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第7节　函数的图象
1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用.
2.借助函数图象,理解和研究函数的性质.
1.利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线.首先:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数解析式;(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等);其次,列表(尤其注意特殊点:零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线.
函数图象的集合表示方法:{(x,y)|y=f(x),x∈A}.
2.图象变换
(1)平移变换
1.左右平移仅仅是相对x而言的,即发生变化的只是x本身,利用“左加右减”进行操作.如果x的系数不是1,需要把系数提出来,再进行变换.
2.上下平移仅仅是相对y而言的,即发生变化的只是y本身,利用“上减下加”进行操作.但平时我们是对y=f(x)中的f(x)进行操作,满足“上加下减”.
(2)对称变换
①y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称;
②y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称;
③y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称;
④y=ax(a>0,且a≠1)与y=loga x(a>0,且a≠1)的图象关于直线y=x对称.
(3)翻折变换
①y=f(x)y=|f(x)|;
②y=f(x)y=f(|x|).
(4)伸缩变换
①y=f(x)y=f(ax).
②y=f(x)y=af(x).
1.对于函数y=f(x)定义域内任意一个x的值,若f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=对称.特别地,若f(a+x)=f(a-x),则函数f(x)的图象关于直线x=a对称.
2.对于函数y=f(x)定义域内任意一个x的值,若f(a+x)=-f(b-x),则函数f(x)的图象关于点(,0)中心对称.特别地,若f(a+x)=-f(a-x),则函数f(x)的图象关于点(a,0)中心对称.
3.两个函数图象的对称性(相互对称)
(1)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线(a+x)-(b-x)=0,即x=对称;(2)函数y=f(a+x)与y=f(a-x)的图象关于直线x=0对称.
1.为了得到函数y=lg 的图象,只需把函数y=lg x的图象上所有的点(　D　)
A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
C.向上平移1个单位长度
D.向下平移1个单位长度
解析:因为函数y=lg =lg x-1,所以把函数y=lg x的图象上所有的点向下平移1个单位长度,可得函数y=lg =lg x-1的图象.故选D.
2.函数y=的图象是(　B　)
解析:当x=0时,函数值为2,排除A,D;当x=3时,函数值为,排除C.故选B.
3.(多选题)如图是函数f(x)的图象,则下列说法正确的是(　ABD　)
A.f(0)=-2
B.f(x)的定义域为[-3,2]
C.f(x)的值域为[-2,2]
D.若f(x)=0,则x=或2
解析:由图象知f(0)=-2,故A正确;函数的定义域为[-3,2],故B正确;函数的最小值为-3,即函数的值域为[-3,2],故C错误;若f(x)=0,则x=或2,故D正确.故选ABD.
4.将函数f(x)=x3的图象向右平移2个单位长度后,得到函数g(x)的图象,则g(2)=　　　　.
解析:将函数f(x)=x3的图象向右平移2个单位长度后,得到函数g(x)的图象,即g(x)=(x-2)3,则g(2)=0.
答案:0
　函数图象的作法
1.若函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=-f(x+1)的图象大致为(　C　)
解析:要想由y=f(x)的图象得到y=-f(x+1)的图象,需要先作出y=f(x)的图象关于x轴对称的图象y=-f(x),然后向左平移1个单位长度得到y=-f(x+1)的图象,根据上述步骤可知C正确.故选C.
2.作出下列函数的图象:
(1)y=()|x|;(2)y=|log2 (x+1)|;(3)y=;(4)y=|x+1|·(x-3).
解:(1)先作出y=()x的图象,保留y=()x图象中x≥0的部分,再作出y=()x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分,即得y=()|x|的图象,如图①实线部分.
(2)将函数y=log2x的图象向左平移一个单位长度,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2 (x+1)|的图象,如图②.
解:(3)因为y==2+,故函数图象可由y=的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度而得,如图.
解:(4)令f(x)=|x+1|·(x-3),则f(x)=图象如图所示.
作函数图象的一般方法
(1)直接法:当函数表达式(或变形后的表达式)是基本初等函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时,就可根据这些函数或曲线的特征直接作出.
(2)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序,对不能直接找到基本函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
(3)作函数图象时,若函数解析式不是最简形式,需先化简函数解析式,再作函数的图象.
　函数图象的识别
　知式选图
(2021·山西吕梁一模)函数f(x)=ln·cos x的图象大致为(　　)
解析:由函数f(x)=ln ·cos x的解析式可知,>0,解得-2根据函数的解析式选择函数图象的方法
(1)由函数的定义域,判断图象的左、右位置,由函数的值域,判断图象的上、下位置.
(2)由函数的单调性,判断图象的变化趋势.
(3)由函数的奇偶性,判断图象的对称性.
(4)由函数的周期性,判断图象的循环往复.
(5)由函数的特殊点的符号及函数图象的位置确定.
　知图选式
(2021·河南信阳高三期末)如图是函数f(x)的图象,f(x)的解析式可能是(　　)
A.f(x)=ln||
B.f(x)=ln||
C.f(x)=+
D.f(x)=-
解析:由图象可知f(0)=0,若f(x)=-,f(0)=-=2,
故可排除D;
当x=2时,f(2)>0,若f(x)=ln||,f(2)=ln||=ln<0,故可排除B;
当x=-时,f(-)>0,若f(x)=ln||,f(-)=ln||=ln <0,故可排除A.故选C.
知图选式或选性质的策略
(1)从图象的左右、上下分布,观察函数的定义域、值域.
(2)从图象的变化趋势,观察函数的单调性.
(3)从图象的对称性方面,观察函数的奇偶性.
(4)从图象的循环往复,观察函数的周期性.
(5)从图象与x轴的交点情况,观察函数的零点.
　动点轨迹与图象
如图,边长为1的正方形ABCD,射线BP从BA出发,绕着点B顺时针方向旋转至BC,在旋转的过程中,记∠ABP=x(x∈[0,]),BP所经过的在正方形ABCD内的区域(阴影部分)的面积为y=f(x),则函数f(x)的图象是(　　)
解析:法一　当∠ABP∈(0,)时,BP所经过的在正方形ABCD内的区域是一个三角形,并且随着角的逐渐变大,面积变化越来越快,当点P从点D向点C运动时BP所经过的在正方形ABCD内的区域是四边形区域BADP,其面积变化越来越慢,因此结合图象可知选D.
法二　当∠ABP=x(x∈[0,])时,f(x)=tan x,当∠ABP=x(x∈9,))时,f(x)=1-tan(-x)=1-,当∠ABP=时,f(x)=1,故只有D符合.故选D.
求解因动点变化而形成的轨迹的图象问题,既可以根据题意求出函数解析式后判断图象,也可以将动点处于某特殊位置时考查图象的变化特征后作出选择.
[针对训练]
1.(2021·安徽芜湖高三联考)函数f(x)=的部分图象大致为(　　)
解析:函数f(x)的定义域关于原点对称,且f(-x)==-f(x),故函数f(x)是奇函数,则排除C,D;又f(1)=>0,则排除B.故选A.
2.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”,其身流线自若、纹理分明,展现了古代中国精湛的制造技术.科研人员为了测量其容积,以恒定的流速向其内注水,恰好用时30秒注满,设注水过程中,壶中水面高度为h,注水时间为t,则下列选项中最符合h关于t的函数图象的是(　　)
解析:壶的结构:底端与上端细、中间粗,所以在注水速度恒定的情况下,开始水的高度上升得快,中间上升得慢,最后水上升的速度又变快,结合图象可知选项A符合.故选A.
3.已知某个函数的部分图象如图所示,则这个函数的解析式可能是(　　)
A.y=xln x+x-1
B.y=xln x-x+1
C.y=-x+1
D.y=-+x-1
解析:当x=2时,y=xln x+x-1=2ln 2+2-1=2ln 2+1>1,与图象不对应,不满足条件,故A不合适;y=-2+1=ln -1<0,故C不合适;当x=时,函数y=-+x-1=-+-1=3e3+-1>1,故D不合适.故选B.
　函数图象的应用
　利用函数的图象研究函数的性质
对于函数f(x)=x|x|+x+1,下列结论正确的是(　　)
A.f(x)为奇函数
B.f(x)在定义域内是减函数
C.f(x)的图象关于点(0,1)对称
D.f(x)在区间(0,+∞)上存在零点
解析:f(x)=x|x|+x+1=
由题意可知,图象关于点(0,1)对称,因此函数f(x)不是奇函数,在定义域内函数f(x)为增函数,函数f(x)在区间(-∞,0)上存在零点.故选C.
对于已知解析式或易画出其在给定区间上图象的函数,其性质常借助图象研究:
(1)从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值.
(2)从图象的对称性,分析函数的奇偶性.
(3)从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性.
　利用函数图象求解不等式
已知y=f(x)是奇函数,y=g(x)是偶函数,它们的定义域均为[-3,3],且它们在x∈[0,3]上的图象如图所示,则不等式<0的解集是　　　　　　　.
解析:因为f(x)是奇函数,所以由图象知,
当00,
当-2因为g(x)是偶函数,所以由图象可知,
当10,
当-1则不等式<0等价为或
即
或
得0即不等式的解集为{x|0答案:{x|0利用函数图象求解不等式的思路
不等式f(x)　利用函数的图象研究方程的根
已知f(x)=(x+1)·|x-1|,若关于x的方程f(x)=x+m有三个不同的实数解,则实数m的取值范围为　　　　　.
解析:因为f(x)=(x+1)|x-1|=在同一平面直角坐标系内作出y=f(x),y=x+m的图象如图.
当直线与曲线f(x)=1-x2(x<1)相切时,联立方程组得x2+x+m-1=0,
Δ=1-4(m-1)=5-4m=0,
解得m=,方程f(x)=x+m有三个不同的实数解就是直线与抛物线有三个交点,由图可知-1答案:(-1,)
利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标.
[针对训练]
1.已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)是偶函数,单调递增区间是(0,+∞)
B.f(x)是偶函数,单调递减区间是(-∞,1)
C.f(x)是奇函数,单调递减区间是(-1,1)
D.f(x)是奇函数,单调递增区间是(-∞,0)
解析:将函数f(x)=x|x|-2x去掉绝对值得f(x)=画出函数f(x)的图象,如图,观察图象可知,函数f(x)的图象关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且在区间(-1,1)上单调递减.故选C.
2.使log2 (-x)解析:在同一平面直角坐标系内作出y=log2 (-x),y=x+1的图象,知满足条件的x∈(-1,0).
答案:(-1,0)
3.若关于x的方程|x|=a-x只有一个解,则实数a的取值范围是　　　　.
解析:在同一个平面直角坐标系中画出函数y=|x|与y=a-x的图象,如图所示.由图象知当a>0时,方程|x|=a-x只有一个解.
答案:(0,+∞)
函数f(x)=的部分图象大致是(　　)
解析:设g(x)=,因为g(x)=g(-x),所以g(x)的图象关于y轴对称,所以f(x)的图象关于直线x=-1对称,排除C,D;当-1已知函数f(x)=则函数y=f(e-x)的大致图象是(　　)
解析:令g(x)=f(e-x),
则g(x)=
即g(x)=
因此函数g(x)在区间(0,+∞),(-∞,0)上单调递减,排除A,C;
又ee-0>ln(e-0)=1,排除D.故选B.
(2019·全国Ⅱ卷)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)= 2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-,则m的取值范围是(　　)
A.(-∞,] B.(-∞,]
C.(-∞,] D.(-∞,]
解析:因为当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1),
所以当x∈(0,1]时,f(x)∈[-,0].
因为f(x+1)=2f(x),所以当x∈(-1,0]时,x+1∈(0,1],f(x)=f(x+1)=(x+1)x,f(x)∈[-,0];
当x∈(-2,-1]时,x+1∈(-1,0],f(x)=f(x+1)=f(x+2)=(x+2) (x+1),f(x)∈[-,0];…;当x∈(1,2]时,x-1∈(0,1],f(x)=2f(x-1) =2(x-1)(x-2),f(x)∈[-,0];当x∈(2,3]时,x-1∈(1,2],f(x)= 2f(x-1)=4f(x-2)=4(x-2)(x-3),f(x)∈[-1,0];…,所以f(x)的图象如图所示.
若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-,则有2若函数f(x)=的图象如图所示,则实数m的取值范围为(　　)
A.(-∞,-1) B.(-1,2)
C.(0,2) D.(1,2)
解析:由图可知,f(x)的定义域为R,所以m>0.又因为x→+∞时,f(x)>0,所以2-m>0 00时,f(x)==,
所以f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减,所以>1 m>1,
综上,实数m的取值范围是(1,2).故选D.
已知图①中的图象对应的函数为y=f(x),则在下列给出的四个选项中,图②中的图象对应的函数只可能是(　　)
A.y=f(|x|) B.y=|f(x)|
C.y=f(-|x|) D.y=-f(|x|)
解析:由图②知,图象关于y轴对称,对应的函数是偶函数.对于A,当x>0时,y=f(|x|)=f(x),其图象在y轴右侧与图①的相同,不符合,故错误;对于B,当x>0时,对应的函数是y=f(x),显然B错误;对于D,当x<0时,y=-f(-x),其图象在y轴左侧与图①的不相同,不符合,故错误.故选C.
知识点、方法 基础巩固练 综合运用练 应用创新练
函数图象的识别 2,4,5,8 12
函数图象的理解、变换 1,3,6,7 11,13
函数图象的应用 9,10 14 15
1.若函数f(x)=的图象如图所示,则f(-3)等于(　C　)
A.- B.- C.-1 D.-2
解析:由图象可得a·(-1)+b=3,ln(-1+a)=0,解得a=2,b=5,所以f(x)=故f(-3)=2×(-3)+5=-1.故选C.
2.在同一个平面直角坐标系中,函数y=xa,y=ax,y=loga x(a>0,且a≠1)的图象可能是(　B　)
解析:当0当a>1时,函数y=ax,y=logax为定义域上的增函数,函数y=xa为定义域上的增函数且下凸,所以A,B,C,D项不符合.故选B.
3.设x>1,f(x)=,g(x)=1-,h(x)=ln x,三个函数图象如图所示,则f(x),g(x),h(x)的图象依次为图中的(　D　)
A.C1,C2,C3 B.C2,C3,C1
C.C3,C2,C1 D.C1,C3,C2
解析:f(x)=,g(x)=1-,h(x)=ln x,且x>1,当x=5时,f(5)= =2,g(5)=1-=,h(5)=ln 5所以1h(5)>g(5),
结合图象可知,f(x),g(x),h(x)的图象依次为图中的C1,C3,C2.故选D.
4.(2021·广西桂林一模)函数f(x)=(-π≤x≤π)的图象可能为(　D　)
解析:因为f(-x)==-f(x),故函数f(x)是奇函数,排除选项A,B;取00,排除选项C.故选D.
5.(2021·浙江温州高三一模)函数f(x)=(a解析:由函数f(x)===(x-b)++2(b-a),
因此结合选项知函数的图象可由函数y=x+的图象向右平移b个单位长度,再向上平移2(b-a)个单位长度得到,且函数f(x)=的图象与x轴的交点的横坐标是a,且当x>b时,f(x)>0,所以只有A符合.故选A.
6.(2021·陕西省西安中学高三模拟)如图所示是一个无水游泳池,ABCDA′B′C′D′是一个四棱柱,游泳池是由一个长方体切掉一个三棱柱得到的.现在向泳池注水,如果进水速度是均匀的(单位时间内注入的水量不变),水面与AB的交点为M,则AM的高度h随时间t变化的图象可能是(　A　)
解析:由题意可知,当往游泳池内注水时,游泳池内的水呈“直棱柱”状,且直棱柱的高不变,刚开始水面面积逐渐增大,水的高度增长得越来越慢,当水面经过D点后,水面的面积为定值,水的高度匀速增长,故符合条件的函数图象为A选项中的图象.故选A.
7.已知函数f(x)=,则函数y=-f(|x|)的部分图象大致为(　D　)
解析:根据题意,函数f(x)=,
则y=g(x)=-f(|x|)=-,
有g(-x)=g(x),即函数y=-f(|x|)为偶函数,且y≤0,排除A,B,C.
故选D.
8.(2021·浙江卷)已知函数f(x)=x2+,g(x)=sin x,则图象为如图的函数可能是(　D　)
A.y=f(x)+g(x)-
B.y=f(x)-g(x)-
C.y=f(x)g(x)
D.y=
解析:易知函数f(x)=x2+是偶函数,g(x)=sin x是奇函数,给出的图象对应的函数是奇函数.选项A,y=f(x)+g(x)-=x2+sin x为非奇非偶函数,不符合题意,排除A;选项B,y=f(x)-g(x)-=x2-sin x也为非奇非偶函数,不符合题意,排除B;因为当x∈(0,+∞)时,f(x)单调递增,且f(x)>0,当x∈(0,)时,g(x)单调递增,且g(x)>0,所以y=f(x)g(x)在(0,)上单调递增,由图象可知所求函数在(0,)上不单调,排除C.故选D.
9.(2021·青海西宁高三一模)函数f(x)的定义域为[-1,1],图象如图1所示,函数g(x)的定义域为[-1,2],图象如图2所示.若集合A={x| f(g(x))=0},B={x|g(f(x))=0},则A∩B中有　　　　个元素.
解析:若f(g(x))=0,则g(x)=0或-1或1,所以A={-1,0,1,2},
若g(f(x))=0,则f(x)=0或2,所以B={-1,0,1},所以A∩B={-1,0,1}.
答案:3
10.已知函数y=f(x)是定义在区间[-3,3]上的偶函数,它在区间[0,3]上的图象是如图所示的一条线段,则不等式f(x)+f(-x)>x的解集为　　　　　　　.
解析:由题意,函数f(x)过点(0,2),(3,0),则y=f(x)=-x+2,x∈[0,3].
又因为f(x)是偶函数,图象关于y轴对称,
所以f(x)=f(-x),所以2f(x)>x.
又作出函数f(x)在[-3,3]上的图象,如图.
当x∈[-3,0)时,y=2f(x)的图象恒在y=x的上方,
当x∈[0,3]时,令2f(x)=x,得x=,即当x∈[-3,)时,满足2f(x)>x,
故f(x)+f(-x)>x的解集为{x|-3≤x<}.
答案:{x|-3≤x<}
11.(2021·安徽省示范高中高三模拟)将函数f(x)=的图象向左平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的图象大致是(　B　)
解析:g(x)=f(x+1)==.因为g(-x)=-=-g(x),
所以g(x)为奇函数,排除A;令g(x)=0,解得x=0,即g(x)有唯一的零点x=0,排除C;由解析式可知g()=>0,排除D.故选B.
12.函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为(　D　)
解析:设y=f(x)=2x2-e|x|,x∈[-2,2]是偶函数,又f(2)=8-e2∈(0,1),排除A,B;设g(x)=2x2-ex,x≥0,则g′(x)=4x-ex.又g′(0)<0,g′(2)
>0,所以g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点,所以f(x)=2x2-e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点,排除C.故选D.
13.已知定义在区间(0,2)上的函数y=f(x)的图象如图所示,则y= -f(2-x)的图象为(　B　)
解析:法一　由定义在(0,2)上的函数y=f(x)的图象可知f(x) =
当0<2-x<1即1当1≤2-x<2即0所以y=-f(2-x)=根据一次函数的性质,结合选项可知,选项B正确.故选B.
法二　y=f(x)y=f(-x)
y=f(2-x)
y=-f(2-x).故选B.
14.(多选题)设函数f(x)=min{|x-2|,x2,|x+2|},其中min{x,y,z}表示x,y,z中的最小者,则下列说法正确的是(　ABD　)
A.函数f(x)为偶函数
B.当x∈[1,+∞)时,有f(x-2)≤f(x)
C.当x∈[-4,4]时,|f(x)-2|≥f(x)
D.当x∈R时,f(f(x))≤f(x)
解析:作出函数f(x)的图象如图,函数f(x)为偶函数,故A正确;将f(x)的图象向右平移2个单位长度知f(x-2)的图象在[1,+∞)上的部分位于f(x)的图象的下方,则有f(x-2)≤f(x),故B正确;令f(x)=u≥0,则由图象知f(u)≤u,故D正确;
取x=4,则|f(4)-2|=015.已知[x]表示不超过x的最大整数,定义函数f(x)=x-[x].有下列结论:
①函数的图象是一条直线;②函数f(x)的值域为[0,1);③方程f(x)=有无数个解;④函数在R上单调递增.
其中错误的是　　　　(填写所有错误结论的序号).
解析:由题意知,对任意的实数x,若存在整数k,满足k≤x所以f(x)=x-[x]=作出部分图象,如图所示.
由图可知,函数的图象在每个单位区间内是一条线段,不是一条直线,故①错误;
由图可知,y∈[0,1),故函数f(x)的值域为[0,1),故②正确;
由图可知,直线f(x)=与函数的图象有无数个交点,即f(x)=有无数个解,故③正确;
由图可知,函数在每个单位区间内单调递增,但在整个定义域R内不具备单调性,故④错误.
答案:①④

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