资源简介

第1节　函数的概念及其表示
1.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.
2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用.
3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.
1.函数的有关概念
(1)集合A,B及其对应关系f:A→B构成的函数中,函数的值域C不是集合B,而是C B.
(2)两个函数的值域和对应关系相同,但两个函数不一定相同,例如,函数f(x)=2x2,x∈[0,2]与函数f(x)=2x2,x∈[-2,0].
2.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、列表法和图象法.
3.分段函数
若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.
分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.
与x轴垂直的直线与一个函数的图象至多有一个公共点.
1.若集合A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤3},则下列图形给出的对应中能构成从A到B的函数f:A→B的是(　D　)
解析:A中的对应不满足函数的存在性,即存在x∈A,但B中无与之对应的y;B,C均不满足函数的唯一性,只有D正确.故选D.
2.(必修第一册P72习题3.1T2改编)下列四组函数中表示同一个函数的是(　 　)
A.f(x)=·与g(x)=
B.f(x)=x与g(x)=
C.f(x)=与g(x)=|x|
D.f(x)=1,x∈R与g(x)=x0
解析:A选项中函数f(x)的定义域为[1,+∞),g(x)的定义域为R,定义域不同,不是同一个函数;B选项中函数f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),定义域不同,不是同一个函数;C选项中函数f(x),g(x)的定义域均为R,对应法则也相同,是同一个函数;D选项中函数f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),定义域不同,不是同一个函数.故选C.
3.已知函数f(x)=则f(f(-))等于(　A　)
A. B. C.- D.
解析:由x≤0可知f(-)=-+1=,结合x>0的解析式可知f()=()2+1=.故选A.
4.已知函数f(x)和g(x)的定义域为{1,2,3,4},其对应关系如表,则f(g(2))的值为(　D　)
x 1 2 3 4
f(x) 4 3 2 1
g(x) 1 1 3 3
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:因为g(2)=1,f(1)=4,则f(g(2))=f(1)=4.故选D.
5.(2020·北京卷)函数f(x)=+ln x的定义域是　　　　.
解析:函数f(x)=+ln x的自变量满足所以x>0且x≠-1,
即定义域为(0,+∞).
答案:(0,+∞)
函数的定义域
1.(2021·陕西黄陵高三期中)函数f(x)=+ln(2x-x2)的定义域为(　 　)
A.(2,+∞) B.(1,2)
C.(0,2) D.[1,2]
解析:要使函数有意义则解得12.已知函数f(x)=的定义域是R,则实数a的取值范围是(　 　)
A.(-12,0) B.(-12,0]
C.(,+∞) D.(-∞,]
解析:因为f(x)=的定义域为R,所以只需分母不为0即可,
所以a=0或可得-123.已知函数f(x)=(1-x+(2x-1)0,则f(x)的定义域为　　　　　　.
解析:将(1-x化为,所以x<1,又因为2x-1≠0,所以x≠.
综上,定义域为(-∞,)∪(,1).
答案:(-∞,)∪(,1)
4.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),则函数g(x)=f()+f(x-1)的定义域为　　　　.
解析:因为f(x)的定义域为(-1,1),
所以要使g(x)有意义,则
解得1答案:(1,2)
5.若函数f(x)=的定义域为{x|1≤x≤2},则a+b的值为　　　　.
解析:函数f(x)的定义域是不等式ax2+abx+b≥0的解集.不等式ax2+abx+b≥0的解集为{x|1≤x≤2},所以解得
所以a+b=--3=-.
答案:-
(1)若函数的解析式是由多个基本初等函数通过四则运算构成,则函数的定义域是使构成解析式的各部分都有意义的集合的交集.
(2)求抽象函数的定义域
①若y=f(x)的定义域为(a,b),则解不等式a②若y=f(g(x))的定义域为(a,b),则求出g(x)在(a,b)上的值域即得f(x)的定义域.
注意:1.求函数定义域时,对函数解析式先不要化简.
2.求出定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式.若用区间表示,不能用“或”连接,而应该用并集符号“∪”连接.
求函数的解析式
1.已知f(x)满足2f(x)+f()=3x,则f(x)=　　　　.
解析:(解方程组法)因为2f(x)+f()=3x,①
把①中的x换成,得2f()+f(x)=.②
联立①②可得
解此方程组可得f(x)=2x-(x≠0).
答案:2x-(x≠0)
2.已知在定义域内单调递增的一次函数f(x)满足f(f(x))=4x+6,则f(x)的解析式为　　　　.
解析:设f(x)=ax+b(a>0),则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x+6,于是有解得或(舍去),所以f(x)=2x+2.
答案:f(x)=2x+2
3.已知f(1-cos x)=sin2x,则函数f(x)的解析式为　　　　.
解析:因为f(1-cos x)=sin2x=1-cos2x,
令1-cos x=t,t∈[0,2],则cos x=1-t,
所以f(t)=1-(1-t)2=2t-t2,t∈[0,2].
即f(x)=2x-x2,x∈[0,2].
答案:f(x)=2x-x2,x∈[0,2]
1.已知f(g(x))的解析式,求f(x)的解析式,常用换元法或配凑法或两种方法并用,换元法更具有一般性,在使用时一定要注意新元的取值范围.
2.换元法的一般方法是:令t=g(x),从中求出x=(t),然后代入表达式求出f(t),再将t换成x,得到f(x)的解析式,要注意新元的取值
范围.
分段函数及其应用
　分段函数求值
已知f(x)=则f[f()]+f(-)的值等于　　　.
解析:由题意得f()=2×=,f[f()]=f()=2×=.
f(-)=f(-)=f()=2×=,
所以f[f()]+f(-)=+=.
答案:
求分段函数的函数值的策略
(1)求分段函数的函数值时,要先确定要求值的自变量属于哪一区间,然后代入该区间对应的解析式求值.
(2)当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.
　分段函数与方程
(2021·山西太原高三期中)已知函数f(x)=若f(a)=2,则实数a=(　　)
A.-1或2 B.2或4
C.-2或4 D.-1或4
解析:法一　当a<0时,由a2-a=2解得a=-1或a=2(舍去);
当a≥0时,由=2可得a=4.故选D.
法二　结合选项可知a=2时≠2,因此排除A,B.对于a=-2时, (-2)2-(-2)=6≠2,排除C.故选D.
根据分段函数的函数值求自变量的值或解方程时,应根据分段函数各段的定义域分类讨论,结合各段的函数解析式求解,要注意求出的自变量的值应满足解析式对应的自变量的区域.
　分段函数与不等式
函数f(x)=则满足f(x)+f(x-)>1的x的取值范围是　　　　.
解析:当x>时,f(x)+f(x-)=2x+>2x>>1;
当02x>1;
当x≤0时,f(x)+f(x-)=x+1+(x-)+1=2x+,
所以f(x)+f(x-)>1 2x+>1 x>-,即-综上,x∈(-,+∞).
答案:(-,+∞)
求解与分段函数有关的不等式问题,应在定义域的限制之下,结合函数解析式分别解不等式,最后取各不等式的并集.
　分段函数的值域
(2021·安徽肥东综合高中高三期中)设函数f(x)=若F(x)=f(x)+x,x∈R,则F(x)的值域为(　　)
A.(-∞,1]
B.[2,+∞)
C.(-∞,1]∪[2,+∞)
D.(-∞,1)∪(2,+∞)
解析:当x>0时,F(x)=+x≥2=2,当且仅当=x,即x=1时取等号;当x≤0时,F(x)=ex+x,根据指数函数与一次函数的单调性得F(x)是增函数,F(x)≤F(0)=1,所以F(x)的值域为(-∞,1]∪[2,+∞).故选C.
分段函数的值域是各段函数值域的并集.
[针对训练]
1.已知函数f(x)=则f(f(1))=(　　)
A.- B.2　
C.4 D.11
解析:因为f(1)=12+2=3,所以f(f(1))=f(3)=3+=4.故选C.
2.若函数f(x)=则不等式f(x)+1<0的解集是(　　)
A.(-∞,) B.(-∞,0)∪(0,)
C.(0,) D.(-1,0)∪(,+∞)
解析:由题意或
所以x<0或0所以不等式f(x)+1<0的解集为(-∞,0)∪(0,).故选B.
3.(2021·四川遂宁高三零模)函数f(x)=的值域为　　　　.
解析:当x<1时,f(x)=x2-x+1=(x-)2+≥.
当x>1时,f(x)=∈(0,1).
综上可得,f(x)的值域为(0,+∞).
答案:(0,+∞)
4.已知函数f(x)=则方程f(1+x2)=f(2x)的解集是　　　　.
解析:因为1+x2≥1,所以f(1+x2)=2.方程f(1+x2)=f(2x),即f(2x)=2.
所以当x<0时,方程e2x+1=2,解得x=0,不成立;
当x≥0时,2=2成立.
所以方程f(1+x2)=f(2x)的解集是{x|x≥0}.
答案:[0,+∞)
设函数f:R→R满足f(0)=1,且对任意x,y∈R都有f(xy+1)= f(x)f(y)-f(y)-x+2,则f(2 023)=(　　)
A.0 B.1
C.2 024 D.2 025
解析:令x=y=0,则f(1)=f(0)f(0)-f(0)-0+2=1×1-1-0+2=2,
令y=0,则f(1)=f(x)f(0)-f(0)-x+2,
将f(0)=1,f(1)=2代入,可得f(x)=1+x,
所以f(2 023)=2 024.故选C.
已知y=f(x)是定义域为A=,值域为B={π,e,}的函数,则这样的函数共有(　　)
A.6个 B.27个
C.64个 D.81个
解析:因为A=,B={π,e,},
由于函数的值域中含有3个元素,且定义域中含有3个元素,因此这是定义域与值域之间的一一对应关系构成的函数,因此共能构成3×2 ×1=6个函数.故选A.
已知定义在[0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=2f(x+1),当x∈[0,1)时,f(x)=,则当x∈[1,2)时,f(x)=(　　)
A.- B.
C. D.-
解析:根据f(x)=2f(x+1)得,f(x-1)=2f(x).
当x∈[1,2)时,x-1∈[0,1),f(x-1)==,
所以f(x)=f(x-1)=.故选B.
如图,定义在[-1,+∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,则f(x)的解析式为　　　　.
解析:当-1≤x≤0时,设解析式为y=kx+b,
由图象得解得
所以y=x+1;
当x>0时,设解析式为y=a(x-2)2-1,
因为图象过点(4,0),
所以0=a(4-2)2-1,解得a=.
综上,函数f(x)在[-1,+∞)上的解析式为
f(x)=
答案:f(x)=
知识点、方法 基础巩固练 综合运用练 应用创新练
函数的概念与表示 2,3,6 14 16
函数的定义域 1,4,5,7 11
分段函数 8,9,10 12,13 15
1.(2021·江苏淮安五校高三联考)函数f(x)=+lg(3x-1)的定义域为(　A　)
A.(,1] B.(0,1]
C.(-∞,) D.(0,)
解析:要使f(x)=+lg(3x-1)有意义,则有解得所以函数f(x)=+lg(3x-1)的定义域为(,1].故选A.
2.已知函数f(x)满足f()+f(-x)=2x(x≠0),则f(-2)=(　C　)
A.- B.
C. D.-
解析:法一　由f()+f(-x)=2x,①
可得f(-x)-xf()=-,②
将①乘以x+②得2f(-x)=2x2-,
所以f(-x)=x2-.所以f(-2)=.故选C.
法二　根据题意,函数f(x)满足f()+f(-x)=2x(x≠0),
令x=2可得f()+f(-2)=4,①
令x=-可得f(-2)-2f()=-1,②
联立①②解得f(-2)=.故选C.
3.(2021·江西赣州高三期中)已知函数f(x)=2x,g(x)=x2-a,若f[g(1)]=1,则a=(　B　)
A.-1 B.1
C.2 D.3
解析:因为函数f(x)=2x,g(x)=x2-a,所以f[g(1)]=21-a=1,解得a=1.故选B.
4.(2021·湖北荆州中学高考四模)定义域是一个函数的三要素之一,已知函数f(x)的定义域为[211,985],则函数g(x)=f(2 018x)+
f(2 021x)的定义域为(　A　)
A.[,] B.[,]
C.[,] D.[,]
解析:根据题意得解得x∈[,].故选A.
5.(2021·天津南开中学高三模拟)下列四个函数:①y=3-x;②y=2x-1(x>0);③y=x2+2x-10;
④y=其中定义域与值域相同的函数的个数为(　B　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:①y=3-x的定义域与值域均为R;②y=2x-1(x>0)的定义域为(0,+∞),值域为(,+∞);③y=x2+2x-10的定义域为R,值域为[-11,+∞);④y=的定义域和值域均为R.所以定义域与值域相同的函数是①④,共有2个.故选B.
6.(多选题)下列函数中,满足f(2x)=2f(x)的是(　ABD　)
A.f(x)=|2x| B.f(x)=x
C.f(x)= D.f(x)=x-|x|
解析:f(x)=|2x|,f(2x)=4|x|,2f(x)=4|x|,所以A正确;
f(x)=x,满足f(2x)=2f(x),所以B正确;
f(x)=,f(2x)=,2f(x)=2,不满足f(2x)=2f(x),所以C不正确;
f(x)=x-|x|,f(2x)=2x-2|x|,2f(x)=2x-2|x|,所以D正确.故选ABD.
7.(2021·安徽合肥高三联考)已知函数f(x)的定义域是[,8],则f(2x)的定义域是　　　　.
解析:因为函数f(x)的定义域是[,8],所以≤2x≤8,得-1≤x≤3.
所以f(2x)的定义域为[-1,3].
答案:[-1,3]
8.已知函数f(x)=则f(2)=　　　　;不等式f(x)> f(1)的解集为　　　　.
解析:f(2)=22+2-1=5,
f(x)>f(1)等价于或者
解得-21.
答案:5　(-2,0)∪(1,+∞)
9.设函数f(x)=若f(m)=7,则实数m=　　　　.
解析:①当m≥2时,f(m)=7,即m2-2=7,解得m=3或m=-3(舍去),则m=3;
②当m<2时,f(m)=7,即log2m=7,解得m=27>2,舍去.综上可得,实数m的值为3.
答案:3
10.已知函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值范围是　　　　.
解析:由题意知f(x)=ln x(x≥1)的值域为[0,+∞),故要使f(x)的值域为R,则必有f(x)=(1-2a)x+3a为增函数,且1-2a+3a≥0,所以1-2a>0且a≥-1,解得-1≤a<,所以实数a的取值范围是[-1,).
答案:[-1,)
11.设函数f(x)=lg ,则f()+f()的定义域为(　B　)
A.(-9,0)∪(0,9)　 B.(-9,-1)∪(1,9)
C.(-3,-1)∪(1,3) D.(-9,-3)∪(3,9)
解析:因为函数f(x)=lg,
所以>0 -3所以所以
所以-912.(多选题)函数f(x)=则下列结论正确的是(　ACD　)
A.任意x都有f(x)=f(-x)
B.方程f(f(x))=f(x)的解只有x=1
C.f(x)的值域是{0,1}
D.方程f(f(x))=x的解只有x=1
解析:当x为有理数时,-x为有理数,则f(x)=f(-x)=1,当x为无理数时,-x为无理数,则f(x)=f(-x)=0,故A正确;
当x为有理数时,方程f(f(x))=f(1)=1=f(x)成立;当x为无理数时,方程f(f(x))=f(0)=1≠f(x).所以方程f(f(x))=f(x)的解为任意有理数,故B错误;
因为f(x)的值域是{0,1},故C正确;
当x为有理数时,方程f(f(x))=f(1)=1=x,解得x=1;当x为无理数时,方程f(f(x))=f(0)=1,无解,故D正确.故选ACD.
13.(多选题)已知函数f(x)=关于函数f(x)的结论正确的是(　BC　)
A.f(x)的定义域为R
B.f(x)的值域为(-∞,4]
C.若f(x)=2,则x的值是-
D.f(x)<1的解集为(-1,1)
解析:函数f(x)的定义域是[-2,1)∪[1,+∞)=[-2,+∞),故A错误;当-2≤x<1时f(x)=x2,值域为[0,4],当x≥1时,f(x)=-x+2,值域为(-∞, 1],故f(x)的值域为(-∞,1]∪[0,4]=(-∞,4],故B正确;由函数值的分布情况可知,f(x)=2在x≥1上无解,故由-2≤x<1,即f(x)=x2=2,得到x=-,故C正确;当-2≤x<1时,令f(x)=x2<1,解得x∈(-1,1),当x≥1时,令f(x)=-x+2<1,解得x∈(1,+∞),故f(x)<1的解集为(-1,1)∪(1,+∞),故D错误.故选BC.
14.若一系列函数的解析式和值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,请写出一个与函数y=x2,x∈[0,2]同族的函数:　　　　.
解析:函数y=x2,x∈[0,2]的值域为[0,4],因此其同族函数的函数解析式可以是y=x2,x∈[-2,t](0≤t≤2),也可以是y=x2,x∈[m,2](-2≤m≤0)中的任意一个.
答案:y=x2,x∈[-2,1](答案不唯一,参考解析中的t,m的值)
15.设函数f(x)=则满足f(x)+f(x-1)<2的x的取值范围是　　　　.
解析:当x<0时,f(x)=-f(-x)=
-[-x(-x-1)]=-x(x+1),
①若x<0,则x-1<-1,
由f(x)+f(x-1)<2得-x(x+1)-(x-1)x<2,
即-2x2<2,即x2>-1,此式恒成立,此时x<0.
②若x≥1,则x-1≥0,
由f(x)+f(x-1)<2得x(x-1)+(x-1)(x-2)<2,
即x2-2x<0,即0③若0≤x<1,则x-1<0,
由f(x)+f(x-1)<2得x(x-1)-(x-1)x<2,
即0<2,此时不等式恒成立,此时0≤x<1.
综上x<2,即不等式的解集为(-∞,2).
答案:(-∞,2)
16.(2021·浙江湖州高三期末)设函数f(x)=x3-3x+3(x∈R).已知a>0,且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,b∈R,则ab=　　　　.
解析:因为f(x)=x3-3x+3(x∈R),
所以f(x)-f(a)=x3-3x+3-(a3-3a+3)=x3-a3-3(x-a)
=(x-a)(x2+ax+a2)-3(x-a)=(x-a)[x2+ax+a2-3],
因为f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,
所以(x-a)[x2+ax+a2-3]=(x-b)(x-a)2,对任意的x恒成立,
因为x-a不恒为0,所以x2+ax+a2-3=(x-b)(x-a).
展开整理可得ax+a2-3=-(a+b)x+ab,
所以解得
或(舍去),
所以ab=1×(-2)=-2.
答案:-2

展开更多......

收起↑