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第5节　指数与指数函数
1.通过对有理数指数幂(a>0,且a≠1,m,n为正整数,且n>1)、实数指数幂ax(a>0,且a≠1,x∈R)含义的认识,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质.
2.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.
3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
1.根式
一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,n∈N*
当n是奇数时,a的n次方根用符号表示
当n是偶数时,正数a的n次方根用符号±表示;负数没有偶次方根
0的任何次方根都是0,记作 =0
式子 叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数
当n为任意正整数时,()n=a
当n为奇数时,=a
当n为偶数时,=|a|=
2.有理数指数幂
概念 正分数指数幂:= a>0,m,n∈N*,n>1
负分数指数幂:==
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
运算 性质 ar·as=ar+s a>0,b>0, r,s∈Q
(ar)s=ars
(ab)r=arbr
有理数指数幂的运算性质中,要求底数都大于0,否则不能用性质来
运算.
3.指数函数的概念、图象与性质
y=ax(a>0,且a≠1)
01
图象特征 在x轴上方,过定点(0,1)
当x逐渐增大时,图象逐渐下降 当x逐渐增大时,图象逐渐上升
性 质 定义域 R
值域 (0,+∞)
单调性 递减 递增
函数变 化规律 当x=0时,y=1
当x<0时,y>1;当x>0时,00时,y>1
形如y=kax,y=ax+k(k∈R,且k≠0,k≠1;a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数,不是指数函数.
1.指数函数图象的对称规律
函数y=ax的图象与y=a-x的图象关于y轴对称,y=ax的图象与y=-ax的图象关于x轴对称,y=ax的图象与y=-a-x的图象关于坐标原点对称.
2.底数对函数y=ax(a>0,且a≠1)的函数值的影响如图(a1>a2>a3>a4),不论是a>1,还是01.(必修第一册P114例1改编)指数函数y=f(x)的图象过点(2,4),则f(3)的值为(　B　)
A.4 B.8 C.16 D.1
解析:设函数的解析式为f(x)=ax(a>0,a≠1),又由函数的图象过点(2,4),则a2=4,解得a=2,即f(x)=2x,所以f(3)=23=8.故选B.
2.(必修第一册P115练习T3改编)某种产品的产量原来是a件,在今后m年内,计划使每年的产量比上一年增加p%,则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为(　B　)
A.y=a(1+p%)x(0B.y=a(1+p%)x(0≤x≤m,x∈N)
C.y=a(1+xp%)(0D.y=a(1+xp%)(0≤x≤m,x∈N)
解析:设年产量经过x年增加到y件,则第一年为y=a(1+p%),第二年为y=a(1+p%)(1+p%)=a(1+p%)2,第三年为y=a(1+p%)(1+p%)·(1+p%)= a(1+p%)3,…,则y=a(1+p%)x(0≤x≤m且x∈N).故选B.
3.已知0解析:由0m可知应选C.
4.(2)0+2-2×(2)-(0.01等于(　A　)
A. B.3
C.-8 D.0
解析:(2)0+2-2×(2)-(0.01=1+×-=.故选A.
5.写出一个在定义域R上满足f(x+y)=f(x)f(y),且是增函数的一个函数:　　　　　　.
解析:满足性质f(x+y)=f(x)f(y)的函数是一个指数函数,要使指数函数是增函数,则只需要底数a>1即可.
答案:f(x)=2x(答案不唯一,只要是底数a>1的指数函数即可)
指数幂的运算
1.当a>0时,等于(　C　)
A.x B.x
C.-x D.-x
解析:由成立可知-ax3≥0,结合a>0得x3≤0,即x≤0,因此==·=·|x|=-x.故选C.
2.已知函数f(x)=ax+a-x,且f(1)=3,则f(0)+f(1)+f(2)的值是(　C　)
A.14 B.13 C.12 D.11
解析:由题意,函数f(x)=ax+a-x,且f(1)=3,可得a+=3,又f(2)=a2+ a-2=(a+)2-2=7,f(0)=1+1=2,所以f(0)+f(1)+f(2)=2+3+7=12.故选C.
3.化简÷()的值为　　　　.
解析:原式=÷()
=÷()
=÷()
=÷(ab)
=
=
答案:
4.计算:(-)+0.00-10(-2)-1+π0=　　　　.
解析:原式=(-)-2+50-+1=+10-10-20+1=-.
答案:-
1.根式的化简问题要注意指数幂中当指数为负数时,可把底数变为其倒数,从而指数化为正数.
2.指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的,无括号的先算指数运算.
(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.
(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.
(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.
指数函数的图象与性质
已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1).
(1)若f(x)的图象如图①所示,求实数a,b的取值范围;
(2)若f(x)的图象如图②所示,|f(x)|=m有且仅有一个实数解,求m的取值范围.
解:(1)由f(x)=ax+b为减函数可得0(2)题图②中f(0)=1+b=-2,所以b=-3,函数y=|f(x)|的图象如图
所示.
由图象可知使|f(x)|=m有且仅有一个实数解,则m=0或m≥3,所以m的取值范围为{0}∪[3,+∞).
[典例迁移1] 若函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象经过第二、第三、第四象限,一定有(　　)
A.01,且b>0
C.00 D.a>1,且b<0
解析:由题意作出函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的大致图象如图所示,由图可知函数是一个减函数,则0图象与y轴的交点在y轴的负半轴上(纵截距小于零),即a0+b-1<0,可得b<0,
所以0[典例迁移2] 若函数y=()|1-x|+m的图象与x轴有公共点,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-∞,-1] B.[-1,0)
C.[1,+∞) D.(0,1]
解析:y=()|1-x|+m的图象与x轴有公共点,即函数y=()|1-x|与y=-m的图象有公共点,y=()|1-x|的图象如图所示,
可知0<-m≤1 -1≤m<0.故选B.
[典例迁移3] 若函数f(x)=|2x-2|的图象与直线y=b有两个不同的交点,则实数b的取值范围是　　　　.
解析:在同一平面直角坐标系中画出y=|2x-2|与y=b的图象(y=|2x-2|的图象是由函数y=2x的图象向下平移2个单位长度后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的),如图所示,
由图象可知当0答案:(0,2)
[典例迁移4] 若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则实数b的取值范围是　　　　.
解析:画出曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示.
由图象得|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则实数b的取值范围是[-1,1].
答案:[-1,1]
1.指数型函数的图象:(1)函数y=ax+b(a>0,且a≠1)的图象,可由指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象向左(b>0)或向右(b<0)平移|b|个单位长度而得到.(2)函数y=ax+b的图象,可由指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度而得到.(3)函数y=a|x|的图象关于y轴对称,当x≥0时,其图象与指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象相同;当x<0时,其图象与x≥0时的图象关于y轴
对称.
2.涉及与指数函数以及与指数型函数有关的方程、不等式问题常通过数形结合思想求解.
指数函数的性质及其应用
　指数函数的单调性
下列各式比较大小正确的是(　　)
A.1.72.5>1.73 B.0.6-1>0.62
C.0.8-0.1>1.250.2 D.1.70.3<0.93.1
解析:因为函数y=1.7x在R上是增函数,2.5<3,所以1.72.5<1.73,故A错误;
因为y=0.6x在R上是减函数,-1<2,所以0.6-1>0.62,故B正确;
因为(0.8)-1=1.25,所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.因为y=1.25x在R上是增函数,0.1<0.2,所以1.250.1<1.250.2,即0.8-0.1<1.250.2,故C错误;
因为1.70.3>1,0<0.93.1<1,所以1.70.3>0.93.1,故D错误.故选B.
比较幂的大小的方法
(1)同底数幂比较大小时构造指数函数,根据其单调性比较.
(2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象,当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小.
(3)底数、指数都不相同时,取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较,或借助“1”与两数比较.
　利用指数函数性质解指数不等式
若x满足不等式≤()x-2,则函数y=2x的值域是(　　)
A.[,2) B.[,2]
C.(-∞,] D.[2,+∞)
解析:将≤()x-2化为x2+1≤-2(x-2),即x2+2x-3≤0,解得x∈[-3,1],所以2-3≤2x≤21,所以函数y=2x的值域是[,2].故选B.
指数不等式的常见类型及求解方法
(1)af(x)>ag(x)或af(x)解法:af(x)>ag(x) 或
af(x)(2)形如ax>b的不等式,注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式,再借助于函数y=ax的单调性求解.
　与指数函数有关的复合函数的单调性
若函数f(x)=()的值域是(0,],则f(x)的单调递增区间是　　　　.
解析:令g(x)=ax2+2x+3,则f(x)=()g(x),
由于f(x)有最大值,所以g(x)应有最小值2,
因此必有解得a=1,
即当f(x)有最大值时,a的值为1.
这时g(x)=x2+2x+3,f(x)=().
由于g(x)的单调递减区间是(-∞,-1),
所以f(x)的单调递增区间是(-∞,-1).
答案:(-∞,-1)
对于形如y=af(x)的函数的单调性,它的单调区间与f(x)的单调区间有关:若a>1,函数f(x)的单调递增(减)区间即函数y=af(x)的单调递增(减)区间;若0　指数型函数的值域
如果函数y=a2x+2ax-1(a>0,且a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是14,则实数a的值为　　　　.
解析:当a>1时,y=a2x+2ax-1在[-1,1]上是增函数;当0解得a=3或.
答案:3或
本例是关于ax(a>0,a≠1)的二次函数问题,一般可利用换元法转化为二次函数问题,要注意换元后新元的取值范围.注意到本例中y=a2x与y=2ax的单调性相同,直接用单调性求解更加简单.
[针对训练]
1.函数f(x)=的单调递增区间为(　　)
A.(-∞,2) B.(2,+∞)
C.(-3,2) D.(2,7)
解析:由于函数t=-x2+4x+3的单调递增区间为(-∞,2),而y=3t是关于t的增函数,所以根据复合函数的单调性可知,f(x)的单调递增区间为(-∞,2).故选A.
2.当x≤1时,函数y=4x-2x+1+2的值域为(　　)
A.[1,+∞) B.[2,+∞)
C.[1,2) D.[1,2]
解析:y=4x-2x+1+2=(2x)2-2·2x+2=(2x-1)2+1.设t=2x,因为x≤1,所以03.已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>c>a
解析:由0.2<0.6,0.4<1,并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6,即b>c.因为a=20.2>1,b=0.40.2<1,所以a>b.综上,a>b>c.故选A.
4.已知函数f(x)=a-x(a>0,且a≠1),且f(-1)>f(-2),则实数a的取值范围是　　　　.
解析:因为f(x)=a-x=()x,且f(-1)>f(-2),所以函数f(x)在定义域上单调递增,所以>1,解得0答案:(0,1)
对于给定的函数f(x)=ax-a-x(x∈R,a>0,且a≠1),下列五个命题,属于真命题的是　　　　(填序号).
①函数f(x)的图象关于原点对称;
②函数f(x)在R上不具有单调性;
③函数f(|x|)的图象关于y轴对称;
④当0⑤当a>1时,函数f(|x|)的最大值是0.
解析:因为f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,所以f(x)的图象关于原点对称,①是真命题;当a>1时,f(x)在R上为增函数,当01时,f(|x|)在(-∞,0)上为减函数,在(0,+∞)上为增函数,所以当x=0时,y=f(|x|)的最小值为0,⑤是假命题.综上,真命题是①
③④.
答案:①③④
当x>2时,函数y=4ax-1(a>0,且a≠1)的图象恒在函数y=3x-4的图象下方,则a的取值范围为　　　　.
解析:由题意得,当x>2时,不等式4ax-1<3x-4恒成立,即ax-1当a>1时,如图所示,
由图可知, x∈R,ax-1>x-1恒成立,故不满足题意;
当0由图可知,要满足 x>2,ax-1答案:(0,]
已知函数f(x)=a()|x|+2的图象如图所示过原点,且无限接近直线y=2但又不与y=2相交.
(1)求该函数f(x)的解析式;
(2)方程f2(x)-2mf(x)+1=0有四个不同的实数根,求m的取值范围.
解:(1)因为f(x)的图象过原点(0,0),
所以f(0)=0,
所以f(0)=a()|0|+2=0,解得a=-2,
所以f(x)=-2·()|x|+2.
解:(2)令t=f(x)∈[0,2),
则g(t)=t2-2mt+1=0有两个不等实根t1,t2∈(0,2),
得
综上m的取值范围为(1,).
已知f(x)=(a∈R)的图象关于坐标原点对称.
(1)求a的值;
(2)若存在x∈[0,1],使不等式f(x)+2x-<0成立,求实数b的取值范围.
解:(1)由题意知f(x)是R上的奇函数,
所以f(0)=0,得a=1.
此时,f(x)=,
因为f(-x)====-f(x),
所以函数f(x)为奇函数.
解:(2)设h(x)=+2x-
=,
由题设知存在x∈[0,1],使h(x)<0成立,
即存在x∈[0,1],使不等式4x+2x+1-1-b<0成立,即存在x∈[0,1],使b>4x+2x+1-1成立,
令u(x)=4x+2x+1-1,x∈[0,1],因为y=4x,y=2x+1在[0,1]上是增函数,所以u(x)在[0,1]上是增函数,所以u(x)min=u(0)=2,所以b>2.
知识点、方法 基础巩固练 综合运用练 应用创新练
根式与指数幂运算 4,5,8
指数函数的图象 2,3 13,15
指数函数的性质 1,6,9 12 17
指数函数的图象与性质的综合应用 7,10 11,14 16
1.已知函数f(x)=2x-b(2≤x≤4,b为常数)的图象经过点(3,1),则f(x)的值域为(　C　)
A.[4,16] B.[2,10]
C.[,2] D.[,+∞)
解析:将(3,1)代入函数解析式得23-b=1,3-b=0,b=3,所以f(x)=2x-3,在区间[2,4]上为增函数,故值域为[f(2),f(4)]=[,2].故选C.
2.函数f(x)=ax-2+3(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,点P又在幂函数g(x)的图象上,则g(3)的值为(　C　)
A.4 B.8 C.9 D.16
解析:因为f(x)=ax-2+3,令x-2=0得x=2,所以f(2)=a0+3=4,所以f(x)的图象恒过点P(2,4).
设g(x)=xα(α∈R),把P(2,4)代入g(x)=xα得2α=4,所以α=2,所以g(x)=x2,所以g(3)=32=9.故选C.
3.已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在(0,2)内的值域是(1,a2),则函数y=f(x)的图象大致是(　B　)
解析:函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在(0,2)内的值域是(1,a2),因此指数函数是单调递增函数,所以有a>1,由底数大于1指数函数的图象上升,且在x轴上方可知B正确.故选B.
4.已知函数f(x)=2x2-2ax+1,满足f(3+x)=f(3-x),则等于(　D　)
A. B.9
C.18 D.72
解析:因为函数f(x)满足f(3+x)=f(3-x),所以图象的对称轴为直线x==3,即2a=12,
所以===72.故选D.
5.函数y=4x+4-x+2x-2-x的最小值为(　D　)
A. B.1
C.2 D.
解析:令2x-2-x=t,则t2=4x+4-x-2,
故原函数化为y=t2+t+2=(t+)2+,当t=-时,取得最小值为.故选D.
6.下列不等式正确的是(　D　)
A.<3-4<32
B.32<()<33
C.2.60<()2.6<22.6
D.()2.6<2.60<22.6
解析:因为y=3x是增函数,所以3-4<<32,()=<32<33,故排除A,B;因为y=2x是增函数,所以()2.6=2-2.6<20=2.60<22.6.故选D.
7.(多选题)对函数f(x)=()判断正确的是(　BD　)
A.单调递增区间(0,+∞)
B.单调递增区间(-∞,0)
C.值域[,+∞)
D.值域(0,]
解析:根据指数函数的性质可知,g(t)=()t在(-∞,+∞)上单调递减,而h(x)=x2+1在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故f(x) =()的单调递增区间为(-∞,0).h(x)=x2+1的值域为[1,+∞),而f(x)=()在(-∞,+∞)上单调递减,故f(x)=()的值域为(0,].故选BD.
8.(×)6-4×()+(-2 021)0=　　　　.
解析:(×)6-4×()+(-2 021)0=()6×()6-4×[()2]+1=22×33-4×+1=102.
答案:102
9.定义在R上的函数f(x)满足:①f(x)单调递减;②f(0)=1,请写出一个满足条件的指数型函数:f(x)=　　　　.
解析:由函数f(x)满足:①f(x)单调递减;②f(0)=1,则f(x)=2-x.
答案:2-x(答案不唯一)
10.已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在区间[-1,2]上的最大值为8,最小值为m.若函数g(x)=(3-10m)是增函数,则a=　　　　.
解析:根据题意,得3-10m>0,解得m<.
当a>1时,函数f(x)=ax在区间[-1,2]上单调递增,最大值为a2=8,解得a=2,最小值为m=a-1==>,不符合题意;
当0答案:
11.若ea+πb≥e-b+π-a,e为自然对数的底数,则有(　D　)
A.a+b≤0 B.a-b≥0
C.a-b≤0 D.a+b≥0
解析:令f(x)=ex-π-x,则f(x)在R上单调递增,又ea+πb≥e-b+π-a,所以ea-π-a≥e-b-πb,即f(a)≥f(-b),所以a≥-b,即a+b≥0.故选D.
12.已知函数f(x)=4x+a·2x在区间[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为(　C　)
A.[-4,+∞) B.(-∞,-4]
C.[-8,+∞) D.(-∞,-8]
解析:设t=2x,则由x≥2可知t≥4,由t为增函数以及题意可知,函数y=t2+at在区间[4,+∞)上是增函数,结合y=t2+at的单调递增区间为(-,+∞)可知,-≤4,则a≥-8.故选C.
13.(多选题)已知函数y=ax-b(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列结论正确的是(　ABD　)
A.ab>1 B.a+b>1
C.ba>1 D.2b-a<1
解析:由图象可得a>1,01,a+b>1,014.已知函数f(x)=2x-4x,则函数y=f(x)在[-1,1]上的值域为　　　;不等式f(x)>16-9·2x的解集为　　　　.
解析:令t=2x,当x∈[-1,1]时,t∈[,2],
则可将原函数转化为y=t-t2=-(t-)2+,
当t=时,ymax=;当t=2时,ymin=-2,
所以f(x)在[-1,1]上的值域为[-2,].
因为f(x)>16-9·2x,即2x-4x>16-9·2x,
所以4x-10·2x+16=(2x-2)(2x-8)<0,
解得2<2x<8,所以116-9·2x的解集为(1,3).
答案:[-2,]　(1,3)
15.如图,过原点O的直线与函数y=2x的图象交于A,B两点,过B作y轴的垂线交函数y=4x的图象于点C,若AC平行于y轴,则点A的坐标为　　　　.
解析:设A(n,2n),B(m,2m),则C(,2m),因为AC平行于y轴,所以n=,所以A(,2n),B(m,2m),又因为A,B,O三点共线,所以kOA=kOB,所以=,即n=m-1,又由n=,解得n=1,所以点A的坐标为(1,2).
答案:(1,2)
16.(多选题)(2021·百校联盟高三联考)设函数f(x)=2x-1+21-x,则(　BC　)
A.f(x)在(0,+∞) 上单调递增
B.f(x)的最小值是2
C.f(x)的图象关于直线x=1对称
D.f(x)的图象关于点(1,0)对称
解析:因为f(x)=2x-1+21-x,所以f(2-x)=2(2-x)-1+21-(2-x)=21-x+2x-1=f(x),即f(x)=f(2-x),即f(x)的图象关于直线x=1对称,故C正确;
因为函数f(x)的图象关于直线x=1对称,故A,D错误;
因为2x-1>0,21-x>0,所以f(x)=2x-1+21-x≥2=2,当且仅当2x-1= 21-x,即x=1时,取等号,故B正确.故选BC.
17.设f(x)=2x-1-2-x-1,当x∈R时,f(x2+2mx)+f(2)>0恒成立,则实数m的取值范围是　　　　.
解析:由函数f(x)=2x-1-2-x-1=·(2x-2-x)=[2x-()x],
根据指数函数的图象与性质,可得函数f(x)是x∈R上的增函数,
且满足f(-x)=2-x-1-2x-1=-(2x-1-2-x-1)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,
因为f(x2+2mx)+f(2)>0,即f(x2+2mx)>-f(2)=f(-2),
可得x2+2mx>-2恒成立,即x2+2mx+2>0在x∈R上恒成立,
则满足(2m)2-4×2<0,即4m2<8,
解得-所以实数m的取值范围是(-,).
答案:(-,)

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