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山东省青岛市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03 04
一．解答题
1．（2022 青岛）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享．游戏规则如下：
甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，两口袋中的球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜．
请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
2．（2022 青岛）已知：Rt△ABC，∠B＝90°．
求作：点P，使点P在△ABC内部．且PB＝PC，∠PBC＝45°．
3．（2022 青岛）（1）计算：÷（1+）；
（2）解不等式组：
4．（2022 青岛）如图，AB为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活 绿色出行”健步走公益活动，小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68°的点C处，观光船到滨海大道的距离CB为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E时，观光船沿北偏西40°的方向航行至点D处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D处的距离．
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48）
5．（2022 青岛）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴正半轴相交于点C，与反比例函数y＝﹣的图象在第二象限相交于点A（﹣1，m），过点A作AD⊥x轴，垂足为D，AD＝CD．
（1）求一次函数的表达式；
（2）已知点E（a，0）满足CE＝CA，求a的值．
6．（2021 青岛）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：∠O及其一边上的两点A，B．
求作：Rt△ABC，使∠C＝90°，且点C在∠O内部，∠BAC＝∠O．
7．（2021 青岛）（1）计算：（x+）÷；
（2）解不等式组：并写出它的整数解．
8．（2021 青岛）在中国共产党成立一百周年之际，某校举行了以“童心向党”为主题的知识竞赛活动．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图，其中“90≤x≤100”这组的数据如下：
90，92，93，95，95，96，96，96，97，100．
竞赛成绩分组统计表
组别 竞赛成绩分组 频数 平均分
1 60≤x＜70 8 65
2 70≤x＜80 a 75
3 80≤x＜90 b 88
4 90≤x≤100 10 95
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）a＝　 　；
（2）“90≤x≤100”这组数据的众数是 　 　分；
（3）随机抽取的这n名学生竞赛成绩的平均分是 　 　分；
（4）若学生竞赛成绩达到96分以上（含96分）获奖，请你估计全校1200名学生中获奖的人数．
9．（2021 青岛）某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．
（1）求两种品牌洗衣液的进价；
（2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？
10．（2020 青岛）已知：△ABC．
求作：⊙O，使它经过点B和点C，并且圆心O在∠A的平分线上．
11．（2020 青岛）（1）计算：（+）÷（﹣）；
（2）解不等式组：
12．（2020 青岛）某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数分布直方图和扇形统计图．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）在扇形统计图中，“70～80”这组的百分比m＝　 　；
（3）已知“80～90”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89．抽取的n名学生测试成绩的中位数是 　 　分；
（4）若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数．
13．（2020 青岛）如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B，D，某海岛上的观测塔A距离海岸5海里，在A处测得B位于南偏西22°方向．一艘渔船从D出发，沿正北方向航行至C处，此时在A处测得C位于南偏东67°方向．求此时观测塔A与渔船C之间的距离（结果精确到0.1海里）．
（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈）
14．（2020 青岛）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
15．（2022 青岛）已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）．
（1）求m的值；
（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
16．（2022 青岛）孔子曾说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”兴趣是最好的老师．阅读、书法、绘画、手工、烹饪、运动、音乐…各种兴趣爱好是打开创新之门的金钥匙．某校为了解学生兴趣爱好情况，组织了问卷调查活动，从全校2200名学生中随机抽取了200人进行调查，其中一项调查内容是学生每周自主发展兴趣爱好的时长，对这项调查结果使用画“正”字的方法进行初步统计，得到下表：
学生每周自主发展兴趣爱好时长分布统计表
组别 时长t（单位：h） 人数累计 人数
第一组 1≤t＜2 正正正正正正 30
第二组 2≤t＜3 正正正正正正正正正正正正 60
第三组 3≤t＜4 正正正正正正正正正正正正正正 70
第四组 4≤t＜5 正正正正正正正正 40
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）这200名学生每周自主发展兴趣爱好时长的中位数落在第 　 　组；
（3）若将上述调查结果绘制成扇形统计图，则第二组的学生人数占调查总人数的百分比为 　 　，对应的扇形圆心角的度数为 　 　°；
（4）学校倡议学生每周自主发展兴趣爱好时长应不少于2h，请你估计，该校学生中有多少人需要增加自主发展兴趣爱好时间？
17．（2022 青岛）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、
例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC和△A'B'C'是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用S△ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积，
则S△ABC＝BC AD，S△A'B'C′＝B′C′ A′D′，
∵AD＝A′D′
∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．
【性质应用】
（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝　 　；
（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，则S△BEC＝　 　，S△CDE＝　 　；
（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，则S△CDE＝　 　．
18．（2022 青岛）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF＝FD，∠BAF＝∠DCE＝90°．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）连接AE，CF，已知 　 　（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．
条件①：∠ABD＝30°；
条件②：AB＝BC．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）
19．（2022 青岛）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．
（1）请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；
（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？
20．（2021 青岛）为践行青岛市中小学生“十个一”行动，某校举行文艺表演，小静和小丽想合唱一首歌．小静想唱《红旗飘飘》，而小丽想唱《大海啊，故乡》．她们想通过做游戏的方式来决定合唱哪一首歌，于是一起设计了一个游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘，若两个指针指向的数字之积小于4，则合唱《大海啊，故乡》，否则合唱《红旗飘飘》；若指针刚好落在分割线上，则需要重新转动转盘，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平．
21．（2021 青岛）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼BC的高度．如图所示，其中观景平台斜坡DE的长是20米，坡角为37°，斜坡DE底部D与大楼底端C的距离CD为74米，与地面CD垂直的路灯AE的高度是3米，从楼顶B测得路灯AE顶端A处的俯角是42.6°．试求大楼BC的高度．
（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin42.6°≈，cos42.6°≈，tan42.6°≈）
22．（2021 青岛）如图，在 ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE，AG，FG．
（1）求证：△BCE≌△FDE；
（2）当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．
23．（2020 青岛）为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为480m3，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变．同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）根据图象求游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；
（2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？
24．（2020 青岛）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．
25．（2020 青岛）某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．
（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式；
（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）
（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？
26．（2022 青岛）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，连接CD．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动、速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．PQ交AC于点F，连接CP，EQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：
（1）当EQ⊥AD时，求t的值；
（2）设四边形PCDQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
27．（2021 青岛）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．
（1）直接写出y1与x之间的函数关系式；
（2）求出y2与x之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
28．（2021 青岛）问题提出：
最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形．）
问题探究：
为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论．
（1）如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1，第三边长也是1．按照（最长边长，最短边长，第三边长）的形式记为（1，1，1），有1个，所以总共有1×1＝1个整数边三角形．
表①
最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式
1 1 （1，1，1） 1 1个1 1×1
（2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2．根据三角形任意两边之和大于第三边，当最短边长为1时，第三边长只能是2，记为（2，1，2），有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2，记为（2，2，2），有1个，所以总共有1+1＝1×2＝2个整数边三角形．
表②
最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式
2 1 （2，1，2） 1 2个1 1×2
2 （2，2，2） 1
（3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况：
表③
最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长 整数边三角形个数 计算方法 算式
3 1 （3，1，3） 1 2个2 2×2
2 （3，2，2），（3，2，3） 2
3 （3，3，3） 1
（4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况：
表④
最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式
4 1 （4，1，4） 1 3个2 2×3
2 （4，2，3），（4，2，4） 2
3 （4，3，3），（4，3，4） 2
4 （4，4，4） 1
（5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空：
表⑤
最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，三边长 整数边三角形个数 计算方法 算式
5 1 （5，1，5） 1 　 　 　 　
2 （5，2，4）（5，2，5） 2
3 　 　 　 　
4 （5，4，4）（5，4，5） 2
5 （5，5，5） 1
问题解决：
（1）最长边长为6的整数边三角形有 　 　个．
（2）在整数边三角形中，设最长边长为n，总结上述探究过程，当n为奇数或n为偶数时，整数边三角形个数的规律一样吗？请写出最长边长为n的整数边三角形的个数．
（3）最长边长为128的整数边三角形有 　 　个．
拓展延伸：
在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有 　 　个．
29．（2020 青岛）实际问题：
某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？
问题建模：
从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取a （1＜a＜n）个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？
模型探究：
我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．
探究一：
（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表①
所取的2个整数 1，2 1，3 2，3
2个整数之和 3 4 5
如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．
（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表②
所取的2个整数 1，2 1，3 1，4 2，3 2，4 3，4
2个整数之和 3 4 5 5 6 7
如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．
（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有　 　种不同的结果．
（4）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有　 　种不同的结果．
探究二：
（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有　 　种不同的结果．
（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥4）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有　 　种不同的结果．
探究三：
从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥5）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有　 　种不同的结果．
归纳结论：
从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取a（1＜a＜n）个整数，这a个整数之和共有　 　种不同的结果．
问题解决：
从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有　 　种不同的优惠金额．
拓展延伸：
（1）从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）
（2）从3，4，5，…，n+3（n为整数，且n≥2）这（n+1）个整数中任取a（1＜a＜n+1）个整数，这a个整数之和共有　 　种不同的结果．
30．（2020 青岛）已知：如图，在四边形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，CD＞AB，点C在EB上，∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，延长DC交EF于点M．点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点M出发，沿MF方向匀速运动，速度为1cm/s．过点P作GH⊥AB于点H，交CD于点G．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．
解答下列问题：
（1）当t为何值时，点M在线段CQ的垂直平分线上？
（2）连接PQ，作QN⊥AF于点N，当四边形PQNH为矩形时，求t的值；
（3）连接QC，QH，设四边形QCGH的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（4）点P在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在∠AFE的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
31．（2021 青岛）已知：如图，在矩形ABCD和等腰Rt△ADE中，AB＝8cm，AD＝AE＝6cm，∠DAE＝90°．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s．过点Q作QM∥BE，交AD于点H，交DE于点M，过点Q作QN∥BC，交CD于点N．分别连接PQ，PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：
（1）当PQ⊥BD时，求t的值；
（2）设五边形PMDNQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；
（3）当PQ＝PM时，求t的值；
（4）若PM与AD相交于点W，分别连接QW和EW．在运动过程中，是否存在某一时刻t，使∠AWE＝∠QWD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．解答题
1．（2022 青岛）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享．游戏规则如下：
甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，两口袋中的球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜．
请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【解答】解：所有可能的结果如下：
∴共有10种等可能的结果，其中两球编号之和为奇数的有5种结果，两球编号之和为偶数的有5种结果，
∴P（小冰获胜）＝＝，P（小雪获胜）＝＝，
∵P（小冰获胜）＝P（小雪获胜），
∴游戏对双方都公平．
2．（2022 青岛）已知：Rt△ABC，∠B＝90°．
求作：点P，使点P在△ABC内部．且PB＝PC，∠PBC＝45°．
【解答】解：①先作出线段BC的垂直平分线EF；
②再作出∠ABC的角平分线BM，EF与BM的交点为P；
则P即为所求作的点．
3．（2022 青岛）（1）计算：÷（1+）；
（2）解不等式组：
【解答】解：（1）原式＝÷
＝
＝；
（2），
解不等式①得：x≤3，
解不等式②得：x＞2，
∴不等式组的解集为：2＜x≤3．
4．（2022 青岛）如图，AB为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活 绿色出行”健步走公益活动，小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68°的点C处，观光船到滨海大道的距离CB为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E时，观光船沿北偏西40°的方向航行至点D处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D处的距离．
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48）
【解答】解：过点C作CF⊥DE于F，
由题意得，∠D＝40°，∠ACB＝68°，
在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，
∵tan∠ACB＝，
∴AB＝CB×tan68°≈200×2.48≈496（m），
∴BE＝AB﹣AE＝496﹣200＝296（m），
∵∠CFE＝∠FEB＝∠CBE＝90°，
∴四边形FEBC为矩形，
∴CF＝BE＝296m，
在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，
∵sin∠D＝，
∴CD≈≈462.5（m），
答：观光船从C处航行到D处的距离约为462.5m．
5．（2022 青岛）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴正半轴相交于点C，与反比例函数y＝﹣的图象在第二象限相交于点A（﹣1，m），过点A作AD⊥x轴，垂足为D，AD＝CD．
（1）求一次函数的表达式；
（2）已知点E（a，0）满足CE＝CA，求a的值．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，m）在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴﹣m＝﹣2，解得：m＝2，
∴A（﹣1，2），
∵AD⊥x轴，
∴AD＝2，OD＝1，
∴CD＝AD＝2，
∴OC＝CD﹣OD＝1，
∴C（1，0）
把点A（﹣1，2），C（1，0）代入y＝kx+b中，
，
解得，
∴一次函数的表达式为y＝﹣x+1；
（2）在Rt△ADC中，AC＝＝2，
∴AC＝CE＝2，
当点E在点C的左侧时，a＝1﹣2，
当点E在点C的右侧时，a＝1+2，
∴a的值为1±2．
6．（2021 青岛）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：∠O及其一边上的两点A，B．
求作：Rt△ABC，使∠C＝90°，且点C在∠O内部，∠BAC＝∠O．
【解答】解：如图，Rt△ABC为所作．
7．（2021 青岛）（1）计算：（x+）÷；
（2）解不等式组：并写出它的整数解．
【解答】解：（1）（x+）÷
＝
＝
＝；
（2）
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜2，
∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜2，
∴不等式组的整数解为：﹣1，0，1．
8．（2021 青岛）在中国共产党成立一百周年之际，某校举行了以“童心向党”为主题的知识竞赛活动．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图，其中“90≤x≤100”这组的数据如下：
90，92，93，95，95，96，96，96，97，100．
竞赛成绩分组统计表
组别 竞赛成绩分组 频数 平均分
1 60≤x＜70 8 65
2 70≤x＜80 a 75
3 80≤x＜90 b 88
4 90≤x≤100 10 95
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）a＝　12　；
（2）“90≤x≤100”这组数据的众数是 　96　分；
（3）随机抽取的这n名学生竞赛成绩的平均分是 　82.6　分；
（4）若学生竞赛成绩达到96分以上（含96分）获奖，请你估计全校1200名学生中获奖的人数．
【解答】解：（1）8÷16%＝50（名），
50×24%＝12（名），
因此a＝12，
故答案为：12；
（2）“90≤x≤100”这组的数据中出现最多的是96，
∴“90≤x≤100”这组数据的众数是96分，
故答案为：96；
（3）第3组的频数b＝50﹣8﹣12﹣10＝20，
随机抽取的这n名学生竞赛成绩的平均分是：×（65×8+75×12+88×20+95×10）＝82.6（分），
故答案为：82.6；
（4）1200×＝120（人），
答：估计全校1200名学生中获奖的人数有120人．
9．（2021 青岛）某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．
（1）求两种品牌洗衣液的进价；
（2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设甲品牌洗衣液每瓶的进价是x元，则乙品牌洗衣液每瓶的进价是（x﹣6）元，
依题意得：，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣6＝24（元）．
答：甲品牌洗衣液每瓶的进价是30元，乙品牌洗衣液每瓶的进价是24元；
（2）设可以购买甲品牌洗衣液m瓶，则可以购买（120﹣m）瓶乙品牌洗衣液，
依题意得：30m+24（120﹣m）≤3120，
解得：m≤40．
依题意得：y＝（36﹣30）m+（28﹣24）（120﹣m）＝2m+480，
∵k＝2＞0，
∴y随m的增大而增大，
∴m＝40时，y取最大值，y最大值＝2×40+480＝560．
120﹣40＝80（瓶），
答：超市应购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大，最大利润是560元．
10．（2020 青岛）已知：△ABC．
求作：⊙O，使它经过点B和点C，并且圆心O在∠A的平分线上．
【解答】解：如图所示：⊙O即为所求．
11．（2020 青岛）（1）计算：（+）÷（﹣）；
（2）解不等式组：
【解答】解：（1）原式＝（+）÷（﹣）
＝÷
＝
＝；
（2）解不等式2x﹣3≥﹣5，得：x≥﹣1，
解不等式x+2＜x，得：x＞3，
则不等式组的解集为x＞3．
12．（2020 青岛）某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数分布直方图和扇形统计图．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）在扇形统计图中，“70～80”这组的百分比m＝　20%　；
（3）已知“80～90”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89．抽取的n名学生测试成绩的中位数是 　84.5　分；
（4）若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数．
【解答】解：（1）8÷16%＝50（人），50﹣4﹣8﹣10﹣12＝16（人），补全频数分布直方图如图所示：
（2）m＝10÷50＝20%，
故答案为：20%；
（3）将50个数据从小到大排列后，处在第25、26位的两个数的平均数为＝84.5，
因此中位数是84.5，
故答案为：84.5；
（4）1200×＝672（人），
答：估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生大约有672人．
13．（2020 青岛）如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B，D，某海岛上的观测塔A距离海岸5海里，在A处测得B位于南偏西22°方向．一艘渔船从D出发，沿正北方向航行至C处，此时在A处测得C位于南偏东67°方向．求此时观测塔A与渔船C之间的距离（结果精确到0.1海里）．
（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈）
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥AE于点F，
得矩形CDEF，
∴CF＝DE，
根据题意可知：
AE＝5海里，∠BAE＝22°，
∴BE＝AE tan22°≈5×＝2（海里），
∴DE＝BD﹣BE＝6﹣2＝4（海里），
∴CF＝4（海里），
在Rt△AFC中，∠CAF＝67°，
∴AC＝≈4×≈4.3（海里）．
答：观测塔A与渔船C之间的距离约为4.3海里．
14．（2020 青岛）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【解答】解：这个游戏公平，理由如下：
用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有6种可能出现的结果，其中配成紫色的有3种，配不成紫色的有3种，
∴P（小颖）＝＝，
P（小亮）＝＝，
因此游戏是公平．
15．（2022 青岛）已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）．
（1）求m的值；
（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
【解答】解：（1）将（2，4）代入y＝x2+mx+m2﹣3得4＝4+2m+m2﹣3，
解得m1＝1，m2＝﹣3，
又∵m＞0，
∴m＝1．
（2）∵m＝1，
∴y＝x2+x﹣2，
∵Δ＝b2﹣4ac＝12+8＝9＞0，
∴二次函数图象与x轴有2个交点．
16．（2022 青岛）孔子曾说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”兴趣是最好的老师．阅读、书法、绘画、手工、烹饪、运动、音乐…各种兴趣爱好是打开创新之门的金钥匙．某校为了解学生兴趣爱好情况，组织了问卷调查活动，从全校2200名学生中随机抽取了200人进行调查，其中一项调查内容是学生每周自主发展兴趣爱好的时长，对这项调查结果使用画“正”字的方法进行初步统计，得到下表：
学生每周自主发展兴趣爱好时长分布统计表
组别 时长t（单位：h） 人数累计 人数
第一组 1≤t＜2 正正正正正正 30
第二组 2≤t＜3 正正正正正正正正正正正正 60
第三组 3≤t＜4 正正正正正正正正正正正正正正 70
第四组 4≤t＜5 正正正正正正正正 40
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）这200名学生每周自主发展兴趣爱好时长的中位数落在第 　三　组；
（3）若将上述调查结果绘制成扇形统计图，则第二组的学生人数占调查总人数的百分比为 　30%　，对应的扇形圆心角的度数为 　108　°；
（4）学校倡议学生每周自主发展兴趣爱好时长应不少于2h，请你估计，该校学生中有多少人需要增加自主发展兴趣爱好时间？
【解答】解：（1）补全频数分布直方图如下：
（2）这200名学生每周自主发展兴趣爱好时长的中位数落在第三组，
故答案为：三；
（3）若将上述调查结果绘制成扇形统计图，则第二组的学生人数占调查总人数的百分比为：；
对应的扇形圆心角的度数为：360°×30%＝108°，
故答案为：30%；108；
（4）2200×＝330（人），
答：估计该校学生中有330人需要增加自主发展兴趣爱好时间．
17．（2022 青岛）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、
例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC和△A'B'C'是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用S△ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积，
则S△ABC＝BC AD，S△A'B'C′＝B′C′ A′D′，
∵AD＝A′D′
∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．
【性质应用】
（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝　3：4　；
（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，则S△BEC＝　　，S△CDE＝　　；
（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，则S△CDE＝　　．
【解答】解：（1）∵BD＝3，DC＝4，
∴S△ABD：S△ADC＝BD：DC＝3：4，
故答案为：3：4；
（2）∵BE：AB＝1：2，
∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：2，
∵S△ABC＝1，
∴S△BEC＝；
∵CD：BC＝1：3，
∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：3，
∴S△CDE＝S△BEC＝×＝；
故答案为：，；
（3）∵BE：AB＝1：m，
∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：m，
∵S△ABC＝a，
∴S△BEC＝S△ABC＝；
∵CD：BC＝1：n，
∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：n，
∴S△CDE＝S△BEC＝ ＝，
故答案为：．
18．（2022 青岛）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF＝FD，∠BAF＝∠DCE＝90°．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）连接AE，CF，已知 　①　（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．
条件①：∠ABD＝30°；
条件②：AB＝BC．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）
【解答】（1）证明：∵BE＝FD，
∴BE+EF＝FD+EF，
∴BF＝DE，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CDE，
在△ABF和△CDE中，
∴△ABF≌△CDE（AAS）；
（2）解：若选择条件①：
四边形AECF是菱形，理由如下：
由（1）得，△ABF≌△CDE，
∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED，
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BAF＝90°，BE＝EF，
∴AE＝，
∵∠BAF＝90°，∠ABD＝30°，
∴AF＝，
∴AE＝AF，
∴ AECF是菱形；
若选择条件②：
四边形AECF是菱形，理由如下：
连接AC交BD于点O，
由①得：△ABF≌△CDE，
∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED，
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AO＝CO，
∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
即EF⊥AC，
∴ AECF是菱形．
故答案为：①（答案不唯一）．
19．（2022 青岛）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．
（1）请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；
（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）根据题意得：y＝8.2﹣0.2（x﹣1）＝﹣0.2x+8.4，
答：这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式为y＝﹣0.2x+8.4；
（2）设李大爷每天所获利润是w元，
由题意得：w＝[12﹣0.5（x﹣1）﹣（﹣.02x+8.4）]×10x＝﹣3x2+41x＝﹣3（x﹣）2+，
∵﹣3＜0，x为正整数，且|6﹣|＞|7﹣|，
∴x＝7时，w取最大值，最大值为﹣3×（7﹣）2+＝140（元），
答：李大爷每天应购进这种水果7箱，才能使每天所获利润最大，最大利润140元．
20．（2021 青岛）为践行青岛市中小学生“十个一”行动，某校举行文艺表演，小静和小丽想合唱一首歌．小静想唱《红旗飘飘》，而小丽想唱《大海啊，故乡》．她们想通过做游戏的方式来决定合唱哪一首歌，于是一起设计了一个游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘，若两个指针指向的数字之积小于4，则合唱《大海啊，故乡》，否则合唱《红旗飘飘》；若指针刚好落在分割线上，则需要重新转动转盘，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平．
【解答】解：根据题意画树状图如下：
∵共有12种等可能的结果，其中数字之积小于4的有5种结果，
∴合唱《大海啊，故乡》的概率是，
∴合唱《红旗飘飘》的概率是，
∵＜，
∴游戏不公平．
21．（2021 青岛）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼BC的高度．如图所示，其中观景平台斜坡DE的长是20米，坡角为37°，斜坡DE底部D与大楼底端C的距离CD为74米，与地面CD垂直的路灯AE的高度是3米，从楼顶B测得路灯AE顶端A处的俯角是42.6°．试求大楼BC的高度．
（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin42.6°≈，cos42.6°≈，tan42.6°≈）
【解答】解：延长AE交CD延长线于M，过A作AN⊥BC于N，如图所示：
则四边形AMCN是矩形，
∴NC＝AM，AN＝MC，
在Rt△EMD中，∠EDM＝37°，
∵sin∠EDM＝，cos∠EDM＝，
∴EM＝ED×sin37°≈20×＝12（米），DM＝ED×cos37°≈20×＝16（米），
∴AN＝MC＝CD+DM＝74+16＝90（米），
在Rt△ANB中，∠BAN＝42.6°，
∵tan∠BAN＝，
∴BN＝AN×tan42.6°≈90×＝81（米），
∴BC＝BN+AE+EN＝81+3+12＝96（米），
答：大楼BC的高度约为96米．
22．（2021 青岛）如图，在 ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE，AG，FG．
（1）求证：△BCE≌△FDE；
（2）当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DFE＝∠CBE，
∵E为CD边的中点，
∴DE＝CE，
在△BCE和△FDE中，
，
∴△BCE≌△FDE（AAS）；
（2）解：四边形AEFG是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠FBC，
由（1）得：△BCE≌△FDE，
∴BC＝FD，BE＝FE，
∴FD＝AD，
∵GD＝DE，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∵BF平分∠ABC，
∴∠FBC＝∠ABF，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴AF＝AB，
∵BE＝FE，
∴AE⊥FE，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFG是矩形．
23．（2020 青岛）为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为480m3，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变．同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）根据图象求游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；
（2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？
【解答】解：（1）设y与t的函数解析式为y＝kt+b，
，
解得，，
即y与t的函数关系式是y＝140t+100，
同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是：（380﹣100）÷2＝140（m3/h）；
（2）∵单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍．
∴甲进水口进水的速度是乙进水口进水速度的，
∵同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是140m3/h，
∴甲进水口的进水速度为：140÷（+1）×＝60（m3/h），
480÷60＝8（h），
即单独打开甲进水口注满游泳池需8h．
24．（2020 青岛）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ADE＝∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形，
理由：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AC⊥EF，
∵DE＝BF，
∴OE＝OF，
又∵OA＝OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形．
25．（2020 青岛）某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．
（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式；
（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）
（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）∵长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．
∴OH＝AB＝3，
∴EO＝EH﹣OH＝4﹣3＝1，
∴E（0，1），D（2，0），
∴该抛物线的函数表达式为：y＝kx2+1，
把点D（2，0）代入，得k＝﹣，
∴该抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+1；
（2）∵GM＝2，
∴OM＝OG＝1，
∴当x＝1时，y＝，
∴N（1，），
∴MN＝，
∴S矩形MNFG＝MN GM＝×2＝，
∴每个B型活动板房的成本是：
425+×50＝500（元）．
答：每个B型活动板房的成本是500元；
（3）根据题意，得
w＝（n﹣500）[100+]
＝﹣2（n﹣600）2+20000，
∵每月最多能生产160个B型活动板房，
∴100+≤160，
解得n≥620，
∵﹣2＜0，
∴n≥620时，w随n的增大而减小，
∴当n＝620时，w有最大值为19200元．
答：公司将销售单价n（元）定为620元时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大，最大利润是19200元．
26．（2022 青岛）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，连接CD．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动、速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．PQ交AC于点F，连接CP，EQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：
（1）当EQ⊥AD时，求t的值；
（2）设四边形PCDQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图：
在Rt△ABC中，AC＝＝＝4，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，
∴AD＝AB＝5，DE＝BC＝3，AE＝AC＝4，∠AED＝∠ACB＝90°，
∵EQ⊥AD，
∴∠AQE＝∠AED＝90°，
∵∠EAQ＝∠DAE，
∴△AQE∽△AED，
∴＝，即＝，
∴AQ＝，
∴t＝＝；
答：t的值为；
（2）过P作PN⊥BC于N，过C作CM⊥AD于M，如图：
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，
∴∠BAD＝90°，即∠BAC+∠CAM＝90°，
∵∠B+∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠CAM，
∵∠ACB＝90°＝∠AMC，
∴△ABC∽△CAM，
∴＝，即＝，
∴CM＝，
∴S△ACD＝AD CM＝×5×＝8，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝×3×4+8＝14，
∵∠PBN＝∠ABC，∠PNB＝90°＝∠ACB，
∴△PBN∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴PN＝t，
∴S△BCP＝BC PN＝×3×t＝t，
∴S＝S四边形ABCD﹣S△BCP﹣S△APQ
＝14﹣t﹣（5﹣t） t
＝t2﹣t+14；
答：S与t之间的函数关系式是S＝t2﹣t+14；
（3）存在某一时刻t，使PQ∥CD，理由如下：
过C作CM⊥AD于M，如图：
由（2）知CM＝，
∴AM＝＝＝，
∴DM＝AD﹣AM＝5﹣＝，
∵PQ∥CD，
∴∠AQP＝∠MDC，
∵∠PAQ＝∠CMD＝90°，
∴△APQ∽△MCD，
∴＝，即＝，
解得t＝，
答：存在时刻t＝，使PQ∥CD．
27．（2021 青岛）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．
（1）直接写出y1与x之间的函数关系式；
（2）求出y2与x之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
【解答】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1＝kx+b，
∵函数图象过点（0，30）和（1，35），
则，
解得：，
∴y1与x之间的函数关系式为y1＝5x+30；
（2）∵x＝6时，y1＝5×6+30＝60，
∵y2的图象是过原点的抛物线，
设y2＝ax2+bx，
∴点（1.35），（6.60）在抛物线y2＝ax2+bx上，
∴，
解得：，
∴y2＝﹣5x2+40x，
答：y2与x的函数关系式为y2＝﹣5x2+40x；
（3）设小钢球和无人机的高度差为y米，
由﹣5x2+40x＝0得，x＝0或x＝8，
①1＜x≤6时，
y＝y2﹣y1＝﹣5x2+40x﹣5x﹣30＝﹣5x2+35x﹣30＝﹣5（x﹣）2+
∵a＝﹣5＜0，
∴抛物线开口向下，
又∵1＜x≤6，
∴当x＝时，y的最大值为；
②6＜x≤8时，y＝y1﹣y2＝5x+30+5x2﹣40x＝5x2﹣35x+30＝5（x﹣）2﹣，
∵a＝5＞0，
∴抛物线开口向上，
又∵对称轴是直线x＝，
∴当x＞时，y随x的增大而增大，
∵6＜x≤8，
∴当x＝8时，y的最大值为70，
∵＜70，
∴高度差的最大值为70米．
28．（2021 青岛）问题提出：
最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形．）
问题探究：
为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论．
（1）如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1，第三边长也是1．按照（最长边长，最短边长，第三边长）的形式记为（1，1，1），有1个，所以总共有1×1＝1个整数边三角形．
表①
最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式
1 1 （1，1，1） 1 1个1 1×1
（2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2．根据三角形任意两边之和大于第三边，当最短边长为1时，第三边长只能是2，记为（2，1，2），有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2，记为（2，2，2），有1个，所以总共有1+1＝1×2＝2个整数边三角形．
表②
最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式
2 1 （2，1，2） 1 2个1 1×2
2 （2，2，2） 1
（3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况：
表③
最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长 整数边三角形个数 计算方法 算式
3 1 （3，1，3） 1 2个2 2×2
2 （3，2，2），（3，2，3） 2
3 （3，3，3） 1
（4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况：
表④
最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式
4 1 （4，1，4） 1 3个2 2×3
2 （4，2，3），（4，2，4） 2
3 （4，3，3），（4，3，4） 2
4 （4，4，4） 1
（5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空：
表⑤
最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，三边长 整数边三角形个数 计算方法 算式
5 1 （5，1，5） 1 　3个3　 　3×3　
2 （5，2，4）（5，2，5） 2
3 　（5，3，3）（5，3，4）（5，3，5）　 　3　
4 （5，4，4）（5，4，5） 2
5 （5，5，5） 1
问题解决：
（1）最长边长为6的整数边三角形有 　12　个．
（2）在整数边三角形中，设最长边长为n，总结上述探究过程，当n为奇数或n为偶数时，整数边三角形个数的规律一样吗？请写出最长边长为n的整数边三角形的个数．
（3）最长边长为128的整数边三角形有 　4160　个．
拓展延伸：
在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有 　295　个．
【解答】解：（1）最长边 三角形个数
1 1×1
2 1×2
3 2×2
4 2×3
5 3×3
6 3×4
.....．
故答案是：12；
（2）最长边是奇数时 算式
1 1×1
3 2×2
5 3×3
7 4×4
.....．
n ，
最长边是偶数时 算式
2 1×2
4 2×3
6 3×4
.....．
n ；
（3）当n＝128时，
＝＝4160；
故答案是4160；
拓展延伸：
当侧棱是9时，
底边三角形的最长边可以是1，2，3，4，5，6，7，8，
∴直三棱柱个数共：1+2+4+6+9+12+16+20＝70，
当9是底的棱长时，
×9＝225，
70+225＝295，
故答案是295．
29．（2020 青岛）实际问题：
某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？
问题建模：
从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取a （1＜a＜n）个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？
模型探究：
我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．
探究一：
（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表①
所取的2个整数 1，2 1，3 2，3
2个整数之和 3 4 5
如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．
（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表②
所取的2个整数 1，2 1，3 1，4 2，3 2，4 3，4
2个整数之和 3 4 5 5 6 7
如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．
（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有　7　种不同的结果．
（4）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有　（2n﹣3）　种不同的结果．
探究二：
（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有　4　种不同的结果．
（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥4）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有　（3n﹣8）　种不同的结果．
探究三：
从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥5）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有　（4n﹣15）　种不同的结果．
归纳结论：
从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取a（1＜a＜n）个整数，这a个整数之和共有　[a（n﹣a）+1]　种不同的结果．
问题解决：
从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有　476　种不同的优惠金额．
拓展延伸：
（1）从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）
（2）从3，4，5，…，n+3（n为整数，且n≥2）这（n+1）个整数中任取a（1＜a＜n+1）个整数，这a个整数之和共有　[a（n﹣a+1）+1]　种不同的结果．
【解答】解：探究一：
（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和最小值为1+2＝3，最大值为4+5＝9，这2个整数之和共有9﹣3+1＝7种不同情况；
故答案为：7；
（4）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和最小值为1+2＝3，最大值为n+n﹣1＝2n﹣1，这2个整数之和共有2n﹣1﹣3+1＝2n﹣3种不同情况；
故答案为：（2n﹣3）；
探究二：
（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和的最小值为1+2+3＝6，最大值为2+3+4＝9，这3个整数之和共有9﹣6+1＝4种不同情况；
故答案为：4；
（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥4）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和的最小值为1+2+3＝6，最大值为n+（n﹣1）+（n﹣2）＝3n﹣3，这3个整数之和共有3n﹣3﹣6+1＝3n﹣8种不同结果，
故答案为：（3n﹣8）；
探究三：
从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥5）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和的最小值为1+2+3+4＝10，最大值为n+（n﹣1）+（n﹣2）+（n﹣3）＝4n﹣6，因此这4个整数之和共有4n﹣6﹣10+1＝4n﹣15种不同结果，
归纳总结：
从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥5）这n个整数中任取a个整数，这a个整数之和的最小值为1+2+…+a＝，最大值为n+（n﹣1）+（n﹣2）+（n﹣3）+…+（n﹣a+1）＝na﹣，因此这a个整数之和共有na﹣﹣+1＝a（n﹣a）+1种不同结果，
故答案为：[a（n﹣a）+1]；
问题解决：
将n＝100，a＝5，代入a（n﹣a）+1得；5×（100﹣5）+1＝476，
故答案为：476；
拓展延伸：
（1）设从1，2，3，…，36这36个整数中任取a个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果，由上述结论得，
a（36﹣a）+1＝204，解得，a＝7或a＝29；
答：从1，2，3，…，36这36个整数中任取7个整数或取29个整数，能使取出的这些整数之和共有204种不同的结果；
（2）根据上述规律，从（n+1）个连续整数中任取a个整数，这a个整数之和共有[a（n+1﹣a）+1]种不同的结果，
故答案为：[a（n+1﹣a）+1]．
30．（2020 青岛）已知：如图，在四边形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，CD＞AB，点C在EB上，∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，延长DC交EF于点M．点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点M出发，沿MF方向匀速运动，速度为1cm/s．过点P作GH⊥AB于点H，交CD于点G．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．
解答下列问题：
（1）当t为何值时，点M在线段CQ的垂直平分线上？
（2）连接PQ，作QN⊥AF于点N，当四边形PQNH为矩形时，求t的值；
（3）连接QC，QH，设四边形QCGH的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（4）点P在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在∠AFE的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴，
∴，
∴CM＝，
∵点M在线段CQ的垂直平分线上，
∴CM＝MQ，
∴1×t＝，
∴t＝；
（2）如图1，过点Q作QN⊥AF于点N，
∵∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，
∴AC＝＝＝10cm，EF＝＝＝10cm，
∵CE＝2cm，CM＝cm，
∴EM＝＝＝，
∵sin∠PAH＝sin∠CAB，
∴，
∴，
∴PH＝t，
同理可求QN＝6﹣t，
∵四边形PQNH是矩形，
∴PH＝NQ，
∴6﹣t＝t，
∴t＝3；
∴当t＝3时，四边形PQNH为矩形；
（3）如图2，过点Q作QN⊥AF于点N，
由（2）可知QN＝6﹣t，
∵cos∠PAH＝cos∠CAB，
∴，
∴，
∴AH＝t，
∵四边形QCGH的面积为S＝S梯形GMFH﹣S△CMQ﹣S△HFQ，
∴S＝×6×（8﹣t+6+8﹣t+）﹣××[6﹣（6﹣t）]﹣×（6﹣t）（8﹣t+6）＝﹣t2+t+；
（4）存在
理由如下：如图3，连接PF，延长AC交EF于K，
∵AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，AC＝EF＝10cm，
∴△ABC≌△EBF（SSS），
∴∠E＝∠CAB，
又∵∠ACB＝∠ECK，
∴∠ABC＝∠EKC＝90°，
∵S△CEM＝×EC×CM＝×EM×CK，
∴CK＝＝，
∵PF平分∠AFE，PH⊥AF，PK⊥EF，
∴PH＝PK，
∴t＝10﹣2t+，
∴t＝，
∴当t＝时，使点P在∠AFE的平分线上．
31．（2021 青岛）已知：如图，在矩形ABCD和等腰Rt△ADE中，AB＝8cm，AD＝AE＝6cm，∠DAE＝90°．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s．过点Q作QM∥BE，交AD于点H，交DE于点M，过点Q作QN∥BC，交CD于点N．分别连接PQ，PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：
（1）当PQ⊥BD时，求t的值；
（2）设五边形PMDNQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；
（3）当PQ＝PM时，求t的值；
（4）若PM与AD相交于点W，分别连接QW和EW．在运动过程中，是否存在某一时刻t，使∠AWE＝∠QWD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图1中，
由题意，BP＝DQ＝t（cm），
在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝AD＝6cm，∠BAD＝90°，
∴BD＝＝＝10（cm），
∵PQ⊥BD，
∴∠PQB＝90°，
∴cos∠PBQ＝＝，
∴＝，
∴t＝，
答：当PQ⊥BD时，t的值为．
（2）如图2中，过点P作PO⊥QM于点O．
在等腰Rt△ADE中，AD＝AE＝6，∠EAD＝90°，
∴BE＝AB+AE＝8+6＝14（cm），
∵QM∥BE，
∴∠POH＝∠PAH＝∠OHA＝90°，
∴四边形OPAH是矩形，
∴PO＝AH，
∵QM∥EB，
∴∠DQM＝∠DBE，
∵∠QDM＝∠QDM，
∴△DQM∽△DBE，
∴＝，
∴＝，
∴QM＝t（cm），
∵QN∥BC，
∴∠DNQ＝∠C＝90°，
∵∠CDB＝∠CDB，
∴△NDQ∽△CDB，
∴＝，
∴＝＝，
∴DN＝t（cm），QN＝t（cm）．
∴S＝S四边形DQPM+S△DNQ
＝（PQ+DH） QM+QN ND
＝（HA+DH） QM+QN ND
＝ AD QM+QN ND
＝×6×t+×t×t
＝t2+t．
∴S与t之间的函数关系式为：S＝t2+t（0＜t＜8）．
（3）如图3中，延长NQ交BE于点G．
由（1）（2）可知DC∥AB，∠DNQ＝90°，PO⊥QM，
∵∠DNQ＝∠NGA＝∠BAD＝90°，
∴四边形NGAD是矩形，
∴BG＝CN＝（8﹣t）（cm），
同理可证，四边形PGQO是矩形，
∴QO＝PG＝BP﹣CN＝t﹣（8﹣t）＝（t﹣8）（cm），
∴×t＝t﹣8，
∴t＝，
答：当PQ＝PM时，t的值为．
（4）存在．
理由：如图4中，
由（2）得DN＝t，QM＝t，
∵QN∥BC，QM∥BE，
∴∠DNQ＝∠NQH＝∠NDH＝90°，
∴四边形NQHD是矩形，
∴QH＝DN＝t，且∠QHD＝90°，
∴∠QHA＝∠DAE＝90°，
∵∠AWE＝∠QWD，
∴△HQW∽△AEW，
同理可证△MHW∽△PAW，
∴＝，＝，
∴＝，
∴＝，
∴t＝，
经检验，t＝是分式方程的解，
答：在运动过程中，t的值为时，∠AWE＝∠QWD．

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