资源简介

第3节　三角恒等变换
1.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.
2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.
3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β;
(2)cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β;
(3)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β;
(4)sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β;
(5)tan(α-β)=;
(6)tan(α+β)=.
2.二倍角公式
(1)sin 2α=2sin αcos α;
(2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
(3)tan 2α=.
1.半角公式指的是sin =±,cos =±,tan =±.它们可由二倍角公式cos 2α=1-2sin2α=2cos2α-1以代α,然后变形导出,符号由所在的象限确定.注意:tan 还有一个同时使用sin α,cos α,但不带有根号的公式,即tan ==.此公式不需要讨论所在的象限,使用方便.
2.积化和差公式指的是sin αcos β,cos αsin β,cos αcosβ,
sin αsin β用α+β,α-β的三角函数表示,显然可由相应的和差角公式相加减得到.
3.和差化积公式指的是把sin α±sin β,cos α±cos β,用,的三角函数表示,这只须用角变换α=+,β=-,然后利用和差角公式展开合并即可.
1.公式的常用变式:tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtanβ);
tan α·tan β=1-=-1.
2.降幂公式:sin2α=;cos2α=;sin αcos α=sin 2α.
3.升幂公式:1+cos α=2cos2;1-cos α=2sin2;1+sin α=(sin +
cos );1-sin α=(sin -cos )2.
4.常用拆角、拼角技巧:例如,2α=(α+β)+(α-β);α=(α+β)-β=(α-β)+β;β=-=(α+2β)-(α+β);α-β=(α-γ)+(γ-β);15°=45°-30°;+α=-(-α)等.
5.辅助角公式
asin α+bcos α=sin(α+),其中cos =,sin =.
6.万能公式
sin α=,cos α=,tan α=.
1.(必修第一册P220练习T3改编)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°等于(　D　)
A.- B.
C.- D.
解析:sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+
cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=.故选D.
2.若cos(θ+)=-,则cos 2θ的值为(　A　)
A. B.
C.± D.
解析:因为cos(θ+)=-,所以sin θ=,所以cos 2θ=1-2sin2θ=.故选A.
3.若tan α=,tan(α+β)=,则tan β=　　　　.
解析:tan β=tan [(α+β)-α]==
=.
答案:
4.tan 10°+tan 50°+tan 10°tan 50°=　　　　.
解析:因为tan 60°=tan(10°+50°)=
,
所以tan 10°+tan 50°=tan 60°(1-tan 10°tan 50°)=
-tan 10°tan 50°,
故原式=-tan 10°tan 50°+tan 10°tan 50°=.
答案:
5.若sin α+cos α=1,且α∈(0,π),则α=　　　　.
解析:因为sin α+cos α=2sin(α+)=1,
所以sin(α+)=,又α∈(0,π),
所以(α+)∈(,),
所以α+=,所以α=.
答案:
三角函数式的化简
1.已知θ∈(0,),且sin θ-cos θ=-,则等于(　D　)
A. B. C. D.
解析:由sin θ-cos θ=-,
得sin(-θ)=,
因为θ∈(0,),
所以0<-θ<,
所以cos(-θ)=.
=
==
=2cos(-θ)=.故选D.
2.化简:=　　　　.
解析:=
==4sin α.
答案:4sin α
3.化简:=　　　　.
解析:原式=
=
=
==cos 2x.
答案:cos 2x
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式.
(2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”.
(3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式要通分”等.
三角函数式的求值
　给角求值
求值:-sin 10°(-tan 5°)=　　　　.
解析:原式=-sin 10°(-)
=-sin 10°·
=-sin 10°·
=-2cos 10°=
=
=
==.
答案:
“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面上来看是很难的,但仔细观察会发现非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.
　给值求值
若0<α<,-<β<0,cos(+α)=,cos(-)=,则cos(α+)等于(　　)
A. B.- C. D.-
解析:因为0<α<,则<+α<,
所以sin(+α)=.
又-<β<0,则<-<,
则sin(-)=.
故cos(α+)=cos [+α-(-)]
=cos(+α)cos(-)+sin(+α)sin(-)
=×+×=.故选C.
“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系.
　给值求角
若sin 2α=,sin(β-α)=,且α∈[,π],β∈[π,],则α+β的值是(　　)
A. B.
C.或 D.或
解析:因为α∈[,π],所以2α∈[,2π].
又sin 2α=>0,所以2α∈[,π],
所以cos 2α=-且α∈[,].
又β∈[π,],所以β-α∈[,].
因为sin(β-α)=>0,
所以cos(β-α)=-且β-α∈[,π],
故cos(α+β)=cos [2α+(β-α)]=cos 2αcos(β-α)-sin 2αsin(β-α)=-×(-)-×=.
因为2α∈[,π],β-α∈[,π],
所以α+β∈[π,2π],所以α+β=.故选A.
1.“给值求角”实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围,确定角.
2.注意要根据角的范围选择合适的三角函数,本例选择求cos(α+β),不宜选择求sin(α+β).
[针对训练]
1.-等于(　　)
A.4 B.2 C.-2 D.-4
解析:-=-==
==-4.故选D.
2.已知α,β都为锐角,且sin α=,cos β=,则α-β等于(　　)
A.- B.
C.- D.
解析:因为α,β都为锐角,
且sin α=,cos β=,
所以cos α=,sin β=,
由sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=×-×=-=-,
因为sin α3.已知cos(+α)=,<α<,则的值为　　　　.
解析:=
=
=sin 2α·=sin 2α·tan(+α).
由<α<,得<α+<2π,
又cos(+α)=,
所以sin(+α)=-,tan(+α)=-.
cos α=cos[(+α)-]=-,sin α=-,
sin 2α=.
所以=×(-)=-.
答案:-
三角恒等变换在研究三角函数图象和性质中的应用
已知函数f(x)=sin2x-sin2(x-),x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间[-,]上的最大值和最小值.
解:(1)由已知得
f(x)=-
=(cos 2x+sin 2x)-cos 2x
=sin 2x-cos 2x=sin(2x-).
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)由(1)知f(x)=sin(2x-).
因为-≤x≤,
所以-≤2x-≤,
所以当2x-=-,
即x=-时,f(x)有最小值,
且f(-)=-,
当2x-=,即x=时,f(x)有最大值,
且f()=.
所以f(x)在区间[-,]上的最大值为,最小值为-.
三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用,解决此类问题可先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y=Asin(ωx+)+t或余弦型函数y=Acos(ωx+)+t的形式,再利用三角函数的图象与性质求解.
[针对训练]
已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2sin xcos x(x∈R).
(1)求f()的值;
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.
解:(1)由sin =,cos =-,得f()=()2-(-)2-2××(-)=2.
(2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x,得f(x)=-cos 2x-sin 2x=-2sin(2x+).
所以f(x)的最小正周期是T==π.
由正弦函数的性质,得
+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为[+kπ,+kπ](k∈Z).
已知sin α=,α∈(,π),tan(π-β)=,则tan(α-β)的值为(　　)
A.- B. C. D.-
解析:因为sin α=,α∈(,π),
所以cos α=-=-,
所以tan α==-.
因为tan(π-β)==-tan β,所以tan β=-,
则tan(α-β)==-.故选A.
已知sin α=+cos α,且α∈(0,),则的值为(　　)
A.- B. C.- D.
解析:因为sin α=+cos α,即sin α-cos α=,
所以==
==-.故选A.
已知α,β为锐角,cos α=,sin(α+β)=,则cos β=　　 　.
解析:因为α为锐角,所以sin α==.
因为α,β∈(0,),所以0<α+β<π.
又因为sin(α+β),
所以cos(α+β)=-.
cos β=cos [(α+β)-α]
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
=-×+×==.
答案:
(1+tan 17°)(1+tan 28°)的值为　　　　.
解析:原式=1+tan 17°+tan 28°+tan 17°tan 28°=1+tan 45°(1-tan 17°tan 28°)+tan 17°tan 28°=1+1=2.　
答案:2
若sin x+cos x=,则tan(x+)=　　　　.　
解析:由sin x+cos x=,得2sin(x+)=,
即sin(x+)=,所以cos(x+)=±,
所以tan(x+)=±,
即tan(x+)=tan(x+)=±.
答案:±
若<α<2π,则可化简为　　　　.
解析:=,
因为<α<2π,所以|cos α|=cos α.
所以原式==.
又因为<<π,所以原式=-cos .
答案:-cos
(1)在△ABC中,若tan Atan B=tan A+tan B+1,则cos C=
　　　　.
(2)cos 20°·cos 40°·cos 100°=　　　　.
(3)化简:=　　　　.
解析:(1)由tan Atan B=tan A+tan B+1,
可得=-1,
即tan(A+B)=-1,又因为A+B∈(0,π),
所以A+B=,则C=,cos C=.
(2)设S=cos 20°·cos 40°·cos 100°,
则S=-cos 20°·cos 40°·cos 80°,
设T=sin 20°·sin 40°·sin 80°,
则ST=-sin 40°·sin 80°·sin 160°=-T,又T≠0,所以S=-,
即cos 20°·cos 40°·cos 100°=-.
(3)===-1.
答案:(1)　(2)-　(3)-1
知识点、方法 基础巩固练 综合运用练 应用创新练
三角函数式的化简,求值 1,4,7 11
三角函数式的给值求值 2,5,6,8 13
三角函数式的给值求角 3
三角恒等变换的应用 9,10,12,14,15 16
1.sin 16°cos 14°-sin 254°sin 14°的值是(　B　)
A.0 B.
C. D.-
解析:原式=cos 74°cos 14°+sin 74°sin 14°=cos(74°-14°)=
cos 60°=.故选B.
2.sin 2α=-,则cos2(α-)的值为(　C　)
A.- B.- C. D.
解析:cos2(α-)=====.故选C.
3.已知α,β都是锐角,若sin α=,sin β=,则α+β等于(　A　)
A. B.
C.和 D.-和-
解析:由于α,β都是锐角,所以cos α==,cos β=
=.
所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,所以α+β=.故选A.
4.tan 18°+tan 12°+tan 18°tan 12°等于(　D　)
A. B. C. D.
解析:因为tan 30°=tan(18°+12°)==,所以
tan 18°+tan 12°=(1-tan 18°tan 12°),所以原式=.故选D.
5.已知tan(α+)=2,则的值为(　A　)
A.- B. C. D.-
解析:tan α=tan[(α+)-]==,原式==
tan α-=-=-.故选A.
6.已知α是第三象限角,3cos 2α+sin α=2,则tan α等于(　A　)
A. B.
C. D.2
解析:因为α是第三象限角,3cos 2α+sin α=2,
所以3(1-2sin2α)+sin α=2,
所以6sin2α-sin α-1=0,
解得sin α=-或sin α=(舍去),
所以cos α=-=-,
所以tan α=.故选A.
7.形如的式子叫做行列式,其运算法则为=ad-bc,则行列式的值是　　　　.
解析:因为=sin 15°-cos 15°=2(sin 15°-
cos 15°)=2sin(15°-45°)=-2sin 30°=-1,
所以的值是-1.
答案:-1
8.若cos α=-,sin β=-,α∈(,π),β∈(,2π),则sin(α+β)的值为　　　　.
解析:因为cos α=-,α∈(,π),
所以sin α==,
因为sin β=-,β∈(,2π),
所以cos β==,
所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=×+(-)×
(-)=.
答案:
9.若函数f(x)=(1+tan x)cos x,0≤x<,则f(x)的最大值是(　B　)
A.1 B.2 C.+1 D.+2
解析:由0≤x<,则f(x)=(1+tan x)cos x=(1+·)cos x=cos x+sin x=2sin(x+),因为0≤x<,所以≤x+<,所以当x+=时,f(x)取到最大值2.故选B.
10.(多选题)已知f(x)=sin xsin(x+)-,则f(x)的值不可能是(　CD　)
A.- B.
C.-2 D.2
解析:因为f(x)=sin xsin(x+)-
=sin x(sin x+cos x)-
=sin2x+sin x cos x-
=×+sin 2x-
=sin 2x-cos 2x
=sin(2x-),
所以-≤f(x)≤.故选CD.
11.(多选题)下列式子正确的有(　ACD　)
A.sin 15°+cos 15°=
B.cos 75°=
C.2tan 15°+tan215°=1
D.tan 12°+tan 33°+tan 12°tan 33°=1
解析:因为sin 15°+cos 15°===
,所以A正确;
cos 75°=cos(45°+30°)=cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°=
×-×=,所以B错误;
又由tan 30°=,
得1-tan215°==2tan 15°,
所以2tan 15°+tan215°=1,所以C正确;
因为1=tan 45°=tan(12°+33°)=,
所以tan 12°+tan 33°=1-tan 12°tan 33°,
所以tan 12°+tan 33°+tan 12°tan 33°=1.故D正确.故选ACD.
12.已知<β<α<,cos(β-α)=,sin(β+α)=-,则cos 2α等于(　D　)
A. B.- C. D.-
解析:因为<β<α<,所以-<β-α<0,π<α+β<,
又cos(β-α)=,sin(β+α)=-,
所以sin(β-α)=-=-,cos(β+α)=-=
-;
所以cos 2α=cos [(β+α)-(β-α)]
=cos(β+α)cos(β-α)+sin(β+α)sin(β-α)
=(-)×+(-)×(-)=-.故选D.
13.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生为我国数学的发展做出了巨大贡献,他所倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了广泛的应用.0.618就是黄金分割比m=的近似值,黄金分割比还可以表示成2sin 18°,则=　　　　.
解析:把m=2sin 18°代入
=
===2.
答案:2
14.已知sin α-cos α=,π<α<2π,求tan α,tan 的值.
解:法一　因为sin α-cos α=,
所以1-2sin αcos α=,
所以sin αcos α=>0,
所以sin α与cos α同号,
又因为π<α<2π,所以π<α<,
所以sin α<0,cos α<0,所以sin α+cos α<0.
又因为(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=,
所以sin α+cos α=-,
所以sin α=-+,cos α=--,
所以tan α==,
tan ====-2-.
法二　因为sin α-cos α=,sin α=2sincos==,
cos α=cos2-sin2==,
所以-=,
所以tan2+4tan-3=0,
又因为π<α<2π,所以<<π,
所以tan <0,
所以tan =-2-,
所以tan α===.
15.已知函数f(x)=2sin(+x)cos(-x)-1.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若函数g(x)=f(x)-2cos2x,求函数g(x)的单调递增区间.
解:(1)函数f(x)=2sin(+x)cos(-x)-1=2cos2(-x)-1=cos[2·(
-x)]=sin 2x,
所以函数f(x)的最小正周期为=π.
(2)g(x)=f(x)-2cos2x=sin 2x-(2cos2x-1)-=sin 2x-
cos 2x-
=2sin(2x-)-,
令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
所以函数g(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z.
16.如图,圆O与x轴的正半轴的交点为A,点C,B在圆O上,且点C位于第一象限,点B的坐标为(,-),∠AOC=α.若|BC|=1,则cos2-
sin cos -的值为　　　　.
解析:由题意得|OB|=|OC|=|BC|=1,从而△OBC为等边三角形,所以sin ∠AOB=sin(-α)=,所以cos2-sin cos -=·-
-=-sin α+cos α=-sin(α-)=sin(-α)=.
答案:

展开更多......

收起↑