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第4节　基本不等式及其应用
1.掌握基本不等式≤(a>0,b>0).
2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
1.基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件:　　　　　　.
(2)等号成立的条件:当且仅当　　　.
2.算术平均数与几何平均数
设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为　　　,几何平均数为　　　,基本不等式可叙述为:　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
3.基本不等式与最值
已知x,y都是正数.
(1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值　　　(简记:和定积最大).
(2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值　　　(简记:积定和最小).
a2+b2≥2ab成立的条件与≥成立的条件相同吗
提示:不同,a2+b2≥2ab成立的条件是a∈R,b∈R,而≥成立的条件是a>0,b>0.
1.+≥2(a,b同号).
2.ab≤(a,b∈R).
3.≥()2(a,b∈R).
4.(1)a2+b2+c2≥ab+bc+ca;
(2)a>0,b>0,c>0则≥.
5.≥≥≥(a>0,b>0).
6.若a>0,b>0,则a2+b2≥2ab可变形为a≥2b-或b≥2a-.
1.下列命题正确的是(　　)
A.若a,b∈R,则+≥2=2
B.若x>0,则x+>2
C.若x<0,则x+≥-2=-4
D.若x∈R,则2x2+≥2=2
2.(必修第一册P45例1改编)若x>0,则函数y=(　　)
A.有最大值-4 B.有最小值2
C.有最大值-2 D.有最小值4
3.周长为12的矩形,其面积的最大值为(　　)
A.6 B.7
C.8 D.9
4.函数f(x)=x+(x>1)的最小值是　　　　,此时x=　　　　.
5.已知函数f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a=　　　　.
利用基本不等式求最值
角度一　直接法求最值
(-6利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:“一正二定三相等”.
(1)“一正”就是各项必须为正数.
(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值.
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号,则这个定值就不是所求的最值.
角度二　配凑法求最值
函数y=(x<-1)的最大值为(　　)
A.3 B.2 C.1 D.-1
1.形如(其中f(x)是二次函数,g(x)是一次函数)的最值,常见分子中的自变量变形为分母的形式后,构造满足基本不等式的条件求
最值.
2.配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形,配系数、凑常数是关键.
角度三　常值代换法求条件最值
(1)已知a<0,b<0,a+b=-2,则y=+的最大值为(　　)
A.-1 B.- C.-4 D.-2
(2)(2021·贵州遵义一模)若正数x,y满足x+2y-2xy=0,则x+2y的最小值为(　　)
A.9 B.8 C.5 D.4
(3)若正实数a,b满足a+b=4,则+的最小值是　　　　.
常值代换法主要解决以下最值问题
已知形如或可化为x+y=t(t为常数),求+的最值以及形如或可化为+=t,求cx+dy(cd≠0)型的最值,求解时要注意将已知条件变形为“1”的形式,将+看作是(+)·或cx+dy看作是cx+dy=(cx+dy)·
(+),变形后利用基本不等式求最值.
角度四　消元后求最值
(2021·江西重点中学协作体高三模拟)已知x,y为正实数,满足4x+y+2xy=7,则2x+y的最小值为　　　　.
对于二元变量的条件最值问题,若不能够化为“角度三”的类型,常用其中一个变量表示另一个变量,将待求式化为一个变量的关系式后求最值,此类要注意所保留变量的取值范围.
角度五　多次利用基本不等式求最值
若a,b∈R,ab>0,则的最小值为　　　　.
当运用一次基本不等式无法求得代数式的最值时,常采用第二次基本不等式,需注意连续多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且注意取等号的条件的一致性.
[针对训练]
1.已知a>0,b>0,则2++的最小值是(　　)
A.2 B.4
C.4 D.6
2.已知03.设a>0,b>0,且5ab+b2=1,则a+b的最小值为　　　　.
4.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,则xy的最小值是　　　　,x+y的最小值是　　　　.
基本不等式的综合应用
角度一　利用基本不等式求解恒成立问题
已知函数f(x)=x2-(a+)x+1.若 a∈[1,2]时,f(x)≥0恒成立,则实数x的取值范围是　　　　　　　　　.
含参数的不等式恒成立问题,若能够分离参数,则常将参数分离后,利用最值转化法求解,常用的最值转化法为:a>f(x)恒成立,则a>f(x)max, a求解.
角度二　利用基本不等式求解存在性(有解)问题
已知函数f(x)=x2+ax+3(x∈R).存在x∈(-∞,1)时,关于x的不等式f(x)≤a有实数解,则实数a的取值范围是　　　　.
含参数的不等式存在性(有解)问题,若能够分离参数,则常将参数分离后,利用最值转化法求解,常用的最值转化法为:af(x)有解,则a>f(x)min,而涉及的最值问题,常借助基本不等式求解.
[针对训练]
1.若两个正实数x,y满足+=1,且x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-∞,-2)∪[4,+∞)
B.(-∞,-4]∪[2,+∞)
C.(-4,2)
D.(-2,4)
2.若存在m,n∈R+,使m2-amn+2n2≤0成立,则实数a的最小值为(　　)
A. B.2
C.4 D.
基本不等式的实际应用
某厂家拟进行某产品的促销活动,根据市场情况,该产品的月销量(即月产量)m万件与月促销费用x万元(x≥0)满足m=10-(k为常数),如果不搞促销活动,则该产品的月销量是2万件.已知生产该产品每月固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入5万元,厂家将每件产品的销售价格定为 元,设该产品的月利润为
y万元.
注:利润=销售收入-生产投入-促销费用.
(1)将y表示为x的函数;
(2)月促销费用为多少万元时,该产品的月利润最大
利用基本不等式求解实际问题时应注意以下几点
(1)根据题意将待求最大值或最小值的变量定义为函数后,将实际问题抽象出函数的解析后,再将函数解析式变形利用基本不等式求得函数的最值.
(2)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
[针对训练]
已知快递公司要从A地往B地送货,A,B两地的距离为100 km,按交通法规,A,B两地之间的公路车速x应限制在60～120 km/h(含端点),假设汽车的油耗为(42+)元/时,司机的工资为70元/时(设汽车为匀速行驶),若燃油费用与司机工资都由快递公司承担.
(1)试建立行车总费用y元关于车速x的函数关系;
(2)若不考虑其他费用,以多少车速行驶,快递公司所要支付的总费用最少 最少费用为多少
请完成“课时作业”第199～200页的内容第4节　基本不等式及其应用
1.掌握基本不等式≤(a>0,b>0).
2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
1.基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.
(2)等号成立的条件:当且仅当a=b.
2.算术平均数与几何平均数
设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
3.基本不等式与最值
已知x,y都是正数.
(1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值(简记:和定积最大).
(2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值2(简记:积定和最小).
a2+b2≥2ab成立的条件与≥成立的条件相同吗
提示:不同,a2+b2≥2ab成立的条件是a∈R,b∈R,而≥成立的条件是a>0,b>0.
1.+≥2(a,b同号).
2.ab≤(a,b∈R).
3.≥()2(a,b∈R).
4.(1)a2+b2+c2≥ab+bc+ca;
(2)a>0,b>0,c>0则≥.
5.≥≥≥(a>0,b>0).
6.若a>0,b>0,则a2+b2≥2ab可变形为a≥2b-或b≥2a-.
1.下列命题正确的是(　D　)
A.若a,b∈R,则+≥2=2
B.若x>0,则x+>2
C.若x<0,则x+≥-2=-4
D.若x∈R,则2x2+≥2=2
解析:A选项必须保证a,b同号.B选项应含有等号,即若x>0,则x+≥2.C选项应该为“≤”.故选D.
2.(必修第一册P45例1改编)若x>0,则函数y=(　D　)
A.有最大值-4 B.有最小值2
C.有最大值-2 D.有最小值4
解析:因为x>0,所以>0,所以y==+x≥2=4,当且仅当=x,即x=2时,等号成立,即函数y=有最小值4.故选D.
3.周长为12的矩形,其面积的最大值为(　D　)
A.6 B.7 C.8 D.9
解析:设矩形的长、宽分别为x,y,则2(x+y)=12,即x+y=6.所以S=xy≤()2=9,当且仅当x=y=3时取等号.因此面积的最大值是9.
故选D.
4.函数f(x)=x+(x>1)的最小值是　　　　,此时x=　　　　.
解析:因为x>1,所以x-1>0.由基本不等式可得f(x)=x-1++1≥2+1=2+1=3,当且仅当x-1=,即x=2时,函数取得最小值3.
答案:3　2
5.已知函数f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a=　　　　.
解析:因为x>0,a>0,所以f(x)=4x+≥2=4,当且仅当4x=,即4x2=a时,f(x)取得最小值.又因为f(x)在x=3时取得最小值,所以a=4×32=36.
答案:36
利用基本不等式求最值
　直接法求最值
(-6解析:因为-60,a+6>0,
由均值不等式可得≤=,
当且仅当3-a=a+6,即a=-时,等号成立.
答案:
利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:“一正二定三相等”.
(1)“一正”就是各项必须为正数.
(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值.
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号,则这个定值就不是所求的最值.
　配凑法求最值
函数y=(x<-1)的最大值为(　　)
A.3 B.2 C.1 D.-1
解析:因为y===-[-(x+1)+]+1≤
-2+1=-1,
当且仅当x+1=,即x=-2时等号成立.故选D.
1.形如(其中f(x)是二次函数,g(x)是一次函数)的最值,常见分子中的自变量变形为分母的形式后,构造满足基本不等式的条件求
最值.
2.配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形,配系数、凑常数是关键.
　常值代换法求条件最值
(1)已知a<0,b<0,a+b=-2,则y=+的最大值为(　　)
A.-1 B.- C.-4 D.-2
(2)(2021·贵州遵义一模)若正数x,y满足x+2y-2xy=0,则x+2y的最小值为(　　)
A.9 B.8 C.5 D.4
(3)若正实数a,b满足a+b=4,则+的最小值是　　　　.
解析:(1)因为a<0,b<0,a+b=-2,所以+=-(+)(a+b)=-(2++)≤-(2+2)=-2,当且仅当a=b=-1时取等号,故y=+的最大值为-2.故选D.
解析:(2)由x+2y-2xy=0,得x+2y=2xy,
所以+=1.
所以(x+2y)·1=(x+2y)·(+)=2++≥2+2=4,
当且仅当=,即x=2,y=1时取等号.故选D.
解析:(3)由a+b=4得a+1+b+1=6,
所以+=·(+)·(a+1+b+1)
=(5++)≥(5+2)=.
当且仅当=,即a=1,b=3时,等号成立.
答案:(1)D　(2)D　(3)
常值代换法主要解决以下最值问题
已知形如或可化为x+y=t(t为常数),求+的最值以及形如或可化为+=t,求cx+dy(cd≠0)型的最值,求解时要注意将已知条件变形为“1”的形式,将+看作是(+)·或cx+dy看作是cx+dy=(cx+dy)·
(+),变形后利用基本不等式求最值.
　消元后求最值
(2021·江西重点中学协作体高三模拟)已知x,y为正实数,满足4x+y+2xy=7,则2x+y的最小值为　　　　.
解析:由4x+y+2xy=7可得出y===-2.
由于x,y为正实数,则
可得0所以2x+y=2x+-2=(2x+1)+-3≥2-3=3.
当且仅当2x+1=时,即当x=y=1时,等号成立,因此2x+y的最小值为3.
答案:3
对于二元变量的条件最值问题,若不能够化为“角度三”的类型,常用其中一个变量表示另一个变量,将待求式化为一个变量的关系式后求最值,此类要注意所保留变量的取值范围.
　多次利用基本不等式求最值
若a,b∈R,ab>0,则的最小值为　　　　.
解析:因为ab>0,所以≥=
=4ab+≥2=4,当且仅当时取等号,故的最小值是4.
答案:4
当运用一次基本不等式无法求得代数式的最值时,常采用第二次基本不等式,需注意连续多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且注意取等号的条件的一致性.
[针对训练]
1.已知a>0,b>0,则2++的最小值是(　　)
A.2 B.4
C.4 D.6
解析:因为a>0,b>0,所以2++≥2+≥4,当且仅当a=b=1时,取等号.故选B.
2.已知0解析:x(4-3x)=×(3x)·(4-3x)≤×[]2=,
当且仅当3x=4-3x,即x=时,取等号.
故所求x的值为.
答案:
3.设a>0,b>0,且5ab+b2=1,则a+b的最小值为　　　　.
解析:因为5ab+b2=1,所以a==-,
所以a+b=-+b=+≥2=,当且仅当a=,b=时,等号成立,所以a+b的最小值为.
答案:
4.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,则xy的最小值是　　　　,x+y的最小值是　　　　.
解析:①由2x+8y-xy=0,得+=1.
又x>0,y>0,则1=+≥2=,得xy≥64,
当且仅当=,即x=16且y=4时,等号成立.所以xy的最小值为64.
②由2x+8y-xy=0,得+=1,
则x+y=(+)(x+y)=10++≥10+2=18.
当且仅当=,即x=12且y=6时,等号成立,
所以x+y的最小值为18.
答案:64　18
基本不等式的综合应用
　利用基本不等式求解恒成立问题
已知函数f(x)=x2-(a+)x+1.若 a∈[1,2]时,f(x)≥0恒成立,则实数x的取值范围是　　　　　　　　　.
解析:由题意, a∈[1,2]时,f(x)≥0恒成立,可知x2+1≥x(a+)恒
成立.
当x≤0时,显然成立.
当x>0时,则有a+≤x+,
若g(a)=a+,要使题设不等式恒成立,
仅需g(a)max≤x+即可,而a∈[1,2]时,g(a)∈[2,],所以x+≥,
解得x∈(0,]∪[2,+∞).
综上,x∈(-∞,]∪[2,+∞).
答案:(-∞,]∪[2,+∞)
含参数的不等式恒成立问题,若能够分离参数,则常将参数分离后,利用最值转化法求解,常用的最值转化法为:a>f(x)恒成立,则a>f(x)max, a求解.
　利用基本不等式求解存在性(有解)问题
已知函数f(x)=x2+ax+3(x∈R).存在x∈(-∞,1)时,关于x的不等式f(x)≤a有实数解,则实数a的取值范围是　　　　.
解析:x2+ax+3-a≤0在x∈(-∞,1)时有解,则x2+3≤a(1-x)在(-∞,1)上有解.由于x∈(-∞,1),则1-x>0,即a≥有解.
由于==(1-x)+-2≥2-2=2(当且仅当1-x=,即x=-1时取等号),所以实数a的取值范围是[2,+∞).
答案:[2,+∞)
含参数的不等式存在性(有解)问题,若能够分离参数,则常将参数分离后,利用最值转化法求解,常用的最值转化法为:af(x)有解,则a>f(x)min,而涉及的最值问题,常借助基本不等式求解.
[针对训练]
1.若两个正实数x,y满足+=1,且x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-∞,-2)∪[4,+∞)
B.(-∞,-4]∪[2,+∞)
C.(-4,2)
D.(-2,4)
解析:因为x,y>0,且+=1,由基本不等式得x+2y=(x+2y)(+)=++4≥2+4=8,当且仅当x=2y时,等号成立,所以x+2y的最小值为8.
由题意可得m2+2m<(x+2y)min=8,
即m2+2m-8<0,解得-4因此,实数m的取值范围是(-4,2).故选C.
2.若存在m,n∈R+,使m2-amn+2n2≤0成立,则实数a的最小值为(　　)
A. B.2
C.4 D.
解析:因为存在m,n∈R+,
使m2-amn+2n2≤0成立,
所以m2+2n2≤amn,
即a≥=+成立,
因为+≥2=2,
所以a≥2,即最小值为2.故选B.
基本不等式的实际应用
某厂家拟进行某产品的促销活动,根据市场情况,该产品的月销量(即月产量)m万件与月促销费用x万元(x≥0)满足m=10-(k为常数),如果不搞促销活动,则该产品的月销量是2万件.已知生产该产品每月固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入5万元,厂家将每件产品的销售价格定为 元,设该产品的月利润为
y万元.
注:利润=销售收入-生产投入-促销费用.
(1)将y表示为x的函数;
(2)月促销费用为多少万元时,该产品的月利润最大
解:(1)由题意知当x=0时,m=2,
代入m=10-,
则2=10-,解得k=16,所以m=10-.
利润y=m×-8-5m-x=1.6+m-x,
又因为m=10-,
所以y=1.6+m-x=11.6--x,x∈[0,+∞).
解:(2)由(1)知y=13.6--(x+2),
因为x≥0时,x+2≥2,
所以+(x+2)≥2=8,当且仅当x=2时,等号成立.
所以y≤13.6-8=5.6,
故月促销费用为2万元时,该产品的月利润最大,最大为5.6万元.
利用基本不等式求解实际问题时应注意以下几点
(1)根据题意将待求最大值或最小值的变量定义为函数后,将实际问题抽象出函数的解析后,再将函数解析式变形利用基本不等式求得函数的最值.
(2)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
[针对训练]
已知快递公司要从A地往B地送货,A,B两地的距离为100 km,按交通法规,A,B两地之间的公路车速x应限制在60～120 km/h(含端点),假设汽车的油耗为(42+)元/时,司机的工资为70元/时(设汽车为匀速行驶),若燃油费用与司机工资都由快递公司承担.
(1)试建立行车总费用y元关于车速x的函数关系;
(2)若不考虑其他费用,以多少车速行驶,快递公司所要支付的总费用最少 最少费用为多少
解:(1)设车速为x km/h,则时间为 h,
依题意可得y=(42++70)=+,x∈[60,120].
解:(2)y=+≥2=280,
当且仅当=,即x=80时取等号,
所以以80 km/h的车速行驶,快递公司所要支付的总费用最少,最少费用为280元.
设a>0,b>0,则下列结论正确的有(　　)
A.(a+2b)(+)≥9
B.a2+b2≥2(a+b+1)
C.+≥a+b
D.≥
答案:ACD
设实数aA.()b<()a<()a
B.若a>1,则loga(ab)>2
C.若a>0,则>
D.若m>,a,b∈(1,3),则(a3-b3)-m(a2-b2)+a-b>0
答案:BCD
若x>0,y>0,x+2y=1,则的最大值为(　　)
A. B. C. D.
解析:由题意知=,
又x>0,y>0,x+2y=1.
所以+=(+)(x+2y)=++5≥2·+5=4+5=9,
当且仅当=,即x=y=时取等号,所以的最大值为.故选C.
已知a>b>0,则2a++的最小值为(　　)
A.4× B.6
C.3· D.3
解析:因为a>b>0,所以2a++=(a+b)++(a-b)+,
因为(a+b)+≥2=4,
(a-b)+≥2=2,
所以2a++≥6,当且仅当a+b=2,a-b=1时等号成立.故选B.
(2021·浙江临海高考模拟)已知正实数a,b满足a+2b=2,则+的最小值是(　　)
A. B.
C. D.
解析:因为正实数a,b满足a+2b=2,且b2=(b+1)2-2(b+1)+1.
所以+=a++2b+2-4+=+=(a+2b+2)(+)=(1+4++)≥×(5+2)=,
当且仅当a=,b=时,取得最小值.故选A.
已知实数a,b满足(a+2)(b+1)=8,有以下结论:
①存在a>0,b>0,使得ab取到最大值;
②存在a<0,b<0,使得a+b取到最小值.
正确的判断是(　　)
A.①成立,②成立
B.①不成立,②不成立
C.①成立,②不成立
D.①不成立,②成立
解析:因为(a+2)(b+1)=8,所以ab=6-(a+2b).
①a>0,b>0,a+2b=(a+2)+(2b+2)-4≥2-4=4,当且仅当a=2b时取等号,
所以6-ab≥4,解得ab≤2,即ab取到最大值2,①正确.
②a<0,b<0,当a+2>0时,a+b=a+-1=a+2+-3≥2- 3=4-3,当且仅当a+2=时取等号,此时a=2-2,不符合a<0,不满足题意;
当a+2<0时,a+b=a+-1=a+2+-3=-[-(a+2)-]-3≤-3-4,
此时取得最大值,没有最小值,②错误.故选C.
若a,b是正实数,且a+b=1,则+的最小值为　　　　.
解析:因为a+b=1,
+=+=1+++=1+++=3++≥2+3=3+2,当且仅当即a=2-,b=-1时,等号成立.
答案:3+2
(2021·安徽蚌埠高三模拟)已知a,b,c为正数,且满足a+b+c=1.证明:
(1)ab+bc+ca≤;
(2)++≥49.
证明:(1)因为(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0,
所以2(a2+b2+c2)≥2ab+2bc+2ac,
所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca,
当且仅当a=b=c时,等号成立,
因为a,b,c为正数,且满足a+b+c=1,
所以1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,
所以1≥3(ab+bc+ac),即ab+bc+ca≤.
证明:(2)因为a+b+c=1,
所以++=(++)(a+b+c)=
21+(+)+(+)+(+)≥
21+2+2+2=
21+16+8+4=49,
当且仅当a=,b=,c=时,等号成立.
知识点、方法 基础巩固练 综合运用练 应用创新练
利用基本不等式求最值 1,2,3,4,6 10,11
基本不等式的应用 5,7,8,9 12,13,14 15
1.(2021·河南天一高二期末联考)当x>1时,f(x)=的最大值为(　A　)
A. B.
C.1 D.2
解析:因为x>1,故f(x)==≤=,当且仅当x=,即x=2时取等号,故f(x)=的最大值为.故选A.
2.(2021·重庆高三调研)已知x>2,y>1,(x-2)·(y-1)=4,则x+y的最小值是(　C　)
A.1 B.4 C.7 D.3+
解析:因为x>2,y>1,(x-2)(y-1)=4,
所以x+y=(x-2)+(y-1)+3≥
2+3=7,当且仅当时等号成立.故选C.
3.(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是(　C　)
A.y=x2+2x+4 B.y=|sin x|+
C.y=2x+22-x D.y=ln x+
解析:y=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3,所以函数的最小值为3,故选项A错误;
因为0<|sin x|≤1,
所以y=|sin x|+≥2=4,
当且仅当|sin x|=,即|sin x|=2时取等号,因为0<|sin x|≤1,所以等号取不到,
所以y=|sin x|+>4,故选项B错误;
因为2x>0,所以y=2x+22-x=2x+≥2=4,当且仅当2x=2,即x=1时取等号,所以函数的最小值为4,故选项C正确;
对于D,y=ln x+,函数的定义域为(0,1)∪(1,+∞),而ln x∈R且ln x≠0,如当ln x=-1时,y=-5,故选项D错误.故选C.
4.(2021·江苏无锡模拟)设实数x满足x>0,则函数y=2+3x+的最小值为(　A　)
A.4-1 B.4+2
C.4+1 D.6
解析:因为x>0,所以x+1>1,
所以y=2+3x+=2+3(x+1)-3+=3(x+1)+-1≥2 -1=4-1,当且仅当3(x+1)=,即x=-1>0时,等号成立,所以函数y=2+3x+的最小值为4-1.故选A.
5.(2021·湖南高三模拟)由于近年来,冬季气候干燥,冷空气频繁袭来.为提高公民的取暖水平,某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距离成反比,每月供热费与供热站到社区的距离成正比,如果在距离社区20千米处建立供热站,这两项费用分别为5千元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,供热站应建在离社区多远处(　A　)
A.5千米 B.6千米
C.7千米 D.8千米
解析:设供热站应建在离社区x千米处,则自然消费y1=,供热费y2=k2x,
由题意得,当x=20时,y1=0.5,y2=8,
所以k1=xy1=10,k2==,
所以y1=,y2=x.
所以两项费用之和为
y1+y2=+≥2=4,
当且仅当=,即x=5时,等号成立,所以要使这两项费用之和最小,供热站应建在离社区5千米处.故选A.
6.已知a>0,b>0,且+=,则ab的最小值是　　　　.
解析:因为=+≥2,
所以ab≥2,当且仅当=时,取等号.
答案:2
7.若两个正实数x,y满足4x+y=xy且存在这样的x,y使不等式x+解析:由4x+y=xy +=1知(x+)(+)=1+++1≥2+2=4,
当且仅当x=2,y=8时,等号成立,则使不等式x+4即可,解得m∈(-∞,-4)∪(1,+∞).
答案:(-∞,-4)∪(1,+∞)
8.已知m>0,xy>0,当x+y=2时,不等式+≥4恒成立,则m的取值范围是　　　　.
解析:因为m>0,xy>0,x+y=2,
所以+=(x+y)(+)=(++m+2)≥(2+m+2),
因为不等式+≥4恒成立,
所以(2+m+2)≥4.
整理得(+3)(-)≥0,解得≥,即m≥2.
答案:[2,+∞)
9.证明下列各题:已知a,b,c为正数.
(1)若abc=1,求证:a+b+c≤++;
(2)若a+b+c=9,求证:++≥1.
证明:(1)由条件abc=1得+≥=2c,
当且仅当a=b时等号成立,
+≥=2a,当且仅当b=c时等号成立,
+≥=2b,当且仅当c=a时等号成立,
以上三个不等式相加可得2(++)≥2(a+b+c),
当且仅当a=b=c时等号成立,
因此a+b+c≤++.
(2)(a+b+c)(++)=3+(+)+(+)+(+),因为a,b,c为正数,
所以(a+b+c)(++)≥3+2+2+2=3+2+2+2=9,
当且仅当a=b=c=3时取等号,
所以++≥1.
10.(2021·浙江嵊州高考模拟)已知x>0,y>0,且x+y=xy-1,则(　D　)
A.xy的最大值为3+2
B.xy的最大值为6
C.2x+y的最小值为3+3
D.2x+y的最小值为7
解析:x>0,y>0,且x+y=xy-1≥2,当且仅当x=y时取等号,解得≥1+或≤1-(舍去),故xy≥3+2,即xy的最小值为3+2,没有最大值,A错误,B错误;
因为x+y=xy-1,所以x=>0,故y>1,
2x+y=+y=2++y=+y-1+3≥2+3=7,
当且仅当y-1=,即y=3,x=2时取等号,所以2x+y的最小值为7,C错误,D正确.故选D.
11.(2021·山西运城模拟)若a,b,c均为正实数,则的最大值为(　A　)
A. B.
C. D.
解析:=.
由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc可知(a2+b2)+(b2+c2)≥2(ab+bc).
因此≤=(当且仅当a=b=c时取等号).故选A.
12.(多选题)对于正数a,b,且a+b=4,若abm≤b+3a+4恒成立,则m可以为(　BCD　)
A.3 B.
C.2 D.1
解析:因为对于正数a,b,满足a+b=4,
所以abm≤b+3a+4恒成立化为,
m≤==+恒成立,
又因为+=(+)(a+b)=(6++)≥(6+2)=+,
当 时等号成立,所以m≤+,选项BCD都符合题意.故选BCD.
13.(多选题)(2021·福建南平模拟)已知a>0,b>0,a2+b2-ab=2,则下列不等式恒成立的是(　BC　)
A.+≤ B.ab≤2
C.a+b≤2 D.a2+b2≥4
解析:对于A,B,由a>0,b>0,利用基本不等式a2+b2≥2ab,
可得ab+2≥2ab,解得ab≤2.
又+≥(当且仅当a=b=时,等号成立),而ab≤2,所以≥,所以+≥,故B正确,A错误;
由a>0,b>0,利用基本不等式ab≤,变形a2+b2-ab=2,得(a+b)2-2= 3ab≤(当且仅当a=b=时,等号成立),
解得(a+b)2≤8,即a+b≤2,故C正确;
由a>0,b>0,利用基本不等式ab≤,化简a2+b2-ab=2,得a2+b2-2= ab≤(当且仅当a=b=时,等号成立),解得a2+b2≤4,故D错误.故选BC.
14.政府无息贷款10万元给某农户养羊,每万元可创造利润0.15万元.若进行技术指导,养羊的投资减少了x(x>0)万元,且每万元创造的利润变为原来的(1+0.25x)倍.现将养羊少投资的x万元全部投资网店,进行农产品销售,则每万元创造的利润为0.15(a-0.875x)万元,其中a>0.
(1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润,求x的取值范围;
(2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润,求a的最大值.
解:(1)由题意,得0.15(1+0.25x)(10-x)≥0.15×10,
整理得x2-6x≤0,解得0≤x≤6,
又x>0,故0(2)由题意知网店销售的利润为0.15(a-0.875x)x万元,
技术指导后,养羊的利润为0.15(1+0.25x)·(10-x)万元,
则0.15(a-0.875x)x≤0.15(1+0.25x)(10-x)恒成立,
又0又+≥5,当且仅当x=4时等号成立,
所以015.汽车智能辅助驾驶已开始得到应用,其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离(并集合车速转化为所需时间),当此距离等于报警距离时就开始报警提醒,等于危险距离时就自动刹车.若将报警时间划分为4段,分别为准备时间t0,人的反应时间t1,系统反应时间t2,制动时间t3,相应的距离分别为d0,d1,d2,d3,如图所示.当车速为v(m/s),且v∈(0,33.3]时,通过大数据统计分析得到下表给出的数据(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化,k∈[1,2]).
阶段 0.准备 1.人的反应 2.系统反应 3.制动
时间 t0 t1=0.8 s t2=0.2 s t3
距离 d0=10 m d1 d2 d3=m
(1)请写出报警距离d(m)与车速v(m/s)之间的函数关系式d(v);
(2)当k=2时,求在汽车达到报警距离时,若人和系统均未采取任何制动措施,仍以此速度行驶的情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间;
(3)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶,报警距离均小于50 m,则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒
解:(1)由题意得d(v)=d0+d1+d2+d3,
所以d(v)=10+0.8v+0.2v+=10+v+.
(2)当k=2时,d(v)=10+v+,
t(v)=++1≥1+2=1+1=2(s).
即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为2 s.
(3)根据题意要求对于任意k∈[1,2],d(v)<50恒成立,
即对于任意k∈[1,2],10+v+<50,
即<-恒成立,
由k∈[1,2],得∈[,].
所以<-,即->,
即v2+20v-800<0,解得-40所以0所以汽车的行驶速度应限制在20 m/s以内.

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