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五年级下册奥数知识点：数学游戏

为了便于叙述，我们用(m,n)表示两堆球，其中一堆有m个，另一堆有n
个。
我们从最简单的情况(1,0)开始讨论。
显然，谁拿过球后两堆球成为(1,0)的状况，则对方必败，因为此时对
方只有唯一的一种选择一一拿走最后一个球.因此(1,0)是胜位，即谁造成
这个局面谁必胜.把这种情形简记为
①(1,0)，胜位。
②(a)(n,0),负位，其中n1;
(对方只需在n个球的那堆中拿走n一1个，对方就造出(1,0)局面，因
而对方胜)。
显然，(b)(1,1),负位；
(c)(n,1),负位，其中n1。
(对方只需在n个球的那堆中的球全拿走，就造出(1,0)局面.)此外，
③(2,2)，胜位.（对方拿走1个变(2,1），即②(c)中的情形；拿
走2个变(2,0)，即②（ā）中的情形.对方均负).因此
④(n,2),负位，其中n2。
(对方只需在n个球的那堆中拿走n一2个，对方就占据了胜位(2,2).)
与③类似，有
⑤(3,3)，胜位.（对方一次拿走任意多个后必变为②(a),②
(c),④三种负位之一.)因此
⑧(n,3),负位，其中n3。
(对方只需在n个球的那堆中拿走n一3个，对方就占据了胜位(3,3).)
还有
⑦(4,4)，胜位.（对方一次拿走任意多个后必变为②(a),②
(c)，④，@四种负位之一.)因此
⑧(n,4),负位，其中n4。
(对方只需在n个球的那堆中拿走n一4个，对方就占据了胜位(4,4).)
如此等等，
因此，当两堆球的个数相等但不等于1，或只有一堆球，其中只有一个球
时，先拿的必输；当个数不相等但不是(1,0)，或两堆各有1个球时，先拿
的必胜（当为(n,0)时，拿走n-1个球；当为(n,1)时，拿走n个球；否
则，从多的一堆中拿走一些，使两堆个数相等)。
解：如果甲先拿，甲有必胜的策略.甲的具体做法是：从9个球的那一堆中
拿1个，使两堆球数相等，都是8个。
此后，乙从一堆中拿球，甲就从另一堆中拿.如果乙把一堆中的球全拿
走，那么甲就比乙少拿一个即可（即就剩下一个球）；如果乙使得一堆球就剩
下一个球，那么甲就把另一堆球都拿走；否则，当乙拿几个时，甲世拿同样多
的个数.在前两种情形，因为只剩下一堆球，而且这堆中只有一个球，因此乙
必输；在后一种情形两堆球的个数相同，只是比原来少了。
这样，如果每次都是后一种情形，那么甲总能使得乙面临两堆各有2个球
的局面.这时，乙只有两种选择：拿2个或拿1个，然后，甲拿1个或拿2个，乙
妆必输。

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