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函数y=Asin(ωx+)的图象与性质
及三角函数模型的应用
1.了解函数y=Asin(ωx+)的物理意义,能画出y=Asin(ωx+)的图象,了解参数A,ω,对函数图象变化的影响.
2.会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
1.y=Asin(ωx+)的有关概念
y=Asin(ωx+) (A>0,ω>0), x∈R 振幅 周期 频率 相位 初相
A T= f== ωx+
2.用五点法画y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,x∈R)一个周期内的简图时,要找五个特征点
如表所示:
x
ωx+ 0 π 2π
y=Asin(ωx+) 0 A 0 -A 0
3.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)的图象的两种途径
1.先平移变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是||个单位长度;先周期变换(伸缩变换)再平移变换,平移的量是(ω>0)个单位
长度.
2.函数y=Asin(ωx+)的对称轴由ωx+=kπ+,k∈Z确定;对称中心由ωx+=kπ,k∈Z确定其横坐标.
1.函数y=2sin(x-)的振幅、频率和初相分别为(　C　)
A.2,4π, B.2,,
C.2,,- D.2,4π,-
解析:由题意知A=2,f===,初相为-.故选C.
2.为了得到函数y=2sin(2x-)的图象,可以将函数y=2sin 2x的图象(　A　)
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
解析:因为y=2sin(2x-)=2sin[2(x-)].因此,为了得到函数y=
2 sin(2x-)的图象,可将函数y=2sin 2x的图象向右平移个单位长度.故选A.
3.把函数y=sin x的图象上所有点的横坐标都缩小为原来的,纵坐标保持不变,再把图象向右平移个单位长度,则所得图象对应的解析式为(　A　)
A.y=sin(2x-)
B.y=sin(2x-)
C.y=sin(-)
D.y=sin(-)
解析:把函数y=sin x的图象上所有点的横坐标缩小为原来的,纵坐标不变,得到y=sin 2x的图象,再把y=sin 2x的图象向右平移个单位长度,得到y=sin[2(x-)]即y=sin(2x-)的图象.故选A.
4.用五点法画函数y=sin(x-)在一个周期内的图象时,主要确定的五个点是　　　　、　　　　、　　　　、　　　　、　　　　.
答案:(,0)　(,1)　(,0)　(,-1)　(,0)
5.某地农业监测部门统计发现:该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.如表所示是今年前四个月的统计情况.
月份x 1 2 3 4
收购价格y/(元/斤) 6 7 6 5
选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(单位:元/斤)与相应月份之间的函数关系为　 .
解析:设y=Asin(ωx+)+B(A>0,ω>0),由题意得A=1,B=6,T=4,因为T=,所以ω=,
所以y=sin(x+)+6.
因为当x=1时,y=6,所以6=sin(+)+6,
结合表中数据得+=2kπ,k∈Z,可取=-,
所以y=sin(x-)+6.
答案:y=sin(x-)+6(答案不唯一)
函数y=Asin(ωx+)的图象及变换
1.为了得到函数y=sin(2x+)的图象,可将函数y=sin 2x的图象(　B　)
A.向右平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
解析:因为y=sin(2x+)=sin,因此,为了得到函数y=sin(2x+)的图象,可将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度.故选B.
2.(多选题)将函数y=sin(2x+)的图象沿x轴向左平移个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则的值可能是(　AB　)
A.-π B.
C.0 D.-
解析:将函数y=sin(2x+)的图象沿x轴向左平移个单位长度后,得到y=sin(2x++)的图象,
由于所得函数为一个偶函数,则+=kπ+,k∈Z,=+kπ,k∈Z,故当k=0时,=;当k=-1时,=-.故选AB.
3.在函数y=sin(ωx+)的图象向右平移个单位长度后与原图象重合,则正数ω不可能是(　A　)
A.2 B.3
C.6 D.9
解析:因为函数y=sin(ωx+)的图象向右平移个单位长度后得y=sin[ω(x-)+],
所以当ω=2时,y=sin[2(x-)+]≠sin(2x+),
当ω=3时,y=sin[3(x-)+]=sin(3x+),
当ω=6时,y=sin[6(x-)+]=sin(6x+),
当ω=9时,y=sin[9(x-)+]=sin(9x+).故选A.
1.函数y=Asin(ωx+)的图象可用“五点法”作简图得到,可通过变量代换z=ωx+计算五点坐标.
2.由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+)的图象有两条途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
求函数y=Asin(ωx+)的解析式
(1)已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0,||<)的部分图象如图所示,若x1,x2∈(-,),且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)=(　　)
A. B.
C. D.1
(2)已知函数f(x)=sin(ωx+){ω>0,||<}的部分图象如图所示,则y=f(x+)取得最小值时x的集合为　　　　.
解析:(1)由题图知,=,即T=π,则ω=2,所以f(x)=sin(2x+),因为点(,0)在函数f(x)的图象上,所以sin(2×+)=0,即+=2kπ+π,k∈Z,所以=2kπ+,k∈Z,又||<,所以=,所以f(x)=sin(2x+),因为x1,x2∈(-,),且f(x1)=f(x2),所以=,所以x1+x2=,所以f(x1+x2)=sin(2×+)=.故选C.
(2)根据所给图象,可得周期T=4×(-)=π,故π=,所以ω=2,因此f(x)=sin(2x+),另外图象经过点(,0),代入有2×+=π+2kπ(k∈Z),再由||<,得=-,所以f(x)=sin(2x-),所以f(x+)=sin(2x+),当2x+=-+2kπ(k∈Z),即x=-+kπ(k∈Z)时,y=f(x+)取得最小值.此时x的集合为{x|x=kπ-,k∈Z}.
答案:(1)C　(2){x|x=kπ-,k∈Z}
1.已知f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)的部分图象求其解析式时,A比较容易看图得出,利用周期性求ω,难点是“”的确定.
2.y=Asin(ωx+)中的确定方法
(1)代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.
(2)五点法:确定值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突
破口.
[针对训练]
1.已知函数f(x)=Asin(ωx+),x∈R(其中A>0,ω>0,-<<),其部分图象如图所示,将f(x)的图象横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,再向右平移1个单位长度得到g(x)的图象,则函数g(x)的解析式为(　　)
A.g(x)=sin[(x+1)]
B.g(x)=sin[(x+1)]
C.g(x)=sin(x+1)
D.g(x)=sin(x+1)
解析:由题图可得f(x)=sin(x+),横坐标变为原来的2倍得y=
sin(x+),再向右平移1个单位长度,得g(x)=sin[(x-1)+]=sin(x+)=sin[(x+1)].故选B.
2.函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,||<π)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为　　　　.
解析:由题图可知A=.
法一　=-=,
所以T=π,故ω=2,
因此f(x)=sin(2x+),
又(,0)对应五点法作图中的第三个点,
因此2×+=π+2kπ(k∈Z),
所以=+2kπ(k∈Z),
又||<π,所以=.
故f(x)=sin(2x+).
法二　以(,0)为第二个“零点”,x为时,ymin为-,
列方程组解得
故f(x)=sin(2x+).
答案:f(x)=sin(2x+)
函数y=Asin(ωx+)的图象与性质的综合应用
已知函数f(x)=sin(2ωx+)(ω>0)的图象与x轴相邻两个交点的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)的图象,且g(x)的图象恰好经过点(-,0),求当m取得最小值时,g(x)在[-,]上的单调递增区间.
解:(1)函数f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为,得函数f(x)的最小正周期为T=2×=,得ω=1,故函数f(x)的解析式为f(x)=sin(2x+).
(2)将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)=sin[2(x+m)+]=sin(2x+2m+)的图象,根据g(x)的图象恰好经过点(-,0),
可得 sin(-+2m+)=0,
即sin(2m-)=0,
所以2m-=kπ(k∈Z),
解得m=+(k∈Z),
因为m>0,所以当k=0时,m取得最小值,且最小值为.
此时,g(x)=sin(2x+).
因为x∈[-,],所以2x+∈[,].
当2x+∈[,],即x∈[-,-]时,g(x)单调递增,
当2x+∈[,],即x∈[,]时,g(x)单调递增.
综上,g(x)在区间[-,]上的单调递增区间是[-,-]和[,].
函数图象与性质的综合问题.此类问题常先通过三角恒等变换化简函数解析式,再来研究其性质.
[针对训练]
设函数f(x)=sin(ωx-)+sin(ωx-),其中0<ω<3.已知f()=0.
(1)求ω;
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在[-,]上的最小值.
解:(1)因为f(x)=sin(ωx-)+sin(ωx-),
所以f(x)=sin ωx-cos ωx-cos ωx
=sin ωx-cos ωx
=(sin ωx-cos ωx)
=sin(ωx-).
由题设知f()=0,
所以-=kπ,k∈Z,
故ω=6k+2,k∈Z.又0<ω<3,
所以ω=2.
(2)由(1)得f(x)=sin(2x-),
所以g(x)=sin(x+-)=sin(x-).
因为x∈[-,],
所以x-∈[-,],
当x-=-,即x=-时,
g(x)取得最小值-.
三角函数模型的应用
如图,某大风车的半径为2米,每12秒旋转一周,它的最低点O离地面1米,点O在地面上的射影为A.风车圆周上一点M从最低点O开始,逆时针方向旋转40秒后到达P点,则点P到地面的距离是
　　　　米.
解析:以圆心O1为原点,以水平方向为x轴方向,以竖直方向为y轴方向建立平面直角坐标系,则根据大风车的半径为2米,圆上最低点O离地面1米,12秒转动一周,设∠OO1P=θ,运动t秒后与地面的距离为f(t).
又周期T=12,所以θ=t,
则f(t)=3+2sin(θ-)=3-2cos t(t≥0),
当t=40 s时,f(t)=3-2cos(×40)=4.
答案:4
三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题,利用三角函数的有关知识解决问题.
[针对训练]
据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+)+B(A>0,ω>0,||<)的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,9月份价格最低为5千元.则7月份的出厂价格为　　　　元.
解析:作出函数简图如图,
三角函数模型为y=Asin(ωx+)+B,
由题意知A=2 000,B=7 000,T=2×(9-3)=12,
所以ω==.
将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点,
则有×3+=,所以=0,
故f(x)=2 000sin+7 000(1≤x≤12,x∈N*).
所以f(7)=2 000×sin+7 000=6 000.
故7月份的出厂价格为6 000元.
答案:6 000
为了得到函数y=sin(2x-)的图象,只需把函数y=cos(2x-)的图象(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
解析:y=cos(2x-)=sin[+(2x-)]=sin(2x-),故要得到函数y=sin(2x-)的图象,只需要平移(x-)-(x-)=个单位长度,又>0,所以应向左平移.故选A.
已知函数f(x)=Asin(ωx+)+B(A>0,ω>0,||<)的部分图象如图所示,将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,得到函数g(x)的图象关于点(,)对称,则m的值可能为(　　)
A. B.
C. D.
解析:依题意得解得
==-=,
故ω=2,则f(x)=sin(2x+)+.
又f()=sin(+)+=,
故+=+2kπ(k∈Z),即=+2kπ(k∈Z).
因为||<,故=,
所以f(x)=sin(2x+)+.
将函数f(x)的图象向左平移m个单位长度后得到g(x)=sin(2x++2m)+的图象,又函数g(x)的图象关于点(,)对称,故sin(++2m)=0,即+2m=kπ(k∈Z),故m=-(k∈Z).令k=2,则m=.故选D.
已知函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,||<,ω>0)的图象的一部分如图所示,则f(x)的图象的对称轴方程是　　　　.
解析:由图象知A=2,
又1=2sin(ω×0+),即sin =,
又||<,所以=.
又×ω+=2π,所以ω=2,
所以f(x)=2sin(2x+),
令2x+=+kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z).
所以f(x)=2sin(2x+)的对称轴方程为x=+(k∈Z).
答案:x=+(k∈Z)
知识点、方法 基础巩 固练 综合运 用练 应用创新练
函数y=Asin(ωx+)的图象及 变换 1,2,3,4,6 11
求函数y=Asin(ωx+)的解析式 7 10
函数y=Asin(ωx+)的图象与性质的综合应用 5,8 13 15
综合问题 9,12,14
1.函数y=sin(2x-)在区间[-,π]上的简图是(　A　)
解析:令x=0得y=sin(-)=-,排除B,D项,由f(-)=0,f()=0,排除C项.故选A.
2.要得到y=sin(2x-)的图象,只需将y=sin 2x的图象(　D　)
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
解析:因为y=sin(2x-)=sin,
因此,要得到y=sin(2x-)的图象,只需将y=sin 2x的图象向右平移个单位长度.故选D.
3.已知函数f(x)=sin(ωx+)(0<ω<2)满足条件:f(-)=0,为了得到函数y=f(x)的图象,可将函数g(x)=cos ωx的图象向右平移m(m>0)个单位长度,则m的最小值为(　A　)
A.1 B.
C. D.
解析:由题意,得sin(-ω+)=0,
即-ω+=kπ(k∈Z),
则ω=-2kπ(k∈Z),
结合0<ω<2,得ω=,
所以f(x)=sin(x+)=cos(-x-)=cos[(x-1)],
所以只需将函数g(x)=cosx的图象向右平移至少1个单位长度,即可得到函数y=f(x)的图象.故选A.
4.将函数y=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数(　A　)
A.在区间[-,]上单调递增
B.在区间[-,0]上单调递减
C.在区间[,]上单调递增
D.在区间[,π]上单调递减
解析:y=sin(2x+)=sin 2(x+),将其图象向右平移个单位长度,得到函数y=sin 2x的图象.由2kπ-≤2x≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.令k=0,可知函数y=sin 2x在区间[-,]上单调递增.故选A.
5.(多选题)函数f(x)=2sin(2x-)的图象为C,则下列结论正确的是(　AB　)
A.f(x)的最小正周期为π
B.对任意的x∈R,都有f(x+)+f(-x)=0
C.f(x)在(-,)上是减函数
D.由y=2sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C
解析:由f(x)=2sin(2x-),所以f(x)的最小正周期为=π,故A正确;f()=2sin(2×-)=0,即函数f(x)的图象关于点(,0)对称,即对任意的x∈R,都有f(x+)+f(-x)=0成立,故B正确;当x∈(-,)时,2x-∈(-,),所以f(x)在(-,)上是增函数,故C错误;由y=2sin 2x的图象向右平移个单位长度得到y=2sin 2(x-)=
2sin(2x-)的图象,故D错误.故选AB.
6.函数y=sin x-cos x的图象可由函数y=sin x+ cos x的图象至少向右平移　　　　个单位长度得到.
解析:y=sin x-cos x=2sin(x-),y=sin x+cos x=2sin(x+),故应至少向右平移个单位长度.
答案:
7.已知函数y=sin(2x+)(-<<)的图象关于直线x=对称,则的值为　　　　.
解析:由题意得f()=sin(+)=±1,
所以+=kπ+,k∈Z,
所以=kπ-,k∈Z.
因为∈(-,),
所以=-.
答案:-
8.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos[(x-6)](x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28 ℃,12月份的月平均气温最低,为18 ℃,则10月份的平均气温值为　　　　℃.
解析:依题意知,a==23,A==5,
所以y=23+5cos[(x-6)],
当x=10时,
y=23+5cos(×4)=20.5.
答案:20.5
9.(多选题)已知函数f(x)=sin 2x+2cos2x-1,则下列四个结论正确的是(　AB　)
A.函数f(x)在区间[-,]上是增函数
B.点(,0)是函数f(x)的图象的一个对称中心
C.函数f(x)的图象可以由函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度得到
D.若x∈[0,],则f(x)的值域为[0,]
解析:函数f(x)=sin 2x+2cos2x-1=sin 2x+cos 2x=sin(2x+).
若x∈[-,],则2x+∈[-,],
因此函数f(x)在区间[-,]上是增函数,
因此A正确;
因为f()=sin(+)=sin π=0,
因此点(,0)是函数f(x)的图象的一个对称中心,因此B正确;
由函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度得到y=sin[2(x+
)]=cos 2x,
因此由函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度不能得到函数f(x)的图象,因此C不正确;
若x∈[0,],则2x+∈[,],
所以sin(2x+)∈[-,1],
所以f(x)的值域为[-1,],因此D不正确.故选AB.
10.下列关于函数f(x)=2cos2x+sin 2x-1的说法正确的是(　D　)
A.x=是函数f(x)的一个极值点
B.函数f(x)在区间[0,]上是增函数
C.函数f(x)在区间(0,π)上有且只有一个零点
D.函数f(x)的图象可由函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度得到
解析:函数f(x)=2cos2x+sin 2x-1=cos 2x+ sin 2x=2sin(2x+),
当x=时,2sin(2×+)=1,所以x=不是函数f(x)的一个极值点,所以A不正确;
当x=时,函数f(x)取得最大值,所以函数f(x)在区间[0,]上不是增函数,所以B不正确;
由2sin(2x+)=0得2x+=kπ,k∈Z,则x=-,k∈Z,所以在区间(0,π)上有两个零点,,所以C不正确;
由函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度得到y=2sin[2(x+
)]=2sin(2x+)的图象,所以D正确.故选D.
11.已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0,≤),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)的图象的对称轴,且f(x)在(,)上单调,则ω的最大值为(　B　)
A.11 B.9
C.7 D.5
解析:因为x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)的图象的对称轴,
所以·T=,即·=(n∈N),
即ω=2n+1(n∈N),
即ω为正奇数,
因为f(x)在(,)上单调,则-=
≤,
即T=≥,解得ω≤12,
当ω=11时,-+=kπ,k∈Z,
因为||≤,
所以=-,
此时f(x)在(,)上不单调,不满足题意;
当ω=9时,-+=kπ,k∈Z,
因为||≤,
所以=,
此时f(x)在(,)上单调,满足题意.
故ω的最大值为9.故选B.
12.(2019·全国Ⅲ卷)设函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0),已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点.下述四个结论:
①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点;
②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点;
③f(x)在(0,)单调递增;
④ω的取值范围是[,).
其中所有正确结论的编号是(　D　)
A.①④ B.②③
C.①②③ D.①③④
解析:如图,根据题意知,xA≤2π13.将函数f(x)=1-2cos2x-(sin x-cos x)2的图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,若x∈[-,],则函数g(x)的单调递增区间是　　　　.
解析:因为f(x)=1-2cos2x-(sin x-cos x)2=sin 2x-cos 2x-=2sin(2x-)-,
所以g(x)=2sin[2(x+)-]-=2sin(2x+)-,
由-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),
得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),
因为x∈[-,],
所以函数g(x)在[-,]上的单调递增区间是[-,].
答案:[-,]
14.已知函数f(x)=Asin(ωx+){A>0,ω>0,||<}的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的,再把所得的函数图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在区间[0,]上的最小值.
解:(1)设函数f(x)的最小正周期为T,由题图可知A=1,=-=,
即T=π,所以π=,解得ω=2,
所以f(x)=sin(2x+),又f(x)的图象过点(,0),
由0=sin(2×+)可得+=kπ(k∈Z),
则=kπ-(k∈Z),
因为||<,所以=-,
故函数f(x)的解析式为f(x)=sin(2x-).
(2)根据条件得g(x)=sin(4x+),
当x∈[0,]时,4x+∈[,],
所以当x=时,g(x)取得最小值,且g(x)min=.
15.在①f(x)的图象关于直线x=对称;②f(x)的图象关于点(,0)对称;③f(x)在[-,]上单调递增这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的正实数a存在,求出a的值;若a不存在,请说明理由.
已知函数f(x)=4sin(ωx+)+a(ω∈N*)的最小正周期不小于,且　　　　,是否存在正实数a,使得函数f(x)在[0,]上有最大
值3
解:由于函数f(x)的最小正周期不小于,所以≥,所以1≤ω≤6,ω∈N*.
若选择①,即f(x)的图象关于直线x=对称,则有ω+=kπ+(k∈Z),解得ω=k+(k∈Z),由于1≤ω≤6,ω∈N*,k∈Z,所以k=3,ω=4.
此时,f(x)=4sin(4x+)+a.
由x∈[0,],得4x+∈[,],因此当4x+=,即x=时,f(x)取得最大值4+a,令4+a=3,解得a=-1,不符合题意.
故不存在正实数a,使得函数f(x)在[0,]上有最大值3.
若选择②,即f(x)的图象关于点(,0)对称,则有ω+=kπ(k∈Z),
解得ω=k-(k∈Z),由于1≤ω≤6,ω∈N*,k∈Z,所以k=1,ω=3.
此时,f(x)=4sin(3x+)+a.
由x∈[0,],得3x+∈[,],因此当3x+=,即x=时,f(x)取得最大值4sin+a=++a,令++a=3,解得a=3--,不符合题意.
故不存在正实数a,使得函数f(x)在[0,]上有最大值3.
若选择③,即f(x)在[-,]上单调递增,
则有(k∈Z),
解得
由于1≤ω≤6,ω∈N*,k∈Z,所以k=0,ω=1.
此时,f(x)=4sin(x+)+a.
由x∈[0,],得x+∈[,],因此当x+=,即x=时,f(x)取得最大值2+a,令2+a=3,解得a=3-2,符合题意.
故存在正实数a=3-2,使得函数f(x)在[0,]上有最大值3.

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