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第1节　集　合
1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中了解全集与空集的含义.
3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;
(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用.
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性:　　　　、　　　　、　　　　.
(2)元素与集合的关系是　　　或　　　　,用符号　　　和　　　表示.
(3)集合的表示方法:　　　　、　　　　、Venn图法.
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 　　 　　 　　 　　 　　
图表中所列举的字母符号均是集合的形式,不要加{},这是因为{R}不是实数集,它表示一个集合,该集合中只有一个元素R.
2.集合间的基本关系
关系 自然语言 符号 语言 Venn图
子集 如果集合A中　　　　　　元素都是集合B中的元素,称集合A为集合B的子集(即若x∈A,则x∈B) 　　 　　 或
真子集 如果集合A B,但存在元素x∈B,且x A,则称集合A是集合B的真子集 　　 　　
集合 相等 如果集合A的　　　　　　元素都是集合B的元素,同时集合B的　　　　　　元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B　　　 　　
(1)A B包含两层含义:AB或A=B.
(2)是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
运算 自然语言 符号语言 Venn图
交集 由　　　　　　　　　　　　的元素组成的集合,称为集合A与B的交集,记作　　　 A∩B= 　　 　　
并集 由　　　　　　　　　　　　的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作　　　 A∪B= 　　　 　　　
补集 对于一个集合A,由全集U中　　　　　　　　　的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,记作　　　 UA= 　　 　　
4.集合的重要性质
(1)A∩A=A,A∩=,A∩B=B∩A.
(2)A∪A=A,A∪=A,A∪B=B∪A.
(3)A∩( UA)=,A∪( UA)=U, U( UA)=A.
1.对于有限集合A,其元素个数为n,则集合A的子集个数为2n,真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.
2.A B,A∩B=A,A∪B=B, UB UA以及A∩( UB)=两两等价.
3. U(A∩B)=( UA)∪( UB), U(A∪B)=( UA)∩( UB).
1.(2021·新高考Ⅰ卷)设集合A={x|-2A.{2}　　　 B.{2,3}　 C.{3,4}　　 D.{2,3,4}
2.(必修第一册P9习题1、2T1改编)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则( UP)∪Q等于(　　)
A.{1} B.{3,5}
C.{1,2,4,6} D.{1,2,3,4,5}
3.已知集合A={1,2,5,6},B={5,X},若B A,则X可以取的值为(　　)
A.1,2 B.1,6
C.2,6 D.1,2,6
4.(2021·云南昆明一中高三月考)已知集合A={(x,y)|x-y=0},B= {(x,y)|-2x+y=3},则A∩B等于(　　)
A.(-3,-3) B.(3,3)
C.{(-3,-3)} D.{(3,3)}
5.已知集合A={x∈N|y=∈Z},则列举法表示集合A=　　　　,集合A的真子集有　　　　个.
集合的概念与表示
1.(多选题)下列各个说法中,正确的是(　　)
A.高三(1)班所有高个子的同学可以构成一个集合
B.若m∈N,n∈N且m≠n,则m+n的最小值为2
C.四个集合{x|x=1},{y|(y-1)2=0},{x=1},{1}所表示的含义不完全相同
D.若{x|x2+ax+b=x}={1},则a=-1,b=1
2.(2021·四省名校高三联考)已知集合A={(x,y)|y≤,x,y∈N},则集合A中元素的个数为(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
3.(2021·河北石家庄模拟)已知集合A={0,a+b,},B={0,1-b,1},a,b∈R,若A=B,则a+2b等于(　　)
A.-2 B.2 C.-1 D.1
4.已知集合A={1,2,3,4},B={(x,y)|x∈A,y∈A,y-x∈A},则集合B中的元素的个数为(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
5.已知集合A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,则2 023a的值为　　　　.
1.求解描述法表示的集合问题,首先要明确构成集合的元素以及元素满足的限制条件是什么,从而准确把握集合的意义.常见的集合的意义如下表:
集合 {x|f(x) =0} {x|f(x) >0} {x|y= f(x)} {y|y= f(x)} {(x,y)| y=f(x)}
集合的 意义 方程 f(x)=0 的解集 不等式 f(x)>0 的解集 函数y= f(x)的 定义域 函数 y=f(x) 的值域 函数y= f(x)图 象上的 点集
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
3.求解集合相等问题,要注意分类讨论以及集合中元素性质的应用.
集合间的基本关系
1.(2021·山东潍坊高三联考)已知集合A={-1,0,1},B={(x,y)|x∈A,y∈A,∈N},则集合B的子集个数为(　　)
A.4 B.8 C.13 D.16
2.(2021·江西重点中学协作体模拟)已知集合A={x|x2-5x-6<0},若B A,则B可以是(　　)
A.{x|-2C.{x|x>-1} D.{x|03.设集合M={x|x=+,k∈Z},N={x|x=+,k∈Z},则(　　)
A.M=N　 B.M N　
C.N M　 D.无法确定
4.已知集合A={x|-1≤x≤3},集合B={x|1-m≤x≤1+m}.若B A,则m的取值范围是(　　)
A.(-∞,2] B.[-1,3]
C.[-3,1] D.[0,2]
1.判断集合之间的关系的常用方法:对于用列举法表示的集合,只需要观察其元素即结合定义判断它们之间的关系,对于用描述法表示的集合,要从所含元素的特征来分析,若集合之间可以统一形式,则需要统一形式后判断.
2.已知两个集合间的关系求参数时,关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系.合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.确定参数所满足的条件时,一定要把端点值代入进行验证,否则易增解或漏解.
集合的基本运算
角度一　给定具体集合的基本运算
(1)(2021·广东深圳高三二模)已知A={x∈N|x<7},B={5,6,7, 8},则集合A∪B中的元素的个数为(　　)
A.7 B.8 C.9 D.10
(2)(2021·安徽合肥高三三模)已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5}, B={-2,0,1,2}之间关系的Venn图如图所示,则图中阴影部分表示的集合为(　　)
A.{-2,0} B.{-2}
C.{-2,0,1} D.{-2,0,2,1}
1.进行集合运算时,首先看集合能否化简,能化简的先化简,再研究其关系并进行运算.
2.涉及与集合的补集有关的集合运算问题,要求出补集后再求解.
3.由Venn图给出的集合运算问题,首先将Venn图转化为集合之间的运算关系后再求解.
4.若由集合的元素性质具有明显的几何意义的两曲线构成的集合交集问题,可以利用解方程组的方法求解,涉及点集时,也可以利用列举法求解.
角度二　含参数的集合运算
(1)(2021·广东江门高三调研)已知集合A={1,2a},B={a,b},若A∩B={},则A∪B等于(　　)
A.{1,} B.{-1,}
C.{-1,1,} D.{b,1,}
(2)(2021·宁夏高三联考)已知集合A={1,a2(a∈R)},B={-1,0,1},若A∪B=B,则A中元素的和为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.-1
(3)(2021·安徽示范高中高考模拟)若集合A={x|xA.(1,+∞) B.[1,+∞)
C.(0,+∞) D.[0,+∞)
求解含参数的集合运算问题,主要有以下方法
(1)涉及离散的集合运算求参数,要注意所求参数是否满足集合中元素的性质.
(2)与集合的运算性质有关的集合运算,要注意将运算性质转化为集合之间的关系.
(3)涉及与连续的数集有关的集合运算,要注意借助数轴转化为与参数有关的不等式(组),此时要注意集合端点的取值.
角度三　抽象集合的运算
(1)(2021·江苏、福建等八省高三联合模拟)已知M,N均为R的子集,且 RM N,则M∪( RN)等于(　　)
A. B.M C.N D.R
(2)(2021·百校联盟高三联考)已知全集为U且P,Q为U的子集,P∩( UQ)=P,则Q∩( UP)等于(　　)
A. B.P C.Q D.U
涉及抽象集合的运算问题,可利用集合的包含关系或者画出Venn图,结合Venn图求解.
[针对训练]
1.(2021·河南新乡高三一模)已知集合A={a,a2-2,0},B={2a,a+b},若A∩B={-1},则b等于(　　)
A.-1 B.-2 C.0 D.1
2.(2021·山东滨州高三二模)设全集U={-3,-2,0,2,3},A={-3,3}, B={x|(x-3)(x-2)=0},则图中阴影部分所表示的集合为(　　)
A.{-3,2,3} B.{-3,-2,0,2}
C.{3} D.{-2,0}
3.若集合M={(x,y)∣3x-y=0},N={(x,y)|x2+y2=0},则(　　)
A.M∩N=M B.M∪N=M
C.M∪N=N D.M∩N=
4.(2021·江苏连云港高三联考)若非空且互不相等的集合M,N,P满足:M∩N=M,N∪P=P,则M∪P等于(　　)
A. B.M C.N D.P
请完成“课时作业”第195页的内容第1节　集　合
1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中了解全集与空集的含义.
3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;
(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用.
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于,用符号∈和 表示.
(3)集合的表示方法:列举法、描述法、Venn图法.
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N+) Z Q R
图表中所列举的字母符号均是集合的形式,不要加{},这是因为{R}不是实数集,它表示一个集合,该集合中只有一个元素R.
2.集合间的基本关系
关系 自然语言 符号语言 Venn图
子集 如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,称集合A为集合B的子集(即若x∈A,则x∈B) A B或 B A 或
真子集 如果集合A B,但存在元素x∈B,且x A,则称集合A是集合B的真子集 A B或 B A
集合 相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等 A=B
(1)A B包含两层含义:A B或A=B.
(2)是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
运算 自然语言 符号语言 Venn图
交集 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的交集,记作A∩B A∩B= {x|x∈A, 且x∈B}
并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B A∪B= {x|x∈A, 或x∈B}
补集 对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,记作 UA UA= {x|x∈U, 且x A}
4.集合的重要性质
(1)A∩A=A,A∩=,A∩B=B∩A.
(2)A∪A=A,A∪=A,A∪B=B∪A.
(3)A∩( UA)=,A∪( UA)=U, U( UA)=A.
1.对于有限集合A,其元素个数为n,则集合A的子集个数为2n,真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.
2.A B,A∩B=A,A∪B=B, UB UA以及A∩( UB)=两两等价.
3. U(A∩B)=( UA)∪( UB), U(A∪B)=( UA)∩( UB).
1.(2021·新高考Ⅰ卷)设集合A={x|-2A.{2}　　　 B.{2,3}　 C.{3,4}　　 D.{2,3,4}
解析:由2∈A,3∈A,4 A,5 A,可得A∩B={2,3}.故选B.
2.(必修第一册P9习题1、2T1改编)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则( UP)∪Q等于(　C　)
A.{1} B.{3,5}
C.{1,2,4,6} D.{1,2,3,4,5}
解析:根据补集的运算得 UP={2,4,6},所以( UP)∪Q={2,4,6}∪{1,2,4}={1,2,4,6}.故选C.
3.已知集合A={1,2,5,6},B={5,X},若B A,则X可以取的值为(　D　)
A.1,2 B.1,6
C.2,6 D.1,2,6
解析:由B A和集合元素的互异性可知,X可以取的值为1,2,6.故
选D.
4.(2021·云南昆明一中高三月考)已知集合A={(x,y)|x-y=0},B= {(x,y)|-2x+y=3},则A∩B等于(　C　)
A.(-3,-3) B.(3,3)
C.{(-3,-3)} D.{(3,3)}
解析:联立方程组解得x=-3,y=-3,所以A∩B= {(-3,-3)}.故选C.
5.已知集合A={x∈N|y=∈Z},则列举法表示集合A=　　　　,集合A的真子集有　　　　个.
解析:因为y=∈Z且x∈N,所以x=0或1或3或9,所以列举法表示集合A为{0,1,3,9},所以集合A的真子集个数为24-1=15.
答案:{0,1,3,9}　15
集合的概念与表示
1.(多选题)下列各个说法中,正确的是(　CD　)
A.高三(1)班所有高个子的同学可以构成一个集合
B.若m∈N,n∈N且m≠n,则m+n的最小值为2
C.四个集合{x|x=1},{y|(y-1)2=0},{x=1},{1}所表示的含义不完全相同
D.若{x|x2+ax+b=x}={1},则a=-1,b=1
2.(2021·四省名校高三联考)已知集合A={(x,y)|y≤,x,y∈N},则集合A中元素的个数为(　B　)
A.3 B.4 C.5 D.6
解析:由已知可得满足条件的点有(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),共4个,所以集合A中的元素共有4个.故选B.
3.(2021·河北石家庄模拟)已知集合A={0,a+b,},B={0,1-b,1},a,b∈R,若A=B,则a+2b等于(　D　)
A.-2 B.2 C.-1 D.1
解析:因为A=B,①当时,
解得a=b=,所以a+2b=1.
②当时,
解得此时A={0,1,0},与集合中元素的互异性矛盾.
综上,a+2b=1.故选D.
4.已知集合A={1,2,3,4},B={(x,y)|x∈A,y∈A,y-x∈A},则集合B中的元素的个数为(　C　)
A.4 B.5 C.6 D.7
解析:因为集合A={1,2,3,4},B={(x,y)|x∈A,y∈A,y-x∈A},所以当x=1时,y=2或y=3或y=4,当x=2时,y=3或y=4,当x=3时,y=4,所以集合B中的元素个数为6.故选C.
5.已知集合A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,则2 023a的值为　　　　.
解析:①若a+2=1,即a=-1,则(a+1)2=0,a2+3a+3=1,不满足集合中元素的互异性;
②若(a+1)2=1,则a=-2或a=0,
当a=-2时,则a+2=0,a2+3a+3=1,不满足集合中元素的互异性;
当a=0时,则a+2=2,a2+3a+3=3,满足题意;
③若a2+3a+3=1,则a=-1或-2,由①②,可知均不满足集合中元素的互异性.综上,实数a的值为0,故2 023a的值为1.
答案:1
1.求解描述法表示的集合问题,首先要明确构成集合的元素以及元素满足的限制条件是什么,从而准确把握集合的意义.常见的集合的意义如下表:
集合 {x|f(x) =0} {x|f(x) >0} {x|y= f(x)} {y|y= f(x)} {(x,y)| y=f(x)}
集合的 意义 方程 f(x)=0 的解集 不等式 f(x)>0 的解集 函数y= f(x)的 定义域 函数 y=f(x) 的值域 函数y= f(x)图 象上的 点集
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
3.求解集合相等问题,要注意分类讨论以及集合中元素性质的应用.
集合间的基本关系
1.(2021·山东潍坊高三联考)已知集合A={-1,0,1},B={(x,y)|x∈A,y∈A,∈N},则集合B的子集个数为(　D　)
A.4 B.8 C.13 D.16
解析:因为x∈A,y∈A,∈N,所以满足条件的有序实数对为(-1,-1),(0,-1),(0,1),(1,1).由于集合B中含有4个元素,因此集合B的子集个数为24=16.故选D.
2.(2021·江西重点中学协作体模拟)已知集合A={x|x2-5x-6<0},若B A,则B可以是(　D　)
A.{x|-2C.{x|x>-1} D.{x|0解析:因为x2-5x-6<0,所以-13.设集合M={x|x=+,k∈Z},N={x|x=+,k∈Z},则(　B　)
A.M=N　 B.M N　
C.N M　 D.无法确定
解析:由集合M={x|x=+,k∈Z}得
x=+=,分子是奇数,
由集合N={x|x=+,k∈Z}得
x=+=,分子可以是奇数也可以是偶数,则M N.故选B.
4.已知集合A={x|-1≤x≤3},集合B={x|1-m≤x≤1+m}.若B A,则m的取值范围是(　A　)
A.(-∞,2] B.[-1,3]
C.[-3,1] D.[0,2]
解析:当m≥0时,要满足B A,只需 解得0≤m≤2;当m<0时,1-m>1+m,所以此时B=,满足B A.综上,m的取值范围为m≤2.故选A.
1.判断集合之间的关系的常用方法:对于用列举法表示的集合,只需要观察其元素即结合定义判断它们之间的关系,对于用描述法表示的集合,要从所含元素的特征来分析,若集合之间可以统一形式,则需要统一形式后判断.
2.已知两个集合间的关系求参数时,关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系.合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.确定参数所满足的条件时,一定要把端点值代入进行验证,否则易增解或漏解.
集合的基本运算
　给定具体集合的基本运算
(1)(2021·广东深圳高三二模)已知A={x∈N|x<7},B={5,6, 7,8},则集合A∪B中的元素的个数为(　　)
A.7 B.8 C.9 D.10
(2)(2021·安徽合肥高三三模)已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5}, B={-2,0,1,2}之间关系的Venn图如图所示,则图中阴影部分表示的集合为(　　)
A.{-2,0} B.{-2}
C.{-2,0,1} D.{-2,0,2,1}
解析:(1)由A={x∈N|x<7}可知A={0,1,2,3,4,5,6},结合B={5,6,7, 8},因此A∪B={0,1,2,3,4,5,6,7,8},共9个元素.故选C.
(2)由题意画出Venn图,如图所示.则阴影部分的集合为{-2,0}.故
选A.
1.进行集合运算时,首先看集合能否化简,能化简的先化简,再研究其关系并进行运算.
2.涉及与集合的补集有关的集合运算问题,要求出补集后再求解.
3.由Venn图给出的集合运算问题,首先将Venn图转化为集合之间的运算关系后再求解.
4.若由集合的元素性质具有明显的几何意义的两曲线构成的集合交集问题,可以利用解方程组的方法求解,涉及点集时,也可以利用列举法求解.
　含参数的集合运算
(1)(2021·广东江门高三调研)已知集合A={1,2a},B={a,b},若A∩B={},则A∪B等于(　　)
A.{1,} B.{-1,}
C.{-1,1,} D.{b,1,}
(2)(2021·宁夏高三联考)已知集合A={1,a2(a∈R)},B={-1,0,1},若A∪B=B,则A中元素的和为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.-1
(3)(2021·安徽示范高中高考模拟)若集合A={x|xA.(1,+∞) B.[1,+∞)
C.(0,+∞) D.[0,+∞)
解析:(1)因为集合A={1,2a},且A∩B={},所以2a=,解得a=-1,则b=.
所以A∪B={-1,1,}.故选C.
(2)因为A∪B=B,所以A B,所以a2=0,则a=0,所以A={1,0},
因此集合A中元素的和为0+1=1.故选B.
(3)因为集合A={x|x因为A∪B=R,所以a≥1.所以实数a的取值范围是[1,+∞).故选B.
求解含参数的集合运算问题,主要有以下方法
(1)涉及离散的集合运算求参数,要注意所求参数是否满足集合中元素的性质.
(2)与集合的运算性质有关的集合运算,要注意将运算性质转化为集合之间的关系.
(3)涉及与连续的数集有关的集合运算,要注意借助数轴转化为与参数有关的不等式(组),此时要注意集合端点的取值.
　抽象集合的运算
(1)(2021·江苏、福建等八省高三联合模拟)已知M,N均为R的子集,且 RM N,则M∪( RN)等于(　　)
A. B.M C.N D.R
(2)(2021·百校联盟高三联考)已知全集为U且P,Q为U的子集,P∩( UQ)=P,则Q∩( UP)等于(　　)
A. B.P C.Q D.U
解析:(1)法一　因为 RM N,所以M RN,所以M∪( RN)=M.故选B.
法二　如图,由 RM N易知M∪( RN)=M.
(2)由题意可知全集为U,
P,Q为U的子集,
且P∩( UQ)=P,
如图所示,可得Q∩ UP=Q.故选C.
涉及抽象集合的运算问题,可利用集合的包含关系或者画出Venn图,结合Venn图求解.
[针对训练]
1.(2021·河南新乡高三一模)已知集合A={a,a2-2,0},B={2a,a+b},若A∩B={-1},则b等于(　　)
A.-1 B.-2 C.0 D.1
解析:因为A∩B={-1},所以-1∈A,-1∈B.又a=-1或a2-2=-1,且a≠a2-2≠0,得a=1.因为2a>0,所以a+b=-1,即b=-2.故选B.
2.(2021·山东滨州高三二模)设全集U={-3,-2,0,2,3},A={-3,3},B={x|(x-3)(x-2)=0},则图中阴影部分所表示的集合为(　　)
A.{-3,2,3} B.{-3,-2,0,2}
C.{3} D.{-2,0}
解析:因为B={x|(x-3)(x-2)=0}={2,3},A={-3,3},
所以A∪B={-3,2,3},又全集U={-3,-2,0,2,3},所以图中阴影部分所表示的集合为 U(A∪B)={-2,0}.故选D.
3.若集合M={(x,y)∣3x-y=0},N={(x,y)|x2+y2=0},则(　　)
A.M∩N=M B.M∪N=M
C.M∪N=N D.M∩N=
解析:因为集合M={(x,y)|3x-y=0},N={(x,y)|x2+y2=0}={(0,0)},
因为 所以M∩N={(0,0)}=N,所以M∪N=M.故
选B.
4.(2021·江苏连云港高三联考)若非空且互不相等的集合M,N,P满足:M∩N=M,N∪P=P,则M∪P等于(　　)
A. B.M C.N D.P
解析:由M∩N=M可得,M N,N∪P=P可得N P.故M P.因此M∪P=P.故选D.
(2021·湖北武汉模拟)已知全集U={x∈N|0A.{1,2,4} B.{1,2,7}
C.{1,2,3} D.{1,2,4,7}
解析:U={1,2,3,4,5,6,7},根据题意得到如图所示的Venn图,
所以A={1,2,3}.故选C.
(2021·山东潍坊三模)已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2}, B={3,4},则集合{5}等于(　　)
A. U(A∪B) B.( UA)∪( UB)
C.( UA)∪B D.( UB)∪A
解析:A∪B={1,2,3,4},则 U(A∪B)={5},故选项A正确; UA={3,4,5}, UB={1,2,5},所以( UA)∪( UB)={1,2,3,4,5},故选项B错误; UA= {3,4,5},所以( UA)∪B={3,4,5},故选项C错误; UB={1,2,5},所以( UB)∪A={1,2,5},故选项D错误.故选A.
(2021·福建厦门高三二模)已知集合A={1,a},B={x|log2x<1},且A∩B有2个子集,则实数a的取值范围为(　　)
A.(-∞,0] B.(0,1)∪(1,2]
C.[2,+∞) D.(-∞,0]∪[2,+∞)
解析:由题意得B={x|log2x<1}=(0,2),因为A∩B有2个子集,所以A∩B中的元素个数为1.
因为1∈(A∩B),所以a (A∩B),即a B,所以a≤0或a≥2,即实数a的取值范围为(-∞,0]∪[2,+∞).故选D.
(2021·陕西西安中学高考模拟)集合A={x|x<-1或x≥3},B={x|ax+1≤0},若B A,则实数a的取值范围是(　　)
A.[-,1)
B.[-,1]
C.(-∞,-1)∪[0,+∞)
D.[-,0)∪(0,1)
解析:由题知B A,
①当B=时,即ax+1≤0无解,此时a=0,满足题意.
②当B≠时,即ax+1≤0有解,当a>0时,可得x≤-,
要使B A,则需要解得0当a<0时,可得x≥-,
要使B A,则需要解得-≤a<0.
综上,实数a的取值范围是[-,1).故选A.
(多选题)(2021·江苏徐州高三期末)对任意A,B R,记A B={x|x∈A∪B,x A∩B},并称A B为集合A,B的对称差.例如,若A={1,2,3},B={2,3,4},则A B={1,4},下列命题中,为真命题的是(　　)
A.若A,B R且A B=B,则A=
B.若A,B R且A B=,则A=B
C.若A,B R且A B A,则A B
D.存在A,B R,使得A B= RA RB
解析:对于A选项,因为A B=B,所以B={x|x∈A∪B,x A∩B},
所以A B,且B中的元素不能出现在A∩B中,因此A=,即选项A正确;
对于B选项,因为A B=,所以={x|x∈A∪B,x A∩B},
即A∪B与A∩B是相同的,所以A=B,即选项B正确;
对于C选项,因为A B A,所以{x|x∈A∪B,x A∩B} A,
所以B A,即选项C错误;
对于D选项,设A={x|x<2},B={x|x>1},
则A∪B=R,A∩B={x|1所以A B={x|x≤1或x≥2},又 RA={x|x≥2}, RB={x|x≤1},
( RA)∪( RB)={x|x≤1或x≥2},( RA)∩( RB)=,所以( RA) ( RB)= {x|x≤1或x≥2},因此A B= RA RB,即选项D正确.故选ABD.
知识点、方法 基础巩固练 综合运用练 应用创新练
集合的概念与表示 1,3,8,9
集合间的关系 4,6 11,15
集合的运算 2,5,7,10 12,13,14 16
1.已知集合A={1,2},B={x|x=a+b,a∈A,b∈A},则集合B中元素的个数为(　C　)
A.1　 B.2　 C.3　 D.4
解析:由A={1,2}及题意得B={x|x=a+b,a∈A,b∈A}={2,3,4},则集合B中元素的个数为3.故选C.
2.(2020·全国Ⅰ卷)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a等于(　B　)
A.-4 B.-2 C.2 D.4
解析:A={x|-2≤x≤2},B={x}.
由A∩B={x|-2≤x≤1},知-=1,所以a=-2.故选B.
3.(2021·百校联盟联考)设集合A={2,3,a2-3a,a++7},B={|a-2|,0}.已知4∈A且4 B,则实数a的取值集合为(　D　)
A.{-1,-2} B.{-1,2}
C.{-2,4} D.{4}
解析:由题意可得①当a2-3a=4且|a-2|≠4时,解得a=-1或4.
a=-1时,集合A={2,3,4,4}不满足集合中元素的互异性,故a≠-1.
a=4时,集合A={2,3,4,},集合B={2,0},符合题意.
②当a++7=4且|a-2|≠4,解得a=-1,由①可得不符合题意.综上,实数a的取值集合为{4}.故选D.
4.设P={y|y=-x2+1,x∈R},Q={y|y=2x,x∈R},则(　C　)
A.P Q B.Q P
C. RP Q D.Q RP
解析:因为P={y|y=-x2+1,x∈R}={y|y≤1},Q={y|y=2x,x∈R}={y|y>0},所以 RP={y|y>1},所以 RP Q.故选C.
5.(2021·福建厦门外国语学校高三模拟)已知全集U={1,2,3,4,5}, A={2,3,4},B={3,5},则下列结论正确的是(　B　)
A.B A B. UA={1,5}
C.A∪B={3} D.A∩B={2,4,5}
解析:已知全集U={1,2,3,4,5},A={2,3,4},B={3,5}.可知B A,A选项错误; UA={1,5},B选项正确;A∪B={2,3,4,5},C选项错误;A∩B={3}, D选项错误.故选B.
6.(2021·江苏南通高三四模)已知集合A={1,2,3},B={-1,0,1,2},若M A且M B,则M的个数为(　C　)
A.1 B.3 C.4 D.6
解析:因为集合A={1,2,3},B={-1,0,1,2},所以A∩B={1,2},又M A且M B,所以M (A∩B),即M {1,2},所以M的个数为22=4.故选C.
7.(2021·浙江杭州二中模拟)定义集合A={x|f(x)=},B= {x|x2-2x-3<0},则A∩B=　　　　,A∪ RB=　　　　.
解析:因为集合A={x|f(x)=}={x|-1≤x≤1},集合B={x|x2-2x- 3<0}={x|-1答案:{x|-18.(2021·湘豫名校高三联考)设集合A={-1,0,1},集合B={x|x>t},若A,B两集合的关系如图,则实数t的取值范围为　　　　.
解析:由题意可知A∩B=,结合集合A={-1,0,1},集合B={x|x>t}可知t≥1.
答案:[1,+∞)
9.已知A={x|-1解析:因为A={x|-1答案:(2,3]
10.学校运动会上某班62名学生中有一半的学生没有参加比赛,参加比赛的学生中,参加田赛的有16人,参加径赛的有23人,则田赛和径赛都参加的学生人数为　　　　.
解析:设田赛和径赛都参加的学生人数为x,
因为62名学生中有一半的学生没有参加比赛,所以参加比赛的学生有31人,
故16-x+x+23-x=31 x=8,故田赛和径赛都参加的学生人数为8.
答案:8
11.已知集合M={x|x2-3x+2≤0},N={x|y=},若M∩N=M,则实数a的取值范围为(　D　)
A.(1,+∞) B.[1,+∞)
C.(-∞,1) D.(-∞,1]
解析:因为x2-3x+2≤0,所以(x-1)(x-2)≤0,所以1≤x≤2,所以M={x|1≤x≤2}.
因为x-a≥0,所以x≥a,所以N={x|x≥a}.
因为M∩N=M,所以M N,所以a≤1.所以实数a的取值范围为(-∞,1].故选D.
12.(多选题)(2021·山东济南三模)图中阴影部分用集合符号可以表示为(　AD　)
A.A∩(B∪C) B.A∪(B∩C)
C.A∩ U(B∩C) D.(A∩B)∪(A∩C)
解析:图中阴影部分用集合符号可以表示为A∩(B∪C)或(A∩B)∪(A∩C).故选AD.
13.(多选题)已知全集U=Z,集合A={x|2x+1≥0,x∈Z},B={-1,0,1,2},则(　ACD　)
A.A∩B={0,1,2}
B.A∪B={x|x≥0}
C.( UA)∩B={-1}
D.A∩B的真子集个数是7
解析:A={x|2x+1≥0,x∈Z}={x|x≥-,x∈Z},B={-1,0,1,2},
A∩B={0,1,2},故A正确;
A∪B={x|x≥-1,x∈Z},故B错误;
UA={x|x<-,x∈Z},
所以( UA)∩B={-1},故C正确;
由A∩B={0,1,2},则A∩B的真子集个数是23-1=7,故D正确.故选ACD.
14.(多选题)(2021·湖北重点中学高三联考)已知非空集合A,B满足:全集U=A∪B=(-1,5],A∩ UB=[4,5],则下列说法不一定正确的有(　ABD　)
A.A∩B= B.A∩B≠
C.B=(-1,4) D.B∩ UA=(-1,4)
解析:因为A∩ UB=[4,5],U=A∪B=(-1,5],
所以B=U-A∩ UB=(-1,4),所以C正确.
则集合A一定包含[4,5],当A=[4,5]时,
A∩B=,所以B错误.
当A=(3,5]时,A∩B=(3,4),所以A错误.
此时 UA=(-1,3],B∩ UA=(-1,3],所以D错误.故选ABD.
15.若集合A={x|x2+x-6=0},B={x|x2+x+a=0},若 UB UA,则实数a的取值集合是　　　　;若B A,则实数a的取值范围是　　　　.
解析:A={-3,2}.由 UB UA可知A B,因此{-3,2} B,则方程x2+x+a=0的两个根是-3,2,因此a=-6.
对于x2+x+a=0,结合B A可知
(1)当Δ=1-4a<0,即a>时,B=,B A成立;
(2)当Δ=1-4a=0,即a=时,B={-},B A不成立;
(3)当Δ=1-4a>0,即a<时,若B A成立,则B={-3,2},
所以a=-3×2=-6.
综上,a的取值范围为a>或a=-6.
答案:{-6}　a>或a=-6
16.若一个集合是另一个集合的子集,则称这两个集合构成“全食”;若两个集合有公共元素但不互为对方的子集,则称两个集合构成“偏食”.已知集合A={x|解析:集合A={x|0},集合B={x|x2-x-2<0}={x|-1所以或
解得1所以实数t的取值范围为(1,2).
答案:(1,2)

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