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第2节　常用逻辑用语
1.通过已知的数学实例,理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.理解性质定理与必要条件的关系、判定定理与充分条件的关系以及数学定义与充要条件的关系.
2.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
p是q的充分不必要条件 p q且qp
p是q的必要不充分条件 pq且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp
若p是q的充分条件,则q是p的必要条件.反之,若p是q的必要条件,则q是p的充分条件,而如果p q,那么p与q互为充要条件.
2.全称量词命题与存在量词命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“ ”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.
(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“ ”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
(1)全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题,常见的全称量词还有“一切”“每一个”等,相应的词语是“都”.
(2)存在量词命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题,常见的存在量词还有“有的”“存在”等.
3.全称量词命题和存在量词命题的否定
量词命题 量词命题的否定 结论
x∈M,p(x) x∈M,﹁p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题
x∈M,p(x) x∈M,﹁p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题
一般命题的否定通常是保留条件否定其结论,得到真假性完全相反的两个命题;含有一个量词的命题的否定,是在否定结论p(x)的同时,改变量词的属性,即全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词.
1.(必修第一册P31练习T1改编)已知命题p: n∈N*,n2>n-1,则命题p的否定﹁p为(　C　)
A. n∈N*,n2≤n-1
B. n∈N*,n2C. n∈N*,n2≤n-1
D. n∈N*,n2解析:由全称量词命题的否定为存在量词命题可得命题p: n∈N*,n2> n-1的否定﹁p为“ n∈N*,n2≤n-1”.故选C.
2.(必修第一册P22习题1.4T2改编)设x∈R,则“x>1”是“|x|>1”的(　A　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:当x>1时一定能够得到“|x|>1”,但是|x|>1却不一定得到x>1,也可以是x<-1.故选A.
3.命题“一次函数都是单调函数”的否定是(　D　)
A.一次函数都不是单调函数
B.非一次函数都不是单调函数
C.有些一次函数是单调函数
D.有些一次函数不是单调函数
解析:命题的否定只对结论进行否定,“都是”的否定是“不都是”,即“有些”.故选D.
4.(多选题)下列存在量词命题中的真命题是(　ABC　)
A. x∈R,x≤0
B.至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数
C. x∈{x|x是无理数},x2是无理数
D. x∈Z,1<5x<3
解析: x=0∈R,使得x≤0,故A为真命题.整数1既不是合数,也不是素数,故B为真命题.若x=π,则x∈{x|x是无理数},x2是无理数,故C为真命题.因为1<5x<3,所以5.已知命题p:“关于x的方程x2-4x+a=0有实根”,若非p为真命题的充分不必要条件为a>3m+1,则实数m的取值范围是　　　　.
解析:由命题p有实数根,则Δ=16-4a≥0则a≤4,所以非p为真命题时a的取值范围为a>4.
又a>3m+1是非p为真命题的充分不必要条件,所以3m+1>4,m>1,则m的取值范围为(1,+∞).
答案:(1,+∞)
全称量词命题与存在量词命题
1.(2021·山东泰安高三三模)命题“奇函数的图象关于原点对称”的否定是(　C　)
A.所有奇函数的图象都不关于原点对称
B.所有非奇函数的图象都关于原点对称
C.存在一个奇函数的图象不关于原点对称
D.存在一个奇函数的图象关于原点对称
解析:全称量词命题“所有奇函数的图象关于原点对称”的否定是存在量词命题,所以命题“奇函数的图象关于原点对称”的否定是“存在一个奇函数的图象不关于原点对称”.故选C.
2.(2021·广东中山纪念中学等校高三联考)命题“ x>-1,ln(1+x)≤x且ln(1+x)≥”的否定是(　C　)
A. x>-1,ln(1+x)>x或ln(1+x)<
B. x≤-1,ln(1+x)>x且ln(1+x)<
C. x>-1,ln(1+x)>x或ln(1+x)<　
D. x>-1,ln(1+x)>x且ln(1+x)<　
解析:命题“ x>-1,ln(1+x)≤x且ln(1+x)≥”的否定是 x>-1,ln(1+x)>x或ln(1+x)<.故选C.
3.(2021·重庆南开中学高三模拟)下列命题为真命题的是(　C　)
A. x∈R,x2-|x|+1≤0
B. x∈R,-1≤≤1
C. x∈R,(ln x)2≤0
D. x∈R,sin x=3
解析:因为x2-|x|+1=(|x|-)2+>0恒成立,所以 x∈R,x2-|x|+1≤0是假命题;当x=时,=2,所以 x∈R,-1≤≤1是假命题;当x=1时,ln x=0,所以 x∈R,(ln x)2≤0是真命题;因为-1≤sin x≤1,所以 x∈R,sin x=3是假命题.故选C.
4.若命题“ x∈R,使得x2+mx+2m-3<0”为假命题,则实数m的取值范围是(　A　)
A.[2,6] B.[-6,-2]
C.(2,6) D.(-6,-2)
解析:因为命题“ x∈R,使得x2+mx+2m-3<0”为假命题,故“ x∈R,x2+mx+2m-3≥0恒成立”为真命题,因为二次函数的图象开口向上,故Δ=m2-4(2m-3)≤0,所以m∈[2,6].故选A.
1.含量词的命题的否定的写法
(1)一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并找到其量词的位置及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词,同时否定结论;
(2)“p或q”的否定是“﹁p且﹁q”.
提醒:对于省略量词的命题,在写其否定时应先根据题意找出其中省略的量词,写出其完整形式,再写出命题的否定.
2.全称量词与存在量词命题真假的判断
(1)要确定一个全称量词命题是真命题,需保证该命题对所有的元素都成立;若能举出一个反例说明命题不成立,则该全称量词命题是假命题;
(2)要确定一个存在量词命题是真命题,举出一个例子说明该命题成立即可;若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立,则该存在量词命题是假命题.
3.由于存在量词命题的否定是全称量词命题,因此涉及存在量词命题是假命题时,常转化为其全称量词命题是真命题求解.
充分必要条件的综合应用
　充分、必要条件的判断
(1)(2021·黑龙江哈尔滨三中高三模拟)设x∈R,则“x2-3x<0”是“1A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
(2)(2019·浙江卷)若a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(3)p:x,y∈R,x2+y2<2,q:x,y∈R,|x|+|y|<2,则p是q的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:(1)由x2-3x<0 0解析:(2)因为a>0,b>0,若a+b≤4,所以2≤a+b≤4.所以ab≤4,此时充分性成立.当a>0,b>0,ab≤4时,令a=4,b=1,则a+b=5>4,这与a+b≤4矛盾,因此必要性不成立.综上所述,当a>0,b>0时,“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.故选A.
解析:(3)如图所示,
“x2+y2<2”对应的图象为半径为的圆的内部,“|x|+|y|<2”对应的图象为正方形的内部,则“x2+y2<2”是“|x|+|y|<2”的充分不必要条件.故选A.
判断充分、必要条件的3种方法
(1)定义法:根据p q,q p进行判断,适用于定义、定理判断性问题.
(2)集合法:根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母范围的推断问题.
(3)数形结合法:充要条件的判定问题中,若给出的条件与结论之间有明显的几何意义,且可以作出满足条件的几何图形,则可作出其几何图形后利用数形结合思想求解.
提醒:判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向,要注意“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”的区别,要正确理解“p的一个充分不必要条件是q”的含义.
　充分、必要条件的探求
(1)不等式x->0成立的一个充分不必要条件是(　　)
A.-11 B.x<-1或0C.x>-1 D.x>1
(2)(2021·江西上饶高三模拟)命题“ x∈[1,2],3x2-a≥0”为真命题的一个必要不充分条件是(　　)
A.a≤4 B.a≤2 C.a≤3 D.a≤1
解析:(1)由x->0可知>0,即或解不等式组可知x->0的解集为{x|x>1或-10成立的一个充分不必要条件是x>1.故选D.
解析:(2)若“ x∈[1,2],3x2-a≥0”为真命题,得3x2≥a在x∈[1,2]上恒成立,只需a≤=3,所以a≤4时,不能推出“ x∈[1,2],3x2-a≥0”为真命题,“ x∈[1,2],3x2-a≥0”为真命题时能推出a≤4,故a≤4是命题“ x∈[1,2],3x2-a≥0”为真命题的一个必要不充分条件.故选A.
1.选择题中的充分不必要条件问题,是由选择项推出题干,但是题干不能推出选择项,而选择题中的必要不充分条件问题,是由题干推出选择项,但是选择项不能推出题干.
2.对于充分、必要条件的探求,一般转化为集合问题.根据“小充分、大必要”判断求解其充分、必要条件.注意理解:“充分性”即“有它就行”;“必要性”即“没它不行”.
　充分条件、必要条件的应用
(2021·安徽淮北一模)已知p:“log2x<2”,q:“|x-a|<3”,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是　　　　.
解析:由不等式log2x<2,得0因为p是q的充分不必要条件,
所以(0,4) (-3+a,3+a),
所以解得1≤a≤3,故实数a的取值范围是[1,3].
答案:[1,3]
根据充分、必要条件求解参数范围的方法
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.
[针对训练]
1.“x>2”是“log2(x+1)>1”的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析:因为log2(x+1)>1,所以x+1>2,所以x>1,{x|x>2}是{x|x>1}的真子集,所以“x>2”是“log2(x+1)>1”的充分不必要条件.故选B.
2.使a>0,b>0成立的一个必要不充分条件是(　　)
A.a+b>0 B.a-b>0
C.ab>1 D.>1
解析:因为a>0,b>0 a+b>0,反之不成立,而由a>0,b>0不能推出a-b>0,ab>1,>1.故选A.
3.(2021·山西八校高三联考)已知p:A={x|≤0},q:B={x|x-a<0},若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是(　　)
A.(2,+∞) B.[2,+∞)
C.(-∞,1) D.(-∞,1]
解析:因为A={x|(x-2)(x-1)≥0且x≠1}={x|x≥2或x<1},B={x|x命题“ x∈R, n∈N*,使得n≤x2”的否定形式是(　　)
A. x∈R, n∈N*,使得n>x2
B. x∈R, n∈N*,使得n>x2
C. x∈R, n∈N*,使得n>x2
D. x∈R, n∈N*,使得n>x2
解析: 改写为 , 改写为 ,n≤x2的否定是n>x2,则该命题的否定形式为“ x∈R, n∈N*,使得n>x2”.故选D.
(2021·广西钦州、崇左高三联考)已知a,b∈R,“a>|b|”是“a|a|>b|b|”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:法一　由题意,若a>|b|,则a>|b|≥0,则a>0且a>b,所以a|a|=a2,则a|a|>b|b|成立.当a=1,b=-2时,满足a|a|>b|b|,但a>|b|不成立,所以“a>|b|”是“a|a|>b|b|”的充分不必要条件.故选A.
法二　由a>|b|可知a>0且a>b,构造函数f(x)=x|x|=则函数f(x)在R上是增函数,因此由a>0且a>b可知a|a|>b|b|,反之则不一定成立,如bb|b|.故选A.
“ab≠0”是“a2+b2≠0”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:由ab≠0可得,a≠0且b≠0,
所以a2+b2≠0;
反之不成立,故“ab≠0”是“a2+b2≠0”的充分不必要条件.故选A.
(多选题)(2021·湖南高三联考)若p是q的充分不必要条件,q是s的必要条件,t是q的必要条件,t是s的充分条件,则(　　)
A.t是p的必要不充分条件
B.t是q的充要条件
C.p是s的充要条件
D.q是s的充要条件
解析:因为t是q的必要条件,t是s的充分条件,q是s的必要条件,所以q t s,且s q,则q t s,所以B,D正确.因为q t s,且p是q的充分不必要条件,所以p是s的充分不必要条件,t是p的必要不充分条件,所以A正确,C不正确.故选ABD.
知识点、方法 基础巩固练 综合运用练 应用创 新练
全称量词命题与存在量词命题 1,6,7,9 14,15
充分、必要条件的判断 2,3,4,5 12
充分、必要条件的探求与应用 8,10 11,13 16
1.全称量词命题“对于任意正奇数n,所有不大于n的正奇数的和都是()2”的否定为(　C　)
A.对于任意正奇数n,所有不大于n的正奇数的和都不是()2
B.对于任意正奇数n,所有不大于n的正奇数的和都大于()2
C.存在正奇数n,使得所有不大于n的正奇数的和不是()2
D.存在正奇数n,使得所有不大于n的正奇数的和是()2
解析:由于全称量词命题的否定是存在量词命题,故该命题的否定为:存在正奇数n,使得所有不大于n的正奇数的和不是()2.故选C.
2.(2021·湖南长沙长郡中学高三模拟)在△ABC中,“sin A=”是“A=”的(　C　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析:在△ABC中,若sin A=,则A=或,因为{,}{},因此,“sin A=”是“A=”的必要不充分条件.故选C.
3.(2021·江苏南通高三三模)1943年年仅19岁的曹火星在晋察冀边区创作了歌曲《没有共产党就没有中国》,毛主席得知后感觉歌名的逻辑上有点问题,遂提出修改意见,将歌名改成《没有共产党就没有新中国》,2021年恰好是建党100周年,请问“没有共产党”是“没有新中国”的　　　　条件.(　A　)
A.充分 B.必要
C.充要 D.既不充分也不必要
解析:记条件p:“没有共产党”,条件q:“没有新中国”,由歌词知,p可推出q,故“没有共产党”是“没有新中国”的充分条件.故选A.
4.(2021·浙江台州高三二模)若x,y∈R,则“x<|y|”是“x2A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:当x<0,且|x|>|y|时,x2当x25.(2021·陕西咸阳高三三模)已知p:a,b,c成等比数列,q:b2=ac,则p是q的(　A　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:当a,b,c成等比数列时,能推出b2=ac,而b2=ac不能推出a,b,c成等比数列,如a=b=c=0,满足b2=ac,但a,b,c不成等比数列,所以p是q的充分不必要条件.故选A.
6.(多选题)下列说法正确的是(　BCD　)
A.命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题
B.命题“ x∈R,x2+2<0”是全称量词命题
C.命题“ x∈R,x2+4x+4≤0”是存在量词命题
D.命题“实数的平方都是正数”的否定是存在量词命题,且是真命题
解析:A中命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题,故A错误;
B中命题“ x∈R,x2+2<0”是全称量词命题,故B正确;
C中命题“ x∈R,x2+4x+4≤0”是存在量词命题,故C正确;
D中命题“实数的平方都是正数”就是“所有实数的平方都是正数”是一个全称量词命题,这是一个假命题,因此其否定是存在量词命题且是真命题,因此选项D正确.故选BCD.
7.(多选题)下列命题中的真命题是(　ABD　)
A. x∈R,lg x=0 B. x∈R,tan x=1
C. x∈R,x2>0 D. x∈R,3x>0
解析:当x=1时,lg 1=0,故A选项为真命题;当x=时,tan =1.故B选项为真命题.当x=0时,x2=0,不满足x2>0,故C选项为假命题.根据指数函数的性质知D选项为真命题.故选ABD.
8.(2021·安徽合肥高三二模)a2>b2的一个充要条件是(　C　)
A.a>b B.a>|b|
C.|a|>|b| D.>
解析:当a=2,b=-4时,a>b成立,但a2>b2不成立,所以A错误.
当a=-6,b=-4时,a2>b2成立,但a>|b|不成立,所以B错误.
a2>b2 |a|>|b|,所以C正确.
当a=2,b=-4时,>成立,但a2>b2不成立,所以D错误.故选C.
9.对每一个x1∈R,x2∈R,且x1解析:由于含有全称量词“每一个”,因此是全称量词命题.令x1=-1,x2=0,则>,故此命题是假命题.
答案:全称　假
10.(2021·山东日照高三二模)若不等式(x-a)2<1成立的充分不必要条件是1解析:由(x-a)2<1得a-1因为1所以满足且等号不能同时取得,即解得1≤a≤2.
答案:[1,2]
11.(2021·辽宁名校高三交流卷)已知p:a∈D,q: x∈R,x2-ax-a≤-3,若p是q成立的必要不充分条件,则区间D可以为(　B　)
A.(-∞,-6]∪[2,+∞)
B.(-∞,-4)∪(0,+∞)
C.(-6,2)
D.[-4,0]
解析:命题q: x∈R,x2-ax-a≤-3,
则x2-ax-a+3≤0,
所以Δ=a2-4(-a+3)≥0,
解得a≤-6或a≥2,
又p是q成立的必要不充分条件,
所以(-∞,-6]∪[2,+∞) D,
所以区间D可以为(-∞,-4)∪(0,+∞).故选B.
12.(2021·湖北武汉华中师大一附中高三联考)“m>0”是“ x∈R, (m-1)x2+2(1-m)x+3≤0是假命题”的(　B　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:由题意命题“ x∈R,(m-1)x2+2(1-m)x+3≤0是假命题”,
可得命题“ x∈R,(m-1)x2+2(1-m)x+3>0是真命题”.
当m-1=0,即m=1时,不等式3>0恒成立;
当m-1≠0,即m≠1时,
则满足
解得1综上可得1≤m<4.
即命题“ x∈R,(m-1)x2+2(1-m)x+3≤0是假命题”时,实数m的取值范围是[1,4),又由“m>0”是“1≤m<4”的必要不充分条件,所以“m>0”是“ x∈R,(m-1)x2+2(1-m)x+3≤0是假命题”的必要不充分条件.故选B.
13.(2021·河南开封高三一模)使得a>b>0成立的一个充分不必要条件是(　D　)
A.> B.ea>eb
C.ab>ba D.ln a>ln b>0
解析:若a<0,b>0,则满足>,但由>不能得出a>b>0,所以>不是a>b>0的充分不必要条件,故A错误;若ea>eb,则a>b,但不能得出a>b>0,所以ea>eb不是a>b>0的充分不必要条件,故B错误;若a=1,b=-1,则满足ab>ba,但不能由ab>ba得出a>b>0,所以ab>ba不是a>b>0的充分不必要条件,故C错误;由ln a>ln b>0可得ln a>ln b>ln 1,则a>b>1,能推出a>b>0,反之不能推出,所以ln a>ln b>0是a>b>0的充分不必要条件,故D正确.故选D.
14.(2021·云贵川桂四省高三联考)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,b=5,设命题p: c∈N*,C为钝角,关于命题p有以下四个判断:
①p为真命题;
②﹁p为“ c∈N*,C不是钝角”;
③p为假命题;
④﹁p为“ c∈N*,C不是钝角”.
其中判断正确的序号是(　A　)
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
解析:在△ABC中由C为钝角结合a=3,b=5,及余弦定理可知当c=6或7时cos C=<0,则p为真命题,故①正确,③错误;因为存在量词命题的否定是全称量词命题,所以﹁p为“ c∈N*,C不是钝角”,故②正确,④错误.故选A.
15.已知命题p: x∈R,mx2+1≤0,命题q: x∈R,x2+mx+1>0.若命题p,q均为假命题,则实数m的取值范围为　　　　.
解析:命题p: x∈R,mx2+1≤0为假命题,
所以m≥0,
命题q: x∈R,x2+mx+1>0,
所以Δ=m2-4<0,解得-2由于该命题为假命题,所以m≥2或m≤-2.
当p,q均为假命题时,故或整理得m≥2.
答案:[2,+∞)
16.若集合A={x|x>2},B={x|bx>1},其中b为实数.
(1)若A是B的充要条件,则b=　　　　;
(2)若A是B的充分不必要条件,则b的取值范围是　　　　.(答案不唯一,写出一个即可)
解析:(1)由已知可得A=B,则x=2是方程bx=1的解,且有b>0,解得b=.
(2)若不等式bx>1对任意的x>2恒成立,则b>对任意的x>2恒成立,
当x>2时,∈(0,),则b≥.
因为A是B的充分不必要条件,故b的取值范围可以是(,+∞)(答案不唯一).
答案:(1)　(2)(,+∞)(答案不唯一)第2节　常用逻辑用语
1.通过已知的数学实例,理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.理解性质定理与必要条件的关系、判定定理与充分条件的关系以及数学定义与充要条件的关系.
2.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
p是q的　　　　　　　条件 p q且qp
p是q的　　　　　　　条件 pq且q p
p是q的　　　条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp
若p是q的充分条件,则q是p的必要条件.反之,若p是q的必要条件,则q是p的充分条件,而如果p q,那么p与q互为充要条件.
2.全称量词命题与存在量词命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“　　　”表示.含有　　　　　　的命题叫做全称量词命题.
(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“　　　”表示.含有　　　 　　　的命题,叫做存在量词命题.
(1)全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题,常见的全称量词还有“一切”“每一个”等,相应的词语是“都”.
(2)存在量词命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题,常见的存在量词还有“有的”“存在”等.
3.全称量词命题和存在量词命题的否定
量词命题 量词命题的否定 结论
x∈M,p(x) 　　　　　　 存在量词命题的否定是　　　　　　命题
x∈M,p(x) 　　　　　 全称量词命题的否定是　　　　　　命题
一般命题的否定通常是保留条件否定其结论,得到真假性完全相反的两个命题;含有一个量词的命题的否定,是在否定结论p(x)的同时,改变量词的属性,即全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词.
1.(必修第一册P31练习T1改编)已知命题p: n∈N*,n2>n-1,则命题p的否定﹁p为(　　)
A. n∈N*,n2≤n-1
B. n∈N*,n2C. n∈N*,n2≤n-1
D. n∈N*,n22.(必修第一册P22习题1.4T2改编)设x∈R,则“x>1”是“|x|>1”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.命题“一次函数都是单调函数”的否定是(　　)
A.一次函数都不是单调函数
B.非一次函数都不是单调函数
C.有些一次函数是单调函数
D.有些一次函数不是单调函数
4.(多选题)下列存在量词命题中的真命题是(　　)
A. x∈R,x≤0
B.至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数
C. x∈{x|x是无理数},x2是无理数
D. x∈Z,1<5x<3
5.已知命题p:“关于x的方程x2-4x+a=0有实根”,若非p为真命题的充分不必要条件为a>3m+1,则实数m的取值范围是　　　　.
全称量词命题与存在量词命题
1.(2021·山东泰安高三三模)命题“奇函数的图象关于原点对称”的否定是(　　)
A.所有奇函数的图象都不关于原点对称
B.所有非奇函数的图象都关于原点对称
C.存在一个奇函数的图象不关于原点对称
D.存在一个奇函数的图象关于原点对称
2.(2021·广东中山纪念中学等校高三联考)命题“ x>-1,ln(1+x)≤x且ln(1+x)≥”的否定是(　　)
A. x>-1,ln(1+x)>x或ln(1+x)<
B. x≤-1,ln(1+x)>x且ln(1+x)<
C. x>-1,ln(1+x)>x或ln(1+x)<　
D. x>-1,ln(1+x)>x且ln(1+x)<　
3.(2021·重庆南开中学高三模拟)下列命题为真命题的是(　　)
A. x∈R,x2-|x|+1≤0
B. x∈R,-1≤≤1
C. x∈R,(ln x)2≤0
D. x∈R,sin x=3
4.若命题“ x∈R,使得x2+mx+2m-3<0”为假命题,则实数m的取值范围是(　　)
A.[2,6] B.[-6,-2]
C.(2,6) D.(-6,-2)
1.含量词的命题的否定的写法
(1)一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并找到其量词的位置及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词,同时否定结论;
(2)“p或q”的否定是“﹁p且﹁q”.
提醒:对于省略量词的命题,在写其否定时应先根据题意找出其中省略的量词,写出其完整形式,再写出命题的否定.
2.全称量词与存在量词命题真假的判断
(1)要确定一个全称量词命题是真命题,需保证该命题对所有的元素都成立;若能举出一个反例说明命题不成立,则该全称量词命题是假命题;
(2)要确定一个存在量词命题是真命题,举出一个例子说明该命题成立即可;若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立,则该存在量词命题是假命题.
3.由于存在量词命题的否定是全称量词命题,因此涉及存在量词命题是假命题时,常转化为其全称量词命题是真命题求解.
充分必要条件的综合应用
角度一　充分、必要条件的判断
(1)(2021·黑龙江哈尔滨三中高三模拟)设x∈R,则“x2-3x<0”是“1A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
(2)(2019·浙江卷)若a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(3)p:x,y∈R,x2+y2<2,q:x,y∈R,|x|+|y|<2,则p是q的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
判断充分、必要条件的3种方法
(1)定义法:根据p q,q p进行判断,适用于定义、定理判断性问题.
(2)集合法:根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母范围的推断问题.
(3)数形结合法:充要条件的判定问题中,若给出的条件与结论之间有明显的几何意义,且可以作出满足条件的几何图形,则可作出其几何图形后利用数形结合思想求解.
提醒:判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向,要注意“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”的区别,要正确理解“p的一个充分不必要条件是q”的含义.
角度二　充分、必要条件的探求
(1)不等式x->0成立的一个充分不必要条件是(　　)
A.-11 B.x<-1或0C.x>-1 D.x>1
(2)(2021·江西上饶高三模拟)命题“ x∈[1,2],3x2-a≥0”为真命题的一个必要不充分条件是(　　)
A.a≤4 B.a≤2
C.a≤3 D.a≤1
1.选择题中的充分不必要条件问题,是由选择项推出题干,但是题干不能推出选择项,而选择题中的必要不充分条件问题,是由题干推出选择项,但是选择项不能推出题干.
2.对于充分、必要条件的探求,一般转化为集合问题.根据“小充分、大必要”判断求解其充分、必要条件.注意理解:“充分性”即“有它就行”;“必要性”即“没它不行”.
角度三　充分条件、必要条件的应用
(2021·安徽淮北一模)已知p:“log2x<2”,q:“|x-a|<3”,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是　　　　.
根据充分、必要条件求解参数范围的方法
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.
[针对训练]
1.“x>2”是“log2(x+1)>1”的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
2.使a>0,b>0成立的一个必要不充分条件是(　　)
A.a+b>0 B.a-b>0
C.ab>1 D.>1
3.(2021·山西八校高三联考)已知p:A={x|≤0},q:B={x|x-a<0},若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是(　　)
A.(2,+∞) B.[2,+∞)
C.(-∞,1) D.(-∞,1]
请完成“课时作业”第196页的内容

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