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第6节　对数与对数函数
1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.通过具体实例,了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.
3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1).
1.对数
概念 一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数
性质 对数式与指数式的互化:ax=N x=logaN, loga1=0,logaa=1,=N
运算 法则 loga(MN)=logaM+logaN a>0,且a≠1, M>0,N>0
loga=logaM-logaN
logaMn=nlogaM(n∈R)
换底 公式 logab=(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1)
2.对数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域为(0,+∞)
值域为R
过定点(1,0),即x=1时,y=0
当x>1时,y>0; 当01时,y<0; 当00
在区间(0,+∞)上是增函数 在区间(0,+∞)上是减函数
3.指数函数与对数函数的关系
一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的定义域与值域正好互换,图象关于直线y=x
对称.
1.换底公式及其推论
(1)logab·logba=1,即logab=(a,b均大于0且不等于1);
(2)lobn=logab;
(3)logab·logbc·logcd=logad.
2.对数函数的图象与底数大小的比较
如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的
底数,
故01.log63·log96等于(　D　)
A. B.3 C.2 D.
解析:log63·log96=log63·log36=.故选D.
2.(必修第一册P131练习T1改编)函数f(x)=的定义域是(　D　)
A.(1,+∞) B.(2,+∞)
C.[1,+∞) D.[2,+∞)
解析:要使函数f(x)=有意义,只需即解得x≥2,所以函数f(x)的定义域为[2,+∞).故选D.
3.已知函数f(x)=2x的图象与函数y=g(x)的图象关于直线y=x对称,则g()的值为(　A　)
A.-1 B.1 C.12 D.2
解析:法一　由y=f(x)=2x,得x=log2y,所以函数f(x)的反函数为g(x)=log2x,
则g()=log2=-1.故选A.
法二　设g()=t0,则函数y=g(x)过点(,t0),由于函数f(x)=2x的反函数为y=g(x),因此有=,故t0=-1.故选A.
4.(必修第一册P127习题T3改编)化简2lg 5+lg 4-的结果为(　A　)
A.0 B.2 C.4 D.6
解析:因为2lg 5+lg 4=2lg 5+2lg 2=2(lg 5+lg 2)=2.又=2,所以2lg 5+lg 4-=2-2=0.故选A.
5.若函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),请写出一个满足条件的函数解析式:　　　　.
解析:由函数满足f(xy)=f(x)+f(y)可知,函数是对数函数,且是增函数,因此只要是满足底数大于1的对数函数即可.
答案:f(x)=log3x(答案不唯一,只要底数大于1即可)
对数式的化简与求值
1.(2020·全国Ⅰ卷)设alog34=2,则4-a等于(　B　)
A. B.
C. D.
解析:法一　因为alog34=2,所以log34a=2,则有4a=32=9,所以4-a==.故选B.
法二　因为alog34=2,所以-alog34=-2,所以log34-a=-2,
所以4-a=3-2==.故选B.
法三　因为alog34=2,所以==log43,所以=3,两边同时平方得4a=9,所以4-a==.故选B.
法四　因为alog34=2,所以a===log49,所以4-a==.故选B.
法五　令4-a=t(t>0),两边同时取对数得log34-a=log3t,即alog34=-log3t=log3.因为alog34=2,所以log3=2,所以=32=9,所以t=,即4-a=.故选B.
法六　令4-a=t(t>0),所以-a=log4t,即a=-log4t=log4.由alog34=2,得a===log49,所以log4=log49,所以=9,t=,即4-a=.故选B.
2.若2a=3b=6,则+等于(　D　)
A.2 B.3 C. D.1
解析:法一　因为2a=3b=6,所以a=log26,=log62,b=log36,=log63,则+=log62+log63=log66=1.故选D.
法二　因为2a=6,所以2=,因为3b=6,所以,所以2×3=·,所以6=,所以+=1.故选D.
3.设a=log36,b=log520,则log215等于(　D　)
A. B.
C. D.
解析:因为a=log36=1+log32,b=1+2log52,所以log23=,log25=,则log215=log23+log25=+=.故选D.
4.计算:=　　　　.
解析:原式=
===1.
答案:1
1.利用对数的运算性质化简对数式主要有以下两种方法:
一是“正向”利用对数的运算法则,把各对数分成更为基本的一系列对数的代数和;二是“逆向”运用对数运算法则,把同底的各对数合并成一个对数.
2.利用已知对数式表示不同底数的对数式时,可以将待求式中的底数利用换底公式化为已知对数式的底数表示.
对数函数的图象及应用
　对数函数的图象
在同一平面直角坐标系中,函数y=,y=loga(x+)(a>0,且a≠1)的图象可能是(　　)
解析:法一　当a>1时,函数y=ax的图象过定点(0,1),在R上单调递增,于是函数y=的图象过定点(0,1),在R上单调递减,函数y=loga(x+)的图象过定点(,0),在(-,+∞)上单调递增.显然A,B,C,D四个选项都不符合.
当0因此,选项D中的两个图象符合.故选D.
法二　易知a与必有1个大于1,1个小于1,则f(x)=与g(x)=loga(x+)在各自定义域内单调性相反,可排除B;由g()=0可排除A,C.故选D.
1.求解形如y=loga(x±b)型对数函数的图象问题,首先应明确基本的对数函数的图象(即明确当a>1时与02.在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
　解析式中含绝对值的对数型函数图象
函数y=ln(2-|x|)的大致图象为(　　)
解析:令f(x)=ln(2-|x|),易知函数f(x)的定义域为{x|-2当x=时,f()=ln <0,排除选项B.故选A.
研究对数型函数图象的思路
研究对数型函数的图象时,一般从最基本的对数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,要注意底数a>1或0　对数函数图象的应用
已知函数f(x)=x2-logmx在(0,)上恒有f(x)<0成立,则实数m的取值范围为　　　　.
解析:要使函数f(x)=x2-logmx在(0,)上恒有f(x)<0成立,则有x2答案:[,1)
求解与对数型方程、不等式有关的恒成立问题,常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.
[针对训练]
1.当0解析:因为函数y=a-x即为函数y=()x,其底数大于1,是增函数,又y=logax,当02.函数y=|log2x|的图象是(　　)
解析:因为f(x)=
则函数的定义域为(0,+∞),即函数图象只出现在y轴右侧.值域为(0,+∞),即函数图象只出现在x轴上方.其图象为在区间(0,1)上是下降的曲线,在区间(1,+∞)上是上升的曲线,由增长趋势知C不正确,只有D满足要求.故选D.
3.当0解析:若解得答案:(,1)
对数函数的性质及其应用
　利用对数函数的单调性比较大小
(1)已知a=log36,b=log510,c=log714,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.aC.c(2)已知a=log2e,b=ln 2,c=lo,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
解析:(1)a=log36=1+log32,
b=log510=1+log52,
c=log714=1+log72,且log32>log52>log72,故c解析:(2)法一　因为a=log2e>1,b=ln 2∈(0,1),c=lo=log23>log2e=a>1,所以c>a>b.故选D.
法二　lo=log23,如图,在同一平面直角坐标系中作出函数y=log2x,y=ln x的图象,由图知c>a>b.故选D.
比较对数式大小的类型及相应的方法
(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论.
(2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较,或利用图象数形结合求解.
(3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.
(4)若不能够使用以上三种方法比较大小,则需要将已知的对数式变形或利用对数的运算性质确定对数值的取值范围,或利用作差(或作商)比较法以及利用结论logn+1(n+2)　简单对数不等式的解法
已知函数f(x)=log2(2-x)-log2(2+x),则不等式f(x)>1的解集为　　　　.
解析:函数的定义域满足 -2由f(x)>1 log2(2-x)-log2(2+x)>1
log2>log22,所以 -2答案:(-2,-)
简单对数不等式问题的求解策略
(1)解决简单的对数不等式,应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值,再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解.求解时不要忘记对数函数的定义域.
(2)对数函数的单调性和底数a的值有关,在研究对数函数的单调性时,要按01进行分类讨论.
　对数型复合函数的定义域与值域
若函数f(x)=lg(ax2-2x+a)的值域为R,则实数a的取值范围为(　　)
A.(-1,0) B.(0,1) C.[0,1] D.(1,+∞)
解析:由题意问题可以转化为g(x)=ax2-2x+a的值域能取到(0,+∞)内的任意实数,当a=0时,g(x)=-2x,函数g(x)的值域为R,满足题意;
当a≠0时,要使g(x)的值域能取到(0,+∞)内的任意实数,则满足解得0对数型复合函数的定义域与值域的求解策略:
函数y=logaf(x)的值域是R,这说明函数y=f(x)可以取遍所有大于0的数,而函数y=logaf(x)的定义域是R,则说明f(x)>0在R上恒成立.
[针对训练]
1.已知x=lg 2,y=ln 3,z=log23,则(　　)
A.xC.x解析:因为x=lg 2<1,y=ln 3>1,z=log23>1,所以x最小.又因为y=,z=,而lg e>lg 2>0,所以x2.设函数f(x)=a·ex-1(a为常数),且f(-1)=且g(x)=则不等式g(x)<2的解集为　　　　　　.
解析:因为f(-1)=ae-2==,所以a=2,
则f(x)=2ex-1,所以g(x)=
①当x<2时,2ex-1<2,即ex-1<1,解得x<1;
②当x≥2时,log3(x-1)<2,即log3(x-1)综上所述,g(x)<2的解集为(-∞,1)∪[2,10).
答案:(-∞,1)∪[2,10)
3.已知函数f(x)=log2(x2-2ax+3).若函数f(x)的定义域为R,则实数a的取值范围是　　　　;若函数f(x)的值域为R,则实数a的取值范围是　　　　.
解析:由函数f(x)的定义域为R,则x2-2ax+3>0恒成立,所以Δ=4a2-12<0,解得-设A为y=x2-2ax+3的值域,则A=[3-a2,+∞),若f(x)的值域为R,则(0,+∞) A,所以3-a2≤0,解得a≤-或a≥.
答案:(-,)　(-∞,-]∪[,+∞)
已知函数f(x)=log3在区间(-3,3]上单调递减,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-1,2) B.(-,2)
C.(-2,2) D.(1,)
解析:令u=,由题意可知,u=>0对任意的x∈(-3,3]恒成立,
因为x+3>0,则ax+6>0对任意的x∈(-3,3]恒成立,则得-2因为函数f(x)=log3在区间(-3,3]上单调递减,外层函数y=log3u为增函数,故内层函数u===a+在区间(-3,3]上为减函数,所以6-3a>0,可得a<2.综上所述,-2已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则(　　)
A.f(x)在(0,2)上单调递增
B.f(x)在(0,2)上单调递减
C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称
D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称
解析:由于f(x)=ln[x(2-x)]=ln(-x2+2x)=ln[-(x-1)2+1].
令t=-(x-1)2+1,结合函数的定义域(0,2)可知,函数t在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,2)上单调递减,由y=ln t在区间(0,+∞)上单调递增可知,函数f(x)=ln x+ln(2-x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,2)上单调递减,因此A,B错误;
由题意知,f(2-x)=ln(2-x)+ln x=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,C正确,D错误.故选C.
已知函数f(x)=ax-ln(ex+1)(a∈R)为偶函数,则a等于(　　)
A.1 B.2 C. D.3
解析:法一(定义法)　由f(-x)=f(x)得,
-ax-ln()=ax-ln(ex+1),
ln(ex+1)-ln()=2ax,
即ln ex=2ax,a=.故选C.
法二(特值法)　由于f(x)为偶函数,所以f(-1)=f(1),即-a-ln(e-1+1)=a-ln(e+1),所以2a=ln(e+1)-ln(e-1+1)=ln =ln e=1,所以a=.故选C.
设方程ex=|ln(-x)|的两个根分别为x1,x2,则(　　)
A.x1x2<0 B.x1x2=0
C.x1x2>1 D.0解析:作出y=ex与y=|ln(-x)|的大致图象,如图.
显然x1<0,x2<0.
不妨设x1此时<,即ln(-x1)<-ln(-x2),由此得ln(x1x2)<0,所以0知识点、方法 基础巩固练 综合运用练 应用创新练
对数的概念、运算法则 1,2,3,4 12
对数函数的图象、性质 5,6,7,9 13
对数函数的综合应用 8,10 11,14 15
1.计算log225·log52等于(　A　)
A.3 B.4 C.5 D.6
解析:log225·log52=log252·log5=2××log25×log52=3.故选A.
2.若lg 2=a,lg 3=b,则log524等于(　C　)
A. B.
C. D.
解析:因为lg 2=a,lg 3=b,所以log524===.故选C.
3.(2021·四川成都高三零模)已知函数f(x)=则f(-2)+f(ln 4)等于(　C　)
A.2 B.4 C.6 D.8
解析:f(-2)=log24=2,f(ln 4)=eln 4=4,故f(-2)+f(ln 4)=6.故选C.
4.(2021·陕西宝鸡高考模拟)很多关于大数的故事里(例如“棋盘上的学问”“64片金片在三根金针上移动”)都涉及264这个数.请你估算264这个数大致所在的范围是(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48) (　B　)
A.(1012,1013) B.(1019,1020)
C.(1020,1021) D.(1030,1031)
解析:设264=N,两边同时取常用对数得lg 264=lg N,所以64lg 2=lg N,所以lg N≈64×0.30=19.2,所以N≈1019.2.故选B.
5.(2021·江西吉安高三联考)已知函数f(x)=log4(x+k)的图象如图所示,则2f(2)+2-f(2)等于(　C　)
A.2 　　　　B.2
C. 　　　　D.
解析:由图象可知,f(0)=0,即log4k=0,所以k=1,则f(x)=log4(x+1),所以f(2)=log43,则2f(2)+2-f(2)=+=+ =+=+=.故选C.
6.下列关于函数f(x)=lo(x2+x+1)的说法中,正确的是(　A　)
A.有最大值2-log23,在(-∞,-)上为增函数
B.有最大值2-log23,在(-∞,-)上为减函数
C.有最小值2-log23,在(-,+∞)上为增函数
D.有最小值2-log23,在(-,+∞)上为减函数
解析:令u=x2+x+1=(x+)2+≥,所以lo(x2+x+1)≤lo=2-log23,故f(x)有最大值2-log23.又f(x)=lo(x2+x+1)是由函数y=lou与u=x2+x+1复合而成,且u=x2+x+1在(-∞,-)上为减函数,在(-,+∞)上为增函数,y=lou在(0,+∞)上为减函数,所以由复合函数的单调性可知函数f(x)在(-∞,-)上为增函数,在(-,+∞)上为减函数.故选A.
7.若函数f(x)=lo(-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)上单调递增,则实数m的取值范围为(　A　)
A.[,2) B.[,2]
C.[,3] D.[,3)
解析:令t=-x2+4x+5>0,解得-10).而t=-x2+4x+5在(-1,2)上单调递增,在(2,5)上单调递减,且y=lot在(0,+∞)上单调递减,
所以f(x)=lo(-x2+4x+5)在(-1,2)上单调递减,在(2,5)上单调递增,又因为函数f(x)=lo(-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)内单调递增,所以2≤3m-28.已知对数函数f(x)的图象过点(4,-2),则不等式f(x-1)-f(x+1)>3的解集为　　　　.
解析:设函数f(x)的解析式为f(x)=logax(a>0,a≠1),由函数的图象过点(4,-2)可得-2=loga4,即a-2=4,则a=.由f(x-1)-f(x+1)>3,可得f(x-1)>3+f(x+1),即lo(x-1)>lo+lo(x+1)=lo[(x+1)],所以原不等式等价于解得1答案:(1,)
9.若函数f(x)=log2(x2-3ax+2a2)的单调递减区间是(-∞,a2),则a=　　　　.
解析:x2-3ax+2a2=(x-a)(x-2a),当a=0时,显然符合题意;当a<0时,因为2a0时,因为2a>a,所以f(x)的单调递减区间为
(-∞,a),由a2=a,得a=0(舍去)或1.综上,a=0或1.
答案:0或1
10.已知函数f(x)=loga(x+-4)(a>0,a≠1)的值域为R,则实数a的取值范围是　 .
解析:f(x)=loga(x+-4)(a>0,a≠1)的值域为R,
设t=x+-4,所以t可以取遍(0,+∞)中任意一个数,所以tmin=2-4≤0 a≤4,
所以实数a的取值范围为(0,1)∪(1,4].
答案:(0,1)∪(1,4]
11.设函数f(x)=ln|3x+2|-ln|3x-2|,则f(x)(　B　)
A.是偶函数,在(,+∞)上单调递减
B.是奇函数,在(-,)上单调递增
C.是偶函数,在(-∞,-)上单调递增
D.是奇函数,在(,+∞)上单调递增
解析:由f(x)=ln|3x+2|-ln|3x-2|得f(x)的定义域为{x},关于坐标原点对称.
又f(-x)=ln|2-3x|-ln|-3x-2|=ln|3x-2|-ln|3x+2|=-f(x),
所以f(x)为定义域上的奇函数,可排除A,C;
当x∈(-,)时,f(x)=ln(3x+2)-ln(2-3x),
因为y=ln(3x+2)在(-,)上单调递增,y=ln(2-3x)在(-,)上单调递减,所以f(x)=ln(3x+2)-ln(2-3x)在(-,)上单调递增,故B正确;当x∈(,+∞)时,f(x)=ln(3x+2)-ln(3x-2)=ln =ln(1+),
因为μ=1+在(,+∞)上单调递减,f(μ)=ln μ在定义域内单调递增,根据复合函数的单调性可知,f(x)在(,+∞)上单调递减,故D错误.故选B.
12.(2021·高三百校联考)已知a=log43,b=log53,c=log45,则(　A　)
A.bC.a解析:首先0因为a=,b=,所以a-b=-=>0,所以01,所以b13.设正数x,y,z满足==,则下列关系中正确的是(　D　)
A.4x<3y<2z B.2z<4x<3y
C.3y<2z<4x D.2z<3y<4x
解析:设===t,所以x=logt3,y=logt4,z=logt5,由已知得t>1,所以函数y=logtx在(0,+∞)上单调递增,且4x=4logt3=logt81,3y= 3logt4=logt64,2z=2logt5=logt25,所以2z<3y<4x.故选D.
14.已知函数f(x)=loga(a>0且a≠1)是奇函数,则实数m的值为　　　　;满足不等式f()<1的实数a的取值范围是　　　　.
解析:由题意>0的解集关于原点对称,因为x=2是2-x=0的根,所以x=-2是2+mx=0的根,所以m=1.
当m=1时,f(x)=loga的定义域为(-2,2),且满足f(-x)=-f(x),符合题意,故m=1.
由f(x)=loga,及f()<1,
可知loga=loga<1.
当a>1时,loga<0,不等式恒成立;
当01.
答案:1　{a}
15.(多选题)已知函数f(x)=log2(mx2+4x+8),m∈R,则下列说法正确的是(　AC　)
A.若函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),则实数m的取值范围是(,+∞)
B.若函数f(x)的值域为[2,+∞),则实数m=2
C.若函数f(x)在区间[-3,+∞)上为增函数,则实数m的取值范围是(,]
D.若m=0,则不等式f(x)<15的解集为{x|x<-}
解析:对于A,由题意知mx2+4x+8>0对x∈R恒成立,当m=0时,不等式4x+8>0不恒成立,所以m≠0,当m≠0时,由解得m>,所以A正确;
对于B,若函数f(x)的值域为[2,+∞),则f(x)min=2,显然m不为0,则函数y=mx2+4x+8的最小值为4,当x=-时,ymin=m·(-)2+4×(-)+ 8=4,解得m=1,所以B错误;
对于C,若函数f(x)在区间[-3,+∞)上为增函数,则y=mx2+4x+8在[-3,+∞)上为增函数,且在[-3,+∞)内的函数值为正,
所以
解得对于D,若m=0,则不等式f(x)<15等价于log2(4x+8)<15,则0<4x+8<215,解得-2

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