系式为
D. 天数每增加天，周积分的增长量不一定相同
下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
下列说法正确的是( )
A. 小丽买一张体育彩票中“一等奖”是随机事件
B. 任意抛掷一枚质地均匀的硬币次，则“次正面朝上”是必然事件
C. “清明时节雨纷纷”是必然事件
D. 若是有理数，则“”是不可能事件
如图，把两根钢条，的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具卡钳只要量得的长度，就可知工件的内径是否符合标准，这是利用的什么数学原理呢？( )
A. B. C. D.
一个质量均匀的正方体骰子，六个面分别标有，，，，，，任意掷一次骰子，掷出结果为“的倍数”的概率为( )
A. B. C. D.
一个袋中装有个红球，个白球和个黄球，每个球除颜色外均相同．从袋中任意摸出一个球，取到黄色球的概率为( )
A. B. C. D.
如图所示，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点落在处，为折痕，然后再把折过去，使之与重合，折痕为，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
小颖给同学们讲了一个她自己编的“龟兔赛跑”的故事，小聪根据小颖讲的故事画出了如图所示的图象，表示了龟和兔已走路程米和所用时间分钟的关系图，小华根据小聪画的图象得出了以下结论：
描述的是乌龟的行进情况，描述的是兔子的行进情况；
乌龟和兔子是从同一地点出发的；
乌龟和兔子在比赛途中相遇了两次；
在时刻，兔子在乌龟的前面．
结论正确的有个( )
A. B. C. D.
如图，将沿所在的直线翻折得到，再将沿所在的直线翻折得到，点，，在同一条直线上，，则( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
计算： ______ ．
计算：______．
如图是一个寻宝游戏的藏宝图，分别有“花朵”，“太阳”，“月亮”三种图案，宝物只有一个藏在“月亮”下的概率是______．
如图，是线段的垂直平分线，是上一点，若，则______
如图，梯形的上底是，高是，下底是，面积是，当增加时，增加______．
如图，和都是等边三角形，连接，交于点，则______度．
三、解答题（本大题共9小题，共78分）
计算：
；
．
如图，在方格纸中，画出关于直线对称的图形；
在对称轴上求一点，使得最短．
先化简，再求值：，其中，，．
如图，，，求证：．
小蒙设计了两个抽奖游戏，游戏一是转盘游戏，如图，转盘被等分成了个扇形，共有红、黄和蓝三种颜色，自由转动转盘，指针停在红色时会得到奖励；游戏二是摸球游戏，袋子里有个红球、个黄球和个蓝球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到红球会得到奖励．小雨要参加抽奖游戏，你建议她参加哪一个游戏？请说明理由．
如图，小长方形的长为，宽为，将七个这样的小长方形放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分的面积分别记为和．
若，求的值用含有，的字母表示；
若的值为，求与的数量关系．
在中，和分别是和的角平分线，，相交于点．
如图，若，，求的度数；
借助图，若，，求与的关系；
如图，若，求证：．
小明从学校步行去美术馆，同时小红骑车从美术馆回学校，两人都沿同一条路直线运动，小红回到学校停留三分钟后又以同样的速度去美术馆，小明的速度是米分钟，如图是两人与学校的距离米与小明的运动时间分钟之间的关系图．
学校与美术馆之间的距离为______米；
求小红停留再出发后与的关系式；
请直接写出小明和小红在途中相遇时小明的运动时间．
在直角三角形中，三边存在特殊的关系：两直角边的平方和等于斜边的平方，如图，因为，所以这种特殊的关系被称为勾股定理．
勾股定理的证明方法非常丰富，达数百种之多，其中比较出名的，有东汉数学家赵爽的“勾股圆方图”见周髀算经和欧几里得的证法见几何原本．
赵爽的证明方法：如图，四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形，中间空白的部分是小正方形，设直角三角形的两条直角边分别为和，斜边为，则小正方形的边长为；在此基础上，大正方形的面积可以直接表示为______，还可以表示为四个直角三角形与小正方形的面积之和，为______于是得到等式
______；化简后可得
欧几里得的证明方法：．
如图，设的两条直角边分别为和，斜边为，分别以这三条边为边，向外做三个正方形，得到正方形，正方形和正方形，连接与，做交于，交于，首先请证明≌．
≌，
，
正方形与同底等高，长方形与同底等高，
，______，
______，
同理可得，，
所以，
即．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、不是轴对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选：．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合．
2.【答案】
【解析】解：设第三根木棒的长度为，
小明有两根长度为和的木棒，
，
即：，
和适合，
故选：．
利用三角形的三边关系进行分析即可．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
3.【答案】
【解析】解：如图，，
，
．
故选：．
根据两直线平行，同位角相等可得，再根据对顶角相等可得．
本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，熟记性质是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量，所以选项A正确，不符合题意；
B.周积分随着天数的增加而增加，是正确的，因此选项B不符合题意；
C.周积分与学习天数的关系式为，因此选项C正确，不符合题意；
D.天数每增加天，周积分的增长量都是，因此选项D是错误的，符合题意；
故选：．
根据函数的定义、函数的表示方法以及变量、常量的意义逐项进行判断即可．
本题考查函数的表示方法，函数关系式，掌握函数的定义、函数的表示方法以及函数关系式的意义是正确判断的前提．
5.【答案】
【解析】解：因为，所以选项运算正确，故A选项符合题意；
B.因为，所以选项运算不正确，故B选项不符合题意；
C.因为，所以选项运算不正确，故C选项不符合题意；
D.因为，所以选项运算不正确，故D选项不符合题意．
故选：．
A.应用幂的乘方运算法则进行计算即可得出答案；
B.应用同底数幂除法运算法则进行计算即可得出答案；
C.应用同底数幂乘法运算法则进行计算即可得出答案；
D.应用积的乘方运算法则进行计算即可得出答案；
本题主要考查了同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行求解是解决本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：选项，小丽买一张体育彩票中“一等奖”，这是一个随机事件，故该选项符合题意；
选项，任意抛掷一枚质地均匀的硬币次，则“次正面朝上”，这是一个随机事件，故该选项不符合题意；
选项，“清明时节雨纷纷”，这是一个随机事件，故该选项不符合题意；
选项，若是有理数，则“”，这是必然事件，故该选项不符合题意；
故选：．
根据随机事件和必然事件的定义判断即可．
本题考查了随机事件，掌握事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：两根钢条，的中点连在一起，
，，
，
≌．
．
故选：．
因为是用两钢条，的中点中点连在一起做成一个测量工件，可求出两边分别对应相等，再加上对顶角相等，可判断出两个三角形全等，且用的是．
本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等．
8.【答案】
【解析】解：，，，，，中是的倍数的有，，，
任意掷一次骰子，掷出结果为“的倍数”的概率为，
故选：．
根据题意和题目中的数据，可以计算出任意掷一次骰子，掷出结果为“的倍数”的概率．
本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
9.【答案】
【解析】解：一个袋中装有个红球，个白球和个黄球，
从袋中任意摸出一个球，取到黄色球的概率为，
故选：．
根据题意和题目中的数据，可以计算出从袋中任意摸出一个球，取到黄色球的概率．
本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
10.【答案】
【解析】解：根据折叠得出，，
又，
，
，
．
故选：．
根据折叠得出，，根据，求出，代入求出即可．
本题考查了翻折变换折叠问题，能根据折叠的性质得出和是解此题的关键．
11.【答案】
【解析】解：根据“龟兔赛跑”的故事，兔子在比赛过程中睡了一觉，
描述的是乌龟的行进情况，描述的是兔子的行进情况，故正确；
乌龟和兔子刚出发时，，
乌龟和兔子是从同一地点出发的，故正确；
由图象可知，与有两个交点，
乌龟和兔子在比赛途中相遇了两次，故正确；
由图象可知，在时刻，兔子在乌龟的前面，故正确，
正确的有，
故选：．
根据图象逐项判断即可．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
12.【答案】
【解析】解：由翻折可知：，，
，
，
，
，
．
故选：．
由翻折可得，，再根据角的和差即可进行解答．
本题考查了翻折变换，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
13.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
完全平方公式是和，根据根式求出即可．
本题考查了对完全平方公式公式的应用，注意：完全平方公式是和．
14.【答案】
【解析】解：原式
故答案为：
直接利用积的乘方运算法则化简，进而利用整式的除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算以及整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
15.【答案】
【解析】解：共有个方格，其中月亮占个方格，
宝物只有一个藏在“月亮”下的概率是．
故答案为：．
根据概率公式直接计算即可得出答案．
本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
16.【答案】
【解析】解：是线段的垂直平分线，，
，
，
，
，
故答案为：．
根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形的两锐角互余计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：由图形可得出：；
由梯形面积公式的函数关系可知，当每增加时，增加，当增加时，增加，
故答案为：．
根据梯形面积公式列出函数关系式，根据函数关系是即可得出结论．
本题考查了一次函数的应用．关键是根据梯形面积公式列出一次函数关系式，利用函数关系式解答问题．
18.【答案】
【解析】解：在等边中，，，
，
在等边中，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
故答案为：．
根据等边三角形的性质可证≌，再证明≌，根据全等三角形的性质可得，从而可得，根据外角的性质可得的度数．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
19.【答案】解：原式
．
原式
．
【解析】根据平方差公式以及整式的加减运算法则即可求出答案．
根据零指数幂的意义以及负整数指数幂的意义即可求出答案．
本题考查零指数幂的意义、负整数指数幂的意义、平方差公式以及整式的加减运算，本题属于基础题型．
20.【答案】解：如图所示，即为所求．
如图所示，点即为所求．
【解析】分别作三个顶点关于直线的对称点，再首尾顺次连接即可；
连接，与直线的交点即为所求．
本题主要考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质．
21.【答案】解：
，
当，时，原式
．
【解析】先去括号，再合并同类项，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22.【答案】证明：，
，
即，
在和中，
，
≌，
．
【解析】由“”可证≌，根据全等三角形的性质可得．
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键．
23.【答案】解：游戏一：由于转盘被等分成了个扇形，红色占份，因此指向红色的概率，即获奖的概率为，
游戏二：袋子里有个红球、个黄球和个蓝球，摸出球是红色的概率为，
因为，
所以选择游戏一获得奖励的可能性较大．
【解析】分别求出两种游戏方案中，获奖的概率，进而得出结论．
此题考查了概率公式，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
24.【答案】解：设的长为，宽为，的长为，宽为，
则，，，
在大长方形中，，
，
，，
；
由知：，
又的值为，
，
．
【解析】设的长为，宽为，的长为，宽为，则，，，由，可得：，，根据长方形面积公式即可求得答案；
由题意可得：，即可得出．
本题考查了长方形的面积公式和整式的混合运算的应用，弄清题意是解题关键．
25.【答案】解：，，和分别是和的角平分线，
，，
，
；
解：，，，
，
和分别是和的角平分线，
，，
，
，
；
证明：，
，
和分别是和的角平分线，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
即．
【解析】根据角平分线的定义及三角形内角和求解即可；
根据角平分线的定义及三角形内角和求解即可；
利用证明≌，根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理是解题的关键．
26.【答案】
【解析】解：，
学校与美术馆的距离是，
故答案为：；
由图可得，小红的速度是，
把和代入得，
解得：，
所以小红停留再出发后与的关系式为；
小红从美术馆回学校的途中，设分钟时两人相遇，
则，
解得，
小红从学校去美术馆的途中，设分钟时两人相遇，
则，
解得，
所以小明和小红在途中相遇时小明的运动时间是或分钟．
根据小明的速度和所用时间可得学校与美术馆之间的距离；
先求出小红的速度，再利用待定系数法可得解析式；
设分钟时两人相遇，分别根据题意列出方程可得答案．
本题考查一次函数的应用、待定系数法、一元一次方程等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，学会构建一次函数或方程解决问题，属于中考常考题型．
27.【答案】
【解析】解：大正方形的面积为，还可以表示为，可得等式；
故答案为：，，；
四边形和四边形是正方形，
，，，
，即，
在和中，
，
≌；
，，
故答案为：，．
根据正方形和三角形面积公式即可得出答案；
运用正方形的性质可得：，，，再推出，利用即可证得≌；
根据长方形、正方形、三角形面积公式即可得出答案．
本题考查勾股定理的证明、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题．
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