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第3节　不等式的性质、一元二次不等式
1.梳理不等式的性质,理解不等式的性质,掌握不等式的性质.
2.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.
3.经历从实际背景中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义,能借助一元二次函数的图象求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.
4.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式相应的函数、方程的联系.
1.两个实数大小比较的基本事实
2.不等式的基本性质
性质 性质内容 特别提醒
性质1 (对称性) a>b b性质2 (传递性) a>b,b>c a>c
性质3 (可加性) a>b a+c>b+c
性质4 (可乘性) ac>bc 注意c 的符号
ac性质5 (同向可加性) a+c>b+d
性质6 (同向同正可乘性) ac>bd>0
性质7 (可乘方性) a>b>0 an>bn (n∈N,n≥2) a,b同 为正数
不等式的性质中,含有 , 的作用是什么
提示:不等式的性质中,含有 的只能用来证明不等式而不能解不等式,而含有 的只能用来解不等式.
3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表
所示
判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两相异实根x1,x2 (x1ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|xx2} {x|x≠x1} {x|x∈R}
ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1形如ax2+bx+c>0的不等式一定是一元二次不等式吗
提示:当a≠0时,ax2+bx+c>0是一元二次不等式,当a=0时,不是一元二次不等式.
1.涉及实数的倒数有关的结论
(1)a>b,ab>0 <.
(2)a<0(3)a>b>0,0.
(4)02.两个重要不等式
(1)若a>b>0,m>0,则<.
(2)已知a,b均为正数,s,t均为正整数,则as+t+bs+t≥asbt+atbs.
1.(必修第一册P53练习T1改编)不等式-x2-5x+6≥0的解集为(　A　)
A.{x|-6≤x≤1} B.{x|2≤x≤3}
C.{x|x≥3或x≤2} D.{x|x≥1或x≤-6}
解析:不等式-x2-5x+6≥0可化为x2+5x-6≤0,即(x+6)(x-1)≤0,解得-6≤x≤1,所以不等式的解集为{x|-6≤x≤1}.故选A.
2.(必修第一册P42练习T2改编)下列四个命题中为真命题的是(　C　)
A.若a>b,则ac2>bc2
B.若a>b,c>d,则a-c>b-d
C.若a>|b|,则a2>b2
D.若a>b,则<
解析:当c=0时,A不成立;2>1,3>-1,而2-3<1-(-1),B不成立;a=2, b=-1时,D不成立;由a>|b|知a>0,所以a2>b2,C成立.故选C.
3.一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|-1A.-5 B.5 C.-6 D.6
解析:由已知得-1,是一元二次方程ax2+bx+1=0的两根,且a<0,
由根与系数的关系得
解得所以ab=6.故选D.
4.已知f(x)=x2+4x+1+a, x∈R,f(f(x))≥0恒成立,则实数a的取值范围为(　B　)
A.[,+∞) B.[2,+∞)
C.[-1,+∞) D.[3,+∞)
解析:由题意,函数f(x)=x2+4x+1+a,
令t=f(x)=x2+4x+1+a=(x+2)2-3+a≥a-3,　
又由 x∈R,f(f(x))≥0恒成立,即f(t)≥0对任意t≥a-3恒成立.
当a-3≤-2,即a≤1时,f(t)min=f(-2)=a-3≥0,解得a≥3,此时无解;
当a-3>-2,即a>1时,f(t)min=f(a-3)=a2-a-2≥0,解得a≤-1(舍去)或a≥2.
综上可得,实数a的取值范围为[2,+∞).故选B.
5.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3 000+20x-0.1x2(0解析:y-25x=-0.1x2-5x+3 000≤0,
所以x2+50x-30 000≥0,
得x≤-200(舍去)或x≥150,
又因为0所以150≤x<240,x∈N.
答案:150
不等式的性质及其应用
1.(2021·四川高三三模)已知a>0>b,则下列不等式一定成立的是(　D　)
A.a2>b2 B.ab>b2
C.ln||>0 D.2a-b>1
解析:对于A,由a>0>b知,a2>b2不一定成立,故A错误;
对于B,由ab-b2=b(a-b)<0,知ab对于C,取a=,b=-,则ln ||=ln 1=0,C也不一定成立,故C错误;
对于D,由a>b a-b>0,知2a-b>1,故D正确.故选D.
2.已知实数x,y,z满足x2=4x+z-y-4且x+y2+2=0,则下列关系成立的是(　D　)
A.y>x≥z B.z≥x>y
C.y>z≥x D.z≥y>x
解析:由x2=4x+z-y-4知z-y=x2-4x+4=(x-2)2≥0,即z≥y;
由x+y2+2=0知,x=-(y2+2),则y-x=y2+2+y=(y+)2+>0,即y>x.
综上所述,z≥y>x.故选D.
3.已知-1解析:因为-1所以-6<-2y<-4,
所以-7由-1得-3<3x<12,8<4y<12,
所以5<3x+4y<24.
答案:(-7,0)　(5,24)
4.已知-1≤x+y≤1,1≤x-y≤3,则3x-2y的取值范围是　　　　.
解析:设3x-2y=m(x+y)-n(x-y)=
(m-n)x+(m+n)y,
所以解得
3x-2y=(x+y)+(x-y),
因为-1≤x+y≤1,1≤x-y≤3,
所以3x-2y=(x+y)+(x-y)∈[2,8].
答案:[2,8]
1.根据不等式的性质判断不等式是否成立的方法
主要是利用不等式的性质或特殊值法,而对于待比较的不等式的两端可以化为相同的函数的形式,可以利用构造函数,利用函数的单调性进行判断.
2.当两个数(或式子)正负未知且为多项式时,用作差法,作差时要注意变形技巧.
3.已知x,y的范围,求由ax,by(ab≠0)通过加、减、乘、除构成的运算式子的范围时,可利用不等式的性质直接求解.
4.已知由ax,by(ab≠0)通过加、减、乘、除构成的运算式子的范围,求解形如cx±dy(cd≠0)的范围问题时,要利用待定系数法,将cx±dy用已知条件的关系式整体代换.此种类型中不要直接求出x,y的范围后求cx±dy的范围,由于a>b,c>d a+c>b+d不是可逆的,因此容易出现错解.
一元二次不等式的解法及其应用
　不含参数的一元二次不等式
不等式-3<4x-4x2≤0的解集为(　　)
A.{x|-B.{x|-C.{x|1≤x<}
D.{x|-解析:原不等式可化为
解4x-4x2>-3得-解4x-4x2≤0得x≤0或x≥1.
原不等式的解集即为上述两个不等式的解集的交集,
即-所以原不等式的解集为{x|-a≤f(x)≤b等价于
　一元二次不等式与一元二次方程的关系
(多选题)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-1,3),则下列说法正确的是(　　)
A.a>0
B.bx-c>0的解集是{x|x>}
C.cx2+ax-b>0的解集是{x|x<-或x>1}
D.a+b解析:不等式ax2+bx+c>0的解集为(-1,3),则即
bx-c>0即-2ax+3a>0,
所以x>,cx2+ax-b>0,
即-3ax2+ax+2a>0,即3x2-x-2>0,
解集是{x|x<-或x>1},
x=-1属于{x|x<-或x>1},
所以c-a-b>0,即a+b1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值.
2.给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点,可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.
　含参数的一元二次不等式
解关于x的不等式:ax2+(2-4a)x-8>0.
解:不等式ax2+(2-4a)x-8>0可化为
(ax+2)(x-4)>0,
当a=0时,不等式的解集为{x|x>4},
当a>0时,不等式的解集为{x|x>4或x<-},
当a<0时,即(x+)(x-4)<0,
当0<-<4即a<-时,
不等式的解集为{x|-当->4即-不等式的解集为{x|4当-=4即a=-时,不等式的解集为.
综上,当a>0时,不等式的解集为{x|x>4或x<-};
当a=0时,不等式的解集为{x|x>4};
当-当a=-时,不等式的解集为;
当a<-时,不等式的解集为{x|-1.一般地,在解含参数的一元二次型不等式时,若所给不等式能够直接通过因式分解求出方程的根,则需要从如下两个方面进行考虑:
(1)关于不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0.
(2)关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x12.若含参数的不等式对应的二次方程的判别式含参数,主要对关于不等式对应的方程是否有根进行讨论.
[针对训练]
(1)不等式组的解集是(　　)
A.{x|-1C.{x|-1(2)设函数f(x)=则不等式f(x)>f(1)的解集是(　　)
A.(-3,1)∪(3,+∞) B.(-3,1)∪(2,+∞)
C.(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3)
(3)(多选题)对于给定的实数a,关于实数x的一元二次不等式a(x-a)(x+1)>0的解集可能为(　　)
A.R
B.(-1,a)
C.(a,-1)
D.(-∞,-1)∪(a,+∞)
解析:(1)不等式组中不等式①的解集为{x|-1(2)f(1)=12-4×1+6=3,
当x≥0时,x2-4x+6>3,解得x>3或0≤x<1;
当x<0时,x+6>3,解得-3所以f(x)>f(1)的解集是(-3,1)∪(3,+∞).故选A.
(3)对于一元二次不等式a(x-a)(x+1)>0,则a≠0,
当a>0时,函数y=a(x-a)(x+1)的图象开口向上,与x轴的交点横坐标为a,-1,
故不等式的解集为(-∞,-1)∪(a,+∞);
当a<0时,函数y=a(x-a)(x+1)的图象开口向下,若a=-1,不等式的解集为;
若-1一元二次不等式恒成立问题
　一元二次不等式在R上的恒成立问题
若不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为(　　)
A.(-3,0) B.[-3,0)
C.[-3,0] D.(-3,0]
解析:当k=0时,显然成立;
当k≠0时,即一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立.
则解得-3综上,满足不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立的k的取值范围是(-3,0].故选D.
一元二次不等式恒成立的条件
(1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是
(2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是
　一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法
若对任意的x∈[-1,2],都有x2-2x+a≤0(a为常数),则a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-3] B.(-∞,0]
C.[1,+∞) D.(-∞,1]
解析:法一　令f(x)=x2-2x+a,则由题意,得解得a≤-3.故选A.
法二　当x∈[-1,2]时,不等式x2-2x+a≤0恒成立等价于a≤-x2+2x恒成立,则由题意,得a≤(-x2+2x)min(x∈[-1,2]).而-x2+2x=-(x-1)2+1,则当x=-1时,(-x2+2x)min=-3,所以a≤-3.故选A.
一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法
(1)最值转化法:若f(x)>0在集合A中恒成立,则函数y=f(x)在集合A中的最小值大于0.
(2)分离参数转化为函数的值域问题,即已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立 f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立 f(x)max≤a,即n≤a.
　一元二次不等式的有解问题
若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-2) B.(-∞,-2]
C.(-6,+∞) D.(-∞,-6)
解析:不等式成立等价于存在x∈(1,4),
使a即a<,
设y=x2-4x-2=(x-2)2-6,
当x∈(1,4)时,y∈[-6,-2),
所以a<-2.故选A.
一元二次不等式在给定区间上的有解问题,常用分离参数的方法,通过分离参数后利用:a>f(x)在区间[m,n]上有解,则a>f(x)min,a处理)
[针对训练]
(1)若存在实数x∈[2,4],使x2-2x+5-m<0成立,则m的取值范围为(　　)
A.(13,+∞) B.(5,+∞)
C.(4,+∞) D.(-∞,13)
(2)若关于x的一元二次不等式ax2+2ax+1>0的解集为R,则实数a的取值范围是　　　　.
(3)若对于任意的x∈[0,2],不等式x2-2ax-1≤0恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.
解析:(1)m>x2-2x+5,
设f(x)=x2-2x+5=(x-1)2+4,x∈[2,4],
当x=2时,f(x)min=5, x∈[2,4],使x2-2x+5-m<0成立,
即m>f(x)min,所以m>5.故选B.
解析:(2)关于x的一元二次不等式ax2+2ax+1>0的解集为R,所以所以解得0解析:(3)由题意可知“x2-2ax-1≤0在[0,2]上恒成立”.
设g(x)=x2-2ax-1,
则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可.
所以即解得a≥.
则实数a的取值范围为[,+∞).
答案:(1)B　(2)(0,1)　(3)[,+∞)
已知a∈[-1,1]时,不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则x的取值范围为(　　)
A.(-∞,2)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(2,+∞)
C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(1,3)
解析:由题意,因为a∈[-1,1]时,
不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,
可转化为关于a的函数
f(a)=(x-2)a+x2-4x+4,
则f(a)>0对任意a∈[-1,1]恒成立.
则满足
解得x<1或x>3,
即x的取值范围为(-∞,1)∪(3,+∞).故选C.
不等式≤x-2的解集是(　　)
A.(-∞,0]∪(2,4] B.[0,2)∪[4,+∞)
C.[2,4) D.(-∞,0]∪[4,+∞)
解析:法一　①当x-2>0,即x>2时,不等式可化为(x-2)2≥4,所以x≥4;②当x-2<0,即x<2时,不等式可化为(x-2)2≤4,所以0≤x<2,即0≤x<2或x≥4.故选B.
法二　由≤x-2,得≥0,
即≥0,即
解得0≤x<2或x≥4.故选B.
设a≥b≥c,且1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个实根,则的取值范围为(　　)
A.[-2,0] B.[-,0]
C.[-2,-] D.[-1,-]
解析:因为1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个实根,所以a+b+c=0.
因为a≥b≥c,所以a≥b,a≥c,
所以3a≥a+b+c=0,所以a≥0.
由题意a=0舍去.
由a+b+c=0可得b=-a-c,即a≥-a-c≥c,即得
则不等式等价为
即得-2≤≤-.
综上,的取值范围为-2≤≤-.故选C.
解关于x的不等式:x2+ax+1<0(a∈R).
解:因为Δ=a2-4.
①当Δ=a2-4≤0,即-2≤a≤2时,原不等式无解.
②当Δ=a2-4>0,即a>2或a<-2时,方程x2+ax+1=0的两根为x1=,x2=,　
则原不等式的解集为
{x}.
综上所述,当-2≤a≤2时,原不等式无解,
当a>2或a<-2时,原不等式的解集为
{x}.
知识点、方法 基础巩固练 综合运用练 应用创新练
不等式的性质 4,5,7 11,12,13 15
一元二次不等式的解法 1,3,6,9 10 16
一元二次不等式的恒成立问题 2,8 14
1.不等式≤0的解集为[-1,2)∪[3,+∞),则b+c=(　B　)
A.-5 B.-2 C.1 D.3
解析:不等式的解集中只有-1,3为闭区间,2为开区间,结合不等式的特征,所以必有a=2,易得a=2,b=1,c=-3或a=2,b=-3,c=1,故b+c=-2.故选B.
2.若函数f(x)=x2-ax+9的图象恒在x轴上方,则实数a的取值范围为(　B　)
A.a<6 B.-6C.0解析:依题意x2-ax+9>0在R上恒成立,所以Δ<0,由Δ=a2-36<0,解得-63.已知关于x的不等式a>x+6的解集为(b,9),则a+b的值为(　D　)
A.4 B.5 C.7 D.9
解析:由a>x+6得x-a+6<0,依题意上述不等式的解集为(b,9),故解得a=5,b=4(b=9舍去),故a+b=9.故选D.
4.(多选题)(2021·福建三明高三模拟)已知a,b,c,d均为实数,则下列命题正确的是(　BC　)
A.若a>b,c>d,则ac>bd
B.若ab>0,bc-ad>0,则->0
C.若a>b,c>d,则a-d>b-c
D.若a>b,c>d>0,则>
解析:若a>0>b,0>c>d,则ac若ab>0,bc-ad>0,则>0,化简得->0,故B正确;
若c>d,则-d>-c,又a>b,则a-d>b-c,故C正确;
若a=-1,b=-2,c=2,d=1,则=-1,=-1,==-1,故D错误.故选BC.
5.(2021·宁夏大学附属中学高三一模)已知a,b,c满足a>b>c,且ac>0,则下列选项中一定能成立的是(　C　)
A.ab>ac B.c(b-a)>0
C.ab(a-c)>0 D.cb2>ca2
解析:取a=-1,b=-2,c=-3,则ab=2b>c,且ac>0,所以a,b,c同号,且a>c,所以ab(a-c)>0.故选C.
6.已知x=1是不等式k2x2-6kx+8≥0的解,则k的取值范围是　 　　.
解析:x=1是不等式k2x2-6kx+8≥0的解,把x=1代入不等式得k2-6k+8≥0,解得k≥4或k≤2.
答案:(-∞,2]∪[4,+∞)
7.设x,y满足则2x+y的最大值为　　　　.
解析:因为2x+y=3x-(x-y),由于1≤x≤3,-1≤x-y≤0,可得0≤-(x-y)≤1,3≤3x≤9,由不等式的基本性质可得3≤3x-(x-y)≤10,即3≤2x+y≤10,因此2x+y的最大值为10.
答案:10
8.设f(x)=(m+1)x2-mx+m-1(m∈R).若不等式f(x)>0的解集为,则实数m的取值范围是　　　　;若不等式f(x)>0对一切实数x恒成立,则实数m的取值范围是　　　　.
解析:不等式f(x)>0的解集为,即f(x)≤0对一切实数x恒成立,
所以m+1<0,且Δ=m2-4(m+1)(m-1)≤0,
所以m≤-.
若f(x)>0的解集为R,所以m+1>0,
且Δ=m2-4(m+1)(m-1)<0,所以m>.
答案:(-∞,-]　(,+∞)
9.(1)若关于x的不等式ax2-3x+2>0(a∈R)的解集为{x|x<1或x>b},求a,b的值;
(2)解关于x的不等式ax2-3x+2>5-ax(a∈R).
解:(1)由题意可知,方程ax2-3x+2=0的两个不相等的实根分别为x1=1,x2=b,于是有
解得
(2)原不等式等价于ax2+(a-3)x-3>0,
即(x+1)(ax-3)>0,
①当a=0时,原不等式的解集为{x|x<-1}.
②当a≠0时,方程的两根为x1=-1,x2=,
当a>0时,不等式的解集为{x|x<-1或x>};
当a<0时,(ⅰ)若>-1,即a<-3,原不等式的解集为{x|-1(ⅱ)若<-1,即-3(ⅲ)若=-1,即a=-3,原不等式的解集为.
所以综上所得,
当a=0时,原不等式的解集为{x|x<-1};
当a>0时,原不等式的解集为{x|x<-1或x>};
当a<-3时,原不等式的解集为{x|-1当-3当a=-3时,原不等式的解集为.
10.对于实数x,规定[x]表示不大于x的最大整数,那么不等式4[x]2-63[x]+45<0成立的x的取值范围是(　A　)
A.[1,15) B.[2,8]
C.[2,8) D.[2,15)
解析:不等式4[x]2-63[x]+45<0,即为(4[x]-3)([x]-15)<0,解得<[x]<15,则[x]∈{1,2,3,…,14},因此1≤x<15.故选A.
11.(多选题)已知a>b>0,则下列命题正确的是(　BC　)
A.若a-b=1,则 ->1
B.若a-b=1,则a3-b3>1
C.若a-b=1,则ea-eb>1
D.若a-b=1,则ln a-ln b>1
解析:对于A,若a-b=1,取a=4,b=3,则-=2-<1,因此A错误;对于B,因为a-b=1,a>b>0,所以a>1,a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=a2+a(a- 1)+(a-1)2=3a(a-1)+1>1,因此B正确;对于C,因为b>0,所以eb>1,即有ea-eb=eb+1-eb=eb(e-1)>1,因此C正确;对于D,若a-b=1,取a=e,b=e-1,则ln a-ln b=1-ln(e-1)<1,因此D错误.故选BC.
12.(2021·河南郑州一中高三联考)已知2A.(,) B.(,)
C.(,1) D.(,2)
解析:原式分子和分母同时除以x,得=,由条件得2<-2y<6,所以<-<,即<-<3,所以<1-<4,所以<<.故选B.
13.设二次函数f(x)=ax2+bx+c,函数F(x)=f(x)-x的两个零点分别为m,n(m(1)若m=-1,n=2,求不等式F(x)>0的解集;
(2)若a>0,且0解:(1)由题意知,F(x)=f(x)-x=a(x-m)·(x-n),
当m=-1,n=2时,不等式F(x)>0,
即a(x+1)(x-2)>0.
当a>0时,不等式F(x)>0的解集为{x|x<-1或x>2};
当a<0时,不等式F(x)>0的解集为{x|-1(2)f(x)-m=a(x-m)(x-n)+x-m=(x-m)(ax-an+1),
因为a>0,且0所以x-m<0,1-an+ax>0.
所以f(x)-m<0,即f(x)14.已知函数f(x)=ax2+x+2-4a(a≠0),且对任意的x∈R,f(x)≥2x恒成立.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若对任意的x∈[-1,1],不等式f(x+t)解:(1)因为对任意的x∈R,f(x)≥2x恒成立,所以ax2-x+2-4a≥0对x∈R恒成立,
所以即
解得a=,所以f(x)=x2+x+1.
(2)由f(x+t)即3x2+(8t+8)x+4t2+16t<0,
所以对任意的x∈[-1,1],
不等式3x2+(8t+8)x+4t2+16t<0恒成立.
令m(x)=3x2+(8t+8)x+4t2+16t,
则
解得-所以实数t的取值范围为(-,-).
15.(2021·江西临川一中实验学校高三模拟)某学校计划购买一些气球来布置会场,已知购买的气球一共有红、黄、蓝、绿四种颜色,红色多于蓝色,蓝色多于绿色,绿色多于黄色,黄色的两倍多于红色,则购买的气球最少有(　B　)
A.20个 B.22个 C.24个 D.26个
解析:分别设红、黄、蓝、绿各有a,b,c,d个,且a,b,c,d为正整数,则由题意得a≥c+1,c≥d+1,d≥b+1,2b≥a+1,可得b≥4,所以a≥7,c≥6,d≥5,即至少有4+5+6+7=22个.故选B.
16.在关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中至多包含2个整数,则实数a的取值范围是　　　　.
解析:因为关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0可化为(x-1)(x-a)<0,
当a=1时,不等式的解集为空集;
当a>1时,不等式的解集为{x|1当a<1时,不等式的解集为{x|a要使不等式的解集中至多包含2个整数,则a≤4且a≥-2,所以实数a的取值范围是[-2,4].
答案:[-2,4]第3节　不等式的性质、一元二次不等式
1.梳理不等式的性质,理解不等式的性质,掌握不等式的性质.
2.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.
3.经历从实际背景中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义,能借助一元二次函数的图象求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.
4.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式相应的函数、方程的联系.
1.两个实数大小比较的基本事实
2.不等式的基本性质
性质 性质内容 特别提醒
性质1 (对称性) a>b 　　
性质2 (传递性) a>b,b>c 　　
性质3 (可加性) a>b 　　　　　
性质4 (可乘性) 　　　 注意c 的符号
　　　
性质5 (同向可加性) 　　　　　
性质6 (同向同正可乘性) 　　　　
性质7 (可乘方性) a>b>0 　　　 (n∈N,n≥2) a,b同 为正数
不等式的性质中,含有 , 的作用是什么
提示:不等式的性质中,含有 的只能用来证明不等式而不能解不等式,而含有 的只能用来解不等式.
3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表
所示
判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两相异实根x1,x2 (x1　　　　　　　　 　　　　　　　　 {x|x≠x1} {x|x∈R}
　　　　　　　　　　　 {x|x1形如ax2+bx+c>0的不等式一定是一元二次不等式吗
提示:当a≠0时,ax2+bx+c>0是一元二次不等式,当a=0时,不是一元二次不等式.
1.涉及实数的倒数有关的结论
(1)a>b,ab>0 <.
(2)a<0(3)a>b>0,0.
(4)02.两个重要不等式
(1)若a>b>0,m>0,则<.
(2)已知a,b均为正数,s,t均为正整数,则as+t+bs+t≥asbt+atbs.
1.(必修第一册P53练习T1改编)不等式-x2-5x+6≥0的解集为(　　)
A.{x|-6≤x≤1} B.{x|2≤x≤3}
C.{x|x≥3或x≤2} D.{x|x≥1或x≤-6}
2.(必修第一册P42练习T2改编)下列四个命题中为真命题的是(　　)
A.若a>b,则ac2>bc2
B.若a>b,c>d,则a-c>b-d
C.若a>|b|,则a2>b2
D.若a>b,则<
3.一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|-1A.-5 B.5 C.-6 D.6
4.已知f(x)=x2+4x+1+a, x∈R,f(f(x))≥0恒成立,则实数a的取值范围为(　　)
A.[,+∞} B.[2,+∞)
C.[-1,+∞) D.[3,+∞)
5.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3 000+20x-0.1x2(0不等式的性质及其应用
1.(2021·四川高三三模)已知a>0>b,则下列不等式一定成立的是(　　)
A.a2>b2 B.ab>b2
C.ln||>0 D.2a-b>1
2.已知实数x,y,z满足x2=4x+z-y-4且x+y2+2=0,则下列关系成立的是(　　)
A.y>x≥z B.z≥x>y
C.y>z≥x D.z≥y>x
3.已知-14.已知-1≤x+y≤1,1≤x-y≤3,则3x-2y的取值范围是　　　　.
1.根据不等式的性质判断不等式是否成立的方法
主要是利用不等式的性质或特殊值法,而对于待比较的不等式的两端可以化为相同的函数的形式,可以利用构造函数,利用函数的单调性进行判断.
2.当两个数(或式子)正负未知且为多项式时,用作差法,作差时要注意变形技巧.
3.已知x,y的范围,求由ax,by(ab≠0)通过加、减、乘、除构成的运算式子的范围时,可利用不等式的性质直接求解.
4.已知由ax,by(ab≠0)通过加、减、乘、除构成的运算式子的范围,求解形如cx±dy(cd≠0)的范围问题时,要利用待定系数法,将cx±dy用已知条件的关系式整体代换.此种类型中不要直接求出x,y的范围后求cx±dy的范围,由于a>b,c>d a+c>b+d不是可逆的,因此容易出现错解.
一元二次不等式的解法及其应用
角度一　不含参数的一元二次不等式
不等式-3<4x-4x2≤0的解集为(　　)
A.{x|-B.{x|-C.{x|1≤x<}
D.{x|-a≤f(x)≤b等价于
角度二　一元二次不等式与一元二次方程的关系
(多选题)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-1,3),则下列说法正确的是(　　)
A.a>0
B.bx-c>0的解集是{x|x>}
C.cx2+ax-b>0的解集是{x|x<-或x>1}
D.a+b1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值.
2.给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点,可以利用代入根或根与系数的关系求待定
系数.
角度三　含参数的一元二次不等式
解关于x的不等式:ax2+(2-4a)x-8>0.
1.一般地,在解含参数的一元二次型不等式时,若所给不等式能够直接通过因式分解求出方程的根,则需要从如下两个方面进行考虑:
(1)关于不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0.
(2)关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x12.若含参数的不等式对应的二次方程的判别式含参数,主要对关于不等式对应的方程是否有根进行讨论.
[针对训练]
(1)不等式组的解集是(　　)
A.{x|-1C.{x|-1(2)设函数f(x)=则不等式f(x)>f(1)的解集是(　　)
A.(-3,1)∪(3,+∞) B.(-3,1)∪(2,+∞)
C.(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3)
(3)(多选题)对于给定的实数a,关于实数x的一元二次不等式a(x-a)(x+1)>0的解集可能为(　　)
A.R
B.(-1,a)
C.(a,-1)
D.(-∞,-1)∪(a,+∞)
一元二次不等式恒成立问题
角度一　一元二次不等式在R上的恒成立问题
若不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为(　　)
A.(-3,0) B.[-3,0)
C.[-3,0] D.(-3,0]
一元二次不等式恒成立的条件
(1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是
(2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是
角度二　一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法
若对任意的x∈[-1,2],都有x2-2x+a≤0(a为常数),则a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-3] B.(-∞,0]
C.[1,+∞) D.(-∞,1]
一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法
(1)最值转化法:若f(x)>0在集合A中恒成立,则函数y=f(x)在集合A中的最小值大于0.
(2)分离参数转化为函数的值域问题,即已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立 f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立 f(x)max≤a,即n≤a.
角度三　一元二次不等式的有解问题
若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-2) B.(-∞,-2]
C.(-6,+∞) D.(-∞,-6)
一元二次不等式在给定区间上的有解问题,常用分离参数的方法,通过分离参数后利用:a>f(x)在区间[m,n]上有解,则a>f(x)min,a处理)
[针对训练]
(1)若存在实数x∈[2,4],使x2-2x+5-m<0成立,则m的取值范围为(　　)
A.(13,+∞) B.(5,+∞)
C.(4,+∞) D.(-∞,13)
(2)若关于x的一元二次不等式ax2+2ax+1>0的解集为R,则实数a的取值范围是　　　　.
(3)若对于任意的x∈[0,2],不等式x2-2ax-1≤0恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.
请完成“课时作业”第197～198页的内容

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