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第4节　幂函数与二次函数
1.通过具体实例,结合y=x,y=,y=x2,y=,y=x3的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数.
2.理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1
图象
性 质 定 义 域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值 域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇 偶 性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 函数 奇函数
单 调 性 在R 上单 调递增 在(-∞,0]上单调递减;在(0,+∞)上单调递增 在R 上单 调递增 在[0,+∞)上单调递增 在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减
公 共 点 (1,1)
1.幂函数y=xα在第一象限内的两个重要结论
(1)恒过点(1,1).
(2)当x∈(0,1)时,α越大,函数值越小;当x∈(1,+∞)时,α越大,函数值越大.
2.两个幂函数的图象最多只有3个交点(如y=x,y=x3的图象).
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),图象的对称轴方程是x=-,顶点坐标是(-,)
顶点式 f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),图象的对称轴方程是x=m,顶点坐标是(m,n)
零点式 f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根,图象的对称轴方程是x=
(2)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
a>0 a<0
图象
定义域 R
值域 [,+∞) (-∞,]
奇偶性 b=0时为偶函数,b≠0时既不是奇函数也不是偶函数
单调性 在(-∞,-]上单调递减,在(-,+∞)上单调递增 在(-∞,-]上单调递增,在(-,+∞)上单调递减
最值 当x=-时, ymin= 当x=-时, ymax=
二次函数图象对称轴的判断方法
(1)对于二次函数y=f(x),如果f(x1)=f(x2)(x1≠x2),那么函数y=f(x)的图象关于直线x=对称.
(2)二次函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(a+x)=f(a-x)成立的充要条件是函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称(a为常数).
1.(必修第一册P91练习T1改编)已知幂函数f(x)=xa(a∈R)的图象过点(16,2),若f(m)=3,则实数m的值为(　D　)
A.9 B.12
C.27 D.81
解析:因为幂函数f(x)=xa(a∈R)的图象过点(16,2),所以16a=2,解得a=,即f(x)=.
因为f(m)=3,所以=3,解得m=81,所以实数m的值为81.故选D.
2.如图是①y=xa;②y=xb;③y=xc在第一象限内的图象,则a,b,c的大小关系为(　D　)
A.cB.aC.bD.a解析:令x=2,结合图象有2a<2c<2b,所以a3.二次函数y=x2+bx+c图象的对称轴是直线x=2,则有(　C　)
A.f(1)C.f(2)解析:由二次函数y=x2+bx+c图象的对称轴是直线x=2,且开口向上,可知f(2)是最小值,f(1)=f(3)所以f(2)4.若二次函数y=mx2+2x+1的图象恒在x轴上方,则实数m的取值范围是　　　　　　.
解析:由题意解得m>1.
答案:(1,+∞)
5.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,当x=1时,f(x)有最大值4,且|a|=1,则它的解析式为　　　　.
解析:因为f(x)有最大值,所以a<0.又|a|=1,所以a=-1.由题意得点(1,4)是抛物线的顶点.所以所求抛物线的解析式为f(x)=-(x-1)2+4,即f(x)=-x2+2x+3.
答案:f(x)=-x2+2x+3
幂函数的图象与性质
1.已知函数f(x)=xk(k为常数,k∈Q),在下列函数图象中,不是函数y=f(x)图象的是(　C　)
解析:函数f(x)=xk(k为常数,k∈Q)为幂函数,图象不经过第四象限,所以C中函数图象不是函数y=f(x)的图象.故选C.
2.下列函数中,其定义域和值域不同的是(　D　)
A.y= B.y=
C.y= D.y=
解析:A中,y==,因此定义域和值域都是R;B中,y==,因此函数的定义域和值域都是(0,+∞);C中,y==的定义域和值域都是R;D中,y==,因此定义域为R,值域为[0,+∞).故选D.
3.已知函数f(x)=(m-1)2是在(0,+∞)上单调递增的幂函数,则实数m=(　C　)
A.0或-4 B.0或2
C.0 D.2
解析:因为(m-1)2=1,所以m=0或2.当m=0时,f(x)=x2,此时函数f(x)=x2在区间(0,+∞)上单调递增,当m=2时,f(x)=x-2,不满足题意.故选C.
4.若a=(),b=(),c=(),则a,b,c的大小关系是(　D　)
A.aC.b解析:因为y=在第一象限内是增函数,所以a=()>b=(),因为y=()x是减函数,所以a=()1.求解与幂函数图象有关的问题,应根据幂函数在第一象限内图象的特征,结合其奇偶性、单调性等性质研究.
2.比较幂值的大小时,若同底数的幂函数用指数函数的性质比较,若同指数,可构造幂函数,利用幂函数的性质比较大小,若不同底数、指数时可利用中间变量或作差(作商)法比较.
注意:研究幂函数y=xα(α∈R)的奇偶性、定义域、值域时,若α是分数时,一般先将其化为根式,再求解.
二次函数的解析式
已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定该二次函数的解析式.
解:法一(利用“一般式”解题)
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
由题意得解得
所以所求二次函数的解析式为
f(x)=-4x2+4x+7.
法二(利用“顶点式”解题)
设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).
因为f(2)=f(-1),
所以抛物线的对称轴为x==,所以
m=.
又根据题意,函数有最大值8,所以n=8,
所以f(x)=a(x-)2+8.
因为f(2)=-1,所以a(2-)2+8=-1,
解得a=-4,
所以f(x)=-4(x-)2+8=-4x2+4x+7.
法三(利用“零点式”解题)
由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,
故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),
即f(x)=ax2-ax-2a-1.
又函数有最大值8,即=8.
解得a=-4,
故所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
求二次函数的解析式,一般用待定系数法,其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式,一般选择规律如下:
[针对训练]
1.已知二次函数f(x)的两个零点分别是0和5,图象开口向上,且f(x)在区间[-1,4]上的最大值为12,则函数f(x)的解析式为　　　　　.
解析:设f(x)=ax(x-5)(a>0),其对称轴为直线x=,又f(x)在区间[-1,4]上的最大值为12,所以f(-1)=6a=12,a=2.
所以f(x)=2x(x-5)=2x2-10x.
答案:f(x)=2x2-10x
2.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c过点(0,0),且当x=2时,函数f(x)取得最小值-4,则函数f(x)的解析式为　　　　　　.
解析:因为二次函数f(x)=ax2+bx+c在x=2时,取得最小值-4,必有a>0,
则f(x)=a(x-2)2-4,而函数图象过点(0,0),即f(0)=4a-4=0,解得a=1,所以函数f(x)的解析式为f(x)=(x-2)2-4=x2-4x.
答案:f(x)=x2-4x
3.(2021·广东深圳高三一模)已知函数的图象关于y轴对称,且与直线y=x相切,则满足上述条件的二次函数可以为f(x)=　　　　.
解析:因为二次函数f(x)的图象关于y轴对称,所以可设f(x)=ax2+c,由得ax2-x+c=0,所以Δ=1-4ac=0,即ac=.取a=1,c=,则f(x)=x2+.
答案:x2+(答案不唯一)
二次函数的图象、性质及应用
　二次函数的图象
(多选题)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论正确的是(　　)
A.abc>0 B.bC.4a+2b+c>0 D.b2-4ac>0
解析:因为二次函数的图象开口向下,所以a<0.因为图象的对称轴为直线x=-=1,
所以b=-2a>0.当x=0时,y=c>0,所以abc<0,A错误;
当x=-1时,y<0,所以a-b+c<0,所以b>a+c,B错误;
因为图象的对称轴为直线x=1,所以当x=2与x=0时,函数值相等,因为当x=0时,y=c>0,所以4a+2b+c=c>0,C正确;
因为图象与x轴有两个不相同的交点,所以一元二次方程ax2+bx+c=0,Δ=b2-4ac>0,D正确.故选CD.
识别二次函数的图象应用学会“三看”
(1)一看符号:看二次项系数的符号,它确定二次函数图象的开口
方向.
(2)二看对称轴:看对称轴和最值,它确定二次函数图象的具体位置.
(3)三看特殊点:看函数图象上的一些特殊点,如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点、函数图象的最高点或最低点等.
　二次函数的单调性
已知函数f(x)=kx2-2x+4k在区间[2,4]上单调递减,则实数k的取值范围是　　　　.
解析:当k=0时,f(x)=-2x在区间[2,4]上单调递减,符合题意;
当k>0时,函数图象的对称轴为直线x=,因为f(x)在区间[2,4]上单调递减,所以≥4,得k≤,所以0当k<0时,函数f(x)在区间[2,4]上单调递减,符合题意.
综上,实数k的取值范围为(-∞,].
答案:(-∞,]
二次函数单调性问题的求解策略
(1)对于二次函数的单调性,关键是开口方向与对称轴的位置,若开口方向或对称轴的位置不确定,则需要分类讨论求解.
(2)根据二次函数的单调区间求解解析式中的参数的取值范围问题,主要转化为所给单调区间是原函数的相应单调区间的子集求解.
　含绝对值的可化为二次函数的单调区间问题
若函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|在区间[-3,0]上是单调函数,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-9]∪{0}∪[3,+∞)
B.(-∞,-3]∪{0}∪[9,+∞)
C.[-9,3]
D.[-3,9]
解析:f(x)=
若a=0,当x<0时,f(x)=x2在[-3,0]上单调递减,符合题意;
若a>0,则f(x)在(-∞,-a)上单调递减,在(-a,+∞)上单调递增,
若f(x)在[-3,0]上是单调函数,则-a≤-3,则a≥3;
若a<0,则f(x)在(-∞,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,
若f(x)在[-3,0]上是单调函数,则≤-3,所以a≤-9.
综上所述,实数a的取值范围是(-∞,-9]∪{0}∪[3,+∞).故选A.
解析式中含绝对值的函数的单调性问题,应根据绝对值的性质去掉绝对值号,转化为分段函数后求解.
　二次函数的最值
已知函数f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求函数f(x)的最小值.
解:(1)当a=0时,f(x)=-2x在[0,1]上单调递减,所以f(x)min=f(1)=-2.
(2)当a>0时,f(x)=ax2-2x的图象开口向上且对称轴方程为x=.
①当0<≤1,即a≥1时,
f(x)=ax2-2x图象的对称轴在(0,1]内,
所以f(x)在[0,)上单调递减,在(,1]上单调递增,所以f(x)min=f()=-=-.
②当>1,即0f(x)=ax2-2x图象的对称轴在[0,1]的右侧,
所以f(x)在[0,1]上单调递减.
所以f(x)min=f(1)=a-2.
(3)当a<0时,f(x)=ax2-2x的图象开口向下且对称轴方程为x=<0,在y轴的左侧,
所以f(x)=ax2-2x在[0,1]上单调递减,
所以f(x)min=f(1)=a-2.
综上所述,f(x)min=
解决“二次函数在给定区间上的最值”问题一般先用配方法化为f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,根据图象的对称轴方程x=h和所给区间并结合图象求解.
(1)对称轴和区间都固定时,根据单调性和图象直接求解.
(2)若区间固定,对称轴变动,这时要讨论顶点横坐标是否在区间中;若对称轴固定,区间变动,这时要讨论区间与对称轴的位置关系,讨论的目的是为了明确对称轴和区间的位置关系,再根据函数单调性求最值或值域.
[针对训练]
1.函数y=-ax+1与y=ax2在同一平面直角坐标系中的图象大致为(　　)
解析:当a>0时,y=-ax+1在x,y轴上的截距分别是>0,1,而y=ax2的图象开口向上,顶点为原点且对称轴为y轴,排除B;
当a<0时,y=-ax+1在x,y轴上的截距分别是<0,1,而y=ax2的图象开口向下,顶点为原点且对称轴为y轴,排除C,D.故选A.
2.函数f(x)=-x2+2(1-m)x+3在区间(-∞,4]上单调递增,则实数m的取值范围是(　　)
A.[-3,+∞) B.[3,+∞)
C.(-∞,5] D.(-∞,-3]
解析:函数f(x)=-x2+2(1-m)x+3的图象的对称轴为直线x=-=1-m,
因为函数f(x)=-x2+2(1-m)x+3在区间(-∞,4]上单调递增,
所以1-m≥4,解得m≤-3,所以实数m的取值范围为(-∞,-3].故选D.
3.若函数f(x)=|x|(x-b)在区间[0,2]上是减函数,则实数b的取值范围是(　　)
A.(-∞,4] B.(-∞,2]
C.[2,+∞) D.[4,+∞)
解析:因为x∈[0,2]时,f(x)=|x|(x-b)=x2-bx是减函数,所以≥2,解得b≥4.故选D.
4.若函数f(x)=x2-(a-2)x+a-3在x∈[2,3]上的最小值为5-a,求实数a的取值范围.
解:f(x)=x2-(a-2)x+a-3的对称轴为直线
x=,因为x∈[2,3],
(1)若≤2,即a≤6,则f(x)在[2,3]上单调递增,所以f(x)min=f(2)=22-2(a-2)+a-3=5-a,符合题意.
(2)若2<<3,即6(3)若≥3,即a≥8,则f(x)在[2,3]上单调递减,所以f(x)min=f(3)= 32-3(a-2)+a-3=12-2a=5-a,则a=7,与a≥8矛盾,不符合题意.
综上a≤6,因此实数a的取值范围为(-∞,6].
设函数f(x)=x2+x+a(a>0),已知f(m)<0,则(　　)
A.f(m+1)≥0 B.f(m+1)≤0
C.f(m+1)>0 D.f(m+1)<0
解析:因为函数f(x)图象的对称轴为直线x=-,f(0)=a>0,所以f(x)的大致图象如图所示.
由f(m)<0,得-10,所以f(m+1)>f(0)>0.故选C.
若(2m+1>(m2+m-1,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-∞,] B.[,+∞)
C.(-1,2) D.[,2)
解析:因为函数y=的定义域为[0,+∞),且在定义域内为增函数,
所以不等式等价于
解得即≤m<2.故选D.
已知函数f(x)=x2+(3m+5)|x|+1的定义域为R,且函数有四个单调区间,则实数m的取值范围为(　　)
A.m<- B.m<-或m>-1
C.m<- D.m<-或m>-1
解析:因为f(x)=x2+(3m+5)|x|+1,
f(-x)=(-x)2+(3m+5)|-x|+1=x2+(3m+5)|x|+1=f(x),所以f(x)为偶函数.
因为f(x)=x2+(3m+5)|x|+1有四个单调区间,所以f(x)在y轴右侧有两个单调区间,
所以->0,解得m<-.故选A.
函数y=在[-2,-]上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　.
解析:因为y=在[-2,-]上单调递增,所以f(x)=x2-ax-a在[-2,-]上单调递减,则-≤,即a≥-1.
同时需满足f(-2)f(-)>0,即(a+4)(2a-1)<0,解得-4综上可知a∈[-1,).
答案:[-1,)
知识点、方法 基础巩固练 综合运用练 应用创新练
幂函数的图象与性质 1,2,5 11
二次函数的图象与性质 3,4,6 10,12 15
二次函数的综合问题 7,8,9 13,14 16
1.已知点(a,)在幂函数f(x)=(a-1)xb的图象上,则函数f(x)是(　B　)
A.定义域内的减函数
B.奇函数
C.偶函数
D.定义域内的增函数
解析:因为点(a,)在幂函数f(x)=(a-1)xb的图象上,所以a-1=1,解得a=2,则2b=,解得b=-3,所以f(x)=,
所以函数f(x)是定义域上的奇函数,且在每一个区间内是减函数.故选B.
2.(2021·安徽合肥一中高三月考)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2) (n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n的值为(　B　)
A.-3 B.1
C.2 D.1或2
解析:因为幂函数f(x)=(n2+2n-2)(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,所以解得n=1.故选B.
3.已知函数f(x)=,规定区间E,对任意x1,x2∈E,当x1A.(3,6) B.(-1,0)
C.(1,2) D.(-3,-1)
解析:由题意知函数f(x)=在区间E上是增函数,由x2-2x-3>0,得x>3或x<-1,当x∈(-∞,-1)时,函数y=x2-2x-3是减函数,结合复合函数的单调性可知函数f(x)=是增函数,即(-∞,-1)为函数f(x)=的单调递增区间,而(-3,-1) (-∞,-1),所以(-3,-1)可作为E.故选D.
4.在同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx与幂函数y=(x>0)图象的关系可能为(　A　)
解析:对于A,二次函数y=ax2+bx的图象开口向上,则a>0,其对称轴x=->0,则<0,即幂函数y=(x>0)为减函数,符合题意;
对于B,二次函数y=ax2+bx的图象开口向下,则a<0,其对称轴x=->0,则<0,即幂函数y=(x>0)为减函数,不符合题意;
对于C,二次函数y=ax2+bx的图象开口向上,则a>0,其对称轴x=-=-1,则=2,即幂函数y==x2(x>0)为增函数,且其增加的越来越快,不符合题意;
对于D,二次函数y=ax2+bx的图象开口向下,则a<0,其对称轴x=->-,则0<<1,即幂函数y=(x>0)为增函数,且其增加的越来越慢,不符合题意.故选A.
5.(多选题)(2021·福建闽江口高三联考)若幂函数y=f(x)的图象经过点(27,3),则幂函数f(x)在定义域上是(　AC　)
A.奇函数 B.偶函数
C.增函数 D.减函数
解析:因为y=f(x)是幂函数,设f(x)=xa(a∈R),而其图象过点(27,3),
即f(27)=27a=3,解得a=,于是得f(x)=,且f(x)的定义域为R,
显然f(x)是定义在R上的增函数,C正确;f(-x)=(-x=-=-f(x),则f(x)为定义在R上的奇函数,A正确.故选AC.
6.已知二次函数f(x)=x2+bx+c的图象经过点(1,13),且函数y=f(x-)是偶函数,则函数f(x)的解析式为　　　　　　.
解析:因为y=f(x-)是偶函数,有f(x-)=f(-x-),所以f(x)的图象关于直线x=-对称,即-=-,故b=1,又图象经过点(1,13),所以f(1)=13,可得c=11,故f(x)=x2+x+11.
答案:f(x)=x2+x+11
7.(2021·江苏常熟中学高三三模)已知函数f(x)同时满足①f(0)=0;②在[1,3]上单调递减;③f(1+x)=f(1-x),则该函数的表达式可以是f(x)=　　　　.
解析:由f(1+x)=f(1-x)可知y=f(x)的图象关于直线x=1对称,可设f(x)为二次函数,又f(0)=0且f(x)在[1,3]上单调递减,所以可设f(x)=2x-x2.
答案:2x-x2(答案不唯一)
8.已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0),若f(x)在区间[2,3]上有最大值5,最小值2.若b<1,且函数g(x)=f(x)-mx在[2,4]上单调,则m的取值范围是　　　　　　.
解析:由f(x)=a(x-1)2+2+b-a可得二次函数图象的对称轴为直线x=1.
当a>0时,f(x)在[2,3]上为增函数,
可得所以a=1,b=0.
当a<0时,f(x)在[2,3]上为减函数,
可得解得a=-1,b=3(舍去).
则f(x)=x2-2x+2,g(x)=x2-2x+2-mx=x2-(2+m)x+2.
因为g(x)在[2,4]上单调,
所以≤2或≥4,即m≤2或m≥6,
故m的取值范围为(-∞,2]∪[6,+∞).
答案:(-∞,2]∪[6,+∞)
9.已知函数f(x)=x2+a|x-2|-4.
(1)当a=2时,求f(x)在[0,3]上的最大值和最小值;
(2)若f(x)在区间[-1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.
解:(1)当a=2时,f(x)=x2+2|x-2|-4=
即f(x)=
当x∈[0,2)时,-1≤f(x)≤0;
当x∈[2,3]时,0≤f(x)≤7,
所以f(x)在[0,3]上的最大值为7,最小值为-1.
(2)因为f(x)=
又f(x)在区间[-1,+∞)上单调递增,
所以当x≥2时,f(x)单调递增,则-≤2,即a≥-4;
当-1≤x<2时,f(x)单调递增,则≤-1,即a≤-2,
且4+2a-2a-4≥4-2a+2a-4恒成立,
故实数a的取值范围为[-4,-2].
10.已知函数f(x)=ax2+bx+c,且f(x+2)是偶函数,则下列大小关系可能正确的是(　A　)
A.f(2)B.f(-)C.f(2)>f(-)>c
D.f(-)解析:因为f(x+2)是偶函数,所以直线x=2是y=f(x)图象的对称轴.
f(-)=a·+b·(-)+c=c,这样B,C,D均不可能成立,
当a>0时,f(2)是最小值,因此f(2)11.已知实数a,b满足等式a3=b5,给出下列五个关系式:①1A.1个 B.2个
C.3个 D.5个
解析:在同一平面直角坐标系中画出函数y=x3和y=x5的图象,如图
所示.
数形结合可知,在(1)处a12.(多选题)函数f(x)=x2-4x+2在区间[a,b]上的值域为[-2,2],则b-a的值可能是(　BCD　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:解方程f(x)=x2-4x+2=2,解得x=0或x=4,
解方程f(x)=x2-4x+2=-2,解得x=2,
由于函数f(x)在区间[a,b]上的值域为[-2,2].
若函数f(x)在区间[a,b]上单调,则[a,b]=[0,2]或[a,b]=[2,4],此时b-a取得最小值2;若函数f(x)在区间[a,b]上不单调,且当b-a取最大值时,[a,b]=[0,4],所以b-a的最大值为4,所以b-a的取值范围是[2,4].故选BCD.
13.已知函数f(x)=2x2-ax+1,x∈[-1,a],且f(x)的最大值为f(a),则实数a的取值范围为　　　　.
解析:由题设知f(x)图象的对称轴为直线x=且开口向上,
所以当a>0时,有-1<,即0当a=0时有f(x)=2x2+1,图象的对称轴为直线x=0且开口向上,f(x)在[-1,a]上单调递减,f(x)max=f(-1),不符合题意;
当-1综上,a∈[2,+∞).
答案:[2,+∞)
14.已知f(x)=2x2+ax+b过点(0,-1),且满足f(-1)=f(2).
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在[m,m+2]上的值域为[-,3],求m的值;
(3)若f(x0)=x0,则称x0为y=f(x)的不动点,函数g(x)=f(x)-tx+t有两个不相等的不动点x1,x2,且x1,x2>0,求+的最小值.
解:(1)因为f(x)=2x2+ax+b过点(0,-1),
所以f(0)=-1,解得b=-1,则f(x)=2x2+ax-1.因为f(-1)=f(2),
所以2-a-1=8+2a-1,解得a=-2,所以f(x)=2x2-2x-1.
(2)令f(x)=-,解得x=,令f(x)=3,解得x=-1或2,
因为f(x)在[m,m+2]上的值域为[-,3],
所以当m=-1时,f(x)在[-1,1]上的值域满足题意;
当m+2=2,即m=0时,f(x)在[0,2]上的值域满足题意,
故m=-1或0.
(3)g(x)=f(x)-tx+t=2x2-(2+t)x+t-1,
函数g(x)=f(x)-tx+t有两个不相等的不动点x1,x2,且x1,x2>0,
即2x2-(2+t)x+t-1=x有两个不相等的正实数根x1,x2,
即2x2-(t+3)x+t-1=0有两个不相等的正实数根x1,x2,
则解得t>1,
则+===-2=[(t-1)+]+2≥2+·
2=6,
当且仅当t=5时取等号,故+的最小值为6.
15.(多选题)已知f(x)=x2-2kx+3k2-3k+1(k∈R).下列四个命题正确的是(　AB　)
A.对任意实数x,存在k,使得f(x)>0
B.对任意k,存在实数x,使得f(x)>0
C.对任意实数k,x,均有f(x)>0成立
D.对任意实数k,x,均有f(x)<0成立
解析:令f(x)=x2-2kx+3k2-3k+1=0,
记Δ=(2k)2-4(3k2-3k+1)=-4(2k-1)(k-1),
因为f(x)为图象开口向上的二次函数,所以对任意k,总存在实数x使得f(x)>0,故B正确,D错误;
因为当k∈(-∞,)∪(1,+∞)时,Δ=-4(2k-1)(k-1)<0,
所以方程x2-2kx+3k2-3k+1=0无解,
所以f(x)=x2-2kx+3k2-3k+1>0恒成立,故A正确;
因为当k∈[,1]时,Δ=-4(2k-1)(k-1)≥0,
所以方程x2-2kx+3k2-3k+1=0有一根或两根,
所以对任意x,f(x)>0不恒成立,故C错误.故选AB.
16.已知幂函数f(x)=(k2+k-1)x(2-k)(1+k),满足f(2)0),在区间[0,1]上的最大值为5,则m的值为　　　　.
解析:因为f(x)是幂函数,故k2+k-1=1,所以k=-2或k=1.
当k=1时,f(x)=x2,满足f(2)当k=-2时,f(x)=x-4,不满足f(2)所以f(x)=x2,
所以g(x)=1-f(x)+2mx=-x2+2mx+1,
因为g(x)的图象开口向下,对称轴方程为x=m(m>0),
①当0递减.
所以g(x)max=g(m)=m2+1=5,所以m=±2,均不符合题意,舍去,
②当m≥1时,g(x)在区间[0,1]上单调递增,
所以g(x)max=g(1)=2m=5,所以m=,符合题意,
综上所述,m=.
答案:

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