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2021-2022学年上海市徐汇区民办华育中学七年级（下）期末数学试卷
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题（本大题共4小题，共12分）
已知图中的两个三角形全等，则等于( )
A. B. C. D.
如图，，，三点在同一直线上，在中，：：：：，又≌，则：等于( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
如图，≌，点和点是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为( )
A. B. C. D.
如图，在中，是的外角平分线，是上异于的任意一点，设，，，，则与的大小关系是( )
A. B. C. D. 无法确定
二、填空题（本大题共17小题，共46分）
三角形的三边分别为，，，则的取值范围为______．
如图，≌，，，则的长是______ ．
≌，且的周长为，若，，则 ______ ．
若三角形三个内角，，的关系满足，，则该三角形按角分类为______三角形．
如图，与是的两个外角，平分交的平分线于点若，则______．
小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块即图中标有、、、的四块，你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形应该带第__________块．
如图，，，于，于，，，则______．
等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数可能为______ ．
如图，已知在中，，是上任意一点，于点，于点，若的面积为，问：的值是______．
如图所示，，，，，，则______．
等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分别为和两部分，这个等腰三角形底边的长为______．
如图为个边长相等的正方形的组合图形，则 ______ ．
如图，中，，于，于，和交于，的延长线交于，则图中全等的直角三角形有______对．
如图，，，，且，则______．
已知中，，作与只有一条公共边，且与全等的三角形，这样的三角形一共能作出______个．
周长为，各边互不相等且都是整数的三角形共有______个．
已知如图，，，，，，，则的面积为______．
三、解答题（本大题共5小题，共42分）
画，使，可用量角器，再画出的平分线，交于点，那么图中有哪几个等腰三角形？不用证明
画，，，．
如图，，，点在边上，，和相交于点．
求证：≌；
若，求的度数．
如图，已知，，，求证：．
观察理解：如图，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以≌______；请填写全等判定的方法
理解应用：如图，，且，，且，利用中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积______；
类比探究：如图，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，求的面积．
拓展提升：如图，等边中，，点在上，且，动点从点沿射线以速度运动，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段设点运动的时间为秒．
当______秒时，；
当______秒时，；
当______秒时，点恰好落在射线上．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准对应角．
根据三角形内角和定理求得；然后由全等三角形的性质得到．
【解答】
解：如图，由三角形内角和定理得到：．
图中的两个三角形全等，
．
故选D．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和．利用三角形的三角的比，求出三角的度数，再进一步根据各角之间的关系求出、的度数可求出结果．
【解答】
解：在中，：：：：
设，则，
解得
则，，
又≌
：：：
故选D．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，然后求出，再根据等腰三角形两底角相等求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出，整理即可．
【解答】
解：≌，
，，
，
在中，，
，
，
，
整理得，．
故选B．
4.【答案】
【解析】解：在的延长线上取点，使，连接，
是的外角平分线，
，
在和中，，
≌，
，
在中，，
，，，，
．
故选：．
在的延长线上取点，使，连接，证明和全等，推出，根据三角形任意两边之和大于第三边即可得到．
本题主要考查三角形全等的证明，全等三角形的性质，三角形的三边关系，作辅助线构造以、、、的长度为边的三角形是解题的关键，也是解本题的难点．
5.【答案】
【解析】解：根据三角形的三边关系可得：，
解得，
故答案为：．
根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得，再解不等式即可．
本题考查了三角形的三边关系．此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形对应边相等的性质，先求出的对应边的长度是解题的关键．先求出的长度，再根据全等三角形对应边相等解答即可．
【解答】
解：，，
，
≌，
．
故答案为．

7.【答案】
【解析】解：
的周长为，，，
，
≌，
，
故答案为：．
求出长，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
8.【答案】钝角
【解析】解：根据题意，即有，
又，
所以，
故有，
得，
即得为钝角三角形．
故答案为：钝角．
在中，若，可以得出，再根据和的关系，可得出和的关系．根据三角形内角和定理为，可以得出的范围为大于即可判断出为钝角三角形．
本题考查了三角形的内角和定理．解题的关键是能够找出三角形的三个角之间的大小关系，利用三角形的内角和为进行求解．
9.【答案】
【解析】解：平分，平分，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由角平分线的定义及三角形的内角和定理可得，进而利用平角定义和三角形的内角和定理求解．
本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是熟练应用外角和内角的关系．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查三角形全等的判定，看这块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．
【解答】
解：、、块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故答案为：．
11.【答案】
【解析】解：，，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
故答案为：．
求出，求出，根据证≌，推出，，即可得出答案．
本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
12.【答案】或
【解析】解：当为锐角三角形时，如图，
高与右边腰成夹角，由三角形内角和为可得，顶角为；
当为钝角三角形时，如图，此时垂足落到三角形外面，
因为三角形内角和为，
由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为，
所以三角形的顶角为．
故答案为或．
等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况，所以舍去不计，另外两种情况可以根据垂直的性质及外角的性质求出顶角的度数．
本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．
13.【答案】
【解析】解：连接，
由图可得，，
于，于，，的面积为，
，
，
；
故答案为：．
可连接，由图得，，代入数值，解答出即可．
本题主要考查了等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是推出．
求出，证，推出，根据三角形的外角性质求出即可．
【解答】
解：，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为．
15.【答案】或
【解析】解：设等腰三角形的腰长是，底边是根据题意，得：
或，
解得：或．
根据三角形的三边关系，两组值都能组成三角形．
故答案为：或．
根据等腰三角形的性质和已知条件求出腰长和底边长，然后根据三边关系进行讨论，即可得出结论．
本题考查了等腰三角形的性质；解题中，因为两部分的周长没有明确，所以首先要分两种情况考虑．最后一定要注意检查是否符合三角形的三边关系．分类讨论是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：在和中，
≌，
，
，
，
故答案为：．
首先利用定理判定≌，根据全等三角形的性质可得，再由，可得．
此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等．
17.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
≌；
，
，
，
，
≌；
，
，
，
≌；
，
≌；
，
，
，，
≌，≌，
综上所述，共有对全等的直角三角形．
故答案是：．
≌，≌，≌，≌，≌，≌，利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
本题考查的是全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：、、做题时要由易到难，不重不漏．
18.【答案】
【解析】解：，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
．
先证明≌，进而得到角的关系，再由的度数进行转化，最后利用三角形的内角和即可得到答案．
考查了全等三角形的判定和性质，关键是充分利用角的和差的转化关系进行求解．
19.【答案】
【解析】解：以为公共边有三个，以为公共边有三个，以为公共边有一个，
所以一共能作出个．
故答案为：．
只要满足三边对应相等就能保证作出的三角形与原三角形全等，以腰为公共边时有个，以底为公共边时有一个，答案可得．
本题考查了全等三角形的作法；做三角形时要根据全等的判断方法的要求，正确对每种情况进行讨论是解决本题的关键．
20.【答案】
【解析】解：设三角形三边为、、，且．
，
为整数
为，，，
当为时，有个三角形，分别是：，，；，，；，，；，，；，，；
当为时，有个三角形，分别是：，，；，，；，，；，，；
当为时，有个三角形，分别是：，，；，，；
当为时，有个三角形，分别是：，，；
故答案为：个．
不妨设三角形三边为、、，且，由三角形三边关系定理及题设条件可确定的取值范围，以此作为解题的突破口．
此题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用能力．
21.【答案】
【解析】解：过作的垂线交于，过作的垂线交的延长线于，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
所以，，
故答案为：．
因为知道的长，所以只要求出边上的高，就可以求出的面积．过作的垂线交于，过作的垂线交的延长线于，构造出≌，求出的长，即为的长，然后利用三角形的面积公式解答即可．
本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目需要作辅助线构造直角三角形，利用全等三角形和面积公式来解答．对同学们的创造性思维能力要求较高，是一道好题．
22.【答案】解：图形如图所示：
等腰三角形有：，，．
【解析】根据要求画出图形即可，根据等腰三角形的定义判断即可．
本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23.【答案】解：如图，即为所求．

【解析】作等边，以为圆心，为半径作弧，交的延长线于点，连接，即为所求．
本题考查作图复杂作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24.【答案】解：证明：和相交于点，
．
在和中，
，．
又，
，
．
在和中，
，
≌．
≌，
，．
在中，
，，
，
．
【解析】根据全等三角形的判定即可判断≌；
由可知：，，根据等腰三角形的性质即可知的度数，从而可求出的度数．
本题考查全等三角形，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
25.【答案】证明：如图，，
．
在与中，
．
≌．
．
在与中，
．
≌．
．
【解析】首先根据全等三角形的判定定理推知≌，则；然后再根据全等三角形的判定定理证得≌，则．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角对顶角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
26.【答案】
【解析】解：在和中，
，
≌，
故答案为：；
，，，，
由得：≌，≌，
，，，，
，
故答案为：；
如图，过作于，
由旋转得：，
，
≌，
，
；
由题意得：，则，
如图，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
即当秒时，；
如图，，
，
，
，
，
，，
即当秒时，；
如图，，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
即当秒时，点恰好落在射线上．
故答案为：；；．
根据证明≌；
利用中的结论，≌，≌，利用面积差求的值；
如图，过作于，证明≌，得，根据面积公式可得结论；
由题意得：，则，
如图，根据，得，代入可得的值；
如图，证明，则，列方程：，则；
如图，证明≌，则，可得．
本题考查了三角形全等的性质和判定、等边三角形的性质、动点运动问题，明确动点运动的路程，并运用了类比的思想，与方程相结合，解决问题．
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