资源简介

第3节　函数的奇偶性与周期性
1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.
2.结合函数的周期性、最小正周期的含义,会判断应用函数的周期性.
1.函数的奇偶性
偶函数 奇函数
定义 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果 x∈I,都有-x∈I
且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数 且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数
图象 特征 关于y轴对称 关于原点对称
函数存在奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称.
2.函数的周期性
(1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D,都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
(1)若T是函数f(x)的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数f(x)的周期.
(2)不是所有的周期函数都有最小正周期,如常函数f(x)=c(c是常数)是周期函数,但没有最小正周期.
1.奇偶性的四个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.
(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x)=f(|x|).
(3)若函数满足f(x)=0或解析式可化简为f(x)=0(x∈D),其中定义域D是关于原点对称的非空数集,则函数既是奇函数又是偶函数.
(4)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
2.周期性的常用结论
设函数y=f(x),x∈R,a>0.
(1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的一个周期为2a.
(2)若f(x+a)=-f(x),则函数的一个周期为2a.
(3)若f(x+a)=,则函数的一个周期为2a.
(4)若f(x+a)=-,则函数的一个周期为2a.
3.对称性的三个常用结论
(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(3)若函数y=f(x+b)是奇函数,即f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.
1.(必修第一册P84例6改编)下列函数中为偶函数的是(　B　)
A.y=x3 B.y=x2
C.y=|ln x| D.y=2-x
解析:A为奇函数,C,D为非奇非偶函数,B为偶函数.故选B.
2.(必修第一册P203练习T4改编)设f(x)是定义在R上周期为3的函数,当0≤x≤1时,f(x)=x2-x,则f()等于(　B　)
A. B.-
C. D.
解析:因为f(x)是定义在R上周期为3的函数,
所以f()=f(-3)=f().又当0≤x≤1时,f(x)=x2-x,
则f()=-=-.故选B.
3.若函数f(x)=x2+(a+5)x+b是偶函数,定义域为[a,2b],则a+2b =　　　 　.
解析:因为f(x)是偶函数,函数的定义域关于原点对称,所以a+2b=0.
答案:0
4.(2020·江苏卷)已知y=f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=,则f(-8)的值是　　　　.
解析:由题意可得f(-8)=-f(8)=-=-(23=-22=-4.
答案:-4
5.(2021·山东日照高三模拟)写出一个满足f(x)=f(2-x)的奇函数:f(x)=　　　　.
解析:取f(x)=sin x,下面为证明过程:
显然,其定义域为R;
由f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x),故f(x)=sin x为奇函数;
又f(2-x)=sin[(2-x)]=sin(π-x)=sin x=f(x).
答案:sinx(答案不唯一)
函数奇偶性的判断及应用
1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x<0时,f(x)=2x2-2,则f(f(-1))+f(2)=(　B　)
A.-8 B.-6 C.4 D.6
解析:法一　因为当x<0时,f(x)=2x2-2,所以f(-1)=0,又函数是奇函数,则f(0)=0,f(-2)=2×(-2)2-2=2×4-2=8-2=6=-f(2),即f(2)=-6,所以f(f(-1))+f(2)=-6.故选B.
法二　因为当x<0时,f(x)=2x2-2,
所以f(-1)=0,则f(f(-1))=f(0)=0.
设x>0,则-x<0.所以f(-x)=2(-x)2-2=2x2-2.
又因为函数满足f(-x)=-f(x),
即-f(x)=2x2-2,因此f(x)=2-2x2,故f(2)=2-2×22=-6,
故f(f(-1))+f(2)=-6.故选B.
2.(2021·陕西渭南模拟)已知函数f(x)=3-x+a·3x是奇函数,则f(2)=(　D　)
A. B.- C. D.-
解析:法一　根据题意,函数f(x)=3-x+a·3x是奇函数,则f(-x)=-f(x),即3x+a·3-x=-(3-x+a·3x),变形可得(a+1)(3x+3-x)=0,解得a=-1,则f(2)=3-2-32=-.故选D.
法二　由于函数f(x)=3-x+a·3x是奇函数且定义域是R,因此f(0)=0,即1+a=0,因此a=-1,则f(2)=3-2-32=-.故选D.
3.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x) =x3+x2+2,则f(x)=　　　　,g(x)=　　　　.
解析:由f(x)-g(x)=x3+x2+2以及函数f(x)和g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数可得f(-x)-g(-x)=(-x)3+(-x)2+2=-x3+x2+2,即f(x)+g(x)=-x3+x2+2,解得f(x)=x2+2,g(x)=-x3.
答案:x2+2　-x3
4.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=;
(2)f(x)=ln;
(3)f(x)=
(4)f(x)=.
解:(1)函数的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数也不是偶函数.
(2)由>0,得-1解:(3)法一(定义法)　函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,
当x>0时,-x<0,f(-x)=x2-2x-1=-f(x),
当x<0时,-x>0,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x),
所以f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.
法二(图象法)　作出函数f(x)的图象,由图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数.
解:(4)因为 -2≤x≤2且x≠0,
所以函数的定义域关于原点对称,
所以f(x)==,又f(-x)==-,
所以f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.
1.判断函数奇偶性的方法
(1)首先判断函数的定义域是否关于原点对称,若函数的定义域关于原点对称,则判断f(-x)与f(x)之间的关系.
(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(-x)与f(x)的关系,只有各段上的x都满足相同的关系时,才能判断其奇偶性.
2.利用函数的奇偶性求函数值的方法:将待求函数值或不等式利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.
3.根据函数的奇偶性求解析式中参数的方法:根据f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的方程(组),进而得出参数的值.
4.涉及两个奇偶函数的和或差的解析式求奇偶函数的解析式需要用-x代替x后利用奇偶函数的性质构造方程组求解.
注意:根据函数的解析式判断函数奇偶性时,若函数解析式不是最简形式,需要先化简函数解析式,化简时要注意等价变形.
函数的周期性及其应用
设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)= -f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2,则x∈[2,4]时函数f(x)的解析式为　 .
解析:当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],
由已知得f(-x)=2×(-x)-(-x)2=-2x-x2,
又f(x)是奇函数,
所以f(-x)=-f(x)=-2x-x2,
所以当x∈[-2,0)时,f(x)=x2+2x.
又当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],
所以f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).
又f(x)是周期为4的周期函数,
所以f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8,
故当x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8.
答案:f(x)=x2-6x+8(x∈[2,4])
[典例迁移1] 设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x)且f(1)=2,则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 022)+f(2 023) =　　　　.
解析:依题意函数的一个周期是4,且f(1)=2,所以f(3)=f(3-4)=f(-1) =-f(1)=-2.又f(2)=f(2-4)=f(-2)=-f(2),故f(2)=0.由奇函数的定义f(-x)=-f(x),可知f(0)=-f(-0)=-f(0),则f(0)=0,因此f(4)=0.
故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,
结合2 023=4×505+3,可知f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 022)+f(2 023)=
505[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)+f(3)=2+0+(-2)=0.
答案:0
[典例迁移2] 设f(x)是定义在R上的函数,且恒有f(x+2)=-,你认为函数f(x)可以是奇函数吗
解:因为对任意x∈R,都有f(x+2)=-,所以f(x+4)=f(x+2+2)= -=-=f(x),所以f(x)的一个周期为4.
假设函数f(x)是奇函数,则由奇函数的定义f(-x)=-f(x),可知f(0)=-f(-0)=-f(0),则f(0)=0,且f(2)=f(2-4)=f(-2)=-f(2),故f(2)=0.结合f(2)=f(0+2)=-,因此函数f(x)不可能是奇函数.
1.根据函数在给定区间上的解析式,结合函数周期性与奇偶性的求值问题,应根据函数的性质将待求的自变量的值转化到已知的函数解析式上后,结合函数解析式求值.
2.若函数具有奇偶性以及关于直线(或点)对称时,函数也具有周期性,求解时首先利用周期性的定义确定出函数的周期.
3.若函数y=f(x)是奇函数且T为其一个周期,则f()=0.
[针对训练]
1.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x)=f(1-x),则f(2 020) +f(2 021)+f(2 022)=(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
解析:因为f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=f(1-x),
所以f(x+1)=f(-x)=-f(x),所以f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期为2,
所以f(2 020)=f(0+2×1 010)=f(0)=0,
f(2 021)+f(2 022)=f(2 021)+f(1-2 022)=f(2 021)-f(2 021)=0,
所以f(2 020)+f(2 021)+f(2 022)=0.故选B.
2.(2021·安徽皖江名校高三模拟)偶函数f(x)满足f(-x)=f(x+),且在x∈[,4]时,f(x)=log2x-1,则f(-2-1)=(　　)
A.log27-2 B.1
C.log23-2 D.log27-1
解析:因为函数f(x)是偶函数以及f(-x)=f(x+),
所以f(-x)=f(x++)=f(x+1)=f(x),所以函数的周期为1,
所以f(-2-1)=f(-)=f()=f()=log2-1=log27-2.故选A.
3.若函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且x∈[-1,1]时,f(x)=x2,则x∈[7,9]时的函数解析式是　　　　.
解析:由函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)可知f(x+1+1)=-f(x+1)=f(x),因此函数的周期是2.设x∈[7,9],则-1≤x-8≤1,因此f(x-8)=(x-8)2,根据函数的周期是2可知f(x-8)=f(x),因此f(x)=(x-8)2.
答案:f(x)=(x-8)2(x∈[7,9])
函数性质的综合应用
　函数的单调性、奇偶性的应用
(1)函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数,若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是(　　)
A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3]
(2)已知函数f(x)=x2+log2|x|,则不等式f(x+1)-f(2)<0的解集为(　　)
A.(-∞,-1)∪(3,+∞)　
B.(-∞,-3)∪(1,+∞)
C.(-3,-1)∪(-1,1)　
D.(-1,1)∪(1,3)
解析:(1)由函数f(x)是奇函数,可知f(-1)=-f(1)=1.-1≤f(x-2)≤1,即f(1)≤f(x-2)≤f(-1).又f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,则有-1≤x-2≤1,解得1≤x≤3.故选D.
解析:(2)当x>0时,f(x)=x2+log2x,故其在(0,+∞)上单调递增,又因为函数的定义域为{x|x≠0},f(-x)=(-x)2+log2|-x|=x2+log2|x|=f(x),故其为偶函数,综上可得f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增且图象关于y轴对称,f(x+1)-f(2)<0即f(x+1)1.求解与奇偶函数有关的不等式问题要考虑奇偶函数关于原点对称的定义域两侧的单调性;利用奇、偶函数的图象特征或根据奇函数在对称区间上的单调性一致,偶函数在对称区间上的单调性相反,转化到同一单调区间上求解.
2.求解与偶函数有关的不等式问题,为避免出现错误以及分类讨论,可利用偶函数的性质f(x)=f(-x)=f(|x|)将问题转化为偶函数在[0,+∞)上的单调性求解.
　函数的奇偶性(对称性)与周期性
(2021·黑龙江佳木斯一中高三三模)已知y=f(x)为奇函数,若f(x+1)是偶函数,且当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+a),则f(2 021)= (　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
解析:由函数f(x+1)是偶函数以及y=f(x)为奇函数可知f(x+1)= f(-x+1),即f(x+2)=f(-x)=-f(x),
所以对任意x∈R,f(x+4)=f(x).
当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+a),所以f(0)=log2a=0,
所以a=1,则f(2 021)=f(505×4+1)=f(1)=log22=1.故选C.
1.若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称,若y=f(x+a)是奇函数,则函数y=f(x)关于点(a,0)对称.
2.函数图象的对称与周期关系常见结论
(1)若函数y=f(x)的两条对称轴方程分别为x=a,x=b,则函数的一个周期为T=2|a-b|;(2)若函数y=f(x)的两个对称中心分别为(a,0), (b,0),则函数的一个周期为T =2|a-b|;(3)若函数y=f(x)的一条对称轴方程为x=a,一个对称中心为点(b,0),则函数的一个周期为T=4|a-b|.
　单调性、奇偶性与周期性的综合问题
(多选题)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数, x∈R,f(x- 1)=f(x+1)成立,当x∈(0,1)且x1≠x2时,有<0,则下列命题中正确的是(　　)
A.f(1)=0
B.f(x)在[-2,2]上有5个零点
C.直线x=2 022是函数y=f(x)图象的一条对称轴
D.点(2 022,0)是函数y=f(x)图象的一个对称中心
解析:令f(x-1)=f(x+1)中x=0,得f(-1)=f(1),又f(-1)=-f(1),所以2f(1)=0,所以f(1)=0,故A正确;
由f(x-1)=f(x+1),得f(x)=f(x+2),所以f(x)是周期为2的周期函数,
所以f(2)=f(0)=0,又当x∈(0,1)且x1≠x2时,有<0,
所以函数在区间(0,1)上单调递减,可作函数的简图如图.
由图知B,D也正确,C不正确.故选ABD.
函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
(1)函数单调性与奇偶性的综合.注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性.
(2)周期性与奇偶性的综合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行变换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.
(3)单调性、奇偶性与周期性的综合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.
[针对训练]
1.(2021·全国甲卷)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f(-)=,则f()等于(　　)
A.- B.-
C. D.
解析:因为f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(-x)=-f(x).又f(1+x) =f(-x),所以f(2+x)=f[1+(1+x)]=f[-(1+x)]=-f(1+x)=-f(-x)=f(x),所以函数f(x)是以2为周期的周期函数,f()=f(-2)=f(-)=.故
选C.
2.(2021·江西赣州高三期末)设定义域为R的奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(-4)=0,则不等式>0的解集是(　　)
A.(-4,0)∪(4,+∞)
B.(-∞,-4)∪(0,4)
C.(-4,0)∪(0,4)
D.(-∞,-4)∪(4,+∞)
解析:因为函数f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x).
若x<0,则=>0等价于f(x)>0,因为f(-4)=0,f(x)在(0,+∞)上为增函数,则f(x)在(-∞,0)上为增函数,所以由f(x)>0得-4若x>0,则=>0等价于f(x)<0,由题知f(x)在(0,+∞)上为增函数,所以由f(x)<0得0综上,>0的解集为(-4,0)∪(0,4).故选C.
3.黎曼函数是一个特殊的函数,由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出,在高等数学中有着广泛的应用,其定义为:R(x)=
若函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意x都有f(2-x)+f(x)=0,当x∈[0,1]时,f(x)=R(x),则f(ln 2)-f()=　　　　.
解析:因为f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意x都有f(2-x)+f(x)=0,
所以f(2-x)=f(-x),所以f(x+2)=f(x),即f(x)的周期为2,
因为当x∈[0,1]时,f(x)=R(x),
故f(ln 2)-f()=f(ln 2)-f()=0-=-.
答案:-
(2021·广东揭阳高三一模)已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x)=f(2-x),且对任意1≤x1A.(-∞,-2]∪[,+∞)
B.(-∞,0]∪[,+∞)
C.[-2,]
D.[0,]
解析:因为函数f(x)满足f(x)=f(2-x),所以函数f(x)关于直线x=1对称,
因为对任意1≤x1因为f(2x-1)-f(3-x)≥0,即f(2x-1)≥f(3-x),
所以|2x-1-1|≤|3-x-1|,即|2x-2|≤|2-x|,两边平方解得0≤x≤.故选D.
已知函数y=f(x)对于任意实数x,y均有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且f(x)不恒为0,函数y=g(x)为非零函数,对于任意实数x,y均有g(xy)=g(x)+g(y),则下列关于函数y=f(x)与函数y=g(x)的叙述正确的是(　　)
A.函数y=f(x)与函数y=g(x)均为偶函数
B.函数y=f(x)与函数y=g(x)均为奇函数
C.函数y=f(x)是奇函数,函数y=g(x)为偶函数
D.函数y=f(x)是偶函数,函数y=g(x)为奇函数
解析:令x=y=0,则有f(0)=f(0)+f(0),故有f(0)=0.
令y=-x,则有f(0)=f(x)+f(-x),故有f(-x)=-f(x),又因为f(x)不恒为0,所以函数f(x)是奇函数.
令x=1,y=-1,则有g(-1)=g[(-1)×1]=g(-1)+g(1),故有g(1)=0,
令x=y=-1,则有g(1)=g(-1)+g(-1),故有g(-1)=0,
令y=-1,则有g(-x)=g(x)+g(-1)=g(x),且y=g(x),f(x)为非零函数,所以函数y=g(x)是偶函数.故选C.
(2021·重庆市实验中学高三月考)已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+4)+f(x)=2f(2),y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,则f(2 020)等于(　　)
A.0 B.-2 C.-1 D.1
解析:因为y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,
所以f(x)的图象关于点(0,0)对称,即f(x)为奇函数,且f(0)=0.
f(x)对任意x∈R都有f(x+4)+f(x)=2f(2),
即有因为f(-4)=-f(4),可解得f(2)=0,
所以f(x+4)+f(x)=0,f(x+4)=-f(x),
所以f((x+4)+4)=-f(x+4)=f(x),即f(x)=f(x+8),所以f(x)的周期为8,f(2 020)=f(8×252+4)=f(4)=0.故选A.
已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x都有xf(x+1)=(x+1)f(x),则f()的值是(　　)
A.0 B. C.1 D.
解析:当x≠-1且x≠0时,由xf(x+1)=(x+1)·f(x),得=,
令g(x)=,则g(x)是周期为1的函数,
所以g()=g()=2f(),
当x=-时,由xf(x+1)=(x+1)f(x)得,-×f()=×f(-),
又f(x)是偶函数,所以f()=f(-),
所以f()=0,所以g()=g()=2f()=0,所以f()=g()=0.故选A.
设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)g(x)|是奇函数
C.|f(x)|g(x)是偶函数
D.f(|x|)g(x)是奇函数
解析:令F1(x)=f(x)g(x),所以F1(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F1(x),所以F1(x)为奇函数,故A错误;
令F2(x)=|f(x)g(x)|,
所以F2(-x)=|f(-x)·g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|=F2(x),
故F2(x)为偶函数,故B错误;
令F3(x)=|f(x)|g(x),
所以F3(-x)=|f(-x)|·g(-x)=|f(x)|g(x)=F3(x),所以F3(x)为偶函数,故C正确;
令F4(x)=f(|x|)g(x),
所以F4(-x)=f(|-x|)·g(-x)=f(|x|)g(x)=F4(x),所以F4(x)为偶函数,故D错误.故选C.
知识点、方法 基础巩固练 综合运用练 应用创新练
函数的奇偶性 1,2,3 15
函数的周期性与对称性 4,7,9 13,14
函数性质的综合应用 5,6,8,10 11,12 16
1.(2021·北京房山区一模)下列函数中,值域为[0,+∞)且为偶函数的是(　C　)
A.y=cos x B.y=|x+1|
C.y=x2 D.y=x-x3
解析:y=cos x的值域为[-1,1],不符合题意;y=|x+1|为非奇非偶函数,不符合题意;
y=x-x3为奇函数,不符合题意;y=x2≥0且为偶函数,符合题意.故选C.
2.(2021·河北张家口高三质检)下列函数中,既是奇函数又在定义域内单调递增的是(　A　)
A.f(x)=ex-e-x B.f(x)=2x+2-x
C.f(x)=- D.f(x)=ln |x|
解析:函数f(x)=ex-e-x为奇函数,且在定义域内单调递增,因此A符合题意;
函数f(x)=2x+2-x为偶函数,因此B不符合题意;
函数f(x)=-是奇函数,在(-∞,0)和(0,+∞)上都单调递增,因此C不符合题意;
函数f(x)=ln|x|为偶函数,因此D不符合题意.故选A.
3.(2021·福建厦门一模)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=log2(x+2)+t,则f(-6)=(　A　)
A.-2 B.2
C.-4 D.4
解析:根据题意,f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=log2(x+2)+t,
则f(0)=log22+t=t+1=0,则t=-1,则当x≥0时,f(x)=log2(x+2)-1,
则f(6)=log28-1=3-1=2,又f(x)为奇函数,则f(-6)=-f(6)=-2.故
选A.
4.(2021·河南郑州高三一模)设f(x)是定义在R上的奇函数且满足f(x-1)=f(x+1),当0≤x≤1时,f(x)=5x(1-x),则f(-2 020.6)= (　D　)
A. B. C.- D.-
解析:对任意的x∈R,f(x-1)=f(x+1),即f(x)=f(x+2),
所以函数f(x)是以2为周期的周期函数,所以f(-2 020.6)=f(-0.6).
由于函数f(x)为定义在R上的奇函数,且当0≤x≤1时,f(x)= 5x(1-x).
因此f(-2 020.6)=f(-0.6)=-f(0.6)=-5×0.6×(1-0.6)=-.故选D.
5.函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+1)=-f(x),若f(x)在[-1,0]上是减函数,则函数f(x)在[3,5]上是(　D　)
A.增函数　 B.减函数　
C.先增后减的函数　 D.先减后增的函数
解析:根据题意,因为f(x+1)=-f(x),
所以f(x+2)=-f(x+1)=f(x),所以函数的周期是2.
又f(x)是定义在R上的偶函数,且在[-1,0]上是减函数,
所以函数f(x)在[0,1]上是增函数.
所以函数f(x)在[1,2]上是减函数,在[2,3]上是增函数,在[3,4]上是减函数,在[4,5]上是增函数,所以f(x)在[3,5]上是先减后增的函数.故选D.
6.(2021·四川南充高三三模)已知f(x)是定义在R上的以5为周期的偶函数,若f(-1)>-6,f(2 021)=,则实数a的取值范围是(　C　)
A.(-∞,)
B.(2,+∞)
C.(-∞,)∪(2,+∞)
D.(,2)
解析:因为f(x)是定义在R上的以5为周期的偶函数,
所以f(2 021)=f(5×404+1)=f(1)=f(-1),因为f(2 021)=, f(-1)>-6,
所以>-6,整理得>0,解得a<或a>2,
所以实数a的取值范围是(-∞,)∪(2,+∞).故选C.
7.(多选题)已知y=f(x+1)是定义在R上的奇函数,且f(x+4)=f(2-x),当x∈[-1,1)时,f(x)=2x,则下列说法正确的是(　ABD　)
A.y=f(x)图象的对称中心为(1,0)
B.y=f(x)图象的对称轴方程为x=3
C.4是函数的周期
D.f(2 021)+f(2 022)=1
解析:因为f(x+1)是定义在R上的奇函数,所以y=f(x)图象的对称中心为(1,0),且f(1)=0.因为f(x+4)=f(2-x),所以y=f(x)图象的对称轴方程为x=3,故f(x)的周期T=8,f(2 021)=f(5)=f(1)=0,f(2 022)= f(6)=f(0)=1,从而f(2 021)+f(2 022)=1.故选ABD.
8.(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是(　D　)
A.[-1,1]∪[3,+∞)
B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞)
D.[-1,0]∪[1,3]
解析:由题意知f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,且f(-2)=-f(2) =f(0)=0.当x>0时,令f(x-1)≥0,得0≤x-1≤2,所以1≤x≤3;当x<0时,令f(x-1)≤0,得-2≤x-1≤0,所以-1≤x≤1,又x<0,所以-1≤x<0;当x=0时,显然符合题意.综上,原不等式的解集为[-1,0]∪[1,3].故选D.
9.(2021·江苏淮安高三三模)已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数,且f(-1)=2f(10)+3,则f(2 021)=　　　　.
解析:由题意知f(2 021)=f(3×674-1)=f(-1),而f(-1)=2f(10)+3,
所以f(-1)=2f(3×3+1)+3=2f(1)+3=-2f(-1)+3,即3f(-1)=3,
所以f(-1)=1,故f(2 021)=1.
答案:1
10.(2021·陕西宝鸡高三一模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(x)成立,当x∈[-1,1]时,f(x)=,则a=　　　　;当x∈[1,3]时,f(x)=　　　　.
解析:因为f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈[-1,1]时,f(x)=,所以f(0)==0,所以a=1.
当x∈[1,3]时,2-x∈[-1,1],f(x)=f(2-x)==.
答案:1　
11.(2021·福建福州高三期中)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且函数f(x)在[0,+∞)上是减函数,如果f(3)=-1,则不等式f(x-1)+1≥0的解集为(　C　)
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.[-2,4] D.[1,4]
解析:因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且函数f(x)在[0,+∞)上是减函数,
所以f(x)在(-∞,0)上是增函数,由f(3)=-1,则不等式f(x-1)+1≥0 f(x-1)≥-1 f(x-1)≥f(3) f(|x-1|)≥f(3) |x-1|≤3,解得-2≤x≤4,故不等式的解集为[-2,4].故选C.
12.(2021·山西阳泉三模)已知函数f(x)=,实数m,n满足不等式f(2m-n)+f(2-n)>0,则下列不等关系成立的是(　C　)
A.m+n>1 B.m+n<1
C.m-n>-1 D.m-n<-1
解析:因为f(x)的定义域为R,f(-x)==-f(x),所以f(x)是定义在R上的奇函数,
f(x)==-1+,则f(x)是定义在R上的增函数,所以由f(2m-n) +f(2-n)>0得,f(2m-n)>f(n-2),所以2m-n>n-2,所以m-n>-1.故选C.
13.(多选题)已知函数f(x)=ln(x+2)+ln(4-x),则下列说法正确的是(　ABC　)
A.f(x)在(-2,1)上单调递增
B.f(x)在(1,4)上单调递减
C.f(x)的图象关于直线x=1对称
D.f(x)的图象关于点(1,0)对称
解析:由f(x)=ln(x+2)+ln(4-x)可得解得-2因为f(x)=ln(x+2)+ln(4-x)=ln(-x2+2x+8),
令u(x)=-x2+2x+8,则函数u(x)的图象开口向下,对称轴方程为x=1.
所以函数u(x)在(-2,1)上单调递增,在(1,4)上单调递减,
根据复合函数的单调性可得f(x)在(-2,1)上单调递增,在(1,4)上单调递减,
因为f(1-x)=ln(3-x)+ln(3+x)=f(1+x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,因此A,B,C正确,D错误.故选ABC.
14.(2021·福建名校联盟优质校高三联考)若称函数f(x)为“准奇函数”,则必存在常数a,b,使得对定义域内的任意x值,均有f(x)+ f(2a-x)=2b,请写出一个a=2,b=2的“准奇函数”(填写解析式):　　　　　　.
解析:由f(x)+f(2a-x)=2b,知“准奇函数”f(x)的图象关于点(a,b)对称,若a=2,b=2,即f(x)的图象关于点(2,2)对称,如y=向右平移2个单位长度,向上平移2个单位长度,得到f(x)=2+=,其图象关于点(2,2)对称.
答案:f(x)=(答案不唯一)
15.(2021·新高考 Ⅱ 卷)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)为偶函数,f(2x+1)为奇函数,则(　B　)
A.f(-)=0 B.f(-1)=0
C.f(2)=0 D.f(4)=0
解析:因为函数f(x+2)为偶函数,则f(2+x)=f(2-x),
可得f(x+3)=f(1-x),
因为函数f(2x+1)为奇函数,则f(1-2x)=-f(2x+1),
所以f(1-x)=-f(x+1),
所以f(x+3)=-f(x+1)=f(x-1),即f(x)=f(x+4),
故函数f(x)是以4为周期的周期函数,
因为函数F(x)=f(2x+1)为奇函数,
则F(0)=f(1)=0,
故f(-1)=-f(1)=0,其他三个选项未知.故选B.
16.(2021·江苏启东高三模拟)已知定义域为R的函数f(x)在[2,+∞)上单调递减,且f(4-x)+f(x)=0,则使得不等式f(x2+x)+f(x+1)<0成立的实数x的取值范围是(　C　)
A.-33
C.x<-3或x>1 D.x≠-1
解析:f(4-x)+f(x)=0,则f(x)关于点(2,0)对称,因为f(x)在[2,+∞)上单调递减,所以f(x)在R上单调递减,所以f(x+1)=-f(3-x),由f(x2+x)+f(x+1)<0得f(x2+x)-f(3-x)<0,所以f(x2+x)3-x,解得x>1或x<-3.故选C.

展开更多......

收起↑