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第4节　三角函数的图象与性质
1.能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象,了解三角函数的周期性.
2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等),理解正切函数在区间(-,)内的单调性.
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]图象的五个关键点是(0,0),(,1),
(π,0),(,-1),(2π,0).
余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]图象的五个关键点是(0,1),(,0),
(π,-1),(,0),(2π,1).
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数 y=sin x y=cos x y=tan x
图象
定义域 R R {x|x≠kπ+, k∈Z}
值域 [-1,1] [-1,1] R
单调性 递增区间:[2kπ-,2kπ+](k∈Z), 递减区间:[2kπ+,2kπ+](k∈Z) 递增区间: [2kπ-π,2kπ] (k∈Z), 递减区间: [2kπ,2kπ+π] (k∈Z) 递增区间: (π-,kπ+)(k∈Z)
奇偶 性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心 (kπ,0)(k∈Z) 对称中心 (kπ+,0) (k∈Z) 对称中心 (,0)(k∈Z)
对称轴 x=kπ+ (k∈Z) 对称轴 x=kπ(k∈Z)
周期性 2π 2π π
1.对称性与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.要注意求函数y=Asin(ωx+)的单调区间时A和ω的符号,尽量化成ω>0,避免出现增减区间混淆的情况.
3.对于y=tan x不能认为其在定义域上为增函数,而是在每个区间(kπ-,kπ+)(k∈Z)内为增函数.
1.若函数y=2sin 2x+1的最小正周期为T,最大值为A,则(　A　)
A.T=π,A=3 B.T=2π,A=3
C.T=π,A=2 D.T=2π,A=2
解析:最小正周期T==π,最大值A=2+1=3.故选A.
2.下列函数中最小正周期为π且图象关于直线x=对称的是(　B　)
A.y=2sin(2x+) B.y=2sin(2x-)
C.y=2sin(+) D.y=2sin(2x-)
解析:函数y=2sin(2x-)的周期T==π,
又sin(2×-)=1,所以函数y=2sin(2x-)的图象关于直线x=对称.故选B.
3.(多选题)已知函数f(x)=sin(x-)(x∈R),则下列结论正确的是(　ABC　)
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)在区间[0,]上是增函数
C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称
D.函数f(x)是奇函数
解析:由题意,可得f(x)=-cos x,
对于选项A,T==2π,所以选项A正确;
对于选项B,y=cos x在[0,]上是减函数,所以函数f(x)在区间[0,]上是增函数,所以选项B正确;
对于选项C,f(-x)=-cos(-x)=-cos x=f(x),所以函数是偶函数,所以其图象关于直线x=0对称,所以选项C正确,选项D错误.故选ABC.
4.(必修第一册P207练习T5改编)函数y=cos(-2x)的单调递减区间为　　　　.
解析:由y=cos(-2x)=cos(2x-),
得2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z),
解得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),
所以函数的单调递减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z).
答案:[kπ+,kπ+](k∈Z)
5.已知函数f(x)=2asin(2x+)+a+b(a<0)的定义域为[0,],值域为[-5,1],则a+b=　　　　.
解析:因为x∈[0,],所以2x+∈[,],
所以sin(2x+)∈[-,1].
因为a<0,所以f(x)∈[3a+b,b].
因为函数的值域为[-5,1],所以3a+b=-5,b=1,所以a=-2,所以a+b=-1.
答案:-1
三角函数的定义域、值域
1.函数f(x)=-2tan(2x+)定义域是(　D　)
A.{x}
B.{x}
C.{x}
D.{x}
解析:由2x+≠+kπ,k∈Z,得x≠+,k∈Z.故选D.
2.函数y=2sin(-)(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　A　)
A.2- B.0
C.-1 D.-1-
解析:因为0≤x≤9,所以-≤-≤,
所以sin(-)∈[-,1].
所以y∈[-,2],所以ymax+ymin=2-.故选A.
3.函数y=的定义域为　　　　.
解析:法一　要使函数有意义,必须使sin x-cos x≥0.在同一平面直角坐标系中画出[0,2π]上y=sin x和y=cos x的图象,如图所示.
在[0,2π]内,满足sin x=cos x的x的值为,,再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以函数y=的定义域为{x≤x≤2kπ+,k∈Z}.
法二　sin x-cos x=sin(x-)≥0,将x-视为一个整体,由正弦函数y=sin x的图象和性质可知2kπ≤x-≤π+2kπ,k∈Z,解得2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z.所以函数y=的定义域为{x}.
答案:{x}
4.函数y=sin x-cos x+sin xcos x,x∈[0,π]的值域为　　　　.
解析:设t=sin x-cos x,
则t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x,
即sin xcos x=,且-1≤t≤.
所以y=-+t+=-(t-1)2+1.
当t=1时,ymax=1;当t=-1时,ymin=-1.
所以函数的值域为[-1,1].
答案:[-1,1]
1.求三角函数的定义域实际上就是解简单的三角不等式,常借助于三角函数图象来求解.
2.求三角函数的值域(最值)的常见题型及求解策略:
(1)形如y=asin x+bcos x+c的三角函数化为y=Asin(ωx+)+k的形式,再求最值(值域);
(2)形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可先设sin x=t,化为关于t的二次函数求值域(最值);
(3)形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数,可先设t=sin x±cos x,化为关于t的二次函数求值域(最值).
三角函数的单调性
(1)若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]上是减函数,则a的最大值是(　　)
A. B.
C. D.π
(2)函数f(x)=sin(-2x+)的单调递减区间为　　　　.
解析:(1)f(x)=cos x-sin x=cos(x+),
由题意得a>0,故-a+<,
因为f(x)=cos(x+)在[-a,a]上是减函数,
所以解得0(2)由已知可得函数为y=-sin(2x-),欲求函数的单调递减区间,只需求y=sin(2x-)的单调递增区间.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
故所求函数的单调递减区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).
答案:(1)A　(2)[kπ-,kπ+](k∈Z)
(1)已知三角函数解析式求单调区间
求形如y=Asin(ωx+)或y=Acos(ωx+)(其中A>0,ω>0)的单调区间时,要视“ωx+”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<0,可借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错.
(2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解.
[针对训练]
1.函数f(x)=tan(2x-)的单调递增区间是(　　)
A.[-,+](k∈Z)
B.(-,+)(k∈Z)
C.(kπ+,kπ+)(k∈Z)
D.[kπ-,kπ+](k∈Z)
解析:由kπ-<2x-得-所以函数f(x)=tan(2x-)的单调递增区间为
(-,+)(k∈Z).故选B.
2.若函数f(x)=7sin(x+)在区间[,a]上单调,则实数a的最大值为　　　　.
解析:因为x∈[,a],所以(x+)∈[+,a+],注意到+在y=
sin x的单调递减区间[,]内,所以a+≤,所以a≤,所以a的最大值为.
答案:
三角函数的奇偶性、周期性和对称性
　三角函数的周期性与奇偶性
下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是　　　　.(填序号)
①y=cos(2x+);②y=sin(2x+);③y=sin 2x+cos 2x;④y=sin x+cos x.
解析:y=cos(2x+)=-sin 2x,最小正周期T==π,且为奇函数,其图象关于原点对称,故①正确;
y=sin(2x+)=cos 2x,最小正周期为π,且为偶函数,其图象关于y轴对称,故②不正确;
③,④均为非奇非偶函数,其图象不关于原点对称,故③,④不正确.
答案:①
(1)若f(x)=Asin(ωx+)(A,ω≠0),则
①f(x)为偶函数的充要条件是=+kπ(k∈Z);
②f(x)为奇函数的充要条件是=kπ(k∈Z).
(2)函数y=Asin(ωx+)与y=Acos(ωx+)的最小正周期T=,y=Atan(ωx+)的最小正周期T=.
　三角函数图象的对称性
(1)已知函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0)的一条对称轴为直线x=,一个对称中心为点(,0),则ω有(　　)
A.最小值2 B.最大值2
C.最小值1 D.最大值1
(2)已知函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期为4π,则该函数的图象(　　)
A.关于点(,0)对称 B.关于点(,0)对称
C.关于直线x=对称 D.关于直线x=对称
解析:(1)因为函数的中心到对称轴的最短距离是,两条对称轴间的最短距离是,所以,对称中心(,0)到对称轴x=间的距离用周期可表示为-≥,又因为T=,所以≤,所以ω≥2,所以ω有最小值2.故选A.
(2)因为函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期为4π,而T==4π,所以ω=,
即f(x)=2sin(+).
令+=+kπ(k∈Z),解得x=+2kπ(k∈Z),
故f(x)的对称轴为直线x=+2kπ(k∈Z).
令+=kπ(k∈Z),解得x=-+2kπ(k∈Z),
故f(x)的对称中心为(-+2kπ,0)(k∈Z),对比选项可知B正确.故
选B.
(1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+)形式的函数,如果求f(x)的对称轴,只需令ωx+=+kπ(k∈Z),求x即可;如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+=kπ(k∈Z),求x即可.
(2)对于可化为f(x)=Acos(ωx+)形式的函数,如果求f(x)的对称轴,只需令ωx+=kπ(k∈Z),求x即可;如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+=+kπ(k∈Z),求x即可.
[针对训练]
1.在函数①y=cos |2x|,②y=|cos x|,③y=cos(2x+),④y=tan(2x-)中,最小正周期为π的所有函数为(　　)
A.①②③ B.①③④
C.②④ D.①③
解析:①y=cos |2x|=cos 2x,最小正周期为π;
②由函数图象知y=|cos x|的最小正周期为π;
③y=cos(2x+)的最小正周期T==π;
④y=tan(2x-)的最小正周期T=.故选A.
2.若函数f(x)=asin ωx+bcos ωx(0<ω<5,ab≠0)的图象的一条对称轴方程是x=,函数f′(x)的图象的一个对称中心是(,0),则f(x)的最小正周期是　　　　.
解析:由题设可知,有f()=±,
即(a+b)=±,由此得到a=b.
又f′()=0,所以aω(cos-sin)=0,
从而tan =1,=kπ+,k∈Z,
即ω=8k+2,k∈Z,
而0<ω<5,所以ω=2,于是f(x)=a(sin 2x+cos 2x)
=asin(2x+),故f(x)的最小正周期是π.
答案:π
函数f(x)=3sin(2x-)在区间[0,]上的值域为(　　)
A.[-,] B.[-,3]
C.[-,] D.[-,3]
解析:因为x∈[0,],
所以2x-∈[-,],
所以sin(2x-)∈[-,1],
所以3sin(2x-)∈[-,3],
所以函数f(x)在区间[0,]上的值域是[-,3].故选B.
函数f(x)=cos 2x+6cos(-x)的最大值为(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
解析:因为f(x)=cos 2x+6cos(-x)=cos 2x+6sin x=1-2sin2x+
6sin x=-2(sin x-)2+,
又sin x∈[-1,1],所以当sin x=1时,f(x)取得最大值5.故选B.
函数y=lg(sin 2x)+的定义域为　　　　.
解析:由得
所以-3≤x<-或0所以函数y=lg(sin 2x)+的定义域为[-3,-)∪(0,).
答案:[-3,-)∪(0,)
函数f(x)=2cos2x+5sin x-4的最小值为　 　　,最大值为　　　　.
解析:f(x)=2cos2x+5sin x-4=-2sin2x+5sin x-2=-2(sin x-)2+.因为-1≤sin x≤1,所以当sin x=-1时,f(x)有最小值-9;当sin x=
1时,f(x)有最大值1.
答案:-9　1
知识点、方法 基础巩固练 综合运用练 应用创新练
三角函数的定义域与值域 1,2, 12
三角函数的单调性 4,5,8
三角函数的周期性、奇偶性、对称性 3,6,7,9 10,11,13 16
综合问题 14,15
1.函数y=tan(-x)的定义域是(　D　)
A.{x}
B.{x}
C.{x}
D.{x}
解析:y=tan(-x)=-tan(x-),由x-≠+kπ,k∈Z,得x≠kπ+,k∈Z.故选D.
2.若函数f(x)=cos(ωx-) (ω>0)的最小正周期为,则f(x)在[0,]上的值域为(　B　)
A.[-,] B.[-,1]
C.[-,1] D.[,1]
解析:因为T==,所以ω=4,
f(x)=cos(4x-).
因为x∈[0,],所以4x-∈[-,],
所以-≤f(x)=cos(4x-)≤1,
所以f(x)∈[-,1].故选B.
3.(多选题)已知函数f(x)=sin 2x-cos 2x,则下列判断正确的是(　AC　)
A.关于直线x=对称
B.关于直线x=对称
C.关于点(,0)对称
D.关于点(,0)对称
解析:f(x)=sin 2x-cos 2x=sin(2x-),则f()=sin(2×-)=
sin =1,即函数关于直线x=对称,故A正确,D错误;f()=sin(2×
-)=sin =,则函数不关于直线x=对称,故B错误;f()=sin(2×
-)=0,即f(x)关于点(,0)对称,故C正确.故选AC.
4.函数y=2sin(-2x) (x∈[0,π])的单调递增区间是(　C　)
A.[0,] B.[,]
C.[,] D.[,π]
解析:因为y=2sin(-2x)=-2sin(2x-),由+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,即函数在R上的单调递增区间为[+kπ,+kπ],k∈Z,所以函数在[0,π]上的单调递增区间为[,].故选C.
5.函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度得到函数y=g(x)的图象,并且函数g(x)在区间[,]上单调递增,在区间[,]上单调递减,则实数ω的值为(　C　)
A. B. C.2 D.
解析:因为将函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度得到函数y=g(x)的图象,所以g(x)=sin ω(x-),又函数g(x)在区间[,]上单调递增,在区间[,]上单调递减,所以g()=sin =1且≥,所以 所以ω=2.故选C.
6.设函数f(x)=cos(ωx+)在[-π,π]上的图象大致如图,则f(x)的最小正周期为(　C　)
A. B. C. D.
解析:由图可得,函数图象过点(-,0),
将它代入函数f(x)可得cos(-·ω+)=0,
又(-,0)是函数f(x)图象与x轴负半轴的第一个交点,所以-·ω+=-,解得ω=,
所以函数f(x)的最小正周期为T===.故选C.
7.已知函数f(x)=sin x+acos x的图象关于直线x=对称,则实数a的值为　　　　.
解析:由x=是f(x)图象的对称轴,
可得f(0)=f(),即sin 0+acos 0=sin +acos ,解得a=-.
答案:-
8.若函数f(x)=sin ωx(0<ω<2)在区间[0,]上单调递增,在区间[,]上单调递减,则ω等于　　　　.
解析:根据题意知f(x)在x=处取得最大值1,
所以sin =1,所以=2kπ+,k∈Z,
即ω=6k+,k∈Z.
又0<ω<2,所以k=0时,ω=.
答案:
9.请写出一个函数f(x)=　　　　,使之同时具有如下性质:
① x∈R,f(x)=f(4-x),② x∈R,f(x+4)=f(x).
解析:f(x)关于直线x=2对称,周期为4,可取f(x)=cos x.
答案:cos x(答案不唯一)
10.设函数f(x)=cos(ωx+)-1(ω>0),将f(x)图象上的所有点的横坐标向右平移个单位长度,纵坐标不变,所得函数图象的一个对称中心为(-,-1),则ω的最小值为(　B　)
A. B.
C. D.
解析:因为函数f(x)=cos(ωx+)-1(ω>0),将f(x)图象上的所有点的横坐标向右平移个单位长度,纵坐标不变,
可得函数y=cos(ωx-+)-1的图象,
所得函数图象的一个对称中心为(-,-1),则cos[ω·(-)-+]-1=
-1,所以cos[ω·(-)-+]=0,即ω·(-)-+=kπ+,即ω=-k-,k∈Z,所以ω的最小值为.故选B.
11 函数f(x)=Asin(2x+)(||≤π,A>0)的部分图象如图所示,则f(x)(　B　)
A.在(-,)上是减函数
B.在(-,)上是增函数
C.在(,)上是减函数
D.在(,)上是增函数
解析:由图象可知A=2,函数的图象过点(,0),所以有2sin(2·+)=
0 2·+=kπ(k∈Z) =kπ-(k∈Z).
因为||≤π,所以=或=-,当=-时,f(x)=2sin(2x-),此时f(0)<0,不符合题意,所以=.所以f(x)=2sin(2x+).
当x∈(-,)时,2x+∈(-,),
所以f(x)单调递增;
当x∈(,)时,2x+∈(π,2π),
函数f(x)不具有单调性.故选B.
12.已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是　　　　.
解析:f′(x)=2cos x+2cos 2x=4cos2x+2cos x-2=4(cos x+1)(cos x-),所以当cos x<时,函数f(x)单调递减,当cos x>时,函数f(x)单调递增,从而得到函数f(x)的单调递减区间为[2kπ-,2kπ-] (k∈Z),函数f(x)的单调递增区间为[2kπ-,2kπ+] (k∈Z),所以当x=2kπ-,k∈Z时,函数f(x)取得最小值,此时sin x=-,sin 2x=-,所以f(x)min=2×(-)-=-.
答案:-
13.关于函数f(x)=sin x+有如下四个命题:
①f(x)的图象关于y轴对称;
②f(x)的图象关于原点对称;
③f(x)的图象关于直线x=对称;
④f(x)的最小值为2,属于真命题的序号是　　　　.
解析:对于命题①,f()=+2=,f(-)=--2=-,则f(-)≠f(),
所以,函数f(x)的图象不关于y轴对称,命题①错误;
对于命题②,函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},定义域关于原点对称,
f(-x)=sin(-x)+=-sin x-=-(sin x+)=-f(x),
所以,函数f(x)的图象关于原点对称,命题②正确;
对于命题③,因为f(-x)=sin(-x)+=cos x+,
f(+x)=sin(+x)+=cos x+,则f(-x)=f(+x),
所以,函数f(x)的图象关于直线x=对称,命题③正确;
对于命题④,当-π则f(x)=sin x+<0<2,命题④错误.
答案:②③
14.已知函数f(x)=sin(2x+).
(1)求函数f(x)图象的对称轴方程;
(2)求函数f(x)的单调递增区间;
(3)当x∈[,]时,求函数f(x)的最大值和最小值.
解:(1)令2x+=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z.
所以函数f(x)图象的对称轴方程是x=+,k∈Z.
(2)令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
故函数f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z.
(3)当x∈[,]时,≤2x+≤,
所以-1≤sin(2x+)≤,
所以-≤f(x)≤1,
所以当x∈[,]时,函数f(x)的最大值为1,最小值为-.
15.设函数f(x)=2sin(2ωx-)+m的图象关于直线x=π对称,其中0<ω<.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若函数y=f(x)的图象过点(π,0),求函数f(x)在[0,]上的值域.
解:(1)由直线x=π是y=f(x)图象的一条对称轴,可得sin(2ωπ-)
=±1,
所以2ωπ-=kπ+(k∈Z),
即ω=+(k∈Z).
又0<ω<,所以ω=,
所以函数f(x)的最小正周期为3π.
(2)由(1)知f(x)=2sin(x-)+m,
因为f(π)=0,所以2sin(-)+m=0,
所以m=-2,所以f(x)=2sin(x-)-2,
当0≤x≤时,-≤x-≤,
可得-≤sin(x-)≤1.
所以-3≤f(x)≤0,
故函数f(x)在[0,]上的值域为[-3,0].
16.设定义在R上的函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0,-<<),给出以下四个论断:①f(x)的最小正周期为π;②f(x)在区间(-,0)上是增函数;③f(x)的图象关于点(,0)对称;④f(x)的图象关于直线x=对称.以其中两个论断作为条件,另两个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题(写成“p q”的形式)　 　　　.(用到的论断都用序号表示)
解析:若f(x)的最小正周期为π,则ω=2,函数f(x)=sin(2x+).同时若f(x)的图象关于直线x=对称,则sin(2×+)=±1,又-<<,所以2×+=,所以=,此时f(x)=sin(2x+),②③成立,故①④ ②③.若f(x)的最小正周期为π,则ω=2,函数f(x)=sin(2x+),同时若f(x)的图象关于点(,0)对称,则2×+=kπ,k∈Z,又-<<,所以=,此时f(x)=sin(2x+),②④成立,故①③ ②④.
答案:①④ ②③或①③ ②④

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