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山东省临沂市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
一．分式的加减法
1．（2022 临沂）计算：
（1）﹣23÷×（﹣）；
（2）﹣．
二．二次根式的混合运算
2．（2021 临沂）计算|﹣|+（﹣）2﹣（+）2．
3．（2020 临沂）计算：+×﹣sin60°．
三．反比例函数的性质
4．（2021 临沂）已知函数y＝
（1）画出函数图象；
列表：
x … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 …
y … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 .…
描点，连线得到函数图象：
（2）该函数是否有最大或最小值？若有，求出其值，若没有，简述理由；
（3）设（x1，y1），（x2，y2）是函数图象上的点，若x1+x2＝0，证明：y1+y2＝0．
四．反比例函数的应用
5．（2022 临沂）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：
第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点O，并用细麻绳固定，在支点O左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；
第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣．
（1）图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，OB的长度随之变化．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm．写出y关于x的函数解析式；若0＜y＜48，求x的取值范围．
（2）调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点O右侧的B处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm，写出y关于x的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象．
x/kg …… 0.25 0.5 1 2 4 ……
y/cm …… 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ……
6．（2020 临沂）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．当R＝4Ω时，I＝9A．
（1）写出I关于R的函数解析式；
（2）完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
R/Ω … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 …
I/A … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 …
（3）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围内？
五．待定系数法求二次函数解析式
7．（2020 临沂）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2（a≠0）．
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
（3）设点P（m，y1），Q（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．
六．二次函数的应用
8．（2022 临沂）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：
如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，OA＝65m，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB＝100m．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离y（m）与水平方向移动的距离x（m）具备二次函数关系，其解析式为y＝﹣x2+bx+c．
（1）求b，c的值；
（2）进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t＝0，x＝0；空中飞行5s后着陆．
①求x关于t的函数解析式；
②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？
9．（2021 临沂）公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．
（1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？
（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？
七．四边形综合题
10．（2022 临沂）已知△ABC是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）在线段AC上任取一点P（端点除外），连接PD．将线段PD绕点P逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点P在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？说明理由．
（3）在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．
11．（2021 临沂）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC．
（1）求证：AG＝GH；
（2）若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离；
（3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，∠BHC的大小是否变化？为什么？
12．（2020 临沂）如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，点E是边AB上任意一点（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N．
（1）求证：AF＝EF；
（2）求MN+NG的最小值；
（3）当点E在AB上运动时，∠CEF的大小是否变化？为什么？
八．圆周角定理
13．（2021 临沂）如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点E．
求证：（1）AD∥BC；
（2）四边形BCDE为菱形．
九．切线的性质
14．（2022 临沂）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，直线AO交⊙O于C，D两点，连接BC，BD．过圆心O作BC的平行线，分别交AB的延长线、⊙O及BD于点E，F，G．
（1）求证：∠D＝∠E；
（2）若F是OE的中点，⊙O的半径为3，求阴影部分的面积．
一十．切线的判定与性质
15．（2020 临沂）已知⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2．以O1为圆心，以r1+r2的长为半径画弧，再以线段O1O2的中点P为圆心，以O1O2的长为半径画弧，两弧交于点A，连接O1A，O2A，O1A交⊙O1于点B，过点B作O2A的平行线BC交O1O2于点C．
（1）求证：BC是⊙O2的切线；
（2）若r1＝2，r2＝1，O1O2＝6，求阴影部分的面积．
一十一．解直角三角形的应用
16．（2021 临沂）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM＝3m，CO＝5m，DO＝3m，∠AOD＝70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童（结果保留整数）？
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
一十二．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
17．（2020 临沂）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α要满足60°≤α≤75°，现有一架长5.5m的梯子．
（1）使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果保留小数点后一位）？
（2）当梯子底端距离墙面2.2m时，α等于多少度（结果保留小数点后一位）？此时人是否能够安全使用这架梯子？
（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，sin23.6°≈0.40，cos66.4°≈0.40，tan21.8°≈0.40．）
一十三．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
18．（2022 临沂）如图是一座独塔双索结构的斜拉索大桥，主塔采用倒“Y”字形设计．某学习小组利用课余时间测量主塔顶端到桥面的距离．勘测记录如下表：
活动内容 测量主塔顶端到桥面的距离
成员 组长：×××组员××××××××××××
测量工具 测角仪，皮尺等
测量示意图 说明：左图为斜拉索桥的侧面示意图，点A，C，D，B在同一条直线上，EF⊥AB，点A，C分别与点B，D关于直线EF对称．
测量数据 ∠A的大小 28°
AC的长度 84m
CD的长度 12m
请利用表中提供的信息，求主塔顶端E到AB的距离（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．
一十四．频数（率）分布直方图
19．（2022 临沂）省农科院为某县选育小麦种子，为了解种子的产量及产量的稳定性，在该县的10个乡镇中，每个乡镇选择两块自然条件相近的实验田分别种植甲、乙两种小麦，得到其亩产量数据如下（单位：kg）：
甲种小麦：804 818 802 816 806 811 818 811 803 819
乙种小麦：804 811 806 810 802 812 814 804 807 809
画以上甲种小麦数据的频数分布直方图，甲乙两种小麦数据的折线图，得到图1，图2
（1）图1中，a＝　 　，b＝　 　；
（2）根据图1，若该县选择种植甲种小麦，则其亩产量W（单位：kg）落在 　 　内的可能性最大；
A.800≤W＜805
B.805≤W＜810
C.810≤W＜815
D.815≤W＜820
（3）观察图2，从小麦的产量或产量的稳定性的角度，你认为农科院应推荐种植哪种小麦？简述理由．
20．（2020 临沂）2020年是脱贫攻坚年．为实现全员脱贫目标，某村贫困户在当地政府支持帮助下，办起了养鸡场．经过一段时间精心饲养，总量为3000只的一批鸡可以出售．现从中随机抽取50只，得到它们质量的统计数据如下：
质量/kg 组中值 频数（只）
0.9≤x＜1.1 1.0 6
1.1≤x＜1.3 1.2 9
1.3≤x＜1.5 1.4 a
1.5≤x＜1.7 1.6 15
1.7≤x＜1.9 1.8 8
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中a＝　 　，补全频数分布直方图；
（2）这批鸡中质量不小于1.7kg的大约有多少只？
（3）这些贫困户的总收入达到54000元，就能实现全员脱贫目标．按15元/kg的价格售出这批鸡后，该村贫困户能否脱贫？
一十五．众数
21．（2021 临沂）实施乡村振兴计划以来，我市农村经济发展进入了快车道，为了解梁家岭村今年一季度经济发展状况，小玉同学的课题研究小组从该村300户家庭中随机抽取了20户，收集到他们一季度家庭人均收入的数据如下（单位：万元）：
0.69 0.73 0.74 0.80 0.81 0.98 0.93 0.81 0.89 0.69
0.74 0.99 0.98 0.78 0.80 0.89 0.83 0.89 0.94 0.89
研究小组的同学对以上数据进行了整理分析，得到下表：
分组 频数
0.65≤x＜0.70 2
0.70≤x＜0.75 3
0.75≤x＜0.80 1
0.80≤x＜0.85 a
0.85≤x＜0.90 4
0.90≤x＜0.95 2
0.95≤x＜1.00 b
统计量 平均数 中位数 众数
数值 0.84 c d
（1）表格中：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　，d＝　 　；
（2）试估计今年一季度梁家岭村家庭人均收入不低于0.8万元的户数；
（3）该村梁飞家今年一季度人均收入为0.83万元，能否超过村里一半以上的家庭？请说明理由．
参考答案与试题解析
一．分式的加减法
1．（2022 临沂）计算：
（1）﹣23÷×（﹣）；
（2）﹣．
【解答】解：（1）原式＝﹣8××（）
＝8××
＝3；
（2）原式＝
＝．
二．二次根式的混合运算
2．（2021 临沂）计算|﹣|+（﹣）2﹣（+）2．
【解答】解：解法一，原式＝+[（） ﹣+]﹣[（） ++]
＝+（2﹣+）﹣（2++）
＝+2﹣+﹣2﹣﹣
＝﹣．
解法二，原式＝+（﹣++）（﹣﹣﹣）
＝+2×（﹣1）
＝﹣2
＝﹣．
3．（2020 临沂）计算：+×﹣sin60°．
【解答】解：原式＝﹣+﹣
＝+﹣
＝．
三．反比例函数的性质
4．（2021 临沂）已知函数y＝
（1）画出函数图象；
列表：
x … 　﹣3　 　﹣2　 　﹣1　 　0　 　1　 　2　 　3　 　4　 …
y … 　﹣1　 　　 　﹣3　 　0　 　3　 　　 　1　 　　 .…
描点，连线得到函数图象：
（2）该函数是否有最大或最小值？若有，求出其值，若没有，简述理由；
（3）设（x1，y1），（x2，y2）是函数图象上的点，若x1+x2＝0，证明：y1+y2＝0．
【解答】解：（1）列表如下：
x …… ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 ……
y …… ﹣1 ﹣3 0 3 1 ……
函数图象如图所示：
（2）根据图象可知：
当x＝1时，函数有最大值3；当x＝﹣1时，函数有最小值﹣3．
（3）∵（x1，y1），（x2，y2）是函数图象上的点，x1+x2＝0，
∴x1和x2互为相反数，
当﹣1＜x1＜1时，﹣1＜x2＜1，
∴y1＝3x1，y2＝3x2，
∴y1+y2＝3x1+3x2＝3（x1+x2）＝0；
当x1≤﹣1时，x2≥1，
则y1+y2＝＝0；
同理：当x1≥1时，x2≤﹣1，
y1+y2＝0，
综上：y1+y2＝0．
四．反比例函数的应用
5．（2022 临沂）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：
第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点O，并用细麻绳固定，在支点O左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；
第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣．
（1）图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，OB的长度随之变化．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm．写出y关于x的函数解析式；若0＜y＜48，求x的取值范围．
（2）调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点O右侧的B处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm，写出y关于x的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象．
x/kg …… 0.25 0.5 1 2 4 ……
y/cm …… 　4　 　2　 　1　 　　 　　 ……
【解答】解：（1）∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，
∴重物×OA＝秤砣×OB，
∵OA＝2cm，重物的质量为xkg，OB的长为ycm，秤砣为0.5kg，
∴2x＝0.5y，
∴y＝4x，
∵4＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵当y＝0时，x＝0；
当y＝48时，x＝12，
∴0＜x＜12；
（2）∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，
∴秤砣×OA＝重物×OB，
∵OA＝2cm，重物的质量为xkg，OB的长为ycm，秤砣为0.5kg，
∴2×0.5＝xy，
∴y＝，
当x＝0.25时，y＝＝4；
当x＝0.5时，y＝＝2；
当x＝1时，y＝1；
当x＝2时，y＝；
当x＝4时，y＝；
故答案为：4；2；1；；；
作函数图象如图：
6．（2020 临沂）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．当R＝4Ω时，I＝9A．
（1）写出I关于R的函数解析式；
（2）完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
R/Ω … 　3　 　4　 　5　 　6　 　8　 　9　 　10　 　12　 …
I/A … 　12　 　9　 　7.2　 　6　 　4.5　 　4　 　3.6　 　3　 …
（3）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围内？
【解答】解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设I＝，
∵R＝4Ω时，I＝9A
∴9＝，
解得k＝4×9＝36，
∴I＝（R＞0）；
（2）列表如下：
R/Ω … 3 4 5 6 8 9 10 12 …
I/A … 12 9 7.2 6 4.5 4 3.6 3 …
（3）∵I≤10，I＝，
∴≤10，
∴R≥3.6，
即用电器可变电阻应控制在不低于3.6欧的范围内．
五．待定系数法求二次函数解析式
7．（2020 临沂）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2（a≠0）．
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
（3）设点P（m，y1），Q（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2＝a（x﹣1）2+2a2﹣a﹣3．
∴抛物线的对称轴为直线x＝1；
（2）∵抛物线的顶点在x轴上，
∴2a2﹣a﹣3＝0，
解得a＝或a＝﹣1，
∴抛物线为y＝x2﹣3x+或y＝﹣x2+2x﹣1；
（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
则Q（3，y2）关于x＝1对称点的坐标为（﹣1，y2），
∴当a＞0，﹣1＜m＜3时，y1＜y2；当a＜0，m＜﹣1或m＞3时，y1＜y2．
六．二次函数的应用
8．（2022 临沂）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：
如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，OA＝65m，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB＝100m．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离y（m）与水平方向移动的距离x（m）具备二次函数关系，其解析式为y＝﹣x2+bx+c．
（1）求b，c的值；
（2）进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t＝0，x＝0；空中飞行5s后着陆．
①求x关于t的函数解析式；
②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？
【解答】解：（1）作BE⊥y轴于点E，
∵OA＝65m，着陆坡AC的坡角为30°，AB＝100m，
∴点A的坐标为（0，65），AE＝50m，BE＝50m，
∴OE＝OA﹣AE＝65﹣50＝15（m），
∴点B的坐标为（50，15），
∵点A（0，65），点B（50，15）在二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象上，
∴，
解得，
即b的值是，c的值是65；
（2）①设x关于t的函数解析式是x＝kt+m，
因为点（0，0），（5，50）在该函数图象上，
∴，
解得，
即x关于t的函数解析式是x＝10t；
②设直线AB的解析式为y＝px+q，
∵点A（0，65），点B（50，15）在该直线上，
∴，
解得，
即直线AB的解析式为y＝﹣x+65，
则h＝（﹣x2+x+65）﹣（﹣x+65）＝﹣x2+x，
∴当x＝﹣＝25时，h取得最值，此时h＝，
∵25＜50，
∴x＝25时，h取得最值，符合题意，
将x＝25代入x＝10t，得：25＝10t，
解得t＝2.5，
即当t为2.5时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是m．
9．（2021 临沂）公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．
（1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？
（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？
【解答】解：（1）由图可知：二次函数图象经过原点，
设二次函数表达式为s＝at2+bt，一次函数表达式为v＝kt+c，
∵一次函数经过（0，16），（8，8），
则，解得：，
∴一次函数表达式为v＝﹣t+16，
令v＝9，则t＝7，
∴当t＝7时，速度为9m/s，
∵二次函数经过（2，30），（4，56），
则，解得：，
∴二次函数表达式为，
令t＝7，则s＝＝87.5，
∴当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是87.5m；
（2）设t秒后相距w，则w＝20+10t﹣（﹣t2+16t）＝（t﹣6）2+2，
∵＞0，
∴t＝6时，w有最小值，最小值为2，
∴6秒时两车相距最近，最近距离是2米．
七．四边形综合题
10．（2022 临沂）已知△ABC是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）在线段AC上任取一点P（端点除外），连接PD．将线段PD绕点P逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点P在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？说明理由．
（3）在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．
【解答】（1）证明：连接BD，
等边△ABC中，AB＝BC＝AC，
∵点B、D关于直线AC对称，
∴DC＝BC，AD＝AB，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：当点P在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小不发生变化，始终等于60°，理由如下：
∵将线段PD绕点P逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处，
∴PQ＝PD，
等边△ABC中，AB＝BC＝AC，
∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
连接PB，过点P分别作PE∥CB交AB于点E，PF⊥AB于点F，如图
则∠APE＝∠ACB＝60°，∠AEP＝∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝∠APE＝∠AEP＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴AP＝EP＝AE，
而PF⊥AB，
∴∠APF＝∠EPF，
∵点B，D关于直线AC对称，点P在线段AC上，
∴PB＝PD，∠DPA＝∠BPA，
∴PQ＝PD，
而PF⊥AB，
∴∠QPF＝∠BPF，
∴∠QPF﹣∠APF＝∠BPF﹣∠EPF，
即∠QPA＝∠BPE，
∴∠DPQ＝∠DPA﹣∠QPA＝∠BPA﹣∠BPE＝∠APE＝60°；
（3）解：在满足（2）的条件下，线段AQ与CP之间的数量关系是AQ＝CP，证明如下：
∵AC＝AB，AP＝AE，
∴AC﹣AP＝AB﹣AE，
即CP＝BE，
∵AP＝EP，PF⊥AB，
∴AF＝FE，
∵PQ＝PD，PF⊥AB，
∴QF＝BF，
∴QF﹣AF＝BF﹣EF，
即AQ＝BE，
∴AQ＝CP．
11．（2021 临沂）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC．
（1）求证：AG＝GH；
（2）若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离；
（3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，∠BHC的大小是否变化？为什么？
【解答】（1）证明：∵将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，
∴∠BAG＝∠GAF＝∠BAF，B，F关于AE对称，
∴AG⊥BF，
∴∠AGF＝90°，
∵AH平分∠DAF，
∴∠FAH＝∠FAD，
∴∠EAH＝∠GAF+∠FAH＝∠BAF+∠FAD＝（∠BAF+∠FAD）＝∠BAD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∴∠EAH＝∠BAD＝45°，
∵∠HGA＝90°，
∴GA＝GH；
（2）解：如图1，连接DH，DF，交AH于点N，
由（1）可知AF＝AD，∠FAH＝∠DAH，
∴AH⊥DF，FN＝DN，
∴DH＝HF，∠FNH＝∠DNH＝90°，
又∵∠GHA＝45°，
∴∠NFH＝45°＝∠NDH＝∠DHN，
∴∠DHF＝90°，
∴DH的长为点D到直线BH的距离，
由（1）知AE2＝AB2+BE2，
∴AE＝＝＝，
∵∠BAE+∠AEB＝∠BAE+∠ABG＝90°，
∴∠AEB＝∠ABG，
又∠AGB＝∠ABE＝90°，
∴△AEB∽△ABG，
∴，，
∴AG＝＝，BG＝，
由（1）知GF＝BG，AG＝GH，
∴GF＝，GH＝，
∴DH＝FH＝GH﹣GF＝＝．
即点D到直线BH的距离为；
方法二：
连接BD，
由折叠可知AE⊥BF，
则△ABE≌△BCM，
∴BE＝CM＝1，
∴DM＝2，
∴，
同方法一可知AE＝BM＝，
∴点D到直线BH的距离为＝；
（3）不变．
理由如下：
方法一：连接BD，如图2，
在Rt△HDF中，，
在Rt△BCD中，＝sin45°＝，
∴，
∵∠BDF+∠CDF＝45°，∠FDC+∠CDH＝45°，
∴∠BDF＝∠CDH，
∴△BDF∽△CDH，
∴∠CHD＝∠BFD，
∵∠DFH＝45°，
∴∠BFD＝135°＝∠CHD，
∵∠BHD＝90°，
∴∠BHC＝∠CHD﹣∠BHD＝135°﹣90°＝45°．
方法二：
∵∠BCD＝90°，∠BHD＝90°，
∴点B，C，H，D四点共圆，
∴∠BHC＝∠BDC＝45°，
∴∠BHC的度数不变．
12．（2020 临沂）如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，点E是边AB上任意一点（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N．
（1）求证：AF＝EF；
（2）求MN+NG的最小值；
（3）当点E在AB上运动时，∠CEF的大小是否变化？为什么？
【解答】解：（1）连接CF，
∵FG垂直平分CE，
∴CF＝EF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴A和C关于对角线BD对称，
∴CF＝AF，
∴AF＝EF；
（2）连接AC，交BD于点O，
∵M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE中点，
∴MN＝AF，NG＝CF，即MN+NG＝（AF+CF），
当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时，
AF+CF最小，即此时MN+NG最小，
∵菱形ABCD边长为1，∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，AC＝AB＝1，
即MN+NG的最小值为；
（3）不变，理由是：
延长EF，交DC于H，
∵∠CFH＝∠FCE+∠FEC，∠AFH＝∠FAE+∠FEA，
∴∠AFC＝∠FCE+∠FEC+∠FAE+∠FEA，
∵点F在菱形ABCD对角线BD上，根据菱形的对称性可得：
∠AFD＝∠CFD＝∠AFC，
∵AF＝CF＝EF，
∴∠AEF＝∠EAF，∠FEC＝∠FCE，
∴∠AFD＝∠FAE+∠ABF＝∠FEA+∠CEF，
∴∠ABF＝∠CEF，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABF＝∠CEF＝30°，为定值．
八．圆周角定理
13．（2021 临沂）如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点E．
求证：（1）AD∥BC；
（2）四边形BCDE为菱形．
【解答】证明：（1）连接BD，
∵，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC；
（2）连接CD，BD，设OC与BD相交于点F，
∵AD∥BC，
∴∠EDF＝∠CBF，
∵，
∴BC＝CD，BF＝DF，
又∠DFE＝∠BFC，
∴△DEF≌△BCF（ASA），
∴DE＝BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，又BC＝CD，
∴四边形BCDE是菱形．
九．切线的性质
14．（2022 临沂）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，直线AO交⊙O于C，D两点，连接BC，BD．过圆心O作BC的平行线，分别交AB的延长线、⊙O及BD于点E，F，G．
（1）求证：∠D＝∠E；
（2）若F是OE的中点，⊙O的半径为3，求阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OB，
∵AB是⊙O的切线，
∴∠OBE＝90°，
∴∠E+∠BOE＝90°，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，
∴∠D+∠DCB＝90°，
∵OE∥BC，
∴∠BOE＝∠OBC，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠BOE＝∠OCB，
∴∠D＝∠E；
（2）解：∵F为OE的中点，OB＝OF，
∴OF＝EF＝3，
∴OE＝6，
∴BO＝OE，
∵∠OBE＝90°，
∴∠E＝30°，
∴∠BOG＝60°，
∵OE∥BC，∠DBC＝90°，
∴∠OGB＝90°，
∴OG＝，BG＝，
∴S△BOG＝OG BG＝＝，S扇形BOF＝＝π，
∴S阴影部分＝S扇形BOF﹣S△BOG＝．
一十．切线的判定与性质
15．（2020 临沂）已知⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2．以O1为圆心，以r1+r2的长为半径画弧，再以线段O1O2的中点P为圆心，以O1O2的长为半径画弧，两弧交于点A，连接O1A，O2A，O1A交⊙O1于点B，过点B作O2A的平行线BC交O1O2于点C．
（1）求证：BC是⊙O2的切线；
（2）若r1＝2，r2＝1，O1O2＝6，求阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接AP，
∵以线段O1O2的中点P为圆心，以O1O2的长为半径画弧，
∴O1P＝AP＝O2P＝，
∴∠O1AO2＝90°，
∵BC∥O2A，
∴∠O1BC＝∠O1AO2＝90°，
过点O2作O2D⊥BC交BC的延长线于点D，
∴四边形ABDO2是矩形，
∴AB＝O2D，
∵O1A＝r1+r2，
∴O2D＝r2，
∴BC是⊙O2的切线；
（2）解：∵r1＝2，r2＝1，O1O2＝6，
∴O1A＝，
∴∠AO2C＝30°，
∵BC∥O2A，
∴∠BCE＝AO2C＝30°，
∴O1C＝2O1B＝4，
∴BC＝＝＝2，
∴S阴影＝＝＝﹣＝2﹣π．
一十一．解直角三角形的应用
16．（2021 临沂）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM＝3m，CO＝5m，DO＝3m，∠AOD＝70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童（结果保留整数）？
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【解答】解：∵CM＝3m，OC＝5m，
∴OM＝＝4（m），
∵∠CMO＝∠BDO＝90°，∠COM＝∠BOD，
∴△COM∽△BOD，
∴，即，
∴BD＝＝2.25（m），
∴tan∠AOD＝tan70°＝，
即≈2.75，
解得：AB＝6m，
∴汽车从A处前行约6米才能发现C处的儿童．
一十二．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
17．（2020 临沂）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α要满足60°≤α≤75°，现有一架长5.5m的梯子．
（1）使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果保留小数点后一位）？
（2）当梯子底端距离墙面2.2m时，α等于多少度（结果保留小数点后一位）？此时人是否能够安全使用这架梯子？
（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，sin23.6°≈0.40，cos66.4°≈0.40，tan21.8°≈0.40．）
【解答】解：（1）由题意得，当α＝75°时，这架梯子可以安全攀上最高的墙，
在Rt△ABC中，sinα＝，
∴AC＝AB sinα≈5.5×0.97≈5.3（m），
答：使用这架梯子最高可以安全攀上约5.3m的墙；
（2）在Rt△ABC中，cosα＝＝＝0.4，
则α≈66.4°，
∵60°＜66.4°＜75°，
∴此时人能够安全使用这架梯子．
一十三．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
18．（2022 临沂）如图是一座独塔双索结构的斜拉索大桥，主塔采用倒“Y”字形设计．某学习小组利用课余时间测量主塔顶端到桥面的距离．勘测记录如下表：
活动内容 测量主塔顶端到桥面的距离
成员 组长：×××组员××××××××××××
测量工具 测角仪，皮尺等
测量示意图 说明：左图为斜拉索桥的侧面示意图，点A，C，D，B在同一条直线上，EF⊥AB，点A，C分别与点B，D关于直线EF对称．
测量数据 ∠A的大小 28°
AC的长度 84m
CD的长度 12m
请利用表中提供的信息，求主塔顶端E到AB的距离（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．
【解答】解：延长EF交AB于点G，
∵EF⊥AB，
∴EG⊥AB，
∴∠EGA＝90°，
∵点A，C分别与点B，D关于直线EF对称，
∴CG＝DG，
∵AC＝84m，CD＝12m，
∴CG＝6m，
∴AG＝AC+CG＝84+6＝90（m），
∵∠A＝28°，tanA＝，
∴tan28°＝，
解得EG≈47.7，
即主塔顶端E到AB的距离约为47.7m．
一十四．频数（率）分布直方图
19．（2022 临沂）省农科院为某县选育小麦种子，为了解种子的产量及产量的稳定性，在该县的10个乡镇中，每个乡镇选择两块自然条件相近的实验田分别种植甲、乙两种小麦，得到其亩产量数据如下（单位：kg）：
甲种小麦：804 818 802 816 806 811 818 811 803 819
乙种小麦：804 811 806 810 802 812 814 804 807 809
画以上甲种小麦数据的频数分布直方图，甲乙两种小麦数据的折线图，得到图1，图2
（1）图1中，a＝　2　，b＝　3　；
（2）根据图1，若该县选择种植甲种小麦，则其亩产量W（单位：kg）落在 　D　内的可能性最大；
A.800≤W＜805
B.805≤W＜810
C.810≤W＜815
D.815≤W＜820
（3）观察图2，从小麦的产量或产量的稳定性的角度，你认为农科院应推荐种植哪种小麦？简述理由．
【解答】解：（1）由题意a＝2，b＝3，
故答案为：2，3；
（2）由频数分布直方图可知落在815≤W＜820的可能性最大，
故选：D；
（3）从小麦的产量或产量的稳定性的角度，应推荐种植乙种小麦．
理由：从折线图可以看出乙的离散程度比较小．
20．（2020 临沂）2020年是脱贫攻坚年．为实现全员脱贫目标，某村贫困户在当地政府支持帮助下，办起了养鸡场．经过一段时间精心饲养，总量为3000只的一批鸡可以出售．现从中随机抽取50只，得到它们质量的统计数据如下：
质量/kg 组中值 频数（只）
0.9≤x＜1.1 1.0 6
1.1≤x＜1.3 1.2 9
1.3≤x＜1.5 1.4 a
1.5≤x＜1.7 1.6 15
1.7≤x＜1.9 1.8 8
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中a＝　12　，补全频数分布直方图；
（2）这批鸡中质量不小于1.7kg的大约有多少只？
（3）这些贫困户的总收入达到54000元，就能实现全员脱贫目标．按15元/kg的价格售出这批鸡后，该村贫困户能否脱贫？
【解答】解：（1）a＝50﹣8﹣15﹣9﹣6＝12（只），补全频数分布直方图；
故答案为：12；
（2）3000×＝480（只）
答：这批鸡中质量不小于1.7kg的大约有480只；
（3）＝＝1.44（千克），
∵1.44×3000×15＝64800＞54000，
∴能脱贫，
答：该村贫困户能脱贫．
一十五．众数
21．（2021 临沂）实施乡村振兴计划以来，我市农村经济发展进入了快车道，为了解梁家岭村今年一季度经济发展状况，小玉同学的课题研究小组从该村300户家庭中随机抽取了20户，收集到他们一季度家庭人均收入的数据如下（单位：万元）：
0.69 0.73 0.74 0.80 0.81 0.98 0.93 0.81 0.89 0.69
0.74 0.99 0.98 0.78 0.80 0.89 0.83 0.89 0.94 0.89
研究小组的同学对以上数据进行了整理分析，得到下表：
分组 频数
0.65≤x＜0.70 2
0.70≤x＜0.75 3
0.75≤x＜0.80 1
0.80≤x＜0.85 a
0.85≤x＜0.90 4
0.90≤x＜0.95 2
0.95≤x＜1.00 b
统计量 平均数 中位数 众数
数值 0.84 c d
（1）表格中：a＝　5　，b＝　3　，c＝　0.82　，d＝　0.89　；
（2）试估计今年一季度梁家岭村家庭人均收入不低于0.8万元的户数；
（3）该村梁飞家今年一季度人均收入为0.83万元，能否超过村里一半以上的家庭？请说明理由．
【解答】解：（1）由统计频数的方法可得，a＝5，b＝3，
将该村家庭收入从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为（0.81+0.83）÷2＝0.82，
因此中位数是0.82，即c＝0.82，
他们一季度家庭人均收入的数据出现最多的是0.89，
因此众数是0.89，即d＝0.89，
故答案为：5，3，0.82，0.89；
（2）300×＝210（户），
答：估计今年一季度梁家岭村家庭人均收入不低于0.8万元的户数有210户；
（3）该村梁飞家今年一季度人均收入为0.83万元，能超过村里一半以上的家庭，
理由：该村300户家庭一季度家庭人均收入的中位数是0.82，0.83＞0.82，
所以该村梁飞家今年一季度人均收入为0.83万元，能超过村里一半以上的家庭．

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