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第8节　函数与方程
1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系.
2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在性定理,并能简单应用.
3.了解用二分法求方程的近似解的步骤.
1.函数的零点
(1)函数零点的定义:使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
(2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数解 函数y=f(x)有零点 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.
函数的零点不是一个点,而是一个实数.该实数是函数图象与x轴交点的横坐标.
2.函数零点存在性定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.
函数f(x)在(a,b)上连续且单调,而且f(a)f(b)<0,则f(x)在(a,b)上有且仅有一个零点.
3.二分法
对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
用二分法求方程的近似解应具备两个条件,一是方程对应的函数在零点附近连续不断,二是该零点左、右的函数值异号.
4.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象
与x轴的交点 (x1,0),(x2,0) (x1,0) 无交点
零点个数 2 1 0
1.若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,并且有f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)一定有零点.特别是,当y=f(x)在[a,b]上单调时,它仅有一个零点.
2.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.
1.若函数f(x)=x2+2x+a没有零点,则实数a的取值范围是(　B　)
A.(-∞,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,1] D.[1,+∞)
解析:因为函数f(x)=x2+2x+a没有零点,所以方程x2+2x+a=0无实根,即Δ=4-4a<0,由此可得a>1.故选B.
2.(必修第一册P155习题T2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下的x,f(x)对应值表:
x 1 2 3 4
f(x) 136.136 15.552 -3.92 10.88
x 5 6 7
f(x) -52.488 -232.064 11.238
由表可知函数f(x)存在零点的区间有(　D　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:因为f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)·f(5)<0,f(6)f(7)<0,所以存在零点的区间有4个.故选D.
3.(必修第一册P155习题T4改编)函数f(x)=3x+2x的零点所在的区间是(　C　)
A.(1,2) B.(0,1)
C.(-1,0) D.(-2,-1)
解析:由于函数在R上单调递增,且f(-2)=+2×(-2)=-4<0, f(-1)=+2×(-1)=-2<0,f(0)=1>0,f(1)=3+2>0,f(2)=9+4>0,因此f(-1)f(0)<0,所以函数的零点所在的区间为(-1,0).故选C.
4.函数f(x)=的零点是(　B　)
A.(-1,0),(1,0) B.-1,1
C.(-1,0) D.-1
解析:由题意可得解得x=-1;
解得x=1.综上x=±1.故选B.
函数零点存在性定理的应用
1.函数f(x)=log2x-的零点所在区间为(　C　)
A.(0,) B.(,1)
C.(1,2) D.(2,3)
解析:由题意可知函数在(0,+∞)上单调递增,且连续不间断.
f()=log2-2<0,f(1)=log21-1<0,f(2)=log22->0,
由f(1)·f(2)<0及函数零点存在性定理可得零点所在区间为(1,2).故选C.
2.已知函数h(x)=ex与g(x)=x2-8x,两个函数图象交点的横坐标所在的区间为(　B　)
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
解析:令f(x)=h(x)-g(x)=ex-x2+8x,
则f(-2)=e-2-(-2)2+8×(-2)<0,
f(-1)=e-1-(-1)2+8×(-1)<0,
f(0)=1,f(2)>0,所以f(-1)f(0)<0,又f(x)的图象连续,且在(-1,0)上单调,所以函数在区间(-1,0)内必有零点.即两个函数图象交点的横坐标所在的区间为(-1,0).故选B.
3.已知[x]表示不超过实数x的最大整数,g(x)=[x]为取整函数,若x0是方程ln x=的一个解,则g(x0)等于(　B　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:令f(x)=ln x-,则函数f(x)在定义域上是增函数,且f(2)=ln 2-1<0,f(3)=ln 3->0,故x0∈(2,3),所以g(x0)=[x0]=2.
故选B.
4.已知函数f(x)=log2(x+1)+3x+m的零点在区间(0,1]上,则实数m的取值范围为(　D　)
A.(-4,0)
B.(-∞,-4)∪(0,+∞)
C.(-∞,-4]∪(0,+∞)
D.[-4,0)
解析:因为f(x)=log2(x+1)+3x+m在区间(0,1]上单调递增,函数f(x)=log2(x+1)+3x+m的零点在区间(0,1]上,所以即解得-4≤m<0.故选D.
确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在性定理
首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0,若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.若函数图象连续不间断,则直接使用函数零点存在性定理判断.
(2)求两函数图象交点的横坐标范围及方程的根的范围的方法
两函数y=f(x),y=g(x)的图象,其交点的横坐标是函数F(x)=f(x)-g(x)的零点(同理,方程f(x)-g(x)=0的根就是函数F(x)=f(x)-g(x)的零点),因此可以借助函数零点存在性定理判断函数零点所在区间.
函数零点个数的确定
　解方程法
已知函数f(x)=则函数y=f[f(x)]-1的零点个数为(　　)
A.3 B.2 C.0 D.4
解析:y=f[f(x)]-1=0,即f[f(x)]=1.
当f(x)≤0时,f(x)+1=1,即f(x)=0时,此时log2x=0,计算得出x=1,或者x+1=0,计算得出x=-1.
当f(x)>0时,即log2f(x)=1,当f(x)=2时,若x+1=2,计算得出x=1(舍去),若log2x=2,计算得出x=4.综上所述,函数y=f[f(x)]-1的图象与x轴的交点个数为3.故选A.
　数形结合法
(1)已知f(x)=则函数g(x)=f(x)-e-x的零点个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)已知函数y=f(x)的周期为2,当x∈[-1,1]时,f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图象与函数y=|lg x|的图象的交点共有(　　)
A.10个 B.9个 C.8个 D.7个
解析:(1)函数g(x)=f(x)-e-x的零点,即方程f(x)-e-x=0的解,即f(x)=e-x,即y=f(x)与y=e-x图象的交点的横坐标,因为f(x)=在同一平面直角坐标系中画出函数图象如图所示,
由函数图象可知y=f(x)与y=e-x有两个交点,故函数g(x)=f(x)-e-x有2个零点.故选B.
(2)函数y=f(x)的图象与函数y=|lg x|的图象如图所示,
因为f(9)=f(1)=1>lg 9,f(11)=f(1)=1判断函数y=f(x)零点个数的常用方法
(1)方程转化法:令f(x)=0,则方程实根的个数就是函数零点的个数.
(2)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题.一般地,涉及与函数的性质(周期性、奇偶性等)有关的零点个数判断,指数、对数函数以及三角函数等零点个数判断常用此法.
[针对训练]
1.函数f(x)=ex|ln x|-2的零点个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:函数f(x)=ex|ln x|-2的零点可以转化为方程|ln x|=的根,也就是两函数y=|ln x|与y=的图象的交点个数,在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象如图所示,根据图象可得有两个交点,故原函数有两个零点.故选B.
2.(2021·浙江瑞安中学高三模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,满足f(x+2)=f(-x),且当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),则函数y=f(x)-x3的零点个数是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
解析:由f(x+2)=f(-x)可得f(x)关于直线x=1对称,
由函数f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(x+2)=f(-x)=-f(x)=-[-f(x-2)]=f(x-2),所以f(x)的周期为4.
函数y=f(x)-x3的零点问题即y=f(x)-x3=0的解,即函数y=f(x)和y=x3的图象交点问题,根据f(x)的性质可得满足题意的函数图象如图所示,由图象可得共有3个交点.故选B.
3.函数f(x)=的零点个数为　　　　.
解析:当x>0时,令-1+ln x=0,故x=e,符合;当x<0时,令3x+4=0,故x=-,符合,所以y=f(x)的零点有2个.
答案:2
函数零点的应用
　已知函数零点或方程根的个数,求参数取值范围
已知函数f(x)=(a∈R),若函数f(x)在R上有两个零点,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,1] B.[1,+∞)
C.(0,1) D.(-∞,1]
解析:画出函数f(x)的大致图象如图所示.因为函数f(x)在R上有两个零点,所以f(x)在(-∞,0]和(0,+∞)上各有一个零点.当x≤0时,f(x)有一个零点,需a≤1;当x>0时,f(x)有一个零点,需-a<0,即a>0.综上,01.形如g(x)=f(x)-m的含参数函数零点问题可转化为f(x)=m求解.
2.根据含参数的指数、对数、抽象函数的零点个数求参数的取值范围问题,若能够将参数分离,则常分离参数后求解,若分离参数后的不含参数的函数图象能够作出,则作出函数图象后利用数形结合思想求解.
　求函数的零点的和
函数f(x)=-2sin(πx)(-1≤x≤3)的所有零点之和为(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
解析:法一　令f(x)=-2sin(πx)=0,即=2sin(πx).由于函数y==-是由函数y=-向右平移一个单位长度而得到,因此函数图象关于点(1,0)对称,由于点(1,0)是函数y=2sin(πx)图象的对称点,在同一平面直角坐标系下作出两个函数的图象,如图所示,两个函数的图象有四个交点,根据对称性可知函数f(x)=-2sin(πx)(-1≤x≤3)零点之和为2×2=4.故选B.
法二　令1-x=t,则2sin(πx)=2sin[π(1-t)]=2sin(π-πt)=2sin(πt),
由x=1-t以及-1≤x≤3可知-1≤1-t≤3,所以-2≤t≤2.
如图作出两函数y=,y=2sin(πt)在区间[-2,2]内的图象,可知两函数图象有四个交点,结合两函数均为奇函数可知,t1+t2+t3+t4=0,即(1-x1)+(1-x2)+(1-x3)+(1-x4)=0,因此x1+x2+x3+x4=4.故选B.
求函数的多个零点(或方程的根以及直线y=m与函数图象的多个交点横坐标)的和时,常借助函数的性质(如函数本身关于点的对称、直线的对称等)求和.
　二次函数的零点分布问题
已知方程x2-mx-m+3=0.
(1)若方程不相等的两根都在[-4,0]内,求实数m的取值范围;
(2)若方程不相等的两根都小于5,求实数m的取值范围;
(3)若一根大于1,一根小于1,求实数m的取值范围.
解:令f(x)=x2-mx-m+3,则函数的图象是开口向上的抛物线.
(1)若f(x)=x2-mx-m+3=0的不相等的两根都在[-4,0]内,
则
解得即-≤m<-6.
(2)f(x)=x2-mx-m+3=0的两根都小于5,
则
解得m<-6或2(3)若f(x)=x2-mx-m+3=0的一根大于1,一根小于1,则f(1)=1-2m+3<0,
解得m>2.
若二次方程的根在一个区间上,则要考虑方程判别式Δ≥0,方程对应的二次函数图象的对称轴在该区间内,以及区间端点函数值的符号和开口方向;若二次方程的根在两个区间上,则只需要考虑区间端点的函数值符号和开口方向.
[针对训练]
1.已知函数f(x)=|x-1|·(x+1),若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实数解,则实数k的值为(　　)
A.0 B.1
C.0和-1 D.0和1
解析:f(x)=|x-1|·(x+1)=
画出函数f(x)的图象如图所示,
结合函数图象可知k=1或k=0时,方程f(x)=k有两个不同的实数解.故选D.
2.方程4x2+(m-2)x+m-5=0的一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(0,2)内,则m的取值范围是(　　)
A.(,5) 　B.(-,5)
C.(-∞,)∪(5,+∞) 　D.(-∞,)
解析:因为方程4x2+(m-2)x+m-5=0的一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(0,2)内,所以函数f(x)=4x2+(m-2)x+m-5的两个零点一个在区间(-1,0)内,另一个在区间(0,2)内,
则只需
解得-所以m的取值范围是(-,5).故选B.
3.函数f(x)=-2cos(πx)在区间[-3,5]上所有零点的和等于(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
解析:因为f(x)=-2cos(πx),
令f(x)=0,则=2cos(πx),
则函数的零点就是y=和y=2cos(πx)图象交点的横坐标,
可得y=和y=2cos(πx)的图象都关于直线x=1对称,则交点也关于直线x=1对称,
画出两个函数的图象,如图所示,
观察图象可知,y=和y=2cos(πx)在[-3,5]内有8个交点,即f(x)有8个零点,且关于直线x=1对称,故所有零点的和为4×2=8.故选D.
已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(3-x)=f(x),若f(2)=0,则函数f(x)在区间(0,6)内零点个数的最小值是(　　)
A.5 B.4 C.3 D.2
解析:因为f(x)是定义在R上的偶函数,且f(3-x)=f(x),f(x-3)=f(x),所以f(x)是以3为周期的周期函数,又因为f(x)是定义在R上的偶函数,且f(2)=0,所以f(-2)=0,所以f(5)=f(2)=0,f(1)=f(-2)=0,f(4)=f(1)=0.即在区间(0,6)内,f(2)=0,f(5)=0,f(1)=0,f(4)=0,因此函数f(x)在区间(0,6)内零点个数的最小值是4.故选B.
已知函数f(x)=()x-|log3(x-1)|有两个零点x1,x2,则(　　)
A.x1x2B.x1x2<1
C.x1x2=x1+x2
D.x1x2>x1+x2
解析:在同一平面直角坐标系下,作出函数y=()x与函数y=|log3(x-1)|的图象如图所示,设x1∈(1,2),x2∈(2,+∞),
有()=-log3(x1-1),()=log3(x2-1),
所以()-()=log3(x2-1)+log3(x1-1)=log3[(x2-1)(x1-1)].
因为x1所以有log3[(x2-1)(x1-1)]=log3(x1x2-x1-x2+1)<0,即0所以x1x2已知f(x)=则函数y=2f2(x)-3f(x)+1的零点个数是　　　　.
解析:由2f2(x)-3f(x)+1=0得f(x)=或f(x)=1,
作出函数y=f(x)的图象如图所示,
由图象知y=与y=f(x)的图象有2个交点,y=1与y=f(x)的图象有3个交点.
因此函数y=2f2(x)-3f(x)+1的零点有5个.
答案:5
已知函数f(x)=
若f(x)在区间[m,4]上的值域为[-1,2],则实数m的取值范围为　　　　.
解析:作出函数f(x)的图象如图,当x≤-1时,函数f(x)=log2(-)单调递减,且最小值为f(-1)=-1,则令log2(-)=2,解得x=-8;当x>-1时,函数f(x)=-x2+x+在(-1,2)上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,则最大值为f(2)=2,又f(4)=<2,f(-1)=-1,故所求实数m的取值范围为[-8,-1].
答案:[-8,-1]
若曲线y=log2(2x-m)(x>2)上至少存在一点与直线y=x+1上的一点关于原点对称,则m的取值范围为　　　　.
解析:因为直线y=x+1关于原点对称的直线为y=x-1,依题意方程log2(2x-m)=x-1在(2,+∞)上有解,即m=在(2,+∞)上有解,所以m>2.
又2x-m>0恒成立,则m≤4,
所以实数m的取值范围为(2,4].
答案:(2,4]
知识点、方法 基础巩固练 综合运用练 应用创新练
函数零点(个数)及所在区间 1,2,3,10 15
利用函数零点个数确定参数 的取值(范围) 5,8,9 11,13 16
函数零点的综合问题 4,6,7 12,14
1.函数y=x-4·()x的零点所在的区间是(　B　)
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
解析:y=x-4·()x=x-()x-2为R上的连续单调递增函数,且f(1)=1-2< 0,f(2)=2-1>0,所以f(1)·f(2)<0,故函数y=x-4·()x的零点所在区间为(1,2).故选B.
2.函数f(x)=x2-+1的零点个数为(　B　)
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:令f(x)=0得x2-+1=0,所以x2+1=,再作出函数y=x2+1与y=的图象,如图所示,由于两个函数的图象只有一个交点,所以零点个数为1.故选B.
3.设x∈R,定义符号函数sgn x=则方程x2sgn x=2x-1的解是(　C　)
A.1
B.-1-
C.1或-1-
D.1或-1+或-1-
解析:当x>0时,方程x2sgn x=2x-1可转化为x2=2x-1,化简得(x-1)2=0,解得x=1;
当x=0时,方程x2sgn x=2x-1可转化为0=-1,无解;
当x<0时,方程x2sgn x=2x-1可转化为-x2=2x-1,化简得x2+2x-1=0,解得x=-1+(舍去)或x=-1-.综上,方程x2sgn x=2x-1的解是1或-1-.故选C.
4.已知三个函数f(x)=2x+x,g(x)=x-1,h(x)=log3x+x的零点依次为a,b,c,则(　D　)
A.aC.c解析:令f(x)=2x+x=0,解得x<0,令g(x)=x-1=0,解得x=1,
由h(x)=log3x+x在(0,+∞)上单调递增,得h()=-1+<0,h(1)=1>0,因此h(x)的零点x0∈(,1),则b>c>a.故选D.
5.函数f(x)=有两个不同的零点,则实数a的取值范围是(　C　)
A.(-∞,2] B.(-∞,2)
C.[2,+∞) D.(2,+∞)
解析:由题意得,当x<1时,函数有一个零点x=;
当x≥1时,令2x2-ax=0,得x=,要使函数有两个不同的零点,则只需≥1,解得a≥2.故选C.
6.(多选题)(2021·河北石家庄高三质量检测)记函数f(x)=x+ln x的零点为x0,则关于x0的结论正确的为(　BC　)
A.0C.-x0=0 D.+x0=0
解析:由于函数f(x)=x+ln x在(0,+∞)上单调递增,且f()=-ln 2<0, f(1)=1>0,所以由于x0是函数f(x)=x+ln x的零点,则x0+ln x0=0,即ln x0=-x0,所以x0=,即-x0=0,则+x0=2>0,故A,D选项错误,B,C选项正确.故选BC.
7.(2021·江西省重点中学协作体高三联考)已知函数f(x) =g(x)=x3,则方程f(x)=g(x-1)的所有根的和等于(　C　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:作出函数f(x)=
g(x-1)=(x-1)3的图象如图所示.
函数y=f(x),y=g(x-1)图象都关于点(1,0)对称,并且两个函数图象有三个交点,所以方程f(x)=g(x-1)的所有根的和为3.故选C.
8.(2021·河南天一大联考)若函数f(x)=|ex-a|-1有两个零点,则实数a的取值范围是　　　　.
解析:因为函数f(x)=|ex-a|-1有两个零点,所以|ex-a|-1=0有两个解,则ex=a+1或ex=a-1都有解,所以
解得a>1,故实数a的取值范围是(1,+∞).
答案:(1,+∞)
9.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=2a(a∈R)恰有两个不同的实根,则实数a的取值范围为　　　　　　.
解析:作出函数f(x)的图象如图所示,
因为关于x的方程f(x)=2a恰有两个不同实根,
所以y=2a与函数y=f(x)的图象恰有两个交点,结合图象,
得2a>2或<2a≤1.解得a>1或答案:(,]∪(1,+∞)
10.写出一个满足以下条件的二次函数:存在零点,但是该零点不能利用函数零点存在性定理判断,该函数是　　　　　　　.
解析:由于不能利用零点存在性定理判断的函数零点是不变号零点,因此只要是图象与x轴只有一个交点的二次函数即可满足题意,如f(x)=x2-2x+1等.
答案:f(x)=x2-2x+1(答案不唯一,只要是二次函数图象与x轴相切
即可)
11.(2021·福建龙岩六县一中高三联考)若函数f(x)= (a∈R)在R上没有零点,则a的取值范围是(　B　)
A.(0,+∞) B.(1,+∞)∪{0}
C.(-∞,0] D.(-∞,1]
解析:假设函数f(x)=(a∈R),存在零点,则当x≤0时,由y=2x-a有零点,则a=2x(x≤0),即00时,由y=-3x-a有零点可知a<0,因此函数f(x)=(a∈R)存在零点的条件是a≤1,且a≠0.因此当函数f(x)=(a∈R)在R上没有零点时,a∈(1,+∞)∪{0}.故选B.
12.(2021·内蒙古赤峰二中等校联考)若直角坐标平面内A,B两点满足:①点A,B都在函数f(x)的图象上;②点A,B关于原点对称,则点对(A,B)是函数f(x)的一个“姊妹点对”.点对(A,B)与(B,A)可看作是同一个“姊妹点对”,已知函数f(x)=则f(x)的“姊妹点对”有(　C　)
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
解析:根据题意,“姊妹点对”满足两点:都在函数图象上,且关于坐标原点对称.
因此“姊妹点对”的个数即为函数y=x2+2x(x<0)的图象关于原点对称的图象与函数y=(x≥0)的图象交点的个数,当x=1时,0<<1,作出满足题意的图象如图所示,观察图象可得它们有2个交点.故选C.
13.(多选题)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=对称,且当≤x≤π时,f(x)=sin x,则当函数g(x)=f(x)-a在[-,π]有零点时,关于其零点之和,下列阐述正确的是(　BCD　)
A.零点之和可以为
B.零点之和可以为
C.零点之和可以为
D.零点之和可以为π
解析:由题意知,函数f(x)的图象关于直线x=对称,
又因为当≤x≤π时,f(x)=sin x,所以作出函数的图象如图所示,函数g(x)=f(x)-a在[-,π]内有零点,
即函数y=f(x)的图象与函数y=a的图象在[-,π]内有交点,结合图象可知,当0≤a<或a=1时,有两个零点,零点之和为;
当a=时,有三个零点,零点之和为;
当14.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k(k∈R)恰有三个互不相同的实根x1,x2,x3,则x1·x2·x3的取值范围为　 .
解析:函数f(x)=的图象如图所示.
由图可得x1=-k,x2·x3=k,故x1·x2·x3=-k2,k∈(0,3),所以x1·x2·x3∈(-3,0).
答案:(-3,0)
15.(2021·北京石景山区高三期末)已知函数f(x)=则函数y=f(x)-2|x|的零点个数是(　C　)
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:令f(x)-2|x|=0,得f(x)=2|x|,则函数y=f(x)-2|x|的零点个数等价于函数f(x)的图象与函数y=2|x|的图象的交点个数.
因为y=2|x|=
作出函数f(x)与函数y=2|x|的图象如图所示.
由图象可知两个函数的图象的交点个数为2,故函数y=f(x)-2|x|的零点个数为2.故选C.
16.(2021·辽宁抚顺一中高三联考)已知函数f(x)=恰有两个零点,则实数λ的取值范围为　　　　　　　　.
解析:当x≤λ时,令x2-2x-3=0,得x=-1或x=3;
当x>λ时,令ln(x-1)=0,得x=2,
若f(x)的两个零点是-1和3,则
解得λ≥3,
若f(x)的两个零点是-1和2,则
解得-1≤λ<2,
若f(x)的两个零点是2和3,则
此不等式组无解.
综上所述,λ的取值范围为-1≤λ<2或λ≥3.
答案:[-1,2)∪[3,+∞)

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