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北京市西城区 2021—2022 学年度第二学期期末试卷
高一数学 2022.7
本试卷共 5 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在
试卷上作答无效。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项。
（1）在复平面内，复数 z i+i2 对应的点在
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限
（2）设向量 a (3, 1) ， b ( 1, 2) ，则 (a 2b) b
（A） 11 （B） 9
（C） 7 （D） 5
（3）设m,n为两条直线， , 为两个平面. 若 // ，m //n ，m ，则
（A） n // （B） n
（C）m // （D）以上答案都不对
3 3π
（4）若 cos ，则 sin( )
5 2
3 3
（A） （B）
5 5
4 4
（C） （D）
5 5
π π
（5）函数 f (x) sin(2x )， x [0, ]的最大值和最小值分别为
6 2
1 1
（A）1, 1 （B） ,
2 2
1 1
（C）1, （D）1,
2 2
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（6）在△ABC 中，若 a2 b2 c2 kab ，则实数 k 的取值范围是
（A） ( 2,2) （B） ( 1,1)
1 1
（C） ( , ) （D） (0,1)
2 2
（7）已知向量 a , b 满足 | a | 4 ， | b | 2 ， (a b) b，那么向量 a, b 的夹角为
π π
（A） （B）
6 3
2π 5π
（C） （D）
3 6
1 cos2x
（8）函数 f (x) 的图像
sin x
（A）关于原点对称 （B）关于 y 轴对称
（C）关于直线 x π对称 π（D）关于点 ( , 0)对称
2
π 3π
（9）设 ( π, π)，则“ ( , ) ”是“ sin cos 0”的
4 4
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（10）如图，正方形 ABCD的边长为 2，P 为正方形 ABCD四条边上的一个动点，则 PA PB
的取值范围是
（A）[ 1, 2] （B）[0, 2]
（C）[0, 4] （D）[ 1, 4]
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第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
（11）设复数 z 满足 z i 1 i ，则 | z | ___．
π 3
（12）在△ABC 中， a 3， A ， sin B ，则b ___．
3 3
（13）已知长、宽、高分别为 3，4，5 的长方体的八个顶点均在一个球的表面上，那么该
球的表面积等于___.
（14）在直角△ABC中，斜边 AB 4 ，则 AB AC BC BA ___．
（15）已知 a 为常数， [0,2π) ，关于 的方程 sin2 cos a 0 有以下四个结论：
① 当 a 0时，方程有 2 个实数根；
② 存在实数 a ，使得方程有 4 个实数根；
③ 使得方程有实数根的 a 的取值范围是[ 1,1]；
④ 如果方程共有 n 个实数根，记 n 的取值集合为 M ，那么1 M ，3 M .
其中，所有正确结论的序号是___．
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三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 13 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，角 以Ox 为始边，终边经过点 ( 1, 2) .
（Ⅰ）求 tan2 的值；
π
（Ⅱ）求 cos( ) 的值.
4
（17）（本小题 14 分）
如图，在四棱锥 P ABCD中，PA 平面 ABCD，AD//BC， BAD 90 ，AD 2BC ，
E 为 PD 的中点.
（Ⅰ）若 PA AD AB 2 ，求四棱锥 P ABCD的体积；
（Ⅱ）求证： BC 平面 PAB ；
（Ⅲ）求证： EC// 平面 PAB .
（18）（本小题 13 分）
2π 21
在△ABC 中，b 2 7 ， B ，从① c 2a；② sin A ；③ a 2这三个条件
3 14
中任选一个作为题目的已知条件.
（Ⅰ）求 sinC 的值；
（Ⅱ）求△ABC 的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
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（19）（本小题 15 分）
π 3
已知函数 f (x) 2cos x sin(x ) .
3 2
（Ⅰ）求 f (x) 的最小正周期；
（Ⅱ）设 a 0，若函数 f (x) 在区间 (0,a)上单调递增，求 a 的最大值.
（20）（本小题 15 分）
如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， AA1 2，O 为上底面 A1B1C1D1的中心.
（Ⅰ）求证： AO BD；
（Ⅱ）求点 A到平面 A BD的距离； 1
（Ⅲ）判断棱CC1上是否存在一点 E ，使得 AO//BE？
并说明理由.
（21）（本小题 15 分）
设函数 f (x) 的定义域为 [1, a2 ] ，其中常数 a 1 . 若存在常数T 0 ，使得对任意的
x [1, a]，都有 f (ax) T f (x) ，则称函数 f (x) 具有性质 P ．
（Ⅰ）当 x [1,100]时，判断函数 y x2 和 y cosπx 是否具有性质 P ？（结论不要求证明）
π
（Ⅱ）若 a 3，函数 f (x) 具有性质 P，且当 x [1, 3]时， f (x) sin ( x)，求不等式
6
f (x) 3 的解集；
（Ⅲ）已知函数 f (x) 具有性质 P， f (1) 0，且 f (x) 的图像是轴对称图形. 若 f (x) 在
1
[1, a] 上有最大值 A (A 0) ，且存在 x0 [a 1, a]使得 f (x0 ) A，求证：其对
a
应的T 1．
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