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第9节　函数模型及其应用
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.
2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实意义.
1.常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
指数函数型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
对数函数型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
幂函数型 f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0)
2.三种函数模型性质的比较
　　　函数 性质　　　 y=ax(a>1) y=logax (a>1) y=xn (n>0)
在(0,+∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大 逐渐表现为 与y轴平行 随x的增大 逐渐表现为 与x轴平行 随n值变化 而各有 不同
值的比较 存在一个x0,当x>x0时,有logax1.“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长速度缓慢.
2.函数f(x)=x+(a>0)的性质及最值:
(1)该函数在(-∞,-)和(,+∞)上单调递增,在[-,0)和(0,]上单调递减.
(2)当x>0时,x= 时取最小值2,
当x<0时,x=- 时取最大值-2.
1.(必修第一册P156习题T14改编)在一次数学实验中,某同学运用图形计算器采集到如下一组数据:
x -2 -1 1 2 3
y 0.24 0.51 2.02 3.98 8.02
在以下四个函数模型(a,b为待定系数)中,最能反映x,y函数关系的是(　D　)
A.y=a+bx B.y=a+
C.y=a+logbx D.y=a+bx
解析:在平面直角坐标系中画出(x,y)表示的点,根据点的特征可知,当自变量每增加1时,y的增加是不相同的,所以不是线性增加,排除A;由图象不具有反比例函数特征,排除B;因为自变量有负值,排除C; 当自变量增加到3时,y增加的很多,所以符合指数函数的增加特征,D正确.故选D.
2.用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的,要使存留的污垢不超过1%,则至少要洗的次数是(参考数据lg 2≈0.301 0)(　B　)
A.3 B.4 C.5 D.6
解析:设至少要洗x次,则(1-)x≤,所以x≥≈3.322,因此至少需洗4次.故选B.
3.人们通常以分贝(符号dB)为单位来表示声音强度的等级,其中0 dB是人能听到的等级最低的声音.一般地,如果强度为x的声音对应的等级为f(x) dB,则有f(x)=10lg ,则90 dB的声音与60 dB的声音强度的比值为(　B　)
A.100 B.1 000 C. D.
解析:设90 dB的声音与60 dB的声音强度分别为x1,x2,则f(x1)=90,即10lg =90,解得x1=1.由f(x2)=60,即10lg =60,解得x2=1.因此所求强度之比为==1 000.故选B.
4.某单位为鼓励职工节约用水,作出了以下规定:每位职工每月用水不超过10 m3的,按每立方米m元收费;用水超过10 m3的,超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16 m元,则该职工这个月实际用水为
　　　　m3.
解析:设该职工用水x m3时,缴纳的水费为y元,由题意得y=
则10m+(x-10)·2m=16m,解得x=13.
答案:13
5.某桶装水经营部每天的固定成本为420元,每桶水的进价为5元,日均销售量y(桶)与销售单价x(元)的关系式为y=-30x+450,则该桶装水经营部要使利润最大,销售单价应定为　　　　元.
解析:由题意得该桶装水经营部每日利润为W(x)=(-30x+450)(x-5)-420,整理得W(x)=-30x2+600x-2 670=-30(x2-20x)-2 670,则当x=10时,利润最大.
答案:10
利用图象刻画变化过程
1.设甲、乙两地的距离为a(a>0),某人骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟,在乙地休息10分钟后,他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟,则此人从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(　D　)
解析:y为此人从出发到返回原地所经过的路程,而不是位移,故排除A,C.又因为他在乙地休息10分钟,故排除B.故选D.
2.某部门为尽快稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是(　B　)
解析:由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得,曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大,故函数的图象应一直是下凸的.故选B.
3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的路程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述正确的是(　D　)
A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5 km
B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C.甲车以80 km/h的速度行驶1 h,消耗10 L汽油
D.某城市机动车最高限速80 km/h,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
解析:根据图象知消耗1 L汽油,乙车最多行驶路程大于5 km,故选项A错;以相同速度行驶时,甲车燃油效率最高,因此以相同速度行驶相同路程时,甲车消耗汽油最少,故选项B错;甲车以80 km/h 的速度行驶时燃油效率为10 km/L,行驶1 h,路程为80 km,消耗8 L汽油,故选项C错;最高限速80 km/h,丙车的燃油效率比乙车高,因此相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,故选项D对.故选D.
判断函数图象与实际问题
变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象.
(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.
已知函数模型求解实际问题
教室通风的目的是通过空气的流动,排出室内的污浊空气和致病微生物,降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度,送进室外的新鲜空气.按照国家标准,教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%.经测定,刚下课时,空气中含有0.2%的二氧化碳,若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%,且y随时间t(单位:分钟)的变化规律可以用函数y=0.05+λ(λ∈R)描述,则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为(参考数据:ln 3≈1.1)(　　)
A.10分钟 B.14分钟
C.15分钟 D.20分钟
解析:由题意知,当t=0时,y=0.2,所以0.05+λe0=0.2,即λ=0.15,所以y=0.05+0.15≤0.1,解得≤,所以-≤-ln 3,t≥12ln 3≈13.2,故该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为14分钟.故选B.
已知函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型,明确哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.
(3)利用该模型求解实际问题.
[针对训练]
(2021·山东潍坊三模)某地区为落实乡村振兴战略,帮助农民脱贫致富,引入一种特色农产品种植,该农产品上市时间仅能维持5个月,预测上市初期和后期会因产品供应不足使价格持续上涨,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.经研究其价格模拟函数为f(t)=t(t-3)2+n(0≤t≤5,其中t=0表示5月1日,t=1表示6月1日,以此类推),若f(2)=6,为保护农户的经济效益,当地政府计划在价格下跌时积极拓宽外销,请你预测该农产品价格下跌的月份为(　　)
A.5月和6月 B.6月和7月
C.7月和8月 D.8月和9月
解析:因为f(t)=t(t-3)2+n,f(2)=6,
所以f(2)=2+n=6,所以n=4,
所以f(t)=t(t-3)2+4.
法一　结合选项以及t=0,1,2,3,4分别代表5,6,7,8,9月可知
f(0)=4,f(1)=(1-3)2+4=8,f(2)=2×(2-3)2+4=6,f(3)=3×(3-3)2+4=4,f(4)=4×(4-3)2+4=8,f(5)=5×(5-3)2+4=24,因此t=1,2时价格下跌,即该农产品价格下跌的月份为6月和7月.
法二　由f(t)=t(t-3)2+4可知f′(t)=(t-3)2+2t(t-3)=3(t-1)(t-3).令f′(t)<0得1因为t=1表示6月1日,t=2表示7月1日,t=3表示8月1日,所以该农产品价格下跌的月份为6月和7月.故选B.
构建函数模型解决实际问题
　构建二次函数、分段函数模型
某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共14吨,如果在市场上直接销售,每吨可获利0.2万元;如果进行精加工后销售,每吨可获利0.6万元,但需另外支付一定的加工费,总的加工费P(万元)与精加工的蔬菜量x(吨)有如下关系:
P=设该农业合作社将x(吨)蔬菜进行精加工后销售,其余在市场上直接销售,所得总利润(扣除加工费)为y(万元).
(1)写出y关于x的函数表达式;
(2)当精加工蔬菜多少吨时,总利润最大,并求出最大利润.
解:(1)由题意知,当0≤x≤8时,
y=0.6x+0.2(14-x)-x2=-x2+x+,
当8y=0.6x+0.2(14-x)-=x+2,
即y=
(2)当0≤x≤8时,y=-x2+x+=-(x-4)2+,
所以当x=4时,ymax=.
当8所以当x=14时,ymax=.
因为>,所以当x=4时,ymax=.
所以当精加工蔬菜4吨时,总利润最大,最大利润为万元.
1.实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,因此需要构建分段函数模型.
2.分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者).
3.二次函数是常用的函数模型,建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值.解决实际中的优化问题时,一定要分析自变量的取值范围.利用配方法求最值时,一定要注意对称轴与给定区间的关系:若对称轴在给定的区间内,可在对称轴处取最值,在离对称轴较远的端点处取另一最值;若对称轴不在给定的区间内,最值都在区间的端点处取得.
　构建指数函数模型
(2021·河北“五个一”名校高三联考)某大学2013年在校本科生有4 500人,研究生有500人,预计在今后若干年内,该学校本科生每年比上一年增长12.5%,研究生每年比上一年增长50%,则从　　　　年开始该校研究生的人数占该校本科生和研究生总人数的比例首次达到50%以上.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
解析:设n年后该校研究生的人数占该校本科生和研究生总人数的比例首次达到50%以上,即n年后开始研究生人数超越本科生人数,所以500×(1+50%)n≥4 500×(1+12.5%)n,
即()n≥9×()n,所以22n≥3n+2,所以n≥≈7.639 7,
故n取8,即从2013+8=2021年开始该校研究生的人数占该校本科生和研究生总人数的比例首次达到50%以上.
答案:2021
增长率问题,在实际问题中常可以用指数函数模型y=N(1+p)x(其中N是基础数,p为增长率,x为时间)或幂函数模型y=a(1+x)n(其中a为基础数,x为增长率,n为时间)的形式表示.求解时要注意指数、对数式的互化以及指数、对数函数的单调性的应用.
　构建对数函数模型
(2021·广东高三联考)核酸检测分析是用荧光定量PCR法,通过化学物质的荧光信号,对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时检测,在PCR扩增的指数时期,荧光信号强度达到阈值时,DNA的数量Xn与扩增次数n满足:lg Xn=nlg(1+p)+lg X0,其中p为扩增效率,X0为DNA的初始数量.已知某被测标本DNA扩增5次后,数量变为原来的10倍,那么该标本的扩增效率p约为(参考数据:100.2≈1.585,10-0.2≈0.631)(　　)
A.0.369 B.0.415 C.0.585 D.0.631
解析:因为lg Xn=nlg(1+p)+lg X0,所以lg=nlg(1+p),
由题意得n=5时,=10,代入上式得lg 10=5lg(1+p),所以lg(1+p)=,
即1+p=1=100.2,整理可得p=100.2-1≈1.585-1=0.585.故选C.
涉及与对数函数有关的函数模型问题,应结合函数解析式以及对数函数的运算性质以及对数函数的性质求解.求解时注意指数式与对数式的互化,以及实际问题中的条件限制.
　构建y=x+(a>0)函数模型
运货卡车以x km/h的速度匀速行驶300 km,按交通法规限制50≤x≤100(单位:km/h),假设汽油价格是每升6元,汽车每小时耗油(4+)L,司机的工资是每小时46元.则这次行车的总费用的最低值是　　　元.
解析:行车所用时间t=(h),根据汽油的价格是每升6元,而汽车每小时耗油(4+)L,司机的工资是每小时46元,
可得行车总费用为y=×6×(4+)+=+(50≤x≤100).
y=+≥2·=600,当且仅当=,即x=70时,等号成立.所以当x=70时,这次行车的总费用y最低,最低费用为600元.
答案:600
1.解决实际问题时一般可以直接建立f(x)=ax+的模型,有时可以将所列函数关系式转化为f(x)=ax+的形式.
2.利用模型f(x)=ax+求解最值时,要注意自变量的取值范围及取得最值时等号成立的条件.
[针对训练]
1.(2021·百校联盟高三联考)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q.科学研究发现v与log3成正比,且当v=1 m/s 时,鲑鱼的耗氧量的单位数为900.现有如下说法:
①v与log3的正比例系数为k=;
②当v=2 m/s时,鲑鱼的耗氧量的单位数为2 700;
③当鲑鱼的耗氧量的单位数为100时,游速v= m/s.
则正确说法的个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:依题意,设v=k log3,则有1=k log3,解得k=,故①正确;
当v=2 m/s时,有2=log3,解得Q=8 100,故②错误;
当Q=100时,游速v=log3=0 m/s,故③错误.故选B.
2.某企业计划在2022年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析,生产此款手机全年需投入固定成本250万元,每生产x(千部)手机,需另投入成本R(x)万元,且R(x)=
由市场调研知,每部手机售价0.7万元,且全年内生产的手机当年能全部销售完.
(1)求出2022年的利润W(x)(万元)关于年产量x(千部)的函数关系式(利润=销售额-成本);
(2)2022年年产量为多少千部时,企业所获利润最大 最大利润是多少
解:(1)当0当x≥40时,W(x)=700x-(701x+-9 450)-250=-(x+)+9 200,
所以W(x)=
(2)若0当x=30时,W(x)max=8 750万元,
若x≥40,W(x)=-(x+)+9 200≤9 200-2=9 000,
当且仅当x=时,即x=100时,W(x)max=9 000万元.
所以2022年年产量为100千部时,企业所获利润最大,最大利润是9 000万元.
“绿水青山就是金山银山”,党的十九大以来,城乡深化河道生态环境治理,科学治污.某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米,每天的进出水量为k立方米.已知污染源以每天r个单位污染河水,某一时段t(单位:天)河水污染质量指数为m(t)(每立方米河水所含的污染物)满足m(t)=+(m0-)(m0为初始质量指数),经测算,河道蓄水量是每天进出水量的80倍.若从现在开始关闭污染源,要使河水的污染水平下降到初始时的10%,需要的时间大约是(参考数据:ln 10≈2.30)(　　)
A.1个月 B.3个月 C.半年 D.1年
解析:因为m(t)=m0=0.1m0,所以=0.1.
所以-t=ln 0.1≈-2.30,所以t≈184(天).
所以要使河水的污染水平下降到初始时的10%,需要的时间大约是半年.故选C.
知识点、方法 基础巩固练 综合运用练 应用创新练
用函数(图象)刻画实际问题 1,2,6 13
二次函数、分段函数模型 5,7 14
指数、对数函数模型 3,8,9 12
函数模型的选择与应用 4,10 11 15
1.“道高一尺,魔高一丈”出自于《西游记》第五十回“道高一尺魔高丈,性乱情昏错认家.可恨法身无坐位,当时行动念头差”,用来比喻取得一定成就后遇到的障碍会更大或正义终将战胜邪恶,若用下列函数中的一个来表示这句话的含义,则最合适的是(　A　)
A.y=10x,x>0 B.y=x,x>0
C.y=x+10,x>0 D.y=x+9,x>0
解析:因为一丈等于十尺,所以“道高一尺,魔高一丈”更适合用y=10x,x>0来表示.故选A.
2.有一个盛水的容器,由悬在它的上空的一条水管均匀地注水,最后把容器注满,在注水过程中时刻t,水面高度y的关系如图所示,图中PQ为一线段,与之对应的容器的形状是(　B　)
解析:由函数图象可判断出该容器必定有不同规则形状,并且一开始先慢后快,所以下边粗,上边细,再由PQ为线段可知是均匀变化的,容器上端必是直的一段,故排除A,C,D.故选B.
3.(2021·内蒙古包头高三二模)地震的震级越大,以地震波的形式从震源释放出的能量就越大,震级M与所释放的能量E的关系如下:E= 104.8+1.5M(J)(取≈3.16),那么8级地震释放的能量是7级地震释放的能量的(　B　)
A.30.6倍 B.31.6倍
C.3.16倍 D.3.06倍
解析:设7级地震释放的能量为E1,8级地震释放的能量为E2,
所以E1=104.8+1.5×7=1015.3(J),
E2=104.8+1.5×8=1016.8(J),
所以=≈31.6.
即8级地震释放的能量是7级地震释放的能量的31.6倍.故选B.
4.(2021·福建师大附中高三模拟)视力检测结果有两种记录方式,分别是小数记录与五分记录,其部分数据如表所示.
小数记录x 0.1 0.12 0.15 … 1 1.2 1.5 2.0
五分记录y 4.0 4.1 4.2 … 5 5.1 5.2 5.3
现有如下函数模型:①y=5+lg x,②y=5+lg,x表示小数记录数据,y表示五分记录数据,请选择最合适的模型解决如下问题:某同学检测视力时,医生说他的视力为4.7,则该同学的小数记录数据为(参考数据:100.3≈2,5-0.22≈0.7,10-0.1≈0.8)(　B　)
A.0.3 B.0.5
C.0.7 D.0.8
解析:由表格中的数据可知,函数单调递增,故合适的函数模型为y=5+lg x,
令y=5+lg x=4.7,解得x=10-0.3≈0.5.故选B.
5.(2021·四川高三联考)单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”,与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系N(v)=,其中d0为安全距离,v为车速(单位:m/s).当安全距离d0取30 m时,该道路一小时“道路容量”的最大值约为(　B　)
A.135 B.149 C.165 D.195
解析:由题意可知,N(v)==≤≈149.故选B.
6.(多选题)某单位准备印制一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用分为制版费和印刷费两部分,先收取固定的制版费,再按印刷数量收取印刷费,乙厂直接按印刷数量收取印刷费,甲厂的总费用y1(千元)、乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示,则下列说法中正确的是(　ABD　)
A.甲厂的制版费为1千元,印刷费平均每个为0.5元
B.甲厂的总费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y1=0.5x+1
C.当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为1元
D.当印制证书数量超过2千个时,乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为y2=x+
解析:由题图知甲厂制版费为1千元,印刷费平均每个为0.5元,故A正确;
设甲厂的费用y1与证书数量x满足的函数关系式为y=kx+b,
代入点(0,1),(6,4),可得
解得k=0.5,b=1.
所以甲厂的费用y1与证书数量x满足的函数关系式为y1=0.5x+1,故B正确;
当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为3÷2=
1.5元,故C不正确;
设当x>2时,设y2与x之间的函数关系式为y=mx+n,
代入点(2,3),(6,4),可得
解得m=,n=,
所以当x>2时,y2与x之间的函数关系式为y2=x+,故D正确.故选ABD.
7.(多选题)几名大学生创业,经过调研,他们选择了一种技术产品,生产此产品获得的月利润p(x)(单位:万元)与每月投入的研发经费x(单位:万元)有关:当每月投入的研发经费不高于16万元时,p(x)=-x2+6x-20,研发利润率y=×100%.他们现在已投入研发经费9万元,则下列判断正确的是(　BC　)
A.投入9万元研发经费可以获得最大利润率
B.要再投入6万元研发经费才能获得最大利润
C.要想获得最大利润率,还需要再投入研发经费1万元
D.要想获得最大利润,还需要再投入研发经费1万元
解析:当x≤16时,p(x)=-x2+6x-20=-(x-15)2+25,
故当x=15时,获得最大利润为p(15)=25,B正确;
由研发利润率y=×100%=-x+6-=-(x+)+6≤-2+6=2,
当且仅当x=,即x=10时,研发利润率取得最大值2,C正确.故选BC.
8.(2021·山东泰安三模)某化工厂对产生的废气进行过滤后排放,过滤过程中废气的污染物含量P(单位:mg/L)与时间(单位:h)间的关系为:P=P0e-k t,其中P0,k是正常数.如果在前5 h消除了10%的污染物,则污染物减少50%需要花费的时间为(精确到1 h,参考数据:log0.90.5≈6.579)(　D　)
A.30 B.31 C.32 D.33
解析:由题意当t=0时,P=P0,当t=5时,P=(1-10%)P0=0.9P0,
所以0.9P0=P0e-5k,解得k=-ln 0.9,所以P=P0·0..
当P=50%P0时,有P0·0.=50%P0=0.5P0,即0.=0.5,解得t= 5log0.90.5≈5×6.579≈33.故选D.
9.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全,根据国家有关规定:100 mL血液中酒精含量低于20 mg的驾驶员可以驾驶汽车,酒精含量达到20～79 mg的驾驶员即为酒后驾车,80 mg及以上认定为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上升到100 mg/100 mL.如果在停止喝酒以后,他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少,那么他至少经过　　　　个小时才能驾驶汽车(答案填整数).(参考数据:lg 0.2≈-0.7,lg 0.3≈-0.5,lg 0.7≈-0.15,lg 0.8≈-0.1)
解析:因为1小时后血液中酒精含量为(1-20%)mg/mL,所以x小时后血液中酒精含量为(1-20%)xmg/mL,由题意可知100 mL血液中酒精含量低于20 mg的驾驶员可以驾驶汽车,所以(1-20%)x<0.2,0.8x<0.2,两边取对数lg 0.8x≈7,所以他至少经过7个小时才能驾驶汽车.
答案:7
10.2020年是全国决胜脱贫攻坚之年,“一帮一扶”工作组进驻某山区帮助农民脱贫,发现该山区盛产苹果、梨子、猕猴桃,工作人员在线上进行直播带货活动,促销方案如下:若一次购买水果总价不低于
200元,则顾客少付款m元,每次订单付款成功后,农民会收到支付款的80%,在促销活动中,为了使得农民收入不低于总价的70%,则m的最大值为　　　　.
解析:设每笔订单促销前的总价为x元,
根据题意有(x-m)×80%≥x×70%,即m≤恒成立,
由题意得x≥200,所以≥=25,所以m≤25,即m的最大值为25.
答案:25
11.(2021·福建福州高三二模)经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q(单位:L)与速度v(单位:km/h)(40≤v≤120)的数据如表所示.
v 40 60 90 100 120
Q 5.2 6 8.325 10 15.6
为描述Q与v的关系,现有以下三种模型供选择:Q(v)=0.04v+3.6, Q(v)=0.5v+a,Q(v)=0.000 025v3-0.004v2+0.25v.选出最符合实际的函数模型,解决下列问题:某高速公路共有三个车道,分别是外侧车道、中间车道、内侧车道,车速范围分别是[60,90),[90,110),[110,120] (单位:km/h).为使百千米耗油量W(单位:L)最小,该型号汽车行驶的车道与速度为(　A　)
A.在外侧车道以80 km/h行驶
B.在中间车道以90 km/h行驶
C.在中间车道以95 km/h行驶
D.在内侧车道以115 km/h行驶
解析:由题意,符合的函数模型需要满足在40≤v≤120,v都可取,且由表可知,Q随v的增大而增大,则该函数模型应为增函数,因此Q(v)=0.5v+a不符合;
若选择Q(v)=0.04v+3.6,则Q(90)=0.04×90+3.6=7.2,Q(100)=0.04 ×100+3.6=7.6,Q(120)=0.04×120+3.6=8.4,与实际数据相差较大,所以Q(v)=0.04v+3.6不符合;
若选择Q(v)=0.000 025v3-0.004v2+0.25v,则Q(40)=5.2,Q(60)=6, Q(90)=8.325,Q(100)=10,Q(120)=15.6,所以Q(v)=0.000 025v3- 0.004v2+0.25v最符合实际.
因为W=·Q=0.002 5·v2-0.4v+25=0.002 5(v-80)2+9,当v=80时,W取得最小值为9.故选A.
12.(2021·百校联盟高三模拟)为了测量某种海鱼死亡后新鲜度的变化.研究人员特意通过检测该海鱼死亡后体内某微量元素的含量来决定鱼的新鲜度.若海鱼的新鲜度h与其死亡后时间t(单位:小时)满足的函数关系式为h(t)=1-m·at.若该种海鱼死亡后2小时,海鱼的新鲜度为80%,死亡后3小时,海鱼的新鲜度为60%,那么若不及时处理,这种海鱼从死亡后大约经过多少小时后,海鱼的新鲜度变为40%(参考数据:ln 2≈0.7,ln 3≈1.1)(　B　)
A.3.3 B.3.6 C.4 D.4.3
解析:由题意可得
解得a=2,m=0.05,所以h(t)=1-0.05×2t.
令h(t)=1-0.05×2t=0.4,可得2t=12,
两边同时取对数,故t==≈3.6(小时).故选B.
13.(多选题)某食品的保鲜时间t(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系t=且该食品在4 ℃的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品,并将其遗放在室外,且此日的室外温度随时刻的变化如图所示,则下列结论正确的是(　AD　)
A.该食品在6 ℃时的保鲜时间是8小时
B.当x∈[-6,6]时,该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减少
C.到了此日13时,甲所购买的食品还在保鲜时间内
D.到了此日14时,甲所购买的食品已经过了保鲜时间
解析:因为食品的保鲜时间t(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系t=且该食品在4 ℃时的保鲜时间是16小时,所以24k+6=16,即4k+6=4,解得k=-,所以t=当x=
6时,t=8,A项中,该食品在6℃时的保鲜时间是8小时,故正确;B项中,当x∈[-6,0]时,保鲜时间恒为64小时,当x∈(0,6]时,该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减少,故错误;C项中,到了此日11时,温度为11 ℃,此时保鲜时间不超过2小时,故到 13时,甲所购买的食品不在保鲜时间内,故错误;D项中,到了此日14时,甲所购买的食品已经过了保鲜时间,故正确.故选AD.
14.(2021·山东滨州三模)某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度,他认为成年男子身高在160 cm及其以下不算高个子,其高个子系数k应为0;身高在190 cm及其以上的是理所当然的高个子,其高个子系数k应为1,请给出一个符合该同学想法、合理的成年男子高个子系数k关于身高x(cm)的函数关系式　.
解析:由题意函数k(x)是[160,190]上的增函数,设k(x)=ax+b(a>0),x∈[160,190],
由解得
所以k(x)=x-,
所以k(x)=160答案:k(x)=1600),y=ax2+b(a>0)等等即可)
15.环保生活,低碳出行,电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车在一段平坦的国道进行测试,国道限速80 km/h(不含
80 km/h).经多次测试得到,该汽车每小时耗电量M(单位:Wh)与速度v(单位:km/h)的数据如表所示.
v 0 10 40 60
M 0 1 325 4 400 7 200
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系,现有以下三种函数模型供选择:
M(v)=v3+bv2+cv,M(v)=1 000()v+a,M(v)=300logav+b.
(1)当0≤v<80时,请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型,并求出相应的函数解析式;
(2)现有一辆同型号汽车从A地驶到B地,前一段是200 km的国道,后一段是50 km的高速路,若已知高速路上该汽车每小时耗电量N(单位:Wh)与速度的关系是:N(v)=2v2-10v+200(80≤v≤120),则如何行驶才能使得总耗电量最少,最少为多少
解:(1)对于M(v)=300 logav+b,当v=0时,它无意义,所以不符合题意;
对于M(v)=1 000()v+a,它显然是个减函数,这与M(40)故选择M(v)=v3+bv2+cv.
根据提供的数据,有
解得
当0≤v<80时,M(v)=v3-2v2+150v.
(2)国道路段长为200 km,所用时间为 h,
所耗电量为f(v)=·M(v)=·(0.025v3-2v2+150v)=5×(v2-80v+
6 000)=5×(v-40)2+22 000,
因为0≤v<80,当v=40时,f(v)min=22 000 Wh;
高速路段长为50 km,所用时间为 h,
所耗电量为g(v)=·N(v)=·(2v2-10v+200)=100×(v+-5)
=100×(v+)-500.
由对勾函数的性质可知,g(v)在[80,120]上单调递增,
所以g(v)min=g(80)=100×(80+)-500=7 625 Wh.
故当这辆车在国道上的行驶速度为40 km/h,在高速路上的行驶速度为80 km/h时,该车从A地到B地的总耗电量最少,最少为22 000+
7 625=29 625 Wh.

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