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第2节　函数的单调性与最值
1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.
2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义.
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2
当x1f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数
图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
函数单调性定义中的x1,x2具有以下三个特征:一是任意性,即“任意两数x1,x2∈D”,“任意”两字绝不能丢;二是有大小,即x1(2)单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.
若函数在两个不同的区间上单调性相同,一般要分开写,用“,”或“和”连接,不要用“∪”.
2.函数的最值
前提 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
条件 (1)对于任意x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M (3)对于任意x∈I,都有f(x)≥M; (4)存在x0∈I,使得f(x0)=M
结论 M是函数y=f(x)的最大值 M是函数y=f(x)的最小值
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.
1.函数单调性的等价定义
设任意x1,x2∈D(x1≠x2),则(1)>0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0) f(x)在D上单调递增;
(2)<0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0) f(x)在D上单调递减.
2.函数f(x)=ax+的单调性
若a>0,b<0,则函数在区间(-∞,0),(0,+∞)上是增函数,若a<0,b>0,则函数在区间(-∞,0),(0,+∞)上是减函数;若a>0,b>0,则函数在区间(-,0),(0,)上是减函数,在区间(-∞,-),(,+∞)上是增函数.
特别地,“对勾函数”y=x+(a>0)的单调递增区间为(-∞,-),(,+∞);单调递减区间是[-,0),(0,].
3.与函数运算有关的单调性结论
(1)函数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性.
(2)k>0时,函数f(x)与kf(x)单调性相同;k<0时,函数f(x)与kf(x)单调性相反.
(3)若f(x)恒为正值或恒为负值,则f(x)与具有相反的单调性.
(4)若f(x),g(x)都是增(减)函数,则当两者都恒大于零时,f(x)·g(x)是增(减)函数;当两者都恒小于零时,f(x)·g(x)是减(增)函数.
(5)在公共定义域内,增+增=增,减+减=减.
(6)复合函数单调性的判断方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”.
1.(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为(　D　)
A.f(x)=-x B.f(x)=()x
C.f(x)=x2 D.f(x)=
解析:f(x)=-x为R上的减函数;f(x)=()x为R上的减函数;f(x)=x2在(-∞,0)上为减函数;f(x)=为R上的增函数.故选D.
2.若函数f(x)是R上的减函数,且f(a2-a)A.(0,2) B.(-∞,0)∪(2,+∞)
C.(-∞,0) D.(2,+∞)
解析:因为f(x)是R上的减函数,且f(a2-a)a,所以a2-2a>0,所以a>2或a<0.故选B.
3.已知二次函数f(x)=2x2-4x,则f(x)在[-1,]上的最大值为　　 　.
解析:f(x)=2x2-4x图象的对称轴为直线x=1,
因此函数在区间[-1,1]上单调递减,在[1,]上单调递增,
且f(-1)=6,f()=-,则有f(-1)>f(),则函数f(x)在区间[-1,]上的最大值为f(-1)=6.
答案:6
4.(必修第一册P100T4改编)函数f(x)=x2+2(a-1)x+2.
(1)若函数f(x)的单调递减区间是(-∞,6],则实数a的值(或取值范围)是　　　　;
(2)若函数f(x)在区间(-∞,6]上单调递减,则实数a的值(或取值范围)是　　　　.
解析:(1)因为函数f(x)的单调递减区间是(-∞,6],且函数f(x)图象的对称轴为直线x=1-a,所以有1-a=6,即a=-5.
(2)因为函数f(x)在区间(-∞,6]上单调递减,且函数f(x)图象的对称轴为直线x=1-a,所以1-a≥6,即a≤-5.
答案:(1)-5　(2)(-∞,-5]
5.(2021·吉林松原高三模拟)写出一个符合“对 x1,x2∈R,当x1≠x2时,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0”的函数:f(x)=　　　　.
解析:设 x1,x2∈R,x1f(x2),由单调性的定义可知,函数f(x)是定义域为R的减函数,所以函数f(x)=-x满足题意.
答案:-x(答案不唯一)
函数的单调性与单调区间
1.下列函数中,满足“ x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,(x1-x2)·[f(x1)- f(x2)]<0”的是(　C　)
A.f(x)=2x B.f(x)=|x-1|
C.f(x)=-x D.f(x)=ln(x+1)
解析:由(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0可知,f(x)在(0,+∞)上是减函数,A,D选项中,f(x)为增函数;B选项中,f(x)=|x-1|在(0,+∞)上不单调;对于f(x)=-x,因为y=与y=-x在(0,+∞)上均为减函数,因此f(x)在(0,+∞)上是减函数.故选C.
2.函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(　D　)
A.(-∞,-2) B.(-∞,1)
C.(1,+∞) D.(4,+∞)
解析:由x2-2x-8>0,得f(x)的定义域为{x|x>4或x<-2}.
设t=x2-2x-8,则y=ln t为增函数.
函数f(x)的单调递增区间,
即函数t=x2-2x-8的单调递增区间(定义域内).
因为函数t=x2-2x-8在(4,+∞)上单调递增,在(-∞,-2)上单调递减,
所以函数f(x)的单调递增区间为(4,+∞).故选D.
3.函数f(x)=|x-2|x的单调递减区间是　　　　.
解析:f(x)=
画出f(x)的大致图象(如图所示),
由图知f(x)的单调递减区间是[1,2].
答案:[1,2]
判断函数的单调性或求函数单调区间的常见方法
(1)利用已知基本初等函数的单调性(如一次、二次、反比例、指数、对数等函数),转化为已知函数的和、差或复合函数,再求单调区间.
(2)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间.一般地,解析式中含绝对值的函数的单调区间常用此法.
(3)导数法:利用导数确定函数的单调区间.
(4)复合函数法:如果是复合函数,则首先将一个函数“拆分”成几个简单函数,利用复合函数单调性的判断规则判断.
说明:求函数的单调区间,首先需要求函数的定义域.
求函数的最值(值域)
　基本不等式法
函数f(x)=的值域为(　　)
A.(-∞,-2]∪[2,+∞)
B.(-∞,-1]∪[1,+∞)
C.(-∞,-]∪[,+∞)
D.[-,]
解析:当x=0时,f(0)=0;
当x>0时,0当x<0时,f(x)=<0,且f(x)=-≥-=-,
当且仅当x=-1时,等号成立.
综上所述,函数f(x)=的值域为[-,].故选D.
利用基本不等式法求最值应先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值,若自变量符号不确定,则需要分类讨论.
　换元法
求下列函数的值域.
(1)f(x)=4-x+()x+1(x≥0);
(2)f(x)=2x+.
解:(1)因为x≥0,设t=()x∈(0,1],y=t2+t+1,t∈(0,1],
y=t2+t+1=(t+)2+.
由于函数y=t2+t+1在(0,1]上单调递增,
所以1解:(2)令=t≥0,则2x=1-t2(t≥0),
所以函数y=-t2+t+1(t≥0),
又函数y=-t2+t+1(t≥0)图象的对称轴方程为t=≥0,且开口向下,
所以ymax=y|=-()2++1=,
所以函数y=2x+的值域为(-∞,].
1.形如y=ax±b±,通过换元将他们转化为有理函数,通过求有理函数的值域间接求原函数的值域.
2.若函数的解析式可以看作是一个关于基本初等函数的二次式,可以考虑换元法,但是要注意换元后新元的取值范围.
　函数的单调性法
求下列函数的值域.
(1)f(x)=,x∈[-1,-];
(2)f(x)=-.
解:(1)因为f(x)==3x-在[-1,-]上是增函数,
f(-1)=-1,f(-)=,
所以函数f(x)的值域为[-1,].
解:(2)因为所以-2≤x≤4,
所以函数f(x)的定义域为[-2,4].又y1=,y2=-在区间[-2,4]上均为减函数,所以f(x)=-在[-2,4]上为减函数,
所以f(4)≤f(x)≤f(-2),即-≤f(x)≤,所以函数的值域为[-,].
若已知函数具有明显的单调性,则应先确定函数的单调性,再由单调性求最值.
　分离常数法
函数y=的值域是(　　)
A.(-1,] B.(-1,1)
C.(-∞,] D.(-2,2)
解析:法一　y==-1+,因为2+x2≥2,所以0<≤,所以-1<-1+≤,所以函数y=的值域是(-1,].故选A.
法二　由y=可得x2=,由x2≥0可得≥0且y+1≠0,解得-1一般地,形如y=(ac≠0)(f(x)为常见的基本初等函数)的函数常用分离常数法或反解法(即用y表示f(x),然后借助f(x)的取值范围求y的取值范围).
　数形结合法(图象法)
(2021·黑龙江实验中学高三月考)若定义运算a*b=则函数g(x)=(-x2-2x+4)*(-x+2)的值域为(　　)
A.(-∞,4] B.(-∞,2]
C.[1,+∞) D.(-∞,4)
解析:由a*b=
得g(x)=(-x2-2x+4)*(-x+2)
=
当x∈[-2,1],g(x)=-x+2∈[1,4],当x∈(-∞,-2)∪(1,+∞),g(x)= -(x+1)2+5<4,可得g(x)≤4.故选A.
若所求值域的函数的图象容易作出,则先作出函数的图象,通过观察其最高点、最低点的纵坐标求出最值(值域).一般地,涉及新定义问题的函数最值或分段函数的最值问题,常借助图象法求解.
[针对训练]
1.函数y=的值域为(　　)
A.(0,) B.(0,]
C.(-∞,) D.[,+∞]
解析:因为2x>0 2x+3>3 0<<,所以函数y=的值域为(0,).故选A.
2.函数f(x)=+2x的值域为(　　)
A.[-1,+∞) B.[0,+∞)
C.[1,+∞) D.[2,+∞)
解析:令x-1≥0,解得x≥1,函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,所以f(x)∈[2,+∞),即函数f(x)的值域为[2,+∞).故选D.
3.对于任意实数a,b,定义min{a,b}=设函数f(x)=-x+3, g(x)=log2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是　　　　.
解析:在同一平面直角坐标系中作出函数f(x),g(x)图象,依题意,h(x)的图象如图实线部分所示.易知点A(2,1)为图象的最高点,因此h(x)的最大值为h(2)=1.
答案:1
4.函数y=的值域是　　　　.
解析:y===+.
令t=(t≥1),则y=t+≥2=2(当且仅当t=,即t=1,即x=0时,取等号),因此函数的最小值为2.函数无最大值,即函数的值域是[2,+∞).
答案:[2,+∞)
函数单调性的应用
　利用单调性比较大小
已知函数y=f(x)关于直线x=1对称,当10恒成立,设a=f(-),b=f(2),c=f(3),则a,b,c大小关系为(　　)
A.bC.b解析:因为函数f(x)的图象关于直线x=1对称,又因为当10恒成立,所以函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,
因此f(3)>f()=f(-)>f(2),即b利用单调性比较函数值大小时,应根据函数的性质(如对称性等)将自变量转化到函数的同一个单调区间上,利用单调性比较大小.
　利用函数的单调性解不等式
已知函数f(x)=-x|x|,x∈(-1,1),则不等式f(1-m)解析:函数f(x)=则f(x)在(-1,1)上单调递减,不等式f(1-m)解得0答案:{m|0解决与抽象函数有关的变量的取值范围问题的关键是利用函数的单调性“脱去”函数符号“f”,从而转化为关于自变量的不等式,常见的转化方法为:若函数y=f(x)在区间D上是增函数,对任意x1,x2∈D,且f(x1)x2.但需要注意的是不要忘记函数的定义域.
　含参数的分段函数的单调性
已知函数f(x)=在x∈R上单调递减,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,) B.(0,)
C.[,] D.(0,)∪(2,3)
解析:由函数f(x)=在x∈R上单调递减可知函数y=2x2-8ax+3在区间(-∞,1)上是减函数,函数y=logax在区间[1,+∞)上是减函数,且左边函数的最小值大于等于紧挨着它的右边函数的最大值,因此
解得≤a≤.故选C.
对于分段函数在实数集R上的单调递增(减)的问题,除了保证在定义域的每一个区间上单调性相同之外,还要考虑在分界点处的函数值的大小关系.
[针对训练]
1.已知函数f(x)的图象关于y轴对称,且函数在区间[0,+∞)上单调递增,则下列关系式成立的是(　　)
A.f(-)B.f(-3)C.f(-3)D.f(4)解析:因为函数f(x)的图象关于y轴对称,
所以f(-3)=f(3),f(-)=f(),
又因为3<<4且f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(3)所以f(-3)2.(2021·山东济南模拟)若函数f(x)=在R上单调递增,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,1] B.(0,2] C.(0,) D.[1,)
解析:因为f(x)=在R上单调递增,
所以解得03.设函数f(x)=若f(a+1)≥f(2a-1),则实数a的取值范围是　　　　.
解析:易知函数f(x)在定义域(-∞,+∞)上是增函数,因为f(a+1)≥f(2a-1),
所以a+1≥2a-1,解得a≤2,故实数a的取值范围是(-∞,2].
答案:(-∞,2]
已知定义在R上的函数f(x)为增函数,当x1+x2=1时,不等式f(x1)+f(0)>f(x2)+f(1)恒成立,则实数x1的取值范围是(　　)
A.(-∞,0) B.(0,)
C.(,1) D.(1,+∞)
解析:若f(x1)+f(0)>f(x2)+f(1),则f(x1)-f(x2)>f(1)-f(0).
又由x1+x2=1,则有f(x1)-f(1-x1)>f(1)-f(0).①
令g(x)=f(x)-f(1-x),又f(x)为增函数,所以g(x)为增函数,①式即g(x1)>g(1),所以x1>1.故选D.
已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足:对任意正实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b)-2,且当x>1时恒有f(x)<2,则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)在(0,+∞)上是减函数　
B.f(x)在(0,+∞)上是增函数
C.f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数
D.f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数
解析:设任意01,f(x2)-f(x1)=f(·x1)-f(x1)=f()+f(x1)-2-f(x1)=f()-2<0,即f(x2)函数y=在区间(-∞,-1)上是减函数,则实数a的取值范围是　　　　.
解析:法一　因为y===2a-.
又因为y=在(-∞,-1)上是减函数,
所以2a+1<0,所以a<-.
法二　因为y==2a-,
所以y′=,
又因为y=在(-∞,-1)上是减函数,所以2a+1<0,所以a<-.
答案:(-∞,-)
已知函数f(x)=ax2-x+1(a≠0),若任意x1,x2∈[1,+∞)且x1≠x2,都有>1,则实数a的取值范围是　　　　.
解析:因为任意x1,x2∈[1,+∞)且x1≠x2,都有>1,
所以令x1>x2,则>1,即f(x1)-f(x2)>x1-x2,f(x1)-x1>f(x2)-x2,
令g(x)=f(x)-x=ax2-2x+1,则函数g(x)在[1,+∞)上是增函数,
若a=0,则g(x)=-2x+1,显然不成立;
若a≠0,则解得a≥1.综上所述,实数a的取值范围是[1,+∞).
答案:[1,+∞)
求下列函数的值域.
(1)f(x)=;
(2)f(x)=+.
解:(1)令y=,则函数的定义域为x∈R,函数可转化为(y-1)x2+(y+1)x+y-1=0在x∈R上有解,所以当y-1=0,即y=1时,x=0显然成立;
当y-1≠0时,Δ=(y+1)2-4(y-1)2≥0,整理得
3y2-10y+3≤0,解得≤y≤3且y≠1,所以综上可知函数f(x)的值域为[,3].
解:(2)由已知得解得x≤2,所以f(x)的定义域为{x|x≤2},
又x≤2时,y=与y=都是减函数,所以f(x)在(-∞,2]上是减函数,f(x)≥f(2)=,所以函数f(x)的值域为[,+∞).
知识点、方法 基础巩固练 综合运用练 应用创新练
函数单调性的判定、求单调区间 1,5,9 13 16
函数的最值 2,3,7,8 12,14
函数单调性的应用 4,6,10 11 15
1.(2021·江西萍乡二模)下列函数中,在(0,+∞)上单调递增的是(　C　)
A.y=-x2+1 B.y=|x-1|
C.y=x3 D.y=2-x
解析:函数y=-x2+1在(0,+∞)上单调递减,因此A不符合题意;
由于函数y=|x-1|的图象关于直线x=1对称,在(1,+∞)上单调递增,不符合题意;
x∈(0,+∞)时,函数y=x3的导数为y′=3x2>0,因此函数在(0,+∞)上单调递增,故C满足题意;
函数y=2-x=()x在区间(0,+∞)上单调递减.故选C.
2.函数y=2-的值域是(　C　)
A.[-2,2]　 B.[1,2]　
C.[0,2]　 D.[-,]
解析:由0≤=≤2可知函数y=2-的值域为[0,2].故选C.
3.函数y=,x∈(m,n]的最小值为0,则m的取值范围是(　B　)
A.(1,2) B.(-1,2) C.[1,2) D.[-1,2)
解析:函数f(x)===-1在区间(-1,+∞)上是减函数,且f(2)=0,所以n=2.根据题意,x∈(m,n]时,ymin=0.
所以m的取值范围是(-1,2).故选B.
4.已知函数f(x)=ex+x-1,若a∈(-1,0),则f(a),f(2a),f2(a)的大小关系为(　D　)
A.f(2a)>f(a)>f2(a)
B.f(2a)>f2(a)>f(a)
C.f2(a)>f(2a)>f(a)
D.f2(a)>f(a)>f(2a)
解析:显然f(x)在R上是增函数,且f(0)=0,当a∈(-1,0)时,2a0,从而f2(a)>f(a)>f(2a).故选D.
5.(多选题)(2021·辽宁百校联盟高考模拟)下列函数中,在(2,4)上是减函数的是(　AC　)
A.y=()x B.y=log2(x2+3x)
C.y= D.y=cos x
解析:根据指数函数的性质得y=()x在(2,4)上是减函数,符合题意;根据复合函数的单调性可知y=log2(x2+3x)在(2,4)上是增函数,不符合题意;
根据反比例函数的性质及函数图象的平移得y=在(2,4)上是减函数,符合题意;
根据余弦函数的性质得,y=cos x在(2,4)上先减后增,不符合题意.故选AC.
6.(2021·陕西咸阳高三一模)已知函数f(x)=-1,且f(4x-1)> f(3),则实数x的取值范围是(　D　)
A.(2,+∞) B.(-∞,2)
C.(1,+∞) D.(-∞,1)
解析:由题意知函数f(x)=-1在R上单调递减,由于f(4x-1)>f(3),所以4x-1<3,解得x<1.故选D.
7.(多选题)下列函数中,值域为[1,+∞)的是(　AC　)
A.f(x)=
B.f(x)=
C.f(x)=x+1-
D.f(x)=x3+1
解析:f(x)=≥1,因此A符合;
f(x)= =2-≠2,因此B不符合;
对f(x)=x+1-,令t=≥0,x=,
所以y=+1-t==≥1,因此C符合;
f(x)=x3+1∈R,因此D不符合.故选AC.
8.设函数y=ex+-a的值域为A,若A [0,+∞),则实数a的取值范围是　　　　.
解析:函数y=ex+-a的值域为A.
因为ex+≥2=2,所以值域为A=[2-a,+∞).又因为A [0,+∞),所以2-a≥0,
即a≤2.
答案:(-∞,2]
9.若函数y=x+(a>1)在区间(0,3)上单调递减,则a的取值范围为　　　　.
解析:由对勾函数的性质可知函数y=x+(a>1)在(0,]上单调递减,在(,+∞)上单调递增,因为函数y=x+(a>1)在区间(0,3)上单调递减,所以≥3,解得a≥10.
答案:[10,+∞)
10.设函数f(x)=若函数y=f(x)在区间(a,a+1)上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　.
解析:作出函数f(x)的图象如图所示,由图象可知f(x)在(a,a+1)上单调递增,需满足a≥4或a+1≤2,即a≤1或a≥4.
答案:(-∞,1]∪[4,+∞)
11.已知图象开口向上的二次函数f(x)对任意x∈R都满足f(3-x)= f(x),若f(x)在区间(a,2a-1)上单调递减,则实数a的取值范围为(　B　)
A.(-∞,] B.(1,]
C.[-,+∞) D.(-∞,2)
解析:由题意知函数图象的对称轴是直线x=,且开口向上,若f(x)在区间(a,2a-1)上单调递减,则只需≥2a-1,解得a≤,而a<2a-1,解得a>1.所以实数a的取值范围为(1,].故选B.
12.(多选题)若函数f(x)=的值域为(0,+∞),则实数a的取值可能是(　CD　)
A.0 B.
C. D.1
解析:当a=0时,f(x)=,不符合题意;
当a≠0时,因为函数f(x)=的值域为(0,+∞),所以解得a≥.故选CD.
13.(多选题)(2021·山东威海高三期中)函数f(x)对任意x,y∈R总有f(x+y)=f(x)+f(y),当x<0时,f(x)<0,f(1)=,则下列命题中正确的是(　BCD　)
A.f(x)是R上的减函数
B.f(x)在[-6,6]上的最小值为-2
C.f(-x)=-f(x)
D.若f(x)+f(x-3)≥-1,则实数x的取值范围为[0,+∞)
解析:取x=0,y=0,则f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0.
令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x),即-f(x)=f(-x),C正确;
令x1,x2∈R,且x1所以f(x1-x2)<0,
则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)<0,即f(x1)因为函数f(x)是R上的增函数,所以函数f(x)在[-6,6]上的最小值为f(-6),
f(-6)=f(-3)+f(-3)=2f(-3),f(-3)=-f(3),f(3)=f(2)+f(1)
=f(1)+f(1)+f(1)=3×=1,故f(-6)=-2,
所以f(x)在[-6,6]上的最小值为-2,B正确;
f(x)+f(x-3)≥-1,即f(2x-3)≥f(-3),因为函数f(x)是R上的增
函数,
所以2x-3≥-3,解得x≥0,所以实数x的取值范围为[0,+∞),D正确.故选BCD.
14.已知函数f(x)=|x2-4x|,x∈[2,5],则f(x)的最小值是　　　　,最大值是　　　　.
解析:因为函数f(x)=|x2-4x|
=
对应图象如图所示,
故f(x)的最小值为f(4)=0,最大值为f(5)=5.
答案:0　5
15.已知函数f(x)=,则(　C　)
A.f()B.f()C.f()D.f()解析:根据题意,函数f(x)=的定义域为(0,+∞),
f′(x)==,令f′(x)=0 x=1,
所以f′(x)>0 -ln x>0 01,
即函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
所以f()又因为f()=2(1+ln )=2(1-ln 2),f()=(1+ln )=(1+ln 3-ln 2),
因为f()-f()=2-2ln 2--ln 3+ln 2=(2-2ln 2-ln 3)=(2-ln 22- ln 3)=(2-ln 12)<0,
所以f()16.(2021·北京朝阳区高考一模)写出一个值域为(-∞,1),在区间
(-∞,+∞)上单调递增的函数:f(x)=　　　　.
解析:f(x)=1-()x,
理由如下:因为y=()x为R上的减函数,且()x>0,
所以f(x)=1-()x为R上的增函数,且f(x)=1-()x<1,
所以f(x)=1-()x∈(-∞,1).
答案:1-()x(答案不唯一)

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