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抚州市2021一2022学年度下学期学生学业发展水平测试
高二年级数学试题卷（理科）
说明：1.本卷共有3大题，22个小题，全卷满分150分，考试时间120分钟.
2.本卷分为试题卷和答题卡，答策要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给介，
·、选择恩：本大题共12小题，每小愿5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题日奖
求的。
1.某校商二年级选样史政地火政生”和“史地生"组合的同学人数分别为300,150和50.现采用分层抽拌的方
法选出10位同学进行一项调奔研究，则“史政生”组合中选出的人数()
A.7
B.6
C.4
D,3
2.下列集合与集合{202L,2022相等的是(
A.{(2021,2022)}
B.{x(x-2022Xx-2021)-0}
C.[2021.2022
D.{(x,yk=202l,y=2022
3.女数3+1
)
A.2+i
B.2-i
C.-1+2i
D,1-2i
4.某几何休的三视图如图所示，则该儿何休的表面积为()
A.85
B.65
C.4V3
D.25
5.“>2021”是“>2022”的()
左视
A.充要条件
B,允分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a4+3a,+a。=30,则S,=（)
A.44
B.33
C.66
D.55
7.已知(2x-1)(x2+I)=6+a,(x-1)+a(r-l)2+…+a,(r-l)'.则a2+a41a-()
A.605
B.607
C.1210
D.1214
8.围棋起源于中国，据先茶典符《世本》记载“光過围棋，丹朱祥之”，围棋至今己有四干多年历史，细含着中
华文化的半宫内涵在某次国际比赛中，中国派出包含甲.乙在内的5位机平参加比赛，他们分成两个小组，其
中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则中和乙任同一个小组的概率为()
7
5
c
0,0
高二数学试卷（理）第1页共4页
0000000
(开始
11
9。如图足计钟+分行…+分的蕴的一个程序框图。具中在判当框内应坑入的条件
S=0,i=1
足()
+1
A.i<20
B.i>11
C.i>20
D.i<11
10.已知函数f()=xc.“-1og:5.b=35,c=25,则(
A.f(a)输出S
B.f(c)结束
C.f(a)D.f(c)11.已知边长为2的等边三角形ABC,D是平面ABC内一点，且满足DB:DC=2:1,则三角形ABD面积的敏
小仇足()
A5-)
B.5+)
3
C.
D.
3
3
12.将函数心)=5c0s合和直线(=-1的所有交店从左到右依次记为4，么，4，《，若r点坐标
为0，I),则PA+PA,4…+PA=(
A.5V5
B.5V2
C.
D.0
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.∫(2022x+1-Fk-
14,对称性是数学萸的亚要特征，是数学家追求的目标，也是数学发现与创造中的
重要的美学因系.著名德国数学家和物埋学家魏尔说：“美和对称紧密相连”.现
用随机模拟的方法米佔算对称蝴蝶（如图中阴影区域所示)的面积，做一个边长
为4dm的正方形将其包含内，并向该正方形内随机投掷1000个点，已知恰有
395个点落在阴影区域内，据此可估计图中对称蝴蝶的面积是dm'.
15.如图，抛物线r:y=2(P>0)的焦点为K,圆F:x2+y2-2x=0,M(x,y)为
抛物线上一点，且x∈，3].过M作圆F的两条切线，切点分别为A,B,则|AB
的取值范蝴为
16.作一个正六边形的六个×城栽种观赏植物（如图），婴求同一X域中种同一种植
物，相邻的两区域种不同的植物.现行3种不同的植物可供达择，则有
种栽种方案。
高二数学试卷（理）第2页共4页
0000000抚州市 2021—2022 学年度下学期学生学业发展水平测试
高二年级数学试题卷（理科）答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B B C C D A C D A A B
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
15
13. 14． 6.32 15. 3, 16．66
2 2
1．D
【分析】根据题意求得抽样比，再求“史政生”组合中抽取的人数即可.
10 1 1
【详解】根据题意，分层抽样的抽样比为 ，故从“史政生”组合 150 中，抽取的人数时150 3
300 150 50 50 50
人.故选：D.
2．B
【分析】根据集合相等，元素相同即可求解.
【详解】{(2021，2022)}、{(x，y)|x=2021，y=2022}都表示一个元素的集合，给出的集合有两个元素，A、D 不
符；[2021,2022]表示有无数个元素的集合，D 也不符合；{x|(x-2022)(x-2021)=0}={2021，2022}，故 B 符合题意；
故选：B.
3．B
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简可得结论.
3 i (3 i)(1 i) 4 2i
【详解】 2 i1 i (1 i)(1 i) 2 ．故选：B.
4．C
【分析】由三视图可知该几何体为正四面体，即求.
【详解】由题可知该几何体为棱长为 2 的正四面体，
表面积 S 4
1
2 3 4 3 .故选：C.
2
5．C
【分析】利用两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系.
【详解】若|x|>2022，因为2022 2021，故|x|>2021，故“|x|>2022”可以推出“|x|>2021”，
取|x|=2021.5，则满足|x|>2021，但|x|>2022 不成立，所以 “|x|>2021”不能推出“|x|>2022”，
所以“|x|>2021”是“|x|>2022”的必要不充分条件，故选：C．
6．D
【分析】根据等差数列的通项公式，结合等差数列的下标性质、等差数列的前 n项和公式进行求解即可.
【详解】设等差数列 an 的公差为 d，因为 an 为等差数列，所以
高二数学试卷(理科)答案 第 1页 共 9页
a2 a4 3a7 a9 a1 d a1 3d 3(a1 6d ) a1 8d 6(a1 5d ) 6a6 30
，
a 5 S 11(a1 a得 ，所以 11
)
6 11 11a6 55 ．故选：D．2
7．A
2 5
【分析】令 x 1 t，则， (t 2t 2)(1 2t) a0 a1t a
2
2t a
7
7t
令 t 0，得 a0 2；令 t 1，可得 a0 a1 a2 a 7 ；令t 1，可得 a0 a1 a2 a9 ，进而可得结果.
【详解】令 x 1 t 2，则 (t 2t 2)(1 2t)5 a 20 a1t a2t a
7
7t ，令 t 0，则 a0 2．
令 t 1，则 a0 a1 a2 a 7 1215 ，令t 1，则 a0 a1 a2 a9 1，所以
a a a a a 1215 10 2 4 6 8 607，所以 a2 a4 a6 a8 607 a0 607 2 605．故选：A.2
8．C
【分析】这 5 名棋手分别记为：甲，乙， A,B,C，利用列举法写出基本事件，最后利用古典概型的概率公式即
可求解.
【详解】这 5 名棋手分别记为: ：甲，乙， A,B,C，分组情况有：
（甲乙 A，BC），（甲乙 B，AC），（甲乙 C， AB），（甲 AB，乙 C），（甲 AC，乙 B）
（甲 BC，乙 A），（乙 AB，甲 C），（乙 AC，甲 B），（乙 BC，甲 A），（ABC，甲乙） 共 10 种，
其中甲和乙在同一人组的有 4 种，分别为：（甲乙 A，BC），（甲乙 B，AC），（甲乙 C， AB），（ABC，甲乙），
所以甲和乙在同一个小组的概率为 P
4 2
.故选：C.
10 5
9．D
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据程序框图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出
S的值．
1
【详解】第 1 次循环：S＝ 2 ，i＝2；
1 1
第 2 次循环：S＝ ，i＝3；
2 4
1 1 1
第 3 次循环：S ，i＝4；……；
2 4 6
1 1 1 1
第 10 次循环：S＝ ，i＝11.
2 4 6 20
此时满足条件，故判断框中的条件应是 i 10或 i 11 .故选：D.
10．A
x
【分析】利用导数分析函数 f x xe 的单调性，根据指对幂函数的性质比较 a,b,c大小，即可判断结果．
x
【详解】因为 f x xe 得 f x x 1 ex，
当 x 1, 时， f′ x 0，所以 f x 在 1, 上单调递增，
高二数学试卷(理科)答案 第 2页 共 9页
又因为 a log
1
1 2 2 ，0 b 3
0.5 30 1， c 20.5 1，
2
所以 c b a -1，从而 f a f b f c ．故选：A.
11．A
【分析】建立直角坐标系，设D(x, y)，写出 A,B,C的坐标，利用DB :DC 2 :1列式得关于 x, y的等式，可得点D
5 4
的轨迹为以 ( ,0)为圆心，以 为半径的圆，写出直线 AB的方程，计算 AB 和点D距离直线 AB的最大距离d r，3 3
代入三角形面积公式计算.
【详解】以 BC的中点O为原点，建立如图所示的直角坐标系，则 A(0, 3),B( 1,0),C(1,0)，设D(x, y) ，因为
2 4
DB :DC 2 :1，所以 x 1 2 y2 4 x 1 2 4y2 x 5 5，得 y 2
16
，所以点D的轨迹为以 ( ,0)为圆心，以
3 9 3 3
为半径的圆，当点D距离直线 AB距离最大时，△ABD面积最大，已知直线 AB的方程为： 3x y 3 0 ，
AB 2 ，点D距离直线 AB的最小距离为：
5 3 3
3 ，所以△ABD面积的最小值为
d r 4 4 3 4
2 3 3 3
1 4 3 4 S 4△ABD 2 ( 3 1) .故选：A2 3 3 3
12．B

【分析】画出函数图像，根据图像知共有 5 个交点，交点关于 1,0 对称，则 PA1 PA2 PA5 5PA3 ，计算
得到答案.

【详解】 f x 5cos x ，函数周期为T 4，函数图像关于 1,0 中心对称，
2
画出函数图像：
根据图像知，共有 5 个交点，交点关于 1,0 对称， A3 1,0 ，则

PA1 PA2 PA5 2PA3 2PA3 PA3 5PA3 5 2 .故选：B
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。

13．
2
【分析】根据微积分基本定理，结合定积分的几何意义进行求解即可.
1 1
【详解】 1 12022x 1 x2 dx 2022xdx 1 x2dx， 2022xdx 2022 x2 1 2021 1 [12 ( 1)2 ] 0， 1 1 1
1 2 2
1
1 x2dx表示曲线 y 1 x2 ( 1 x 1) 、直线 x=-1、直线 x=1 围成图形的面积， 1
高二数学试卷(理科)答案 第 3页 共 9页
y 1 x2 ( 1 x 1) x2 y2 1( 1 x 1)，表示半圆，半径为 1，
1
1 x2dx
1
12
1 1 1
所以 ，所以 2022x 1 x2 dx 2022xdx 1 x2dx ，故答案为： 1 2 2 1 1 1 2 2
14．6.32
【分析】先明确是几何概型中的面积类型，通过试验求得概率，再求得正方形面积，再由几何概型概率公式建
立方程求解.
【详解】由题意可知，正方形面积为 4 4 16 ，
395 S 395 16
设图中对称蝴蝶的面积为S，则 即 S 6.32
1000 16 1000
所以可估计图中对称蝴蝶的面积是 6.32 dm2 .故答案为：6.32 .

3, 15

15．
2
【分析】首先求得抛物线方程，结合四边形MAFB的图形特点，列出四边形的面积公式，并表示
4 |MF |2 4
| AB | 4 4 1 ，根据焦半径公式，求得焦半径的范围，即可求得 AB 的取值范围.
|MF | |MF |2
【详解】由题意知圆 F的圆心为 F(1，0)，半径 r=1，抛物线方程 y2=4x，四边形MAFB的面积
S 1 |MA | | AF | 2 |MA | |MF | 2 1 1 ，又 S | AB | |MF |，所以
2 2
2 |MF |2 1
| AB | 1 2 1 2 ，由抛物线定义，得 |MF | x 1 ，又 x [1,3]，所以|MF | |MF |

|MF |2
1 1 , 1 | AB | 3, 15 15 [4,16] ，所以 2 ，所以 ．故答案为： 3,|MF | 16 4

2 2
16．66
【分析】根据题意，分 3 种情况讨论：①当 A、C、E 种同一种植物，②当 A、C、E 种二种植物，③当 A、C、
E 种三种植物，再由分类计数原理，即可求得，得到答案．
【详解】根据题意，分 3 种情况讨论：
①当 A、C、E 种同一种植物，此时共有 3×2×2×2=24 种方法；
②当 A、C、E 种二种植物，此时共有 C32×A32×2×1×1=36 种方法；
③当 A、C、E 种三种植物，此时共有 A33×1×1×1=6 种方法；
则一共有 24+36+6=66 种不同的栽种方案；故答案为 66．
三、解答题:（本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。

17．（1）证明见解析；（2）
6

【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用EF DA1 0和 EF DC 0，可证得线线垂直，进而得线面垂直；
（2）利用二面角的大小 n1,n2 或 - n1,n2 可得解.
高二数学试卷(理科)答案 第 4页 共 9页
【详解】（1）据题意，建立如图坐标系． ......................................1 分
于是：D(0,0,0) ， A1(2,0,2)，C(0, 2,0)， E(2,1,0) ，F (1,1,1) ， ......................................2 分

∴ EF ( 1,0,1)，DA1 (2,0, 2)，DC (0, 2,0) . EF DA1 1 2 0 0 1 2 0 ,∴EF DA1 ，即 EF DA1 ；

EF DC 1 0 0 2 1 0 0 ,∴EF DC，即EF DC．..................4 分
又∵DA1，DC 平面DCA1 且DA1 DC D ∴ EF 平面 A1CD．
又∵EF 平面 EA1C，∴平面 EA1C 平面 DA1C. ......................................5 分
（2）由题知

D(0,0,0) , F (1,1,1) , E(2,1,0) , B (2,2,0),∴DF (1,1,1), EF ( 1,0,1) ,DB (2,2,0), ..........6 分
DF n 0 x1 y1 z1 0
设面 DEF 的法向量为 n1 （x1, y1, z1)，则
1 ,即 ，不妨取 n1 （1, 2,1) ..........7 分
EF n1 0 x1 z1 0
DF n 0 x y z 0
设面 DBF 2 2 2的法向量为 n2 （x 2 ,即2 , y2 , z2 ) ，则 ，不妨取 n2 （1, 1,0) ..........8 分
DB n 0 2x2 2y2 02
则 cos n1,n
n
1
n2 3 3
2
6 2 2 ， ......................................9 分n1 n2

分析可知面 DEF 与面 DBF 所成二面角是锐角，所以所求二面角为 。 ......................................10 分
6
18．（1）m 2；（2） (x 4)2 (y 2)2 16.
【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，根据相切可知联立化简后的方程 0，即可求得b的值；
（2）将（1）中所得 m 的值代入联立后的方程，可求得切点坐标，由与抛物线C的准线相切可得圆的半径，进
而可得圆的标准方程.
y x m
【详解】（1）直线 l : y x m与抛物线C : x2 8y 相切于点 P.则 x2 8y ，得 x
2 8x 8m 0，（*）........3 分

因为直线 l与抛物线C相切，所以 ( 8)2 4 ( 8m) 0，解得m 2 . ......................................5 分
(2)由（1）可知m 2，故方程（*）即为 x2 8x 16 0，解得 x 4， ......................................6 分
代入 x2 8y，得 y 2 .故点 P(2,4)， .....................................8 分
因为圆 P 与抛物线C的准线相切，所以 P 的半径 r等于圆心 P 到抛物线的准线 y 2的距离，
即 r | 2 ( 2) | 4， ......................................10 分
所以圆 P 的方程为 (x 4)2 (y 2)2 16. ......................................12 分
3
19．（1） ；（2）分布列见解析，5.
10
【分析】（1）利用古典概型结合组合数计算求解，（2） X 的可能取值为 3，4，5，6，7，分别求其概率，列出
高二数学试卷(理科)答案 第 5页 共 9页
分布列即可
C1C1C1
【详解】解：（1）记事件M 为在三类中各选 1 个项目，则P M 3 2 1 33 ，...............................4 分C6 10
3
所以小张在三类中各选 1 个项目的概率为 ． ......................................5 分
10
C3 1 C 2C1 3
（2） X 的可能取值为 3，4，5，6，7，则 P X 3 3 3 2
C3
； P X 4 ；
6 20 C
3
6 10
2 1 2 1 1 1 1
P X 5 C2C3 C3C1 3 P X 6 C3C2C1 3 C
2 1
； ； P X 7 2C1 13 3 3 ； ......................................9 分C6 10 C6 10 C6 20
所以分布列如下表所示：
X 3 4 5 6 7
1 3 3 3 1
P
20 10 10 10 20
......................................11 分
E X 3 1 4 3 5 3 6 3 7 1所以 5． ......................................12 分
20 10 10 10 20
20. (1)容量为 200，众数为 75，中位数为 76.875，平均值为 76.6
(2)列联表答案见解析，有 99.9%的把握认为是否为“冰雪达人”与性别有关
【分析】（1）根据频率分布直方图进行数据分析，求出样本容量；根据众数、中位数、平均值的定义求出众数、
中位数、平均值；
（2）进行数据分析，完成列联表，套公式计算K2，对着参数下结论；
120
【详解】解：(1)设样本容量为 n，则 (0.032 0.028) 10，解得 n 200，所以样本容量为 200...........1 分
n
由频率分布直方图可知 50,60 ， 60,70 ， 70,80 ， 80,90 ， 90,100 对应的频率分别为 0.08，0.20，0.32，0.28，
0.12，众数是第三组的中间值，所以众数是 75. ......................................2 分
前三组的频率之和为 0.6，所以中位数在 70,80 中.设中位数为 x，则0．08 0．2 x 70 0．032 0．5，
解得 x 76．875，所以估计该校本次竞赛成绩的中位数为 76.875 ......................................4 分
设平均值为 x， x 0.08 55 0.2 65 0.32 75 0.28 85 0.12 95 76.6 .........6 分
(2) 完成列联表如下：
男生 女生 合计
冰雪达人 60 20 80
非冰雪达人 60 60 120
......................................8 分
合计 120 80 200
高二数学试卷(理科)答案 第 6页 共 9页
K 2 200 (60 60 60 20)
2
12.5 10.828， ..........11 分
120 80 80 120
故有 99.9%的把握认为是否为“冰雪达人”与性别有关 ..........12 分
2 2
21 x y．(1) 1(2)证明见解析
16 3
MF a 10
【分析】（1 1）求得 c 13 ，利用椭圆和双曲线的定义求得 ，再利用勾股定理可求得 a的值，进
MF2 a 10
而可求得b的值，由此可求得椭圆C的标准方程；
（2）分析可知直线 PQ的斜率存在，设直线 PQ的方程为 y 3 k x 4 ，设点 P x1, y1 、Q x2 , y2 ，联立直
线 PQ与椭圆C的方程，列出韦达定理，利用斜率公式可求得直线 BP和 BQ的斜率之和.
【详解】(1)解：由双曲线 的焦点与椭圆C的焦点重合，得 c 13 ，由双曲线与椭圆的对称性知四边形MF1NF2
为矩形，则MF1 MF2， ......................................2 分
MF1 MF2 2a MF1 a 10
由椭圆和双曲线的定义可得 ，解得 ，由勾股定理可得
MF1 MF2 2 10 MF2 a 10
F F 2 2c 2 21 2 MF1 MF
2
2 ，即 2a2 20 52 ，解得a 4，则b 3 ， ......................................4 分
x2 y2
因此，椭圆C的方程为 1. ......................................5 分
16 3
(2)解：（i）若直线PQ的斜率不存在时，则该直线的方程为 x=4，直线 PQ与椭圆C相切，不合乎题意. ........6 分
（ii）直线 PQ的斜率存在，设直线 PQ的方程为 y 3 k x 4 ，即 y kx 4k 3 ， .............7 分
y kx 4k 3
设点 P x1, y1 、Q x2 , y

2 ，联立 ，可得
3x2 16y
2 48
16k 2 3 x2 32k(4k 3)x 128k(2k 3) 0 ， ......................................8 分
2
1024k 2 4k 3 4 16k 2 3 128k(2k 3) 0，可得 k 0，
32k 4k 3
由韦达定理可得 128k 2k 3 x x ， ， ......................................9 分1 2 16k 2 x x 3 1 2 16k 2 3
K K y1 3 y2 3 kx1 4k 2 3 kx2 4k 2 3
2 2k 3 (x1 +x2 )
BP BQ x1 x2 x
2k
1 x2 x1x2
2 2k 3 32k 4k 3
2k 16k
2 3 2k 2k 3 3
. . .....................................12 分128k 2k 3 2 2
16k 2 3
2
22．（1） （2）[1, )
e 1
【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点 1, f 1 切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角形面
积公式得结果；
高二数学试卷(理科)答案 第 7页 共 9页
1 Q f (x) e x ln x 1 f (x) ex
1
【详解】（ ） ， ， ......................................1 分
x
k f (1) e 1.Q f (1) e 1，∴切点坐标为(1,1+e), ......................................2 分
∴函数 f x 在点(1,f(1)处的切线方程为 y e 1 (e 1)(x 1) ,即 y e 1 x 2 , ......................................3 分
2 1 2切线与坐标轴交点坐标分别为 (0,2),( ,0) ,∴所求三角形面积为 2 | |=
2
．............................5 分
e 1 2 e 1 e 1
（2）［方法一］：通性通法
Q f (x) aex 1 1 ln x ln a , f (x) aex 1 ，且 a 0 . ......................................6 分
x
设 g(x) f (x),则 g (x)
1
aex 1 2 0, ∴g(x)在 (0, )上单调递增，即 f (x) 在 (0, )上单调递增，.........7 分x
1 1
当 a 1时， f (1) 0 ,∴ f x fmin 1 1 ,∴ f x 1成立， 当 a 1时， 1 ， 1 ，a ∴e a 1
1 1 1 1
f ( ) f (1) a(ea 1)(a 1) 0, x 0 x0 1 ∴存在唯一 0 ，使得 f (x0 ) ae 0 ，且当 x (0, x0 )时 f (x) 0x ，a 0
当 x (x0 , ) 时 f (x) 0， ......................................8 分
aex 1 0 1 ， ln a x0 1 ln xx 0，因此0
f (x) x 1 1 10min f (x0) ae ln x0 lna ln a x0 1 ln a 2 ln a 1 2 x0 2 ln a 1>1,.......................9 分x0 x0
∴ f x 1,∴ f x 1恒成立； ......................................10 分
当 0 a 1时， f (1) a ln a a 1,∴ f (1) 1, f (x) 1不是恒成立 .......................................11 分
综上所述，实数 a的取值范围是[1,+∞). ......................................12 分
［方法二］【最优解】：同构
由 f (x) 1得 aex 1 ln x ln a 1，即 eln a x 1 ln a x 1 ln x x，. .....................................6 分
而 ln x x eln x ln x，所以 eln a x 1 ln a x 1 eln x ln x． ......................................7 分
令h(m) em m，则 h (m) em 1 0，所以 h(m)在 R上单调递增． ......................................8 分
由 eln a x 1 ln a x 1 eln x ln x，可知 h(ln a x 1) h(ln x) ，所以 ln a x 1 ln x，所以
ln a (ln x x 1)max ． ......................................9 分
F (x) ln x x 1 1 1 x令 ，则 F (x) 1 ．所以当 x (0,1) 时， F (x) 0,F (x) 单调递增；.......................10 分
x x
当 x (1, )时， F (x) 0,F (x) 单调递减． 所以 [F(x)]max F(1) 0，则 ln a 0，即 a 1．....................11 分
所以 a的取值范围为 a 1． ......................................12 分
［方法三］：换元同构
由题意知 a 0, x 0 ，令 aex 1 t，所以 lna x 1 ln t，所以 lna ln t x 1．于是
f (x) aex 1 ln x lna t ln x ln t x 1． ......................................6 分
高二数学试卷(理科)答案 第 8页 共 9页
由于 f (x) 1, t ln x ln t x 1 1 t ln t x ln x， ......................................7 分
而 y x ln x在 x (0, )时为增函数，故 t x，即 aex 1 x， ......................................8 分
x 1 x 1 x 1
分离参数后有 a
x x
e xe e (1 x)x 1 ．令 g(x) x 1 ，所以 g (x) 2x 2 2x 2 ． ......................................9 分e e e e
x
当0 x 1时， g (x) 0, g(x) 单调递增；当 x 1时， g (x) 0, g(x) 单调递减．所以当 x 1时， g(x) 取得
ex 1
最大值为 g(1) 1． ......................................11 分
所以 a 1． ......................................12 分
［方法四］：
因为定义域为 (0, )，且 f (x) 1，所以 f (1) 1，即 a ln a 1． ......................................6 分
令 S(a) a ln a
1
，则 S (a) 1 0 ，所以 S(a)在区间 (0, )内单调递增． ......................................7 分
a
因为 S (1) 1，所以 a 1时，有 S(a) S(1)，即 a lna 1．下面证明当 a 1时， f (x) 1恒成立．............8 分
令T (a) aex 1
1
ln x lna，只需证当 a 1 T (a) 1 x 1时， 恒成立．因为T (a) e 0，所以T (a)在区间[1, )
a
x 1
内单调递增，则[T (a)]min T (1) e ln x． ....................9 分
x 1
因此要证明 a 1时，T (a) 1恒成立，只需证明[T (a)]min e ln x 1 即可．由 ex x 1, ln x x 1，得
ex 1 x, ln x 1 x．上面两个不等式两边相加可得 e x 1 ln x 1，故 a 1时， f (x) 1恒成立．..............10 分
当 0 a 1时，因为 f (1) a ln a 1，显然不满足 f (x) 1恒成立． ......................................11 分
所以 a的取值范围为 a 1． ......................................12 分
高二数学试卷(理科)答案 第 9页 共 9页

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